資源簡介

8.6.2　直線與平面垂直
第1課時　直線與平面垂直的判定
1.若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（　　）
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
2.如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是（　　）
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
3.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角的大小為（　　）
A.30°　 　 B.45°
C.60°　 D.90°
4.（2024·濟寧月考）已知過平面α外一點A的斜線l與平面α所成角為，斜線l交平面α于點B，若點A與平面α的距離為1，則斜線段AB在平面α上的射影所形成的圖形面積是（　　）
A.3π B.2π
C.π D.
5.（多選）如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角
6.（多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB的中點，則下列判斷正確的是（　　）
A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC
7.如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中：
（1）與PC垂直的直線有　　　　　　　　　；
（2）與AP垂直的直線有　　　　　　　　　.
8.（2024·寧德月考）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均相等，且側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面ABC所成角的大小為　　　　.
9.（2024·麗水質(zhì)檢）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是　　　.
10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝PC，判斷直線AC與平面PBD是否垂直，并說明理由.
11.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點在底面的射影為底面三角形的（　　）
A.內(nèi)心　　 B.重心
C.外心　　 D.垂心
12.（多選）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（　　）
A.BF∥CD
B.DG⊥BH
C.CH與BG成60°角
D.BE與平面ABCD所成角為45°
13.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，當?shù)酌鍭1B1C1滿足條件　　　　時，有AB1⊥BC1.（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）
14.如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點.
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）若PD與平面ABCD所成的角為45°，求證：MN⊥平面PCD.
15.已知三棱錐P-ABC的側(cè)棱兩兩垂直，PA＝PC＝2，PB＝，Q為棱BC上的動點，AQ與側(cè)面PBC所成角為θ，則tan θ的最大值為　　　　.
16.如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點D為線段AB上一點，且AD＝DB，點C為圓O上一點，且BC＝AC.點P在圓O所在平面上的射影為點D，PD＝DB.
（1）求證：CD⊥平面PAB；
（2）求直線PC與平面PAB所成的角.
第1課時　直線與平面垂直的判定
1.C　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB 平面OBC，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
2.C　連接AC（圖略）.因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因為AC∩MC＝C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.由題圖可得，AM與BD不相交，故選C.
3.A　由題意知∠PCA為PC與平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°，即PC與平面ABCD所成的角為30°.
4.A　如圖，過點A作平面α的垂線，垂足為C，連接BC，所以線段BC為線段AB在平面α上的射影，∠ABC為斜線l與平面α所成的角，則∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的圖形為半徑為的圓面，其面積為3π.故選A.
5.ABC　對于選項A，由題意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正確；對于選項B，因為AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正確；對于選項C，由對稱性知SA與平面SBD所成的角與SC與平面SBD所成的角相等，故C正確；由題意得，AB與SC所成的角為∠SCD，DC與SA所成的角為∠SAB，顯然，∠SCD≠∠SAB，故D不正確.
6.ABC　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判斷正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D為PB的中點，∴AD⊥PB，從而AD⊥平面PBC，故C判斷正確；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判斷正確；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB與CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判斷不正確.
7.（1）AB，AC，BC　（2）BC　
解析：（1）因為PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
（2）∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，AC，PC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因為AP 平面PAC，所以BC⊥AP.
8.30°　解析：取BC的中點E，連接DE，AE（圖略），則DE⊥平面ABC，故DE⊥AE，∠DAE即為AD與平面ABC所成的角，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的棱長為1，則DE＝，AE＝，所以tan∠DAE＝，所以∠DAE＝30°.
9.線段B1C解析：如圖，連接AC，AB1，B1C，∵正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1與AC交于點C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P為B1C上任何一點時，均有AP⊥BD1.
