資源簡介

8.6.1　直線與直線垂直
1.若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c（　　）
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是異面直線 D.一定相交
2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列直線與B1D1垂直的是（　　）
A.BC1
B.A1D
C.AC
D.BC
3.已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，則順次連接四邊中點的四邊形一定是（　　）
A.空間四邊形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
4.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為A1B1的中點，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，則異面直線BD與AC所成的角為（　　）
A.30°　 　 B.45°
C.60°　 　 D.90°
5.（多選）如圖是一個正方體的平面展開圖，在原正方體中，給出下列四個結論，其中正確的是（　　）
A.AB與CD所在直線垂直
B.CD與EF所在直線平行
C.AB與MN所在直線成60°角
D.MN與EF所在直線異面
6.（多選）如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則下列結論正確的是（　　）
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝CD
D.異面直線PM與BD所成的角為45°
7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是A1D1和BC的中點，則在長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有　　　　條.
8.已知a，b是一對異面直線，而且a平行于△ABC的邊AB所在的直線，b平行于邊AC所在的直線，若∠BAC＝120°，則直線a與b所成的角為　　　　.
9.如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點，AA1∶AB＝∶1，則異面直線AB1與BD所成角的正弦值為　　　　.
10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分別是AD，DC的中點.
（1）求證：MN∥A1C1；
（2）求異面直線MN與BC1所成角的余弦值.
11.（2024·湛江月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P為邊AB的中點，現將△DAP繞直線DP翻轉至△DA'P處，如圖所示，若M為線段A'C的中點，則異面直線BM與PA'所成角的正切值為（　　）
A.　　　 B.2
C.　　　 D.4
12.（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，A1D1的中點，O為正方形A1B1C1D1的中心，則下列說法正確的是（　　）
A.直線EF，AO共面
B.直線EF，BB1是相交直線
C.直線EF與BC1所成的角為30°
D.直線EF與BB1所成角的余弦值為
13.（2024·珠海質檢）在四面體A-BCD中，E，F分別是AB，CD的中點.若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長度為　　　　.
14.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分別是BD1和AD的中點.求證：CD1⊥EF.
15.當動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DC上運動時，異面直線D1P與BC1所成角的取值范圍為　　　　.
16.如圖，已知點P在圓柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分別為☉O，☉O1的直徑，且AB∥A1B1.若圓柱OO1的體積V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.
（1）求三棱錐A1-APB的體積；
（2）在線段AP上是否存在一點M，使異面直線OM與A1B所成角的余弦值為？若存在，請指出點M的位置，并證明；若不存在，請說明理由.
8.6.1　直線與直線垂直
1.B　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
2.C　連接BD（圖略），∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故選C.
3.B　如圖，易知四邊形EFGH為平行四邊形.因為E，F分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC.同理FG∥BD，所以∠EFG或其補角為AC與BD所成的角.因為AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形.
4.C　如圖，取B1C1的中點E，連接BE，DE，則AC∥A1C1∥DE，則∠BDE（或其補角）即為異面直線BD與AC所成的角.由條件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故選C.
5.CD　畫出原正方體如圖所示，連接DN，DM，由圖可知A、B錯誤；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN為等邊三角形，所以C中，AB與MN所在直線成60°角是正確的；顯然D中，MN與EF所在直線異面是正確的.故選C、D.
6.ABD　因為截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因為AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正確；同理可證PN∥BD∥MQ，因為PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正確；又∠PMQ＝45°，所以異面直線PM與BD所成的角為45°，故D正確；AC和CD不一定相等，故C錯誤.故選A、B、D.
7.2　解析：長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有AD，B1C1，共2條.
8.60°　解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知異面直線a與b所成的角為∠BAC的補角.所以直線a與b所成的角為60°.
9.　解析：連接B1C，取B1C的中點E，連接DE，BE，∵D是AC的中點，∴DE是△ACB1的中位線，∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其補角）為異面直線AB1與BD所成的角.設AB＝m（m＞0），則BD＝m，BB1＝m，由勾股定理得AB1＝B1C＝m，∴DE＝BE＝m，∴△BDE為等邊三角形，∴∠EDB＝，∴sin∠EDB＝.
10.解：（1）證明：連接AC，∵M，N分別為AD，DC的中點，∴MN∥AC且AC∥A1C1，∴MN∥ A1C1.
