資源簡介

第2課時　平面與平面平行的性質
1.已知平面α∥平面β，直線a∥平面α，直線b∥平面β，那么a與b的位置關系可能是（　　）
A.平行或相交 B.相交或異面
C.平行或異面 D.平行、相交或異面
2.若平面α∥平面β，直線a α，點B∈β，則在平面β內過點B的所有直線中（　?。?br/>A.不一定存在與a平行的直線
B.只有兩條與a平行的直線
C.存在無數條與a平行的直線
D.存在唯一一條與a平行的直線
3.在如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是（　?。?br/>A.異面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
4.設平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中點.當點A，B分別在α，β內運動時，所有的動點C（　　）
A.不共面
B.當且僅當A，B在兩條相交直線上移動時才共面
C.當且僅當A，B在兩條給定的平行直線上移動時才共面
D.不論A，B如何移動都共面
5.（2024·紹興質檢）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，則AF的長為（　?。?br/>A.1 B.1.5
C.2 D.3
6.（多選）α，β，γ為三個不重合的平面，a，b，c為三條不重合的直線，則下列命題中正確的是（　　）
A. a∥b B. a∥b
C. α∥β D. a∥b
7.如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是　　　　　.
8.如圖所示，P是△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，則S△A'B'C'∶S△ABC＝　　　　.
9.已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，且m，n α，m，n β，給出下列四個論斷：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β.以其中三個論斷為條件，剩余論斷為結論組成的命題中，一個正確的推理應是　　　?。ù鸢覆晃ㄒ唬?
10.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E.求證：EC∥A1D.
11.如圖，四棱臺ABCD-A'B'C'D'的底面為正方形，M為CC'的中點，點N在線段AB上，AB＝4BN.若MN∥平面ADD'A'，則此棱臺上下底面邊長的比值為（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
12.（多選）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知點G，H分別在A1B1，A1C1上，且GH經過△A1B1C1的重心，點E，F分別是AB，AC的中點，且平面A1EF∥平面BCHG，則下列結論正確的是（　?。?br/>A.EF∥GH
B.GH∥平面A1EF
C.＝
D.平面A1EF∥平面BCC1B1
13.（2024·青島月考）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD上一點，且DE＝2EC，F為棱AA1的中點，且平面BEF與DD1交于點H，則＝　　　　.
14.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明：B1D1∥l.
15.如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC，BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件　　　　時，就有MN∥平面B1BDD1.（注：請填上你認為正確的一個條件即可）
16.如圖，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折.
（1）求證：當F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FAD；
（2）“不管怎樣翻折矩形ABEF，線段MN總與線段FD平行”這個結論正確嗎？如果正確，請證明；如果不正確，請說明能否改變個別已知條件使上述結論成立，并給出理由.
第2課時　平面與平面平行的性質
1.D　當a與b共面，即a與b平行或相交時，如圖所示，顯然滿足題目條件；在a與b相交的條件下，分別把a，b平行移動到平面β，平面α上，此時a與b異面，亦滿足題目條件.故選D.
2.D　因為直線a與點B可確定一個平面，該平面與平面β的交線即為在平面β內過點B且與直線a平行的直線，所以只有唯一一條.故選D.
3.B　因為平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因為A1B1∥AB，所以DE∥AB.
4.D　根據面面平行的性質知，不論點A，B如何運動，動點C均在過點C且與α，β都平行的平面上.
5.A　平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所以四邊形A1FBE為平行四邊形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1.
6.AD　對于A，由基本事實4可知，A正確；對于B，兩條直線都與同一個平面平行，則這兩條直線可能平行，可能相交，也可能異面，故B不正確；對于C，兩個平面都與同一條直線平行，則這兩個平面可能平行，也可能相交，故C不正確；對于D，由面面平行的性質定理可知，D正確.
7.平行四邊形　解析：由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得.
8.　解析：∵平面α∥平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為A'B'，AB，∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，易得△ABC∽△A'B'C'，S△A'B'C'∶S△ABC＝（）2＝（）2＝.
