資源簡介

8.5.3　平面與平面平行
第1課時　平面與平面平行的判定
1.設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m α，m∥β，若使α∥β成立，則需增加的條件是（　　）
A.n是直線且n α，n∥β
B.n，m是異面直線且n∥β
C.n，m是相交直線且n α，n∥β
D.n，m是平行直線且n α，n∥β
2.經過平面α外兩點，作與α平行的平面，則這樣的平面可以作（　　）
A.1個或2個 B.0個或1個
C.1個 D.0個
3.對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件中，不能夠判定α與β平行的為（　　）
A.存在平面γ，使得α，β都平行于γ
B.平面α內的任意一條直線都平行于β
C.α內有不共線的三點到β的距離相等
D.存在異面直線l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
4.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（　　）
A.BD1∥GH
B.BD∥EF
C.平面EFGH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
5.（2024·廣州月考）在三棱臺A1B1C1-ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，點M是△A1B1C1內（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1ACC1，則動點M的軌跡是（　　）
A.△A1B1C1邊界的一部分
B.一個點
C.線段的一部分
D.圓的一部分
6.如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（　　）
7.如圖，在三棱錐P-ABC中，點D，E，F分別是棱PA，PB，PC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關系是　　　　.
8.已知平面α和β，在平面α內任取一條直線a，在β內總存在直線b∥a，則α與β的位置關系是　　　（填“平行”或“相交”）.
9.如圖，三條直線AA1、BB1、CC1不共面，但交于一點O，若AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，那么平面ABC和平面A1B1C1的位置關系是　　　　.
10.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.
11.（2024·寧波月考）已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面.若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是（　　）
A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2
12.（多選）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法正確的有（　　）
A.BM∥平面DE B.CN∥平面AF
C.平面BDM∥平面AFN D.平面BDE∥平面NCM
13.如圖，P是△ABC所在平面外一點，A'，B'，C'分別是△PBC，△PAC，△PAB的重心，則平面A'B'C'與平面ABC的位置關系為　　　　.
14.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點M是線段B1D1上的一個動點，E，F分別是BC，CM的中點.
（1）求證：EF∥平面BDD1B1；
（2）設G為棱CD的中點，求證：平面GEF∥平面BDD1B1.
15.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是（　　）
A.[2，] B.
C.[，2] D.[2，2]
16.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，且＝＝.
（1）在圖①中作出平面PQC和平面AA1D1D的交線（保留作圖痕跡），并求證：PQ∥平面A1D1DA；
（2）如圖②，若R是AB上的點，當的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明.
第1課時　平面與平面平行的判定
1.C　要使α∥β成立，需要其中一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，n，m是相交直線且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面與平面平行的判定定理可得α∥β.故選C.
2.B　①當經過兩點的直線與平面α平行時，可作出一個平面β使β∥α.②當經過兩點的直線與平面α相交時，由于作出的平面與平面α至少有一個公共點，故經過兩點的平面都與平面α相交，不能作出與平面α平行的平面.故滿足條件的平面有0個或1個.
3.C　對于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴兩個平面平行，∴A正確；對于B，平面α內的任意一條直線都平行于β，當然α內的兩條相交直線也都平行于β，∴α∥β，∴B正確；對于C，不能判定α與β平行，如α內不共線的三點不在β的同一側時，α與β相交，∴C不正確；對于D，可以判定α與β平行，可在平面α內作l'∥l，m'∥m，則l'與m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β，m'∥β，∴α∥β，∴D正確.故選C.
4.D　易知GH∥D1C，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故選項A錯誤；
易知EF∥A1B，與選項A同理，可判斷選項B錯誤；因為EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面ABCD相交，選項C錯誤；對于D，由E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故選D.
