資源簡介

(共59張PPT)
第2課時　直線與平面垂直的性質
新課程標準解讀 核心素養
1.從相關定義和基本事實出發，借助長方體，通過直
觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關系 數學抽象
2.歸納出直線與平面垂直的性質定理 邏輯推理
3.了解直線與平面、平面與平面的距離 直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
【問題】　（1）如果直線a垂直于一個平面α，直線b與直線a平行，
那么直線b與平面α是否垂直？猜測結果并說明理由；
（2）如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線具有怎樣
的位置關系？猜測結果并說明理由.
知識點一　直線與平面垂直的性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線
符號語言
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行；②作平行線
平行　
a∥b　
【想一想】
在長方體ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'所在直線與平面ABCD位置
關系如何？這兩條直線又有什么樣的位置關系？
提示：棱AA'，BB'所在直線都與平面ABCD垂直；這兩條直線互相
平行.
知識點二　線面距與面面距
1. 直線與平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上
到這個平面的距離.
2. 平面與平面的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內
的 到另一個平面的距離都相等.
任
意一點　
任意一點　
【想一想】
　是不是任意的直線與平面、平面與平面間都有距離？
提示：不是.只有當直線與平面平行、平面與平面平行時才涉及距
離問題.
1. △ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，
m⊥AC，則直線l，m的位置關系是（　　）
A. 相交 B. 異面
C. 平行 D. 不確定
解析：　∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，
同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
2. 如圖，平行四邊形ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝
3，則CE＝（　　）
A. 2 B. 3
解析：　因為四邊形ADEF為平行四邊形，所以AF∥DE，且
AF＝DE. 因為AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以
DE⊥DC. 因為AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝
＝ ＝ .故選D.
C. D.
3. 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線B1C1到平面ABCD的距
離是 .
解析：由正方體的性質可知，B1C1∥平面ABCD，所以直線
B1C1到平面ABCD的距離即為B1到平面ABCD的距離，由正方體
的性質知B1到平面ABCD的距離為1，即直線B1C1到平面ABCD
的距離為1.
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典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 線面垂直有關性質的理解
【例1】　已知直線m，n和平面α，若n⊥α，則“m α”是
“n⊥m”的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：　若n⊥α，m α，則n⊥m，故充分性成立，若n⊥m，
n⊥α，則m α或m∥α，故必要性不成立，故“m α”是
“n⊥m”的充分不必要條件.故選A.
通性通法
1. 線面垂直的性質定理揭示了“垂直”與“平行”這兩種特殊位置關
系之間的轉化.
2. 常用的線面垂直的性質還有：①a⊥α，b∥a b⊥α；②a⊥α，
a⊥β α∥β.
【跟蹤訓練】
（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是
A1C的中點，MN⊥平面A1DC，則下列選項正確的是（　　）
A. AD1與平面A1DC相交
B. AD1⊥平面A1DC
C. AD1與MN異面
D. AD1∥MN
解析：　因為AD1∩A1D＝O，則點O∈平面A1DC且點A 平面A1DC，A正確；因為AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC，B正確；又因MN⊥平面A1DC，則AD1∥MN即D正確，C錯誤.故選A、B、D.
題型二 直線與平面垂直的性質的應用
【例2】　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別在A1D，AC
上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1.
證明：如圖所示，連接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D，　①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.
∵四邊形A1B1C1D1為正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，　②
由①②可知EF∥BD1.
通性通法
證明線線平行常用的方法
（1）利用線線平行定義：證共面且無公共點；
（2）利用三線平行基本事實：證兩線同時平行于第三條直線；
（3）利用線面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證線面平行；
（4）利用線面垂直的性質定理：把證線線平行轉化為證線面垂直；
（5）利用面面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證面面平行.
【跟蹤訓練】
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，
AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且
MN⊥AB，MN⊥PC. 證明：AE∥MN.
證明：因為AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又
AB∥CD，所以AE⊥CD.
因為AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
題型三 空間中的距離問題
【例3】　如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中求出下列
距離：
（1）點A到平面BB1D1D的距離；
解：連接AC（圖略），易證AC⊥平面BB1D1D，
所以點A到平面BB1D1D的距離為面對角線AC的 ，即 a.
（2）點C到平面BDC1的距離.
解：設點C到平面BDC1的距離為h，三棱錐C-BDC1的體積為V，
在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝ a，則△BDC1的面積為
×（ a）2＝ a2，
由等體積法可得V＝ × ×a×a×a＝ × a2×h，
解得h＝ a.所以點C到平面BDC1的距離為 a.