9.①②③→④（或①②④→③）
解析：若①α∥β，②m∥n，③m∥α，且n β，有④n∥β成立，正確；若①α∥β，③m∥α，④n∥β，則m，n可能相交、平行或異面，錯誤；若①α∥β，②m∥n，④n∥β，且m α，所以有③m∥α成立，正確；若②m∥n，③m∥α，④n∥β，則平面α，β可能相交、平行.
10.證明：易知BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
11.D　設E為CD的中點，G為EC的中點，連接MG，NG，C'E，則NG∥AD，則平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分別交平面MNG和平面ADD'A'于直線MG，DD'，則MG∥DD'.因為E為CD的中點，G為EC的中點，M為CC'的中點，所以DD'∥C'E∥MG.所以DEC'D'為平行四邊形，棱臺上下底面邊長的比值為.
12.ABC　由E，F分別是AB，AC的中點可知EF∥BC，＝.在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由兩個平面平行的性質可得GH∥BC，而GH經過△A1B1C1的重心，所以＝，所以＝，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，所以GH∥平面A1EF.因為A1B1∥BE且BE＜A1B1，所以直線A1E與BB1有交點，所以平面A1EF與平面BCC1B1相交.故A、B、C正確，D錯誤.
13.　解析：如圖，連接FH，EH，因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以平面A1B1BA∥平面D1C1CD，因為平面BEHF∩平面A1B1BA＝BF，平面BEHF∩平面D1C1CD＝EH，所以BF∥EH，＝＝ DH＝DE＝×DC＝DC＝DD1，所以＝.
14.證明：（1）由題設知BB1 DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因為A1D1 B1C1 BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
（2）由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，
所以直線l∥直線BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
15.點M在線段FH上（答案不唯一）
解析：取B1C1的中點Q，連接QN，QF，連接FH，NH，如圖，由已知得QN，FH與CC1，BB1都平行且相等，因此FH與QN平行且相等，從而FQNH是平行四邊形，FQ∥HN，由H，N分別是CD，CB的中點，則HN∥BD，又HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，所以HN∥平面B1BDD1，同理NQ∥平面B1BDD1，又HN∩NQ＝N，HN，NQ 平面FQNH，所以平面FQNH∥平面BB1D1D，因此只要M∈FH，就有MN∥平面B1BDD1.
16.解：（1）證明：在平面圖形中，設MN與AB交于點G.
由于四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有AD∥BE且AD＝BE，
∴四邊形ADBE是平行四邊形，∴AE∥DB.
又∵AM＝DN，∴四邊形ADNM為平行四邊形，∴MN∥AD.
折疊之后，MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，示意圖如圖①，∴平面FAD∥平面GNM.
又∵MN 平面GNM，∴MN∥平面FAD.
∴當F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FAD.
（2）這個結論不正確.
要使結論成立，M，N應分別為AE和DB的中點.理由如下：
當F，A，D共線時，由平面圖形，易證得FD∥MN.
折疊后，當F，A，D不共線時，由（1）知平面MNG∥平面FDA，可知要使MN∥FD總成立，根據面面平行的性質定理，只要FD與MN共面即可.
若要使FD與MN共面，連接FM，只要FM與DN相交即可.
由平面圖形知，若要DN和FM共面，則DN與FM相交于點B（M，N分別為AE，DB的中點才能實現），折疊后的圖形如圖②.
∵FM∩DN＝B，∴可知它們確定一個平面，即F，D，N，M四點共面.
又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
2 / 3第2課時　平面與平面平行的性質
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面平行的性質定理，并加以證明 邏輯推理
2.能用平面與平面平行的性質定理解決一些簡單的空間線面位置關系問題 直觀想象
　　當平面α∥平面β時，α與β沒有公共點，此時，若l α，m β，則l∩m＝ ，這就是說，l與m的位置關系是異面或平行.
【問題】　那么在什么情況下，l與m平行呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　兩個平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線　
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b 　　
圖形語言
提醒　（1）用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三個條件缺一不可.（2）在應用這個定理時，要防止出現“兩個平面平行，則一個平面內的直線平行于另一個平面內的一切直線”的錯誤.