5.C　如圖，過D作DE∥A1C1交B1C1于E，連接BE，因為BD∥AA1，BD 平面AA1C1C，AA1 平面AA1C1C，所以BD∥平面AA1C1C，同理DE∥平面AA1C1C，又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，所以平面BDE∥平面AA1C1C，所以M∈DE（M不與D重合，否則沒有平面BDM），故選C.
6.D　由題意可知經過P，Q，R三點的平面即為平面PSRHNQ，如圖所示，對圖B、C，可知N在經過P，Q，R三點的平面上，所以圖B、C中的陰影平面與平面PRQ不平行；對圖A，MC1與QN是相交直線，所以圖A中的陰影平面與平面PRQ不平行；對圖D，因為A1C1∥RH，BC1∥QN，A1C1∩BC1＝C1，又易知RH，QN也相交，A1C1，BC1 平面A1C1B，RH，QN 平面PSRHNQ，故平面A1C1B∥平面PSRHNQ，圖D中的陰影平面與平面PRQ平行.
7.平行　解析：在△PAB中，因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理，可證EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
8.平行　解析：若α∩β＝l，則在平面α內，取與l相交的直線a，設a∩l＝A，對于β內的任意直線b，若b過點A，則a與b相交，若b不過點A，則a與b異面，即β內不存在直線b∥a，矛盾.故α∥β.
9.平行　解析：由AO＝A1O，BO＝B1O，且∠AOB＝∠A1OB1，故△AOB≌△A1OB1，因此∠A1B1O＝∠ABO，故A1B1∥AB，A1B1 平面A1B1C1，AB 平面A1B1C1，故AB∥平面A1B1C1，同理可得BC∥平面A1B1C1，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，故平面ABC∥平面A1B1C1.
10.證明：因為PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因為BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因為四邊形ABCD為平行四邊形.
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
又因為BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因為MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PBC.
11.D　對于A，若m∥β且l1∥α，則α，β可能相交，故A錯誤；對于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必須滿足m，n相交，故B錯誤；對于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必須滿足m，n相交，故C錯誤；對于D，由定理“如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”，由選項D可以推出α∥β，故D正確.
12.ABC　展開圖可以折成如圖①所示的正方體.
在正方體中，連接AN，如圖②所示.∵AB∥MN，且AB＝MN，∴四邊形ABMN是平行四邊形.∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可證CN∥平面AF，∴選項A、B正確；如圖③所示，連接NF，BE，BD，DM，CF，易證BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，則平面BDM∥平面AFN，∴選項C正確；易得平面BDE與平面NCM相交，∴D不正確.
13.平行　解析：如圖，連接PA'，PC'并延長，分別交BC，AB于點M，N，連接MN.∵A'，C'分別是△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝PM，PC'＝PN，∴A'C'∥MN.∵MN 平面ABC，A'C' 平面ABC，∴A'C'∥平面ABC.同理，A'B'∥平面ABC.又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
14.證明：（1）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接BM，如圖.
因為E，F分別是BC，CM的中點，
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1，BM 平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
（2）因為G是CD的中點，E是BC的中點，所以EG∥BD.
而EG 平面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，
從而得EG∥平面BDD1B1.
由（1）知EF∥平面BDD1B1，又EF∩EG＝E，EF，EG 平面GEF，
因此平面GEF∥平面BDD1B1.
15.B　如圖，取B1C1的中點G，BB1的中點H，連接GH，A1G，A1H，則A1G∥AE，又A1G 平面AEF，AE 平面AEF，所以A1G∥平面AEF，同理GH∥EF，GH 平面AEF，EF 平面AEF，所以GH∥平面AEF，因為A1G∩GH＝G，所以平面A1GH∥平面AEF，因為P是側面BCC1B1內一點，當P點在線段GH上時，能夠滿足A1P∥平面AEF，因為正方體棱長為2，由勾股定理得：A1G＝A1H＝，GH＝，故點P落在GH中點時，A1P長度最小，此時A1P＝＝，當點P與G或H重合時，長度最大，此時A1P＝，綜上：線段A1P長度的取值范圍是.故選B.