10.解：AC⊥平面PBD.理由如下：
設(shè)AC∩BD＝O，連接PO，
因為底面ABCD是菱形，
則AC⊥BD，且O為AC的中點，
因為PA＝PC，則PO⊥AC，
又因為PO∩BD＝O，PO，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
11.C　如圖，設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接OA，OB，OC.∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故頂點P在底面的射影為底面三角形的外心.
12.BCD　由正方體的平面展開圖還原正方體如圖所示，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，BF與CD異面垂直，所以A錯誤；DG⊥CH，而CH為BH在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B正確；連接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四邊形ABGH為平行四邊形，則AH∥BG，所以∠AHC或其補角為異面直線CH與BG所成的角，連接AC，可得△AHC為等邊三角形，得CH與BG成60°角，所以C正確；因為AE⊥平面ABCD，所以∠EBA為BE與平面ABCD所成角，為45°，所以D正確.故選B、C、D.
13.∠A1C1B1＝90°（答案不唯一）
解析：如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可.因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可（或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等）.
14.證明：（1）取PD的中點E，連接NE，AE，如圖.
又∵N是PC的中點，
∴NE∥DC且NE＝DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即為PD與平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，
∵E是PD的中點，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
15.解析：如圖所示，依題意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直線與平面所成的角.由于tan θ＝，其中PA＝2，當PQ最小時，正切值取得最大值.當PQ⊥BC時，PQ最小，BC＝＝，在Rt△PBC中，利用等面積得××2＝××PQ，解得PQ＝.此時tan θ＝＝.
16.解：（1）證明：連接CO，由AD＝DB知，
點D為AO的中點.
又因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB.
由 AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO為等邊三角形，
故CD⊥AO.
因為點P在圓O所在平面上的射影為點D，所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
又PD，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB.
（2）由（1）知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角.又△AOC是邊長為2的正三角形，
所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以tan∠CPD＝＝，又0 °≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°，
即直線PC與平面PAB所成的角為30°.
3 / 38.6.2　直線與平面垂直
第1課時　直線與平面垂直的判定
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.從相關(guān)定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關(guān)系 數(shù)學(xué)抽象
2.歸納出直線與平面垂直的判定定理 邏輯推理
3.了解直線與平面所成角 直觀想象
木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）檢查兩次，如圖.如果兩次檢查時，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直.
【問題】　（1）用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？
（2）上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　直線與平面垂直
1.定義：如果直線l與平面α內(nèi)的　　　　　　直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作　　　　.
2.相關(guān)概念
垂線 直線l叫做平面α的垂線
垂面 平面α叫做直線l的垂面
垂足 直線與平面唯一的公共點
垂線段 過一點作垂直于已知平面的直線，該點與垂足間的線段
點到平面的距離 垂線段的長度
3.性質(zhì)：過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.
【想一想】
　如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？
知識點二　直線與平面垂直的判定定理
文字 語言 如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條　　　直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號 語言 m α，n α，　　　＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
圖形 語言
提醒　（1）判定定理的條件中，“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語；（2）要判斷一條已知直線和一個平面是否垂直，只需要在該平面內(nèi)找出兩條相交直線與已知直線垂直即可.至于這兩條直線是否與已知直線有交點，這是無關(guān)緊要的.
知識點三　直線與平面所成的角
有關(guān)概念 對應(yīng)圖形
斜線 一條直線l與一個平面α　　，但不與這個平面　　，這條直線叫做這個平面的斜線
斜足 斜線和平面的　　　叫做斜足
射影 過斜線上斜足以外的一點P向平面α引　　　，過　　　　和　　　　的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影
直線與 平面所成 的角 定義：平面的一條　　和它在平面上的　　所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角. 規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是　　；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是　　
取值范圍 0°≤θ≤90°
提醒　（1）斜線上不同于斜足的點P的選取是任意的；（2）斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段.
1.直線l⊥平面α，直線m α，則l與m不可能（　　）
A.平行　　 B.相交
C.異面　 D.垂直
2.如圖，α∩β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是　　　　.