1.已知長方體ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，則EF與E'F'的位置關系是（　?。?br/>A.平行 B.相交
C.異面 D.不確定
2.已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，則直線m與n的關系是（　　）
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行或異面
3.（2024·東莞月考）如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝　　　　.
題型一 兩平面平行性質定理的應用
【例1】　如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MP，MC，N是PM與DE的交點，連接FN，求證：FN∥CM.
通性通法
應用面面平行性質定理的基本步驟
【跟蹤訓練】
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點，過點B，E，D1的平面與棱CC1交于點F.
（1）求證：四邊形BFD1E為平行四邊形；
（2）試確定點F的位置.
題型二 與兩平面平行的性質定理有關的計算
【例2】　如圖，已知平面α∥β，P α，且P β，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長.
【母題探究】
?。ㄗ儣l件）將本例改為：若點P位于平面 α，β之間（如圖），其他條件不變，試求BD的長.
通性通法
與平行的性質有關的計算的三個關鍵點
（1）根據已知的面面平行關系推出線線平行關系；
（2）在三角形內利用三角形的中位線性質、平行線分線段成比例定理推出有關線段的關系；
（3）利用所得關系計算求值.
【跟蹤訓練】
如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M，交BC于點N，則 ＝　　　　.
題型三 線線、線面、面面平行的轉化
【例3】　如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M，N分別是棱AB，PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE.
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN∥PE.
通性通法
空間中各種平行關系相互轉化的示意圖
提醒　判定是用低一級的平行關系證明高一級的平行關系；性質是用高一級的平行關系推出低一級的平行關系.
【跟蹤訓練】
如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分別為棱AB，BC，C1B1的中點.
（1）求證：AC∥平面B1DE；
（2）求證：AF∥平面B1DE.
1.兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得的四條直線的位置關系是（　　）
A.兩兩相互平行
B.兩兩相交于同一點
C.兩兩相交但不一定交于同一點
D.兩兩相互平行或交于同一點
2.平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是（　?。?br/>A.AB∥CD
B.AD∥CB
C.AB與CD相交
D.A，B，C，D四點共面
3.（2024·珠海月考）如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀為（　?。?br/>A.梯形
B.平行四邊形
C.可能是梯形也可能是平行四邊形
D.不確定
4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求證：N為AC的中點.
第2課時　平面與平面平行的性質
【基礎知識·重落實】
知識點
　平行　a∥b
自我診斷
1.A　因為平面ABCD∥平面A'B'C'D'，所以EF∥E'F'.故選A.
2.D　∵α∥β，∴α與β無公共點，又m α，n β，∴m與n無公共點，∴m與n平行或異面.
3.　解析：∵平面α∥平面β，α∩平面PAB＝CD，β∩平面PAB＝AB，∴CD∥AB，則＝，∴AB＝＝＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　證明：因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM.
跟蹤訓練
　解：（1）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性質定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四邊形BFD1E為平行四邊形.
（2）取BB1的中點M，連接MC1，ME，如圖，
∵M，E分別為棱BB1，AA1的中點，∴ME A1B1，
又A1B1 C1D1，∴ME C1D1，
∴四邊形D1EMC1為平行四邊形，∴D1E∥MC1，
又D1E∥BF，∴MC1∥BF，
又C1F∥BM，
∴四邊形MBFC1為平行四邊形，
∴BM C1F，
∴F為棱CC1的中點.
【例2】　解：因為AC∩BD＝P，所以經過直線AC與BD可確定平面PCD，因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD，所以 ＝，即 ＝，解得BD＝，故BD的長為 .
母題探究
　解：與本例同理，可證得AB∥CD.
所以 ＝，即 ＝，解得BD＝24，
故BD長為24.
跟蹤訓練
　　解析：由題意得平面MNE∥平面ACB1，因為平面BB1C1C∩平面MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，則由面面平行的性質定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A.又因為E為BB1的中點，所以M，N分別為BA，BC的中點，所以MN＝AC，即 ＝.
【例3】　證明：（1）如圖，取DC的中點Q，連接MQ，NQ.