16.解：（1）連接CP并延長與DA的延長線交于M點，連接D1M，則平面PQC和平面AA1D1D的交線為D1M.
證明：因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以＝＝，
又因為＝＝，所以＝＝，所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.
（2）當＝時，能使平面PQR∥平面A1D1DA.
證明：因為＝，即＝，故＝，所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，由（1）知，PQ∥平面A1D1DA，又PQ∩PR＝P，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
3 / 38.5.3　平面與平面平行
第1課時　平面與平面平行的判定
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面平行的判定定理，并加以證明 邏輯推理
2.會應用平面與平面平行的判定定理證明平面與平面平行 直觀想象
　　上海世界博覽會的中國國家館被永久保留.中國國家館表達了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化的精神與氣質，展館共分三層.
【問題】　展館的每兩層所在的平面有什么位置關系？你是依據什么判斷的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　平面與平面平行的判定定理
文字 語言 如果一個平面內的　　　　　　與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號 語言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
圖形 語言
提醒　判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件：①平面β內兩條相交直線a，b，即a β，b β，a∩b＝P；②兩條相交直線a，b都與平面α平行，即a∥α，b∥α.
1.（2024·濟南月考）在正方體中，相互平行的面不會是（　　）
A.前后相對側面
B.上下相對底面
C.左右相對側面
D.相鄰的側面
2.（2024·青島月考）已知a，b，c，d是四條直線，α，β是兩個不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，則α與β的位置關系是（　　）
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.以上都不對
3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的對數為（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
題型一 平面與平面平行判定定理的理解
【例1】　已知α，β是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面α與平面β平行的是（　　）
A.平面α內有一條直線與平面β平行
B.平面α內有兩條直線與平面β平行
C.平面α內有一條直線與平面β內的一條直線平行
D.平面α與平面β不相交
通性通法
平面與平面平行的判定方法
（1）定義法：兩個平面沒有公共點；
（2）判定定理：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面；
（3）利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
【跟蹤訓練】
　（2024·南平月考）下列命題正確的是（　　）
A.一個平面內兩條直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行
B.如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
C.平行于同一直線的兩個平面一定相互平行
D.如果一個平面內的無數條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
題型二 平面與平面平行的證明
【例2】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱DD1，CC1的中點，求證：平面AEC∥平面BFD1.
通性通法
1.利用判定定理證明兩個平面平行的一般步驟
2.轉化思想
轉化為線線平行：平面α內的兩條相交直線與平面β內的兩條相交直線分別平行，則α∥β.
【跟蹤訓練】
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點.
求證：（1）B，C，H，G四點共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
1.已知α，β是兩個不重合的平面，直線a α，命題p：a∥β，命題q：α∥β，則p是q的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.（2024·周口月考）如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在B1D1上，F在A1B1上，且＝，過E作EH∥B1B交BD于H，則平面EFH與平面BB1C1C的位置關系是（　　）
A.平行 B.相交
C.垂直 D.以上都有可能
3.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是平行四邊形，點G和點H分別是CE和CF的中點.證明：平面BDGH∥平面AEF.
第1課時　平面與平面平行的判定
【基礎知識·重落實】
知識點
　兩條相交直線
自我診斷
1.D　由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故選D.
2.C　由圖①和圖②可知，α與β平行或相交.
3.D　相對的兩個側面以及上下兩底面相互平行，所以六棱柱的面中互相平行的有4對.
【典型例題·精研析】
【例1】　D　選項A、C不正確，因為兩個平面可能相交；選項B不正確，因為平面α內的這兩條直線必須相交才能得到平面α與平面β平行；選項D正確，因為兩個平面（不重合）的位置關系只有相交與平行兩種，又因為兩個平面不相交，所以這兩個平面必定平行.故選D.
跟蹤訓練
　B　對于A、C、D選項，兩個平面均有可能相交，而對于B選項，如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，故A、C、D錯誤，B正確.