（2）連接A1B，由（1）知∠A1C1B或其補角為所求角，
∵A1B＝A1C1＝，BC1＝，
∴由余弦定理得cos∠A1C1B＝＝.
故異面直線MN與BC1所成角的余弦值為.
11.A　取A'D的中點N，連接PN，MN（圖略）.因為M是A'C的中點，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四邊形PBMN為平行四邊形，所以MB∥PN，所以∠A'PN為異面直線BM與PA'所成的角.在Rt△NA'P中，tan∠A'PN＝＝，故選A.
12.AC　連接OF（圖略），∵O為正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1的中點，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，從而EF，AO共面，A中說法正確；連接B1E，∵F 平面BEB1，BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是異面直線，B中說法錯誤；連接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四邊形EFOB是平行四邊形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其補角）是異面直線EF與BC1所成的角.連接OC1，設正方體的棱長為1，在△BC1O中，BC1＝，OC1＝，BO＝EF＝＝，∴cos∠OBC1＝＝，∴∠OBC1＝30°，C中說法正確；同理得∠OBB1（或其補角）是EF與BB1所成的角，連接OB1，在Rt△OBB1中，易得cos∠OBB1＝＝＝，D中說法錯誤.故選A、C.
13.或　解析：如圖，取BC中點O，連接OE，OF.∴OE∥AC，OF∥BD，∴∠EOF（或其補角）即為AC與BD所成的角.而AC，BD所成的角為60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝；當∠EOF＝120°時，取EF的中點M，連接OM，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.
14.證明：如圖，取CD1的中點G，連接EG，DG.
∵E是BD1的中點，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中點，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1（或其補角）是異面直線CD1與EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，
又G為CD1的中點，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴異面直線CD1與EF所成的角為90°，
∴CD1⊥EF.
15.［，］　解析：設正方體棱長為1，DP＝x，則x∈[0，1]，連接AD1，AP，
由正方體的性質可知AD1∥BC1，∴∠AD1P即為異面直線D1P與BC1所成角，在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos∠AD1P＝，又∵x∈[0，1]，∴cos∠AD1P＝∈［，］，又y＝cos x在（0，π）為減函數，∴∠AD1P∈［，］.
16.解：（1）由題意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，
∴S△PAB＝×2×2＝2，
∴＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2.
（2）當點M為AP的中點時，異面直線OM與A1B所成角的余弦值為.
證明如下：
∵O，M分別為AB，AP的中點，
∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是異面直線OM與A1B所成的角.
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，
∴A1B＝5.
又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝，
∴當點M為AP的中點時，異面直線OM與A1B所成角的余弦值為.
3 / 38.6.1　直線與直線垂直
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關系 邏輯推理
2.會求兩異面直線所成的角 直觀想象
　　如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB與B1C1異面，AB與B1D1也異面.
【問題】　（1）直觀上，你認為這兩種異面有什么區別？
（2）如果要利用角的大小來區分這兩種異面，你認為應該怎樣做？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　異面直線所成的角
1.已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線　　　所成的角α叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.
2.當兩條直線a，b相互平行時，規定它們所成的角為0°，所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是　　　　.
提醒　（1）兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點O的位置選取無關；（2）找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動（作平行線），把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角.
知識點二　直線與直線垂直
　如果兩條異面直線所成的角是　　　　，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a　　b.
提醒　兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形.
1.設a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b（　　）
A.平行 B.相交
C.異面 D.以上都有可能
2.設P是直線l外一定點，過點P且與l成30°角的異面直線（　　）
A.有無數條 B.有兩條
C.至多有兩條 D.有一條
3.若∠AOB＝120°，直線a∥OA，a與OB為異面直線，則a和OB所成的角的大小為　　　　.
題型一 求異面直線所成的角
【例1】　在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成角為30°，E，F分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.
通性通法
求兩異面直線所成角的一般步驟
（1）構造角：根據異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關角；
（2）計算角：求角度，常利用三角形；
（3）確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.
提醒　找異面直線所成的角，可以從如下“口訣”入手：
中點、端點定頂點，平移常用中位線；
平行四邊形中見，指出成角很關鍵；
求角構造三角形，銳角、鈍角要明辨；
平行直線若在外，補上原體在外邊.