在△PCD中，N，Q分別是PC，DC的中點，
所以NQ∥PD，
又NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
所以NQ∥平面PAD.
因為M是AB的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，
所以MQ∥AD，又MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
所以MQ∥平面PAD.
因為MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PAD.
因為MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.
（2）由（1）知，平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
所以MN∥PE.
跟蹤訓練
　證明：（1）因為在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為棱AB，BC的中點，所以DE∥AC，
因為DE 平面B1DE，AC 平面B1DE，
所以AC∥平面B1DE.
（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC B1C1，
因為E，F分別為BC，B1C1的中點，
所以CE FB1，
所以四邊形B1ECF是平行四邊形，所以FC∥B1E，
因為FC 平面B1DE，B1E 平面B1DE，
所以FC∥平面B1DE，
由（1）知AC∥平面B1DE，又AC∩FC＝C，AC，FC 平面ACF，所以平面ACF∥平面B1DE，
又AF 平面ACF，所以AF∥平面B1DE.
隨堂檢測
1.A　根據平面與平面平行的性質可知，所得的四條直線兩兩相互平行.故選A.
2.D　充分性：A，B，C，D四點共面，由平面與平面平行的性質知AC∥BD.必要性顯然成立.故選D.
3.B　由長方體的性質：各對面平行，易知HG∥EF，EH∥FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形.故選B.
4.證明：因為平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面ACC1A1∩平面BC1N＝C1N，
所以C1N∥AM.又AC∥A1C1，
所以四邊形ANC1M為平行四邊形，
所以AN＝C1M＝A1C1＝AC，
所以N為AC的中點.
4 / 4(共62張PPT)
第2課時　平面與平面平行的性質
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面平
行的性質定理，并加以證明 邏輯推理
2.能用平面與平面平行的性質定理解決一些簡單的空
間線面位置關系問題 直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　當平面α∥平面β時，α與β沒有公共點，此時，若l α，m β，
則l∩m＝ ，這就是說，l與m的位置關系是異面或平行.
【問題】　那么在什么情況下，l與m平行呢？
知識點　兩個平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
圖形語言
平行　
a∥b　
提醒　（1）用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：①
平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ
和β相交，即β∩γ＝b.以上三個條件缺一不可.（2）在應用這個定理
時，要防止出現“兩個平面平行，則一個平面內的直線平行于另一個
平面內的一切直線”的錯誤.
1. 已知長方體ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平
面A'B'C'D'＝E'F'，則EF與E'F'的位置關系是（　?。?br/>A. 平行 B. 相交
C. 異面 D. 不確定
解析：因為平面ABCD∥平面A'B'C'D'，所以EF∥E'F'.故選A.
2. 已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，則直線m與
n的關系是（　?。?br/>A. 平行 B. 異面
C. 相交 D. 平行或異面
解析：　∵α∥β，∴α與β無公共點，又m α，n β，∴m與n
無公共點，∴m與n平行或異面.
3. （2024·東莞月考）如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB
＝ .

解析：∵平面α∥平面β，α∩平面PAB＝CD，β∩平面PAB＝
AB，∴CD∥AB，則 ＝ ，∴AB＝ ＝ ＝ .
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 兩平面平行性質定理的應用
【例1】　如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別是PA，PB，
PC的中點，M是AB上一點，連接MP，MC，N是PM與DE的交
點，連接FN，求證：FN∥CM.
證明：因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以
FN∥CM.
通性通法
應用面面平行性質定理的基本步驟
【跟蹤訓練】
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點，過點B，
E，D1的平面與棱CC1交于點F.
（1）求證：四邊形BFD1E為平行四邊形；
解：證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面
DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面
DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性質定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四邊形BFD1E為平行四邊形.
（2）試確定點F的位置.
解：取BB1的中點M，連接MC1，ME，如圖，
∵M，E分別為棱BB1，AA1的中點，
∴ME A1B1，
又A1B1 C1D1，∴ME C1D1，
∴四邊形D1EMC1為平行四邊形，
∴D1E∥MC1，
又D1E∥BF，∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四邊形MBFC1為平行四邊形，
∴BM C1F，∴F為棱CC1的中點.