通性通法
求點到平面的距離的兩種方法
（1）構造法：根據定義構造垂直于平面的直線，確定垂足位置，將
所求線段化歸到三角形中求解；
（2）等積變換法：將所求距離看作某個幾何體（多為棱錐）的高，
利用體積相等建立方程求解.
無論是求直線與平面的距離還是求平面與平面的距離，最終都
轉化為點到平面的距離.
【跟蹤訓練】
（2024·濟南月考）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，
側棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，
AD∥BC，求AD到平面PBC的距離.
解：因為AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距離等于點A到平面PBC的距離，
因為側棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因為∠ABC＝
90°，即AB⊥BC，
因為PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
因為PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2 ，
設點A到平面PBC的距離為d，則由V三棱錐P-ABC＝V三棱錐A-PBC得
PA·S△ABC＝ d·S△PBC，
所以 ×2× ×2×2＝ d× ×2 ×2，得d＝ ，所以AD到平面
PBC的距離為 .
1. 在空間中，到一圓周上各點距離相等的點的集合表示的圖形是（　）
A. 一個點 B. 一條直線
C. 一個平面 D. 一個球面
解析：　過圓的圓心作此圓所在平面的垂線，則垂線上的點到圓
周的各點距離相等，所以到一圓周上各點距離相等的點的集合是一
條直線.故選B.
2. 已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下
面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是（　　）
A. α∥β，且m α B. m∥n，且n⊥β
C. m⊥n，且n β D. m⊥n，且n∥β
解析：　A中，由α∥β，且m α，知m∥β，不符合題意；B中，
由n⊥β，知n垂直于平面β內的任意直線，再由m∥n，知m也垂
直于β內的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C、D中，m β或
m∥β或m與β相交，不符合題意.故選B.
3. 在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則
平面ABCD到平面A1B1C1D1的距離為 .
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且點A1到平面ABCD的距離為
4，所以所求距離為4.
4
證明：因為PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平
面PAD.
因為AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因為AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以
AE⊥平面PCD.
因為l⊥平面PCD，所以l∥AE.
4. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD. 求證：l∥AE.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知平面α與兩條直線l，m，l⊥α，則“m∥l”是“m⊥α”的
（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：　根據線面垂直的性質定理可知，“m∥l”是“m⊥α”
的充要條件.
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2. 已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足
l⊥m，l⊥n，l α，l β，則（　　）
A. α∥β，且l∥α
B. α⊥β，且l⊥β
C. α與β相交，且交線垂直于l
D. α與β相交，且交線平行于l
解析：　由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平
面α與平面β必相交但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線
l滿足l⊥m，l⊥n，則交線平行于l，故選D.
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3. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為 ，平面AB1D1到平面
BC1D的距離為（　　）
A. B.
解析：　因為兩平面平行，所以原問題等價于求解點C1到平面
AB1D1的距離h，由等體積法可得 ＝ ，
即h× × ×22× sin 60°＝ × × × × ，解得h＝
，即平面AB1D1到平面BC1D的距離為 .
C. D.
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4. 已知Rt△EFG的直角頂點E在平面α內，斜邊FG∥α，且FG＝6
cm，EF，EG與平面α分別成30°和45°角，則FG到平面α的距離
是（　　）
A. cm B. cm
解析：　如圖所示，過F，G分別作FA⊥α，GB⊥α，A，B分別為垂足，連接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝ BG. 設FG到平面α的距離為d，則d＝FA＝GB. 在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm.
C. 2 cm D. 2 cm
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5. （多選）（2024·潮州月考）如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，
則下列結論中正確的是（　　）
A. PB⊥BC
B. PD⊥CD
C. PD⊥BD
D. PA⊥BD
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解析：　∵PA⊥矩形ABCD，BD 矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正確；若PD⊥BD，則BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，則過平面外一點有兩條直線與平面垂直，故PD⊥BD不正確，故C不正確；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正確；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BC，又在矩形ABCD中，AB⊥BC，又PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴PB⊥BC，故A正確.故選A、B、D.
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6. （多選）如圖，ABCD是矩形，沿對角線BD將△ABD折起到
△A'BD，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，則下列結論正
確的是（　　）
A. A'C⊥BD B. A'D⊥BC
C. A'C⊥BC D. A'D⊥A'B
解析：　∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC 平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，從而BC⊥A'D，BC⊥A'C. 顯然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D. 故B、C、D正確.