【跟蹤訓練】
1.（2024·龍巖月考）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，點D，E分別為AB，PC的中點，則異面直線PD，BE所成角的余弦值為（　　）
A. B.
C. D.
2.如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側面ADHE的中心，求：
（1）BE與CG所成的角；
（2）FO與BD所成的角.
題型二 證明直線與直線垂直
【例2】　在正方體AC1中，E，F分別是A1B1，B1C1的中點，求證：DB1⊥EF.
通性通法
證明空間中兩條直線垂直的方法
（1）定義法：利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直；
（2）平面幾何圖形性質法：利用勾股定理、菱形的對角線相互垂直、等腰三角形（等邊三角形）底邊的中線和底邊垂直等.
【跟蹤訓練】
　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求證：AC⊥BC1.
1.已知直線a，b，c，則（　　）
A.若a⊥b，c⊥b，則a∥c
B.若a⊥b，c⊥b，則a⊥c
C.若a∥b，則a與c，b與c所成的角相等
D.若a與c所成的角等于c與b所成的角，則a∥b
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（　　）
A.2條 B.4條
C.6條 D.8條
3.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角大小為　　　　.
4.（2024·開封月考）如圖，AB是圓O的直徑，C是弧的中點，D，E分別是VB，VC的中點，則異面直線DE與AB所成的角為　　　　.
8.6.1　直線與直線垂直
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.a'與b'　2.0°≤α≤90°
知識點二
　直角　⊥
自我診斷
1.D　如圖，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，則a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，則a和b異面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，則a和b平行，所以空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面.故選D.
2.A　過點P且與l成30°角的異面直線有無數條，并且異面直線在以P為頂點的圓錐的側面上.故選A.
3.60°　解析：因為a∥OA，根據等角定理，又因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以a與OB所成的角為60°.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：如圖所示，取AC的中點G，連接EG，FG，
則EG∥AB且EG＝AB，GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補角為AB與CD所成的角.
∵AB與CD所成角為30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°，
當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°，
故EF與AB所成角的大小為15°或75°.
跟蹤訓練
1.B　如圖，連接CD，取CD的中點F，連接EF，BF，則EF∥PD，∠BEF為異面直線PD，BE所成的角.由題意可知PD＝CD＝BE＝2，EF＝，BF＝＝，所以cos∠BEF＝＝.故選B.
2.解：（1）∵CG∥FB，
∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE與CG所成的角為45°.
（2）如圖，連接FH，
易知FB＝HD，FB∥HD，
∴四邊形FBDH是平行四邊形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其補角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，
則△AFH是等邊三角形，
又O是AH的中點，∴∠HFO＝30°，
∴FO與BD所成的角為30°.
【例2】　證明：如圖，連接A1C1，B1D1，并設它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，A1G，C1G.
則OG∥B1D，
EF∥A1C1.
∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.
∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，
∴GO⊥A1C1.
∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，即DB1⊥EF.
跟蹤訓練
　證明：如圖，連接A1B，設A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，則AB2＝a2＋b2.
因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以B＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1＋B，
則A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因為AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直線AC與BC1所成的角，
所以AC⊥BC1.
隨堂檢測
1.C　由異面直線所成角的定義可知C正確.
2.D　在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條.故選D.
3.60°　解析：連接BC1，A1C1（圖略），∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故異面直線A1B與AD1所成的角為60°.
4.45°　解析：因為AB是圓O的直徑，所以BC⊥AC.因為點C是弧的中點，所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.在△VBC中，因為D，E分別為VB，VC的中點，所以DE∥BC，所以∠ABC即為異面直線DE與AB所成的角.所以異面直線DE與AB所成的角為45°.
3 / 3(共57張PPT)
8.6.1　直線與直線垂直
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間
中直線與直線垂直的關系 邏輯推理
2.會求兩異面直線所成的角 直觀想象
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB與B1C1異面，AB
與B1D1也異面.
【問題】　（1）直觀上，你認為這兩種異面有
什么區別？
（2）如果要利用角的大小來區分這兩種異面，
你認為應該怎樣做？
知識點一　異面直線所成的角
1. 已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a'∥a，
b'∥b，我們把直線 所成的角α叫做異面直線a與b所成的
角（或夾角）.