3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于　　　　；AB1與平面ADD1A1所成的角等于　　　　；AB1與平面DCC1D1所成的角等于　　　　.
題型一 線面垂直概念的理解
【例1】　下列命題中正確的是　　　　（填序號）.
①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；④過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條.
通性通法
1.直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理解.實際上，“任何一條”與“所有”表達相同的含義.當直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線.由此可知，如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直.
2.由定義可得線面垂直 線線垂直，即若a⊥α，b α，則a⊥b.
【跟蹤訓(xùn)練】
　（2024·南陽月考）設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（　　）
A.若l⊥m，m⊥α，則l∥α
B.若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C.若l∥α，m α，則l∥m
D.若l∥α，m∥α，則l∥m
題型二 直線與平面垂直的判定
【例2】　如圖所示，Rt△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點.求證：直線SD⊥平面ABC.
【母題探究】
（變條件、變設(shè)問）在本例中，若AB＝BC，其他條件不變，則BD與平面SAC的位置關(guān)系是什么？
通性通法
證明線面垂直的方法
（1）由線線垂直證明線面垂直：①定義法（不常用）；②判定定理（最常用），要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線（有時需要作輔助線），使它們與所給直線垂直.
（2）平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，AB為☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足.
（1）求證：AN⊥平面PBM；
（2）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
題型三 直線與平面所成的角
【例3】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.
通性通法
求直線與平面所成的角的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面ABC，且AB＝1，AA'＝2，求直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值.
1.已知直線m，b，c和平面α，下列條件中，能使m⊥α的是（　　）
A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B.m⊥b，b∥α
C.m∩b＝A，b⊥α
D.m∥b，b⊥α
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是（　　）
A.平面DD1C1C B.平面A1DCB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
3.（2024·溫州月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個數(shù)為　　　　.
4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，求AC1與平面ABCD所成角的正弦值.
第1課時　直線與平面垂直的判定
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點一
1.任意一條　l⊥α
想一想
　提示：不一定.
如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一點E，過點E作EF∥AD交CD于點F，則這樣的直線能作出無數(shù)條，顯然AB垂直于平面ABCD內(nèi)的無數(shù)條直線，但AB 平面ABCD，故直線AB與平面ABCD不垂直.不僅如此，因為A1B1∥AB，所以直線A1B1也垂直于平面ABCD內(nèi)的無數(shù)條直線，但是直線A1B1∥平面ABCD.
知識點二
　相交　m∩n
知識點三
　相交　垂直　交點A　垂線PO　垂足O　斜足A　斜線　射影　90°　0°
自我診斷
1.A　因為l⊥α，所以l垂直于平面α內(nèi)的每一條直線，又m α，所以l⊥m，所以直線l與m不可能平行.
2.垂直　解析：因為BA⊥α，α∩β＝l，l α，所以BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，則l⊥平面ABC.因為AC 平面ABC，l⊥AC.
3.45°　45°　0°　解析：∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.
【典型例題·精研析】
【例1】　③④　解析：當l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以①不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以②不正確，③正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以④正確.
跟蹤訓(xùn)練
　B　對于A，l∥α或l α，故A錯誤；對于B，因l⊥α，則l垂直α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對于C，也有可能是l，m異面，故C錯誤；對于D，l，m還可能相交或異面，故D錯誤.
【例2】　證明：∵SA＝SC，
點D為斜邊AC的中點，
∴SD⊥AC.
如圖，連接BD，在Rt△ABC中，
AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
母題探究
　解：∵AB＝BC，點D為斜邊AC的中點，
∴BD⊥AC.
又由例題知SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，
故BD⊥平面SAC.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：（1）∵AB為☉O的直徑，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
（2）由（1）知AN⊥平面PBM，
又PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
【例3】　解：連接BC1，設(shè)BC1與B1C相交于點O，連接A1O.
設(shè)正方體的棱長為a.
因為A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1.