【例2】　證明：連接EF，
∵ABCD-A1B1C1D1為正方體，E，F分別為DD1，CC1的中點，
∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，ED1＝CF，
∴四邊形ABFE，ED1FC為平行四邊形，
則AE∥BF，EC∥D1F，
∵AE 平面BFD1，EC 平面BFD1，BF 平面BFD1，D1F 平面BFD1，
∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1，
∵AE 平面AEC，EC 平面AEC，AE∩EC＝E，
∴平面AEC∥平面BFD1.
跟蹤訓練
　證明：（1）∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四點共面.
（2）∵E，F分別為AB，AC的中點，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
隨堂檢測
1.B　a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面面平行的定義可知，若α∥β且a α，則a∥β. 故p是q的必要不充分條件.故選B.
2.A　在平面A1B1C1D1中，因為＝，所以EF∥A1D1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1，所以EF∥B1C1，又因為EH∥B1B，EH 平面EFH，EF 平面EFH，BB1 平面BB1C1C，B1C1 平面BB1C1C，EH∩EF＝E，BB1∩B1C1＝B1，所以平面EFH∥平面BB1C1C.故選A.
3.證明：在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，
所以GH∥EF，
又因為GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
設AC∩BD＝O，連接OH，在△ACF中，因為OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因為OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因為OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
2 / 3(共59張PPT)
第1課時　平面與平面平行的判定
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面平
行的判定定理，并加以證明 邏輯推理
2.會應用平面與平面平行的判定定理證明平面與平面
平行 直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
上海世界博覽會的中國國家館被永久保留.中國國家館表達了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化的精神與氣
質，展館共分三層.
【問題】　展館的每兩層所在的平面有什么位置關系？你是依據什么
判斷的？
知識點　平面與平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內的 與另一個平面平行，
那么這兩個平面平行
符號語言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
圖形語言
兩條相交直線　
提醒　判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件：①平面β內兩
條相交直線a，b，即a β，b β，a∩b＝P；②兩條相交直線a，
b都與平面α平行，即a∥α，b∥α.
1. （2024·濟南月考）在正方體中，相互平行的面不會是（　　）
A. 前后相對側面 B. 上下相對底面
C. 左右相對側面 D. 相鄰的側面
解析：　由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平
行，故選D.
2. （2024·青島月考）已知a，b，c，d是四條直線，α，β是兩個不
重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，則α
與β的位置關系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 以上都不對
解析：　由圖①和圖②可知，α與β平行或相交.
3. 六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的
面中互相平行的對數為（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　相對的兩個側面以及上下兩底面相互平行，所以六棱柱
的面中互相平行的有4對.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 平面與平面平行判定定理的理解
【例1】　已知α，β是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出
平面α與平面β平行的是（　　）
A. 平面α內有一條直線與平面β平行
B. 平面α內有兩條直線與平面β平行
C. 平面α內有一條直線與平面β內的一條直線平行
D. 平面α與平面β不相交
解析：　選項A、C不正確，因為兩個平面可能相交；選項B不正
確，因為平面α內的這兩條直線必須相交才能得到平面α與平面β平
行；選項D正確，因為兩個平面（不重合）的位置關系只有相交與平
行兩種，又因為兩個平面不相交，所以這兩個平面必定平行.故選D.
通性通法
平面與平面平行的判定方法
（1）定義法：兩個平面沒有公共點；
（2）判定定理：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平
面；
（3）利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
【跟蹤訓練】
（2024·南平月考）下列命題正確的是（　　）
A. 一個平面內兩條直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么
這兩個平面平行
B. 如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個
平面平行
C. 平行于同一直線的兩個平面一定相互平行
D. 如果一個平面內的無數條直線都平行于另一個平面，那么這兩個
平面平行
解析：　對于A、C、D選項，兩個平面均有可能相交，而對于B選
項，如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個
平面平行，故A、C、D錯誤，B正確.