2. 當兩條直線a，b相互平行時，規定它們所成的角為0°，所以空間
兩條直線所成角α的取值范圍是 .
a'與b'　
提醒　（1）兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線
的相互位置決定的，與點O的位置選取無關；（2）找出兩條異面
直線所成的角，要作平行移動（作平行線），把兩條異面直線所成
的角轉化為兩條相交直線所成的角.
0°≤α≤90°　
知識點二　直線與直線垂直
　如果兩條異面直線所成的角是 ，那么我們就說這兩條異面
直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a b.
提醒　兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相
交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形.
直角　
⊥　
1. 設a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 異面 D. 以上都有可能
解析：　如圖，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1
＝b，則a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD
＝b，則a和b異面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC
＝b，則a和b平行，所以空間中垂直于同一條直
線的兩條直線可能平行、相交或異面.故選D.
2. 設P是直線l外一定點，過點P且與l成30°角的異面直線（　　）
A. 有無數條 B. 有兩條
C. 至多有兩條 D. 有一條
解析：　過點P且與l成30°角的異面直線有無數條，并且異面
直線在以P為頂點的圓錐的側面上.故選A.
3. 若∠AOB＝120°，直線a∥OA，a與OB為異面直線，則a和OB
所成的角的大小為 .
解析：因為a∥OA，根據等角定理，又因為異面直線所成的角為
銳角或直角，所以a與OB所成的角為60°.
60°
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 求異面直線所成的角
【例1】　在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成角為
30°，E，F分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.
解：如圖所示，取AC的中點G，連接EG，FG，
則EG∥AB且EG＝ AB，GF∥CD且GF＝ CD.
由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與
AB所成的角，∠EGF或其補角為AB與CD所成的角.
∵AB與CD所成角為30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°，
當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°，
故EF與AB所成角的大小為15°或75°.
通性通法
求兩異面直線所成角的一般步驟
（1）構造角：根據異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，
作出異面直線夾角的相關角；
（2）計算角：求角度，常利用三角形；
（3）確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線
所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線
所成的角.
提醒　找異面直線所成的角，可以從如下“口訣”入手：
中點、端點定頂點，平移常用中位線；
平行四邊形中見，指出成角很關鍵；
求角構造三角形，銳角、鈍角要明辨；
平行直線若在外，補上原體在外邊.
【跟蹤訓練】
1. （2024·龍巖月考）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝CA＝
CB＝5，AB＝PC＝2，點D，E分別為AB，PC的中點，則異面
直線PD，BE所成角的余弦值為（　　）
解析：　如圖，連接CD，取CD的中點F，連接EF，BF，則EF∥PD，∠BEF為異面直線PD，BE所成的角.由題意可知PD＝CD＝BE＝2 ，EF＝ ，BF＝ ＝ ，所以 cos
∠BEF＝ ＝ .故選B.
2. 如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側面ADHE的中心，求：
（1）BE與CG所成的角；
解：∵CG∥FB，
∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE與CG所成的角為45°.
（2）FO與BD所成的角.
解：如圖，連接FH，
易知FB＝HD，FB∥HD，
∴四邊形FBDH是平行四邊形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其補角是FO與BD所成的角，
連接HA，AF，
則△AFH是等邊三角形，
又O是AH的中點，∴∠HFO＝30°，
∴FO與BD所成的角為30°.
題型二 證明直線與直線垂直
【例2】　在正方體AC1中，E，F分別是A1B1，B1C1的中點，求
證：DB1⊥EF.
證明：如圖，連接A1C1，B1D1，并設它們相交于點
O，取DD1的中點G，連接OG，A1G，C1G.
則OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.
∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，
∴GO⊥A1C1.
∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，即DB1⊥EF.
通性通法
證明空間中兩條直線垂直的方法
（1）定義法：利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直；
（2）平面幾何圖形性質法：利用勾股定理、菱形的對角線相互垂
直、等腰三角形（等邊三角形）底邊的中線和底邊垂直等.
【跟蹤訓練】
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求證：AC⊥BC1.
證明：如圖，連接A1B，設A1C1＝a，B1C1＝b，AA1
＝h，則AB2＝a2＋b2.
因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以B ＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1 ＋B ，
則A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因為AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直線AC與BC1所成的角，
所以AC⊥BC1.