又因為BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O為斜線A1B在平面A1DCB1上的射影，
∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
所以BO＝A1B.
所以∠BA1O＝30°，
所以直線A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.
跟蹤訓(xùn)練
　解：如圖所示，取A'B'的中點D，連接C'D，BD.
因為底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'.
因為AA'⊥底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D.
又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B' 平面ABB'A'，
所以C'D⊥平面ABB'A'，
所以∠C'BD是直線BC'與平面ABB'A'所成的角.
因為等邊三角形A'B'C'的邊長為1，所以C'D＝.在Rt△BB'C'中，BC'＝＝，
所以直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值為 ＝.
隨堂檢測
1.D　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，則m與α可能平行或m α，故A錯誤；m⊥b，b∥α，則m與α可能平行或相交或m α，故B錯誤；m∩b＝A，b⊥α，則m與α可能平行或相交或m α，故C錯誤；由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確.故選D.
2.B　因為AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故選B.
3.4　解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4個直角三角形.
4.解：如圖，連接AC，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，
∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，在Rt△C1CA中，sin∠C1AC＝＝＝.
4 / 5(共69張PPT)
第1課時　直線與平面垂直的判定
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.從相關(guān)定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關(guān)系 數(shù)學(xué)抽象
2.歸納出直線與平面垂直的判定定理 邏輯推理
3.了解直線與平面所成角 直觀想象
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）檢查兩次，如圖.如果兩次檢查時，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直.
【問題】　（1）用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？
（2）上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么？
知識點一　直線與平面垂直
1. 定義：如果直線l與平面α內(nèi)的 直線都垂直，我們就說
直線l與平面α互相垂直，記作 .
任意一條　
l⊥α　
2. 相關(guān)概念
垂線 直線l叫做平面α的垂線
垂面 平面α叫做直線l的垂面
垂足 直線與平面唯一的公共點
垂線段 過一點作垂直于已知平面的直線，該點與垂足間的
線段
點到平面的距離 垂線段的長度
3. 性質(zhì)：過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.
【想一想】
如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否
與這個平面垂直？
提示：不一定.
如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任
取一點E，過點E作EF∥AD交CD于點F，則這
樣的直線能作出無數(shù)條，顯然AB垂直于平面
ABCD內(nèi)的無數(shù)條直線，但AB 平面ABCD，故直線AB與平面ABCD不垂直.不僅如此，因為A1B1∥AB，所以直線A1B1也垂直于平面ABCD內(nèi)的無數(shù)條直線，但是直線A1B1∥平面ABCD.
知識點二　直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條 直線垂直，那
么該直線與此平面垂直
符號語言 m α，n α， ＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
圖形語言
相交　
m∩n　
提醒　（1）判定定理的條件中，“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵
性詞語；（2）要判斷一條已知直線和一個平面是否垂直，只需要在
該平面內(nèi)找出兩條相交直線與已知直線垂直即可.至于這兩條直線是
否與已知直線有交點，這是無關(guān)緊要的.
知識點三　直線與平面所成的角
有關(guān)概念 對應(yīng)圖形
斜線 一條直線l與一個平面α ，但不與這個平
面 ，這條直線叫做這個平面的斜線
斜足 斜線和平面的 叫做斜足 射影 過斜線上斜足以外的一點P向平面α引
，過 和 的直線AO叫做
斜線在這個平面上的射影 相交　
垂直　
交點A　
垂線
PO　
垂足O　
斜足A　
有關(guān)概念 對應(yīng)圖形
直線
與平
面所
成的
角 定義：平面的一條 和它在平面上的 所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角. 規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是 ；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是
取值
范圍 0°≤θ≤90° 斜線　
射影
90°　
0°　
提醒　（1）斜線上不同于斜足的點P的選取是任意的；（2）斜線在
平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段.