題型二 平面與平面平行的證明
【例2】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱
DD1，CC1的中點，求證：平面AEC∥平面BFD1.
證明：連接EF，
∵ABCD-A1B1C1D1為正方體，E，F分別為DD1，
CC1的中點，
∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，
ED1＝CF，
∴四邊形ABFE，ED1FC為平行四邊形，
則AE∥BF，EC∥D1F，
∵AE 平面BFD1，EC 平面BFD1，BF 平面
BFD1，D1F 平面BFD1，
∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1，
∵AE 平面AEC，EC 平面AEC，AE∩EC＝E，
∴平面AEC∥平面BFD1.
通性通法
1. 利用判定定理證明兩個平面平行的一般步驟
2. 轉化思想
轉化為線線平行：平面α內的兩條相交直線與平面β內的兩條相交直
線分別平行，則α∥β.
【跟蹤訓練】
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，
AC，A1B1，A1C1的中點.
求證：（1）B，C，H，G四點共面；
證明：∵G，H分別是A1B1，A1C1的中
點，∴GH是△A1B1C1的中位線，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四點共面.
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
證明：∵E，F分別為AB，AC的中點，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
1. 已知α，β是兩個不重合的平面，直線a α，命題p：a∥β，命題
q：α∥β，則p是q的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：　a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面面平
行的定義可知，若α∥β且a α，則a∥β. 故p是q的必要不充分條
件.故選B.
2. （2024·周口月考）如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在
B1D1上，F在A1B1上，且 ＝ ，過E作EH∥B1B交BD于
H，則平面EFH與平面BB1C1C的位置關系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 以上都有可能
解析：　在平面A1B1C1D1中，因為 ＝ ，所以
EF∥A1D1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1，所以
EF∥B1C1，又因為EH∥B1B，EH 平面EFH，EF 平面
EFH，BB1 平面BB1C1C，B1C1 平面BB1C1C，EH∩EF＝
E，BB1∩B1C1＝B1，所以平面EFH∥平面BB1C1C. 故選A.
3. 如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是平行四邊形，點G和點
H分別是CE和CF的中點.證明：平面BDGH∥平面AEF.
證明：在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，
所以GH∥EF，
又因為GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
設AC∩BD＝O，連接OH，在△ACF中，因為
OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因為OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因為OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m α，m∥β，若使α∥β成
立，則需增加的條件是（　　）
A. n是直線且n α，n∥β
B. n，m是異面直線且n∥β
C. n，m是相交直線且n α，n∥β
D. n，m是平行直線且n α，n∥β
解析：　要使α∥β成立，需要其中一個平面內的兩條相交直線與
另一個平面平行，n，m是相交直線且n α，n∥β，m α，
m∥β，由平面與平面平行的判定定理可得α∥β.故選C.
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2. 經過平面α外兩點，作與α平行的平面，則這樣的平面可以作（　）
A. 1個或2個 B. 0個或1個
C. 1個 D. 0個
解析：　①當經過兩點的直線與平面α平行時，可作出一個平面β
使β∥α.②當經過兩點的直線與平面α相交時，由于作出的平面與平
面α至少有一個公共點，故經過兩點的平面都與平面α相交，不能作
出與平面α平行的平面.故滿足條件的平面有0個或1個.
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3. 對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件中，不能夠判定α與β平
行的為（　　）
A. 存在平面γ，使得α，β都平行于γ
B. 平面α內的任意一條直線都平行于β
C. α內有不共線的三點到β的距離相等
D. 存在異面直線l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
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解析：　對于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴兩個平面
平行，∴A正確；對于B，平面α內的任意一條直線都平行于β，當
然α內的兩條相交直線也都平行于β，∴α∥β，∴B正確；對于C，
不能判定α與β平行，如α內不共線的三點不在β的同一側時，α與β
相交，∴C不正確；對于D，可以判定α與β平行，可在平面α內作
l'∥l，m'∥m，則l'與m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β，
m'∥β，∴α∥β，∴D正確.故選C.