1. 已知直線a，b，c，則（　　）
A. 若a⊥b，c⊥b，則a∥c
B. 若a⊥b，c⊥b，則a⊥c
C. 若a∥b，則a與c，b與c所成的角相等
D. 若a與c所成的角等于c與b所成的角，則a∥b
解析：　由異面直線所成角的定義可知C正確.
2. 在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（　　）
A. 2條 B. 4條 C. 6條 D. 8條
解析：在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有
BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條.故選D.
3. 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所
成的角大小為 .
60°
解析：連接BC1，A1C1（圖略），∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B
與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B
＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故異面直線A1B與AD1所成的
角為60°.
4. （2024·開封月考）如圖，AB是圓O的直徑，C是弧 的中點，
D，E分別是VB，VC的中點，則異面直線DE與AB所成的角
為 .
45°
解析：因為AB是圓O的直徑，所以BC⊥AC. 因為點C是弧 的
中點，所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.在△VBC中，因為D，
E分別為VB，VC的中點，所以DE∥BC，所以∠ABC即為異面直
線DE與AB所成的角.所以異面直線DE與AB所成的角為45°.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c（　　）
A. 一定平行 B. 一定垂直
C. 一定是異面直線 D. 一定相交
解析：　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
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2. 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列直線與B1D1垂直的
是（　　）
A. BC1
B. A1D
C. AC
D. BC
解析：　連接BD（圖略），∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故選C.
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3. 已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，則順次連接四邊中點的四
邊形一定是（　　）
A. 空間四邊形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
解析：　如圖，易知四邊形EFGH為平行四邊形.
因為E，F分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC.
同理FG∥BD，所以∠EFG或其補角為AC與BD所
成的角.因為AC與BD所成的角為90°，所以
∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形.
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4. 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為A1B1的中點，AB＝BC＝
2，BB1＝1，AC＝2 ，則異面直線BD與AC所成的角為（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　如圖，取B1C1的中點E，連接BE，
DE，則AC∥A1C1∥DE，則∠BDE（或其補角）
即為異面直線BD與AC所成的角.由條件可知BD＝
DE＝EB＝ ，所以∠BDE＝60°，故選C.
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5. （多選）如圖是一個正方體的平面展開圖，在原正方體中，給出下
列四個結論，其中正確的是（　　）
A. AB與CD所在直線垂直
B. CD與EF所在直線平行
C. AB與MN所在直線成60°角
D. MN與EF所在直線異面
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解析：　畫出原正方體如圖所示，連接DN，DM，由圖可知A、B錯誤；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN為等邊三角形，所以C中，AB與MN所在直線成60°角是正確的；顯然D中，MN與EF所在直線異面是正確的.故選C、D.
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6. （多選）如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則下列
結論正確的是（　　）
A. AC⊥BD
B. AC∥截面PQMN
C. AC＝CD
D. 異面直線PM與BD所成的角為45°
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解析：　因為截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因為AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正確；同理可證PN∥BD∥MQ，因為PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正確；又∠PMQ＝45°，所以異面直線PM與BD所成的角為45°，故D正確；AC和CD不一定相等，故C錯誤.故選A、B、D.
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7. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是A1D1和BC的中點，
則在長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有 條.
解析：長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有AD，B1C1，共2條.
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8. 已知a，b是一對異面直線，而且a平行于△ABC的邊AB所在的直
線，b平行于邊AC所在的直線，若∠BAC＝120°，則直線a與b
所成的角為 .
解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知異面直線a與b所
成的角為∠BAC的補角.所以直線a與b所成的角為60°.
60°
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9. 如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點，AA1∶AB＝ ∶1，則異面直線AB1與BD所成角的正弦值為 .

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解析：連接B1C，取B1C的中點E，連接DE，BE，
∵D是AC的中點，∴DE是△ACB1的中位線，
∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其補角）為異面直線
AB1與BD所成的角.設AB＝m（m＞0），則BD＝
m，BB1＝ m，由勾股定理得AB1＝B1C＝
m，∴DE＝BE＝ m，∴△BDE為等邊三角形，
∴∠EDB＝ ，∴ sin ∠EDB＝ .
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10. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分別是AD，DC的中點.
（1）求證：MN∥A1C1；
解：證明：連接AC，∵M，N分
別為AD，DC的中點，∴MN∥AC且
AC∥A1C1，∴MN∥ A1C1.
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（2）求異面直線MN與BC1所成角的余弦值.