1. 直線l⊥平面α，直線m α，則l與m不可能（　　）
A. 平行 B. 相交 C. 異面 D. 垂直
解析：　因為l⊥α，所以l垂直于平面α內(nèi)的每一條直線，又
m α，所以l⊥m，所以直線l與m不可能平行.
2. 如圖，α∩β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那
么直線l與直線AC的關(guān)系是 .
解析：因為BA⊥α，α∩β＝l，l α，所以BA⊥l.同理BC⊥l，
又BA∩BC＝B，則l⊥平面ABC. 因為AC 平面ABC，l⊥AC.
垂直
3. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成
的角等于 ；AB1與平面ADD1A1所成的角等于 ；
AB1與平面DCC1D1所成的角等于 .
45°
45°
0°
解析：∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 線面垂直概念的理解
【例1】　下列命題中正確的是 （填序號）.
③④
①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于
平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)
也可以有無數(shù)條直線與l垂直；④過一點和已知平面垂直的直線有且
只有一條.
解析：當l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以①
不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以
②不正確，③正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以
④正確.
通性通法
1. 直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理
解.實際上，“任何一條”與“所有”表達相同的含義.當直線與平
面垂直時，該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線.由此可知，如
果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定
不與這個平面垂直.
2. 由定義可得線面垂直 線線垂直，即若a⊥α，b α，則a⊥b.
【跟蹤訓(xùn)練】
（2024·南陽月考）設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下
列命題正確的是（　　）
A. 若l⊥m，m⊥α，則l∥α
B. 若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C. 若l∥α，m α，則l∥m
D. 若l∥α，m∥α，則l∥m
解析：　對于A，l∥α或l α，故A錯誤；對于B，因l⊥α，則l垂
直α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平
面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對于
C，也有可能是l，m異面，故C錯誤；對于D，l，m還可能相交或異
面，故D錯誤.
題型二 直線與平面垂直的判定
【例2】　如圖所示，Rt△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝
SC，點D為斜邊AC的中點.求證：直線SD⊥平面ABC.
證明：∵SA＝SC，點D為斜邊AC的中點，
∴SD⊥AC.
如圖，連接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
【母題探究】
（變條件、變設(shè)問）在本例中，若AB＝BC，其他條件不變，則BD
與平面SAC的位置關(guān)系是什么？
解：∵AB＝BC，點D為斜邊AC的中點，
∴BD⊥AC.
又由例題知SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，
故BD⊥平面SAC.
通性通法
證明線面垂直的方法
（1）由線線垂直證明線面垂直：①定義法（不常用）；②判定定理
（最常用），要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線（有時需要作
輔助線），使它們與所給直線垂直.
（2）平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，
a⊥α a⊥β.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，AB為☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，M為圓周上任
意一點，AN⊥PM，N為垂足.
（1）求證：AN⊥平面PBM；
證明：∵AB為☉O的直徑，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
（2）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
證明：由（1）知AN⊥平面PBM，
又PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
題型三 直線與平面所成的角
【例3】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面
A1DCB1所成的角.
解：連接BC1，設(shè)BC1與B1C相交于點O，連接
A1O.
設(shè)正方體的棱長為a.
因為A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝
B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1.
又因為BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O為斜線A1B在平面A1DCB1上的射影，
∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝ a，BO＝ a，
所以BO＝ A1B.
所以∠BA1O＝30°，
所以直線A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.
通性通法
求直線與平面所成的角的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面
ABC，且AB＝1，AA'＝2，求直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值.
解：如圖所示，取A'B'的中點D，連接C'D，BD.
因為底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'.
因為AA'⊥底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D.
又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B' 平面ABB'A'，所以C'D⊥平
面ABB'A'，
所以∠C'BD是直線BC'與平面ABB'A'所成的角.
因為等邊三角形A'B'C'的邊長為1，所以C'D＝ .在
Rt△BB'C'中，BC'＝ ＝ ，
所以直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值為 ＝ .