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4. 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱
A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（　　）
A. BD1∥GH
B. BD∥EF
C. 平面EFGH∥平面ABCD
D. 平面EFGH∥平面A1BCD1
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解析：　易知GH∥D1C，因為過直線外一點
有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，
GH不可能互相平行，故選項A錯誤；易知EF
∥A1B，與選項A同理，可判斷選項B錯誤；
因為EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面
ABCD也相交，所以平面EFGH與平面ABCD相交，選項C錯誤；對于D，由E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故選D.
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5. （2024·廣州月考）在三棱臺A1B1C1-ABC中，點D在A1B1上，且
AA1∥BD，點M是△A1B1C1內（含邊界）的一個動點，且有平面
BDM∥平面A1ACC1，則動點M的軌跡是（　　）
A. △A1B1C1邊界的一部分
B. 一個點
C. 線段的一部分
D. 圓的一部分
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解析：　如圖，過D作DE∥A1C1交B1C1于E，
連接BE，因為BD∥AA1，BD 平面AA1C1C，
AA1 平面AA1C1C，所以BD∥平面AA1C1C，同
理DE∥平面AA1C1C，又BD∩DE＝D，BD，
DE 平面BDE，所以平面BDE∥平面AA1C1C，
所以M∈DE（M不與D重合，否則沒有平面
BDM），故選C.
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6. 如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在
棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行
的是（　　）
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解析：　由題意可知經過P，Q，R三點的平
面即為平面PSRHNQ，如圖所示，對圖B、C，
可知N在經過P，Q，R三點的平面上，所以
圖B、C中的陰影平面與平面PRQ不平行；對
圖A，MC1與QN是相交直線，所以圖A中的陰
影平面與平面PRQ不平行；對圖D，因為A1C1∥RH，BC1∥QN，A1C1∩BC1＝C1，又易知RH，QN也相交，A1C1，BC1 平面A1C1B，RH，QN 平面PSRHNQ，故平面A1C1B∥平面PSRHNQ，圖D中的陰影平面與平面PRQ平行.
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7. 如圖，在三棱錐P-ABC中，點D，E，F分別是棱PA，PB，PC
的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關系是 .
平行
解析：在△PAB中，因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB. 又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC. 同理，可證EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
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8. 已知平面α和β，在平面α內任取一條直線a，在β內總存在直線
b∥a，則α與β的位置關系是 （填“平行”或“相交”）.
解析：若α∩β＝l，則在平面α內，取與l相交的直線a，設a∩l＝
A，對于β內的任意直線b，若b過點A，則a與b相交，若b不過點
A，則a與b異面，即β內不存在直線b∥a，矛盾.故α∥β.
平行
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9. 如圖，三條直線AA1、BB1、CC1不共面，但交于一點O，若AO＝
A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，那么平面ABC和平面A1B1C1的位
置關系是 .
平行
解析：由AO＝A1O，BO＝B1O，且∠AOB＝∠A1OB1，故△AOB≌△A1OB1，因此∠A1B1O＝∠ABO，故A1B1∥AB，A1B1 平面A1B1C1，AB 平面A1B1C1，故AB∥平面A1B1C1，同
理可得BC∥平面A1B1C1，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，故平面ABC∥平面A1B1C1.
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10. 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點
M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝
PQ∶QD. 求證：平面MNQ∥平面PBC.
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證明：因為PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因為BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因為四邊形ABCD為平行四邊形.
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
又因為BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因為MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PBC.
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11. （2024·寧波月考）已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面.
若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分
條件是（　　）
A. m∥β且l1∥α B. m∥β且n∥β
C. m∥β且n∥l2 D. m∥l1且n∥l2
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解析：　對于A，若m∥β且l1∥α，則α，β可能相交，故A錯
誤；對于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必須滿足m，n相
交，故B錯誤；對于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必須滿足
m，n相交，故C錯誤；對于D，由定理“如果一個平面內的兩條
相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”，由選項D
可以推出α∥β，故D正確.