題型二 與兩平面平行的性質定理有關的計算
【例2】　如圖，已知平面α∥β，P α，且P β，過點P的直線m與
α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，
且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長.
解：因為AC∩BD＝P，所以經過直線AC與BD可確定平面PCD，
因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得BD＝ ，故BD的長
為 .
【母題探究】
（變條件）將本例改為：若點P位于平面 α，β之間（如圖），其他條
件不變，試求BD的長.
解：與本例同理，可證得AB∥CD.
所以 ＝ ，即 ＝ ，解得BD＝24，
故BD長為24.
通性通法
與平行的性質有關的計算的三個關鍵點
（1）根據已知的面面平行關系推出線線平行關系；
（2）在三角形內利用三角形的中位線性質、平行線分線段成比例定
理推出有關線段的關系；
（3）利用所得關系計算求值.
【跟蹤訓練】
如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面
ACB1平行的平面交AB于點M，交BC于點N，則 ＝ 　 　.

解析：由題意得平面MNE∥平面ACB1，因為平面BB1C1C∩平面
MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，則由面面平行的性質
定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A. 又因為E為BB1的中點，
所以M，N分別為BA，BC的中點，所以MN＝ AC，即 ＝ .
題型三 線線、線面、面面平行的轉化
【例3】　如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，
M，N分別是棱AB，PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE.
（1）求證：MN∥平面PAD；
證明：如圖，取DC的中點Q，連接MQ，NQ.
在△PCD中，N，Q分別是PC，DC的中點，
所以NQ∥PD，
又NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
所以NQ∥平面PAD.
因為M是AB的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，
所以MQ∥AD，又MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
所以MQ∥平面PAD.
因為MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PAD.
因為MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.
（2）求證：MN∥PE.
證明：由（1）知，平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面
MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
所以MN∥PE.
通性通法
空間中各種平行關系相互轉化的示意圖
提醒　判定是用低一級的平行關系證明高一級的平行關系；性質是用
高一級的平行關系推出低一級的平行關系.
【跟蹤訓練】
如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分別為棱AB，BC，C1B1的中點.
（1）求證：AC∥平面B1DE；
證明：因為在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為棱AB，BC的中點，所以DE∥AC，
因為DE 平面B1DE，AC 平面B1DE，
所以AC∥平面B1DE.
（2）求證：AF∥平面B1DE.
證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC B1C1，
因為E，F分別為BC，B1C1的中點，
所以CE FB1，
所以四邊形B1ECF是平行四邊形，所以FC∥B1E，
因為FC 平面B1DE，B1E 平面B1DE，
所以FC∥平面B1DE，
由（1）知AC∥平面B1DE，又AC∩FC＝C，AC，FC 平面
ACF，所以平面ACF∥平面B1DE，
又AF 平面ACF，所以AF∥平面B1DE.
1. 兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得的四條直線的位置關系是
（　　）
A. 兩兩相互平行
B. 兩兩相交于同一點
C. 兩兩相交但不一定交于同一點
D. 兩兩相互平行或交于同一點
解析：　根據平面與平面平行的性質可知，所得的四條直線兩兩
相互平行.故選A.
2. 平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的
充要條件是（　　）
A. AB∥CD B. AD∥CB
C. AB與CD相交 D. A，B，C，D四點共面
解析：　充分性：A，B，C，D四點共面，由平面與平面平行
的性質知AC∥BD. 必要性顯然成立.故選D.
3. （2024·珠海月考）如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四
邊形EFGH為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀
為（　?。?br/>A. 梯形
B. 平行四邊形
C. 可能是梯形也可能是平行四邊形
D. 不確定
解析：　由長方體的性質：各對面平行，易知HG∥EF，
EH∥FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形.故選B.
4. 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥
平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求證：N為AC的中點.