1. 已知直線m，b，c和平面α，下列條件中，能使m⊥α的是（　　）
A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B. m⊥b，b∥α
C. m∩b＝A，b⊥α
D. m∥b，b⊥α
解析：　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，則m與α可能平行或
m α，故A錯誤；m⊥b，b∥α，則m與α可能平行或相交或
m α，故B錯誤；m∩b＝A，b⊥α，則m與α可能平行或相交或
m α，故C錯誤；由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確.故
選D.
2. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是（　　）
A. 平面DD1C1C B. 平面A1DCB1
C. 平面A1B1C1D1 D. 平面A1DB
解析：　因為AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，
A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故選B.
3. （2024·溫州月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩
形，PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個數(shù)為 .
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平
面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4個直角三角形.
4
4. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，求AC1與平
面ABCD所成角的正弦值.
解：如圖，連接AC，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面
ABCD，∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，在Rt△C1CA
中， sin ∠C1AC＝ ＝ ＝ .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（　　）
A. 平面OAB B. 平面OAC
C. 平面OBC D. 平面ABC
解析：　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB 平面
OBC，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
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2. 如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置
關(guān)系是（　　）
A. 平行 B. 垂直相交
C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直
解析：　連接AC（圖略）.因為四邊形ABCD是菱形，所以
BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC. 因為AC∩MC＝
C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC. 又MA 平面
AMC，所以MA⊥BD. 由題圖可得，AM與BD不相交，故選C.
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3. 矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則
PC與平面ABCD所成的角的大小為（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
解析：　由題意知∠PCA為PC與平面ABCD所成的角.在
Rt△PAC中，tan∠PCA＝ ＝ ＝ ，∴∠PCA＝30°，即PC
與平面ABCD所成的角為30°.
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4. （2024·濟寧月考）已知過平面α外一點A的斜線l與平面α所成角為
，斜線l交平面α于點B，若點A與平面α的距離為1，則斜線段AB
在平面α上的射影所形成的圖形面積是（　　）
A. 3π B. 2π
C. π
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解析：　如圖，過點A作平面α的垂線，垂足為C，連接BC，所以線段BC為線段AB在平面α上的射影，∠ABC為斜線l與平面α所成的角，則∠ABC＝ ，又AC＝1，所以BC＝ ，故射影形成的圖形為半徑為 的圓面，其面積為3π.故選A.
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5. （多選）如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面
ABCD，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
D. AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角
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解析：　對于選項A，由題意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正確；對于選項B，因為AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正確；對于選項C，由對稱性知SA與平面SBD所成的角與SC與平面SBD所成的角相等，故C正確；由題意得，AB與SC所成的角為∠SCD，DC與SA所成的角為∠SAB，顯然，∠SCD≠∠SAB，故D不正確.
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6. （多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
PA＝AB，D為PB的中點，則下列判斷正確的是（　　）
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
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解析：　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判斷正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D為PB的中點，∴AD⊥PB，從而AD⊥平面PBC，故C判斷正確；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判斷正確；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB與CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判斷不正確.
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7. 如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊
所在的直線中：
（1）與PC垂直的直線有 ；
解析：因為PC⊥平面ABC，AB，
AC，BC 平面ABC. 所以PC⊥AB，
PC⊥AC，PC⊥BC.
AB，AC，BC
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（2）與AP垂直的直線有 .
解析：∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又
BC⊥PC，AC∩PC＝C，AC，PC 平面
PAC，所以BC⊥平面PAC. 因為AP 平面
PAC，所以BC⊥AP.
BC
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8. （2024·寧德月考）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均相等，且側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面ABC所成角的大小為 .
30°
解析：取BC的中點E，連接DE，AE（圖略），則DE⊥平面
ABC，故DE⊥AE，∠DAE即為AD與平面ABC所成的角，設(shè)三棱
柱ABC-A1B1C1的棱長為1，則DE＝ ，AE＝ ，所以tan∠DAE
＝ ，所以∠DAE＝30°.