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7. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，
則EF與AA1的位置關系是 .
解析：如圖，因為AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面
BB1D1D，所以EF與BB1不相交，所以EF∥BB1，又AA1∥BB1，
所以EF∥AA1.
平行
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8. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.則直線
AB到平面A1B1C1D1的距離為 ；平面ADD1A1與平面BCC1B1
之間的距離為 .
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解析：如圖，在長方體中，因為AB∥平面A1B1C1D1，點A到平面A1B1C1D1的距離就是AB到平面A1B1C1D1的距離，因為AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距離為AA1＝2；AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距離為AB＝4.
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9. 一條與平面α相交的線段，其長度為10 cm，兩端點到平面α的距離
分別是2 cm，3 cm，則這條線段與平面α所成角的大小是 .
解析：如圖，作出AC⊥α，BD⊥α，則AC∥BD，
AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB
相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，則AO＝
6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
30°
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證明：因為PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因為△ABC為直角三角形，所以
BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
10. 斜邊為AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC. AE⊥PB，AF⊥PC，
E，F分別為垂足，如圖.
（1）求證：EF⊥PB；
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又因為AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC，所以AF⊥BP.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又EF 平面AEF，所以EF⊥PB.
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（2）若直線l⊥平面AEF，求證：PB∥l.
證明：由（1）知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
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11. 如圖，設平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足
分別為G，H. 為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是（　　）
A. EF⊥平面α
B. EF⊥平面β
C. PQ⊥GE
D. PQ⊥FH
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解析：　因為EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以E，F，H，G四
點共面.又PQ 平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β，則由
PQ 平面β，得EF⊥PQ. 又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面
EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.
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12. （多選）如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，BC邊上的高為
AD，沿AD把△ABC折起來，則（　　）
A. 在折起的過程中始終有AD⊥平面DB'C
B. 三棱錐A-DB'C的體積的最大值為
C. 當∠B'DC＝60°時，點A到B'C的距離為
D. 當∠B'DC＝90°時，點C到平面ADB'的距離為
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解析：　因為AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'＝D，DC，DB' 平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正確；當DB'⊥DC時，△DB'C的面積最大，此時三棱錐A-DB'C的體積也最大，最大值為 × × × × ＝ ，故B正確；當∠B'DC＝60°時，△DB'C是等邊三角形，設B'C的中點為E，連接AE，則AE⊥B'C，即AE為點A到B'C的距離，AE＝ ＝ ，故C正確；當∠B'DC＝90°時，CD⊥DB'，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB'，則CD就是點C到平面ADB'的距離，CD＝ ，故D不正確.
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13. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若邊AB上存在點M，使得PM⊥CM，則實數a的取值范圍是 .
（0，1]
解析：連接DM，如圖，因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CM. 又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC為直徑的圓與AB有交點，所以0＜a≤1.
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14. 如圖，已知AB為圓柱OO1底面圓O的直徑，C為 的中點，點
P為圓柱上底面圓O1上一點，PA⊥平面ABC，PA＝AB，過點A
作AE⊥PC，交PC于點E.
（1）求證：AE⊥PB；
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解：證明：因為AB為圓柱OO1底面圓O的直徑，C為 的中點，所以BC⊥AC，
因為PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又因為PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因為AE 平面PAC，所以BC⊥AE，
又因為AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，
因為PB 平面PBC，所以AE⊥PB.
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（2）若點C到平面PAB的距離為1，求圓柱OO1的表面積.
解：因為點C到平面PAB的距離為1且C為 的中點，所以PA＝AB＝2，所以圓柱OO1的表面積為S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.
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15. （2024·杭州月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，
∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB邊上的一動
點，則PM的最小值為（　　）
A. 2 B. 7
C. D.
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解析：　如圖所示，因為PC⊥平面ABC，CM
平面ABC，所以PC⊥CM，則△PCM是直角三角
形，故PM2＝PC2＋CM2，所以當CM⊥AB時，
CM最小，此時PM也最小.由條件知AC＝4，BC
＝4 ，故CM的最小值為2 ，又PC＝4，則
PM的最小值為 ＝2 .
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16. 如圖，在四面體P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC
＝ ，AC＝2.
（1）證明：BC⊥平面PAB；
解：證明：由題知AB＝1，BC＝ ，AC＝2.
則AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因為PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
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（2）在線段PC上是否存在點D，使得AC⊥BD？若存在，求出
PD的值，若不存在，請說明理由.
解：在線段PC上存在點D，當PD＝ 時，使得AC⊥BD.
理由如下：如圖，在平面ABC內，過點B
作BE⊥AC，垂足為E，在平面PAC內，
過點E作DE∥PA，交PC于點D，連接
BD，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
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又因為BD 平面DBE，
所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝ ＝ ，
所以AE＝ ，CE＝ ，
所以 ＝ ，所以CD＝ ，PD＝ .
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謝 謝 觀 看！第2課時　直線與平面平行的性質
1.若l∥平面α，m α，則l與m的關系一定存在的是（　　）
A.l∥m B.l與m異面
C.l與m可能相交 D.l∩m＝
2.若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a，b，c，…，那么這些交線的位置關系為（　　）
A.都平行
B.都相交且一定交于同一點
C.都相交但不一定交于同一點
D.都平行或交于同一點
3.（2024·商丘月考）已知直線a∥平面α，α內有n條直線相交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有（　　）
A.0條 B.1條
C.0條或1條 D.無數條
4.如圖，四棱錐S-ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為（　　）
A.2＋　　 　　　　 B.3＋
C.3＋2 D.2＋2
5.（多選）如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則（　　）
A.MN∥PD
B.MN∥平面PAB
C.MN∥AD
D.MN∥PA
6.（多選）在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，當BD∥平面EFGH時，下面結論正確的是（　　）
A.E，F，G，H一定是各邊的中點
B.G，H一定是CD，DA的中點
C.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D.四邊形EFGH是平行四邊形或梯形
7.平面α外的兩條直線a，b，且a∥α，則a∥b是b∥α的　　　　條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.
8.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱AA1，BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交于BC和AD于點G，H，則GH與AB的位置關系是　　　　（填平行、相交、異面其中之一）.
9.（2024·福州質檢）如圖所示，直線a∥平面α，點A 平面α，并且直線a和點A位于平面α兩側，點B，C，D∈a，AB，AC，AD分別交平面α于點E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG＝　　　　.
10.一正四面體木塊如圖所示，點P是棱VA的中點.
（1）過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，在木塊的表面應該怎樣畫線？
（2）在平面ABC中所畫的線與棱AC是什么位置關系？
11.如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，過BC的平面與平面PAD交于EF，E在線段PD上且異于P，D兩點，則四邊形EFBC是（　　）
A.空間四邊形 B.矩形
C.梯形 D.平行四邊形
12.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，AC交BD于點O，E為AD的中點，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，則λ的值為（　　）
A.1　　　 B.
C.2　　　 D.3
13.如圖，在底面邊長為8 cm，高為6 cm的正三棱柱ABC-A1B1C1中，若D為棱A1B1的中點，則過BC和D的截面面積等于　　　　 cm2.
14.如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分別為線段A1B，AC1的中點.
（1）求證：MN∥平面BB1C1C；
（2）若點D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求的值.
15.（多選）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，且AB∥CD，AC，BD的交點為O，CD＝3AB，在PC上取一點N，使得PA∥平面NBD，四棱錐P-ABCD的體積為V1，三棱錐N-BDC的體積為V2，則下面結論正確的為（　　）
A.＝ B.PA∥ON
C.VP-ADC＝VP-ABC D.＝
16.如圖所示，四邊形EFGH為三棱錐A-BCD的一個截面，四邊形EFGH為平行四邊形.
（1）求證：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.
第2課時　直線與平面垂直的性質
1.C　根據線面垂直的性質定理可知，“m∥l”是“m⊥α”的充要條件.
2.D　由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，則交線平行于l，故選D.
3.C　因為兩平面平行，所以原問題等價于求解點C1到平面AB1D1的距離h，由等體積法可得＝，即h×××22×sin 60°＝××××，解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距離為.
4.B　如圖所示，過F，G分別作FA⊥α，GB⊥α，A，B分別為垂足，連接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝BG.設FG到平面α的距離為d，則d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm.
5.ABD　∵PA⊥矩形ABCD，BD 矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正確；若PD⊥BD，則BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，則過平面外一點有兩條直線與平面垂直，故PD⊥BD不正確，故C不正確；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正確；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BC，又在矩形ABCD中，AB⊥BC，又PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴PB⊥BC，故A正確.故選A、B、D.