證明：因為平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面ACC1A1∩平面BC1N＝C1N，
所以C1N∥AM. 又AC∥A1C1，
所以四邊形ANC1M為平行四邊形，
所以AN＝C1M＝ A1C1＝ AC，
所以N為AC的中點.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知平面α∥平面β，直線a∥平面α，直線b∥平面β，那么a與b的
位置關系可能是（　?。?br/>A. 平行或相交 B. 相交或異面
C. 平行或異面 D. 平行、相交或異面
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解析：　當a與b共面，即a與b平行或相交時，如圖所示，顯然滿足題目條件；在a與b相交的條件下，分別把a，b平行移動到平面β，平面α上，此時a與b異面，亦滿足題目條件.故選D.
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2. 若平面α∥平面β，直線a α，點B∈β，則在平面β內過點B的所有
直線中（　?。?br/>A. 不一定存在與a平行的直線
B. 只有兩條與a平行的直線
C. 存在無數條與a平行的直線
D. 存在唯一一條與a平行的直線
解析：　因為直線a與點B可確定一個平面，該平面與平面β的交
線即為在平面β內過點B且與直線a平行的直線，所以只有唯一一
條.故選D.
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3. 在如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交
于直線DE，則DE與AB的位置關系是（　　）
A. 異面 B. 平行
C. 相交 D. 以上均有可能
解析：　因為平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面
A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.
又因為A1B1∥AB，所以DE∥AB.
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4. 設平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中點.當點A，B分別
在α，β內運動時，所有的動點C（　?。?br/>A. 不共面
B. 當且僅當A，B在兩條相交直線上移動時才共面
C. 當且僅當A，B在兩條給定的平行直線上移動時才共面
D. 不論A，B如何移動都共面
解析：　根據面面平行的性質知，不論點A，B如何運動，動點
C均在過點C且與α，β都平行的平面上.
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5. （2024·紹興質檢）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點
E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面
AA1B1B＝A1F，則AF的長為（　　）
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 3
解析：　平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所以四邊形A1FBE為平行四邊形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1.
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6. （多選）α，β，γ為三個不重合的平面，a，b，c為三條不重合的
直線，則下列命題中正確的是（　?。?br/>1
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解析：　對于A，由基本事實4可知，A正確；對于B，兩條直線
都與同一個平面平行，則這兩條直線可能平行，可能相交，也可能
異面，故B不正確；對于C，兩個平面都與同一條直線平行，則這
兩個平面可能平行，也可能相交，故C不正確；對于D，由面面平
行的性質定理可知，D正確.
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7. 如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形
ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊
形ABCD的形狀一定是 .
解析：由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得.
平行四邊形
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解析：∵平面α∥平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為A'B'，AB，∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，易得△ABC∽△A'B'C'，S△A'B'C'∶S△ABC＝（ ）2＝（ ）2＝ .
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9. 已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，且m，
n α，m，n β，給出下列四個論斷：①α∥β；②m∥n；③
m∥α；④n∥β.以其中三個論斷為條件，剩余論斷為結論組成的
命題中，一個正確的推理應是
（答案不唯一）.
①②③→④（或①②④→③）
解析：若①α∥β，②m∥n，③m∥α，且n β，有④n∥β成立，
正確；若①α∥β，③m∥α，④n∥β，則m，n可能相交、平行或
異面，錯誤；若①α∥β，②m∥n，④n∥β，且m α，所以有③
m∥α成立，正確；若②m∥n，③m∥α，④n∥β，則平面α，β可
能相交、平行.
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10. 如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，
AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E. 求證：EC∥A1D.
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證明：易知BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以
BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
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11. 如圖，四棱臺ABCD-A'B'C'D'的底面為正方形，M為CC'的中
點，點N在線段AB上，AB＝4BN. 若MN∥平面ADD'A'，則此
棱臺上下底面邊長的比值為（　?。?br/>1
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解析：　設E為CD的中點，G為EC的中點，
連接MG，NG，C'E，則NG∥AD，則平面
MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分別交平
面MNG和平面ADD'A'于直線MG，DD'，則
MG∥DD'.因為E為CD的中點，G為EC的中
點，M為CC'的中點，所以DD'∥C'E∥MG. 所以DEC'D'為平行四邊形，棱臺上下底面邊長的比值為 .