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9. （2024·麗水質(zhì)檢）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側(cè)
面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的
軌跡是 .
線段B1C
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解析：如圖，連接AC，AB1，B1C，∵正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1與AC交于點C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P為B1C上任何一點時，均有AP⊥BD1.
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10. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝PC，判斷直線AC與平面PBD是否垂直，并說明理由.
解：AC⊥平面PBD. 理由如下：
設(shè)AC∩BD＝O，連接PO，
因為底面ABCD是菱形，
則AC⊥BD，且O為AC的中點，
因為PA＝PC，則PO⊥AC，
又因為PO∩BD＝O，PO，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
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11. 三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點在底面的射影為底面三角形
的（　　）
A. 內(nèi)心 B. 重心
C. 外心 D. 垂心
解析：　如圖，設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為
O，連接OA，OB，OC. ∵三棱錐的三條側(cè)棱兩
兩相等，∴PA＝PB＝PC. ∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝
OC，故頂點P在底面的射影為底面三角形的外心.
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12. （多選）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（　）
A. BF∥CD
B. DG⊥BH
C. CH與BG成60°角
D. BE與平面ABCD所成角為45°
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解析：　由正方體的平面展開圖還原正方體
如圖所示，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，BF與CD
異面垂直，所以A錯誤；DG⊥CH，而CH為BH
在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B
正確；連接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得
四邊形ABGH為平行四邊形，則AH∥BG，所以∠AHC或其補角為異面直線CH與BG所成的角，連接AC，可得△AHC為等邊三角形，得CH與BG成60°角，所以C正確；因為AE⊥平面
ABCD，所以∠EBA為BE與平面ABCD所成角，為45°，所以D正確.故選B、C、D.
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13. 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，當?shù)酌鍭1B1C1
滿足條件 時，有
AB1⊥BC1.（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮
所有可能的情況）
∠A1C1B1＝90°（答案不唯一）
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解析：如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可.因為
A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可（或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等）.
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14. 如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點.
（1）求證：MN∥平面PAD；
證明：取PD的中點E，連接NE，
AE，如圖.
又∵N是PC的中點，
∴NE∥DC且NE＝ DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝ AB，
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∴AM∥CD且AM＝ CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
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（2）若PD與平面ABCD所成的角為45°，求證：MN⊥平面
PCD.
證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即為PD與平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，
∵E是PD的中點，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
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又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
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15. 已知三棱錐P-ABC的側(cè)棱兩兩垂直，PA＝PC＝2，PB＝ ，
Q為棱BC上的動點，AQ與側(cè)面PBC所成角為θ，則tan θ的最大
值為 .

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解析：如圖所示，依題意可知PA⊥PB，
PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是
所求直線與平面所成的角.由于tan θ＝ ，其
中PA＝2，當PQ最小時，正切值取得最大
值.當PQ⊥BC時，PQ最小，BC＝
＝ ，在Rt△PBC中，利用等面積得 × ×2＝ × ×PQ，解得PQ＝ .此時tan θ＝ ＝ .
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16. 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點D為線段AB上
一點，且AD＝ DB，點C為圓O上一點，且BC＝ AC. 點P
在圓O所在平面上的射影為點D，PD＝DB.
（1）求證：CD⊥平面PAB；
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解：證明：連接CO，由AD＝ DB知，
點D為AO的中點.
又因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB.
由 AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO為等邊三角形，故CD⊥AO.
因為點P在圓O所在平面上的射影為點D，
所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
又PD，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB.
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（2）求直線PC與平面PAB所成的角.
解：由（1）知∠CPD是直線PC與平
面PAB所成的角.又△AOC是邊長為2的正三角形，
所以CD＝ .
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝ ，
所以tan∠CPD＝ ＝ ，又0°≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°，
即直線PC與平面PAB所成的角為30°.
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