解：連接A1B，由（1）知
∠A1C1B或其補角為所求角，
∵A1B＝A1C1＝ ，BC1＝ ，
∴由余弦定理得 cos ∠A1C1B＝ ＝ .
故異面直線MN與BC1所成角的余弦值為 .
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11. （2024·湛江月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P為邊
AB的中點，現將△DAP繞直線DP翻轉至△DA'P處，如圖所示，
若M為線段A'C的中點，則異面直線BM與PA'所成角的正切值為
（　　）
B. 2
D. 4
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解析：　取A'D的中點N，連接PN，MN（圖略）.因為M是A'C的中點，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四邊形PBMN為平行四邊形，所以MB∥PN，所以∠A'PN為異面直線BM與PA'所成的角.在Rt△NA'P中，tan∠A'PN＝ ＝ ，故選A.
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12. （多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是
AB，A1D1的中點，O為正方形A1B1C1D1的中心，則下列說法正
確的是（　　）
A. 直線EF，AO共面
B. 直線EF，BB1是相交直線
C. 直線EF與BC1所成的角為30°
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解析：　連接OF（圖略），∵O為正方形A1B1C1D1的中心，
F是A1D1的中點，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，從而
EF，AO共面，A中說法正確；連接B1E，∵F 平面BEB1，
BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是異面直
線，B中說法錯誤；連接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四
邊形EFOB是平行四邊形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其補角）
是異面直線EF與BC1所成的角.
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連接OC1，設正方體的棱長為1，在△BC1O中，BC1＝ ，OC1＝ ，
BO＝EF＝ ＝ ，∴ cos ∠OBC1＝
＝ ，∴∠OBC1＝30°，C中說法正確；同理得
∠OBB1（或其補角）是EF與BB1所成的角，連接OB1，在Rt△OBB1
中，易得 cos ∠OBB1＝ ＝ ＝ ，D中說法錯誤.故選A、C.
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13. （2024·珠海質檢）在四面體A-BCD中，E，F分別是AB，CD
的中點.若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的
長度為 .
或
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解析：如圖，取BC中點O，連接OE，OF.
∴OE∥AC，OF∥BD，∴∠EOF（或其補
角）即為AC與BD所成的角.而AC，BD所成的
角為60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.
當∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝ ；當
∠EOF＝120°時，取EF的中點M，連接OM，
則OM⊥EF，EF＝2EM＝2× ＝ .
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14. 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分別是
BD1和AD的中點.求證：CD1⊥EF.
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證明：如圖，取CD1的中點G，連接EG，DG.
∵E是BD1的中點，
∴EG∥BC，EG＝ BC，
∵F是AD的中點，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝ BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1（或其補角）是異面直線CD1與EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
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∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，
又G為CD1的中點，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴異面直線CD1與EF所成的角為90°，
∴CD1⊥EF.
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解析：設正方體棱長為1，DP＝x，則x∈[0，1]，連接AD1，AP，由正方體的性質可知AD1∥BC1，∴∠AD1P即為異面直線
D1P與BC1所成角，
［ ， ］
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在△AD1P中，AD1＝ ，AP＝D1P＝ ，故 cos ∠AD1P＝ ，又∵x∈[0，1]，∴ cos ∠AD1P＝ ∈［ ， ］，又y＝ cos x在（0，π）為減函數，∴∠AD1P∈［ ， ］.
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16. 如圖，已知點P在圓柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，
BP⊥A1P，AB，A1B1分別為☉O，☉O1的直徑，且AB∥A1B1.
若圓柱OO1的體積V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.
（1）求三棱錐A1-APB的體積；
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解：由題意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2 ，
∴S△PAB＝ ×2×2 ＝2 ，
∴ ＝ S△PAB·AA1＝ ×2 ×3＝2 .
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（2）在線段AP上是否存在一點M，使異面直線OM與A1B所成
角的余弦值為 ？若存在，請指出點M的位置，并證明；若
不存在，請說明理由.
解：當點M為AP的中點時，異面
直線OM與A1B所成角的余弦值為 .
證明如下：
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∵O，M分別為AB，AP的中點，
∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是異面直線OM與A1B所成的角.
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.
又BP⊥A1P，∴ cos ∠A1BP＝ ＝ ，
∴當點M為AP的中點時，異面直線OM與A1B所成角的余弦值為 .
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