6.BCD　∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC 平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，從而BC⊥A'D，BC⊥A'C.顯然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D.故B、C、D正確.
7.平行　解析：如圖，因為AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，所以EF與BB1不相交，所以EF∥BB1，又AA1∥BB1，所以EF∥AA1.
8.2　4　解析：如圖，在長方體中，因為AB∥平面A1B1C1D1，點A到平面A1B1C1D1的距離就是AB到平面
A1B1C1D1的距離，因為AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距離為AA1＝2；AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距離為AB＝4.
9.30°　解析：如圖，作出AC⊥α，BD⊥α，則AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，則AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
10.證明：（1）因為PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因為△ABC為直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
又因為AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC，所以AF⊥BP.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又EF 平面AEF，所以EF⊥PB.
（2）由（1）知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
11.B　因為EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以E，F，H，G四點共面.又PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.
12.ABC　因為AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'＝D，DC，DB' 平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正確；當DB'⊥DC時，△DB'C的面積最大，此時三棱錐A-DB'C的體積也最大，最大值為××××＝，故B正確；當∠B'DC＝60°時，△DB'C是等邊三角形，設B'C的中點為E，連接AE，則AE⊥B'C，即AE為點A到B'C的距離，AE＝＝，故C正確；當∠B'DC＝90°時，CD⊥DB'，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB'，則CD就是點C到平面ADB'的距離，CD＝，故D不正確.
13.（0，1]　解析：連接DM，如圖，因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CM.又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC為直徑的圓與AB有交點，所以0＜a≤1.
14.解：（1）證明：因為AB為圓柱OO1底面圓O的直徑，C為的中點，所以BC⊥AC，
因為PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又因為PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因為AE 平面PAC，所以BC⊥AE，
又因為AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，
因為PB 平面PBC，
所以AE⊥PB.
（2）因為點C到平面PAB的距離為1且C為的中點，所以PA＝AB＝2，所以圓柱OO1的表面積為S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.
15.A　如圖所示，因為PC⊥平面ABC，CM 平面ABC，所以PC⊥CM，則△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以當CM⊥AB時，CM最小，此時PM也最小.由條件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值為2，又PC＝4，則PM的最小值為＝2.
16.解：（1）證明：由題知AB＝1，BC＝，AC＝2.
則AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因為PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
（2）在線段PC上存在點D，當PD＝時，使得AC⊥BD.
理由如下：如圖，在平面ABC內，過點B作BE⊥AC，垂足為E，在平面PAC內，過點E作DE∥PA，交PC于點D，連接BD，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
又因為BD 平面DBE，
所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝＝，
所以AE＝，CE＝，
所以＝，所以CD＝，
PD＝.
3 / 3第2課時　直線與平面平行的性質
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，歸納出直線和平面平行的性質定理，并加以證明 邏輯推理
2.會應用直線和平面平行的性質定理證明一些空間的簡單線面關系 直觀想象
　　當直線l∥平面α時，l與α沒有公共點.此時，若m α，這時可以判定，l與m的位置關系是平行或異面.
【問題】　那么在什么情況下l與m平行呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　直線與平面平行的性質定理
文字語言 一條直線與一個平面　　　　，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與　　　　平行
符號語言 a∥α，　　　　　　 a∥b
圖形語言
提醒　（1）線面平行的性質定理的條件有三個：①直線a與平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內，即a β.三個條件缺一不可；（2）定理的作用：①線面平行 線線平行；②畫一條直線與已知直線平行.
1.已知a，b是兩條相交直線，a∥α，則b與α的位置關系是（　　）
A.b∥α B.b與α相交
C.b α D.b∥α或b與α相交
2.如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F分別是SB，SC上的點，且EF∥平面ABC，則（　　）
A.EF與BC相交 B.EF∥BC
C.EF與BC異面 D.以上均有可能
3.如圖，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，則CD與EF的位置關系為　　　　.
題型一 直線與平面平行性質定理的應用
【例1】　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.
通性通法
1.利用線面平行性質定理解題的步驟
2.運用線面平行的性質定理時，應先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個平面的交線，然后確定線線平行.
【跟蹤訓練】
如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB，CD的平面截此四面體.求證：截面MNPQ是平行四邊形.
題型二 與線面平行性質定理有關的計算問題
【例2】　如圖，在四面體A-BCD中，已知△ABD是邊長為2的等邊三角形，△BCD是以點C為直角頂點的等腰直角三角形，E為線段AB的中點，G為線段BD的中點，F為線段BD上的點.若AG∥平面CEF，求線段CF的長.