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12. （多選）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知點G，H分別在
A1B1，A1C1上，且GH經過△A1B1C1的重心，點E，F分別是
AB，AC的中點，且平面A1EF∥平面BCHG，則下列結論正確的
是（　　）
A. EF∥GH
B. GH∥平面A1EF
D. 平面A1EF∥平面BCC1B1
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解析：　由E，F分別是AB，AC的中點可知EF∥BC，
＝ .在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由兩個
平面平行的性質可得GH∥BC，而GH經過△A1B1C1的重心，所
以 ＝ ，所以 ＝ ，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平
面A1EF，所以GH∥平面A1EF. 因為A1B1∥BE且BE＜A1B1，
所以直線A1E與BB1有交點，所以平面A1EF與平面BCC1B1相交.
故A、B、C正確，D錯誤.
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13. （2024·青島月考）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD上一
點，且DE＝2EC，F為棱AA1的中點，且平面BEF與DD1交于點
H，則 ＝ 　 　.
解析：如圖，連接FH，EH，因為ABCD-
A1B1C1D1是正方體，所以平面A1B1BA∥平面
D1C1CD，因為平面BEHF∩平面A1B1BA＝
BF，平面BEHF∩平面D1C1CD＝EH，所以
BF∥EH， ＝ ＝ DH＝ DE＝ ×
DC＝ DC＝ DD1，所以 ＝ .

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14. 如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
證明：由題設知BB1 DD1，所以
四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以
BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因為A1D1 B1C1 BC，
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所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
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（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明：B1D1∥l.
證明：由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，
所以直線l∥直線BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形
BDD1B1為平行四邊形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
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15. 如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，N
分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC，BC的中點，點M在四邊形
EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件
時，就有MN∥平面B1BDD1.（注：請填上你認為
正確的一個條件即可）
點M在線段FH上（答
案不唯一）
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解析：取B1C1的中點Q，連接QN，QF，連
接FH，NH，如圖，由已知得QN，FH與
CC1，BB1都平行且相等，因此FH與QN平行
且相等，從而FQNH是平行四邊形，
FQ∥HN，由H，N分別是CD，CB的中
點，則HN∥BD，又HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，所以HN∥平面B1BDD1，同理NQ∥平面B1BDD1，又HN∩NQ＝N，HN，NQ 平面FQNH，所以平面FQNH∥平面BB1D1D，因此只要M∈FH，就有MN∥平面B1BDD1.
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16. 如圖，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩
形ABEF可沿AB任意翻折.
（1）求證：當F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面
FAD；
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解：證明：在平面圖形中，
設MN與AB交于點G.
由于四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有
AD∥BE且AD＝BE，
∴四邊形ADBE是平行四邊形，
∴AE∥DB.
又∵AM＝DN，
∴四邊形ADNM為平行四邊形，
∴MN∥AD.
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折疊之后，
MG∥AF，
NG∥AD，
MG∩NG＝G，
AD∩AF＝A，示
意圖如圖①，∴平面FAD∥平面GNM.
又∵MN 平面GNM，∴MN∥平面FAD.
∴當F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FAD.
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（2）“不管怎樣翻折矩形ABEF，線段MN總與線段FD平行”這
個結論正確嗎？如果正確，請證明；如果不正確，請說明能
否改變個別已知條件使上述結論成立，并給出理由.
解：這個結論不正確.
要使結論成立，M，N應分別為AE和DB的中點.理由如下：
當F，A，D共線時，由平面圖形，易證得
FD∥MN.
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折疊后，當F，A，D不共線時，由（1）知平面MNG∥平面FDA，可知要使MN∥FD總成立，根據面面平行的性質定理，只要FD與MN共面即可.
若要使FD與MN共面，連接FM，只要FM與DN相交即可.
由平面圖形知，若要DN和FM共面，則DN與FM相交于點B（M，N分別為AE，DB的中點才能實現），折疊后的圖形如圖②.
∵FM∩DN＝B，∴可知它們確定一個平面，
即F，D，N，M四點共面.
又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
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