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12. （多選）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說
法正確的有（　　）
A. BM∥平面DE
B. CN∥平面AF
C. 平面BDM∥平面AFN
D. 平面BDE∥平面NCM
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解析：展開圖可以折成如圖①所示的正方體.
在正方體中，連接AN，如圖②所示.∵AB∥MN，且AB＝MN，
∴四邊形ABMN是平行四邊形.∴BM∥AN. ∴BM∥平面DE. 同
理可證CN∥平面AF，∴選項A、B正確；如圖③所示，連接
NF，BE，BD，DM，CF，易證BM∥平面AFN，BD∥平面
AFN，則平面BDM∥平面AFN，∴選項C正確；易得平面BDE與
平面NCM相交，∴D不正確.
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13. 如圖，P是△ABC所在平面外一點，A'，B'，C'分別是△PBC，
△PAC，△PAB的重心，則平面A'B'C'與平面ABC的位置關系
為 .
平行
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解析：如圖，連接PA'，PC'并延長，分別交BC，
AB于點M，N，連接MN. ∵A'，C'分別是
△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝ PM，PC'＝
PN，∴A'C'∥MN. ∵MN 平面ABC，A'C' 平
面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面
ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面
A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
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14. 如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點M是線段B1D1上的一個
動點，E，F分別是BC，CM的中點.
（1）求證：EF∥平面BDD1B1；
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證明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接BM，如圖.
因為E，F分別是BC，CM的中點，
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1，BM 平面
BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
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（2）設G為棱CD的中點，求證：平面GEF∥平面BDD1B1.
證明：因為G是CD的中點，E是BC的中點，所以EG∥BD.
而EG 平面BDD1B1，BD 平面
BDD1B1，
從而得EG∥平面BDD1B1.
由（1）知EF∥平面BDD1B1，又
EF∩EG＝E，EF，EG 平面GEF，
因此平面GEF∥平面BDD1B1.
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15. 如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是
棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內一點，若A1P∥平面
AEF，則線段A1P長度的取值范圍是（　　）
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解析：　如圖，取B1C1的中點G，BB1的中點
H，連接GH，A1G，A1H，則A1G∥AE，又
A1G 平面AEF，AE 平面AEF，所以A1G∥
平面AEF，同理GH∥EF，GH 平面AEF，
EF 平面AEF，所以GH∥平面AEF，因為
A1G∩GH＝G，所以平面A1GH∥平面AEF，
因為P是側面BCC1B1內一點，
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當P點在線段GH上時，能夠滿足A1P∥平面AEF，因為正方
體棱長為2，由勾股定理得：A1G＝A1H＝ ，GH＝ ，故點P落在GH中點時，A1P長度最小，此時A1P＝ ＝ ，當點P與G或H重合時，長度最大，此時A1P＝ ，綜
上：線段A1P長度的取值范圍是 .故選B.
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16. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1
上的點，且 ＝ ＝ .
（1）在圖①中作出平面PQC和平面AA1D1D的交線（保留作圖痕
跡），并求證：PQ∥平面A1D1DA；
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解：連接CP并延長與DA的延長線交于M點，連接D1M，則平面PQC和平面AA1D1D的交線為D1M.
證明：因為四邊形ABCD為正方形，所
以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以 ＝ ＝ ，
又因為 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面
A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.
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（2）如圖②，若R是AB上的點，當 的值為多少時，能使平面
PQR∥平面A1D1DA？請給出證明.
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解：當 ＝ 時，能使平面PQR∥平面A1D1DA.
證明：因為 ＝ ，即 ＝ ，故 ＝ ，所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，由（1）知，PQ∥平面
A1D1DA，又PQ∩PR＝P，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
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