通性通法
　　利用線面平行的性質定理計算有關問題的三個關鍵點
（1）根據已知線面平行關系推出線線平行關系；
（2）在三角形內利用三角形中位線性質、平行線分線段成比例定理推出有關線段的關系；
（3）利用所得關系計算求值.
【跟蹤訓練】
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，求線段EF的長度.
題型三 線面平行關系的綜合應用
【例3】　如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A'C'.
（1）要經過平面A'C'內的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線？
（2）所畫的線與平面AC是什么位置關系？
通性通法
關于線面平行關系的綜合應用
　　判定和性質之間的推理關系是由線線平行 線面平行 線線平行得來的，既體現了線線平行與線面平行之間的相互聯系，也體現了空間和平面之間的相互轉化.
【跟蹤訓練】
如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面ABC外一點，E，F分別是PA，PC的中點.記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明.
1.若A是直線m外一點，過點A且與m平行的平面（　　）
A.存在無數個 B.不存在
C.存在但只有一個 D.只存在兩個
2.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結論中正確的是（　　）
A.m∥α，m∥n n∥α
B.m∥α，n∥α m∥n
C.m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D.m∥α，n α m∥n
3.如圖，四棱錐P-ABCD中底面是正方形，四條側棱均相等，點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，BC∥平面GEFH.求證：GH∥EF.
第2課時　直線與平面垂直的性質
【基礎知識·重落實】
知識點一
　平行　a∥b
想一想
　提示：棱AA'，BB'所在直線都與平面ABCD垂直；這兩條直線互相平行.
知識點二
1.任意一點　2.任意一點
想一想
　提示：不是.只有當直線與平面平行、平面與平面平行時才涉及距離問題.
自我診斷
1.C　∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
2.D　因為四邊形ADEF為平行四邊形，所以AF∥DE，且AF＝DE.因為AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC.因為AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝＝＝.故選D.
3.1　解析：由正方體的性質可知，B1C1∥平面ABCD，所以直線B1C1到平面ABCD的距離即為B1到平面ABCD的距離，由正方體的性質知B1到平面ABCD的距離為1，即直線B1C1到平面ABCD的距離為1.
【典型例題·精研析】
【例1】　A　若n⊥α，m α，則n⊥m，故充分性成立，若n⊥m，n⊥α，則m α或m∥α，故必要性不成立，故“m α”是“n⊥m”的充分不必要條件.故選A.
跟蹤訓練
　ABD　因為AD1∩A1D＝O，則點O∈平面A1DC且點A 平面A1DC，A正確；因為AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC，B正確；又因MN⊥平面A1DC，則AD1∥MN即D正確，C錯誤.故選A、B、D.
【例2】　證明：如圖所示，連接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D， ①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.
∵四邊形A1B1C1D1為正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D， ②
由①②可知EF∥BD1.
跟蹤訓練
　證明：因為AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因為AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
【例3】　解：（1）連接AC（圖略），易證AC⊥平面BB1D1D，
所以點A到平面BB1D1D的距離為面對角線AC的，即a.
（2）設點C到平面BDC1的距離為h，三棱錐C-BDC1的體積為V，
在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝a，則△BDC1的面積為×（a）2＝a2，
由等體積法可得V＝××a×a×a＝×a2×h，
解得h＝a.所以點C到平面BDC1的距離為a.
跟蹤訓練
　解：因為AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距離等于點A到平面PBC的距離，
因為側棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因為∠ABC＝90°，即AB⊥BC，
因為PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
因為PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2，
設點A到平面PBC的距離為d，則由V三棱錐P-ABC＝V三棱錐A-PBC得PA·S△ABC＝d·S△PBC，
所以×2××2×2＝d××2×2，得d＝，所以AD到平面PBC的距離為.
隨堂檢測
1.B　過圓的圓心作此圓所在平面的垂線，則垂線上的點到圓周的各點距離相等，所以到一圓周上各點距離相等的點的集合是一條直線.故選B.
2.B　A中，由α∥β，且m α，知m∥β，不符合題意；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C、D中，m β或m∥β或m與β相交，不符合題意.故選B.
3.4　解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且點A1到平面ABCD的距離為4，所以所求距離為4.
4.證明：因為PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
因為AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因為AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因為l⊥平面PCD，所以l∥AE.
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