資源簡介

8.6.3　平面與平面垂直
第1課時　平面與平面垂直的判定
1.以下角：①異面直線所成的角；②直線和平面所成的角；③二面角的平面角.其中可能為鈍角的有（　　）
A.0個 B.1個
C.2個 D.3個
2.下列命題中正確的是（　　）
A.平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β
B.若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條平行直線，則α⊥β
C.若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條相交直線，則α⊥β
D.若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β
3.如圖，三棱臺ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，則二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.如圖，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則該幾何體的表面中相互垂直的面有（　　）
A.2對 B.3對
C.4對 D.5對
5.（多選）已知α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，則下列命題中正確的是（　　）
A.若α∥β，l∥β，則l∥α
B.若l⊥α，l⊥β，則α∥β
C.若l⊥α，l∥β，則α⊥β
D.若α⊥β，l∥β，則l⊥α
6.（多選）如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，點A到達A'的位置，此時A'C＝，構成三棱錐A'-BCD，則（　　）
A.平面A'BD⊥平面BDC
B.平面A'BD⊥平面A'BC
C.平面A'DC⊥平面BDC
D.平面A'DC⊥平面A'BC
7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，則平面EBD與平面AA1C1C的位置關系是　　　.（填“垂直”或“不垂直”）
8.如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則折疊后BC＝　　　　.
9.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 ，CC1＝，則二面角C1-BD-C的大小為　　　　.
10.如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小.
11.（2024·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為3，側棱AA1＝，D是CB延長線上一點，且BD＝BC，則二面角B1-AD-B的大小為（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
12.（多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點E，F，G分別是所在棱的中點，則下面結論中正確的是（　　）
A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直線EF與直線PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角
13.（2024·珠海月考）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足　　　　　時，平面MBD⊥平面PCD.
14.如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點.
求證：（1）DE＝DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA.
15.在60°二面角的一個面內有一個點，若它到二面角的棱的距離是10，則該點到另一個面的距離是　　　　.
16.（2024·寧德月考）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四邊形ABB1A1和四邊形ADD1A1均為正方形.
（1）求證：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
第1課時　平面與平面垂直的判定
1.B　異面直線所成的角α的范圍為0°＜α≤90°，直線和平面所成的角β的范圍為0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范圍為0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能為鈍角.
2.C　當平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A錯；由直線與平面垂直的判定定理知，B、D錯，C正確.
3.C　三棱臺ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，則BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC為二面角A-BB1-C的平面角，因為△ABC為等邊三角形，所以∠ABC＝60°.故選C.
4.D　由PA⊥平面ABCD，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；因為PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，則平面PAB⊥平面PAD；因為PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，則平面PBC⊥平面PAB；因為PA⊥DC，AD⊥DC，PA∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD，則平面PDC⊥平面PAD.所以題圖中相互垂直的面共有5對，選D.
5.BC　對于A，若α∥β，l∥β，則l∥α或l α，故A不正確；對于B，若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故B正確；對于C，如圖，若l⊥α，l∥β，過l的平面γ與β相交，設交線為m，∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，則l∥m，∵l⊥α，則m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正確；對于D，若α⊥β，l∥β，則l與α不一定垂直，故D不正確.故選B、C.
6.AD　在三棱錐A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝，易知DC＝，又A'C＝，故A'C2＝A'D2＋DC2，則CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC.
7.垂直　解析：如圖，在正方體中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C.又BD 平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
8.1　解析：由題意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC為二面角B-AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，連接BC（圖略），則BC＝ ＝ ＝1.
9.30°　解析：如圖，取BD中點O，連接OC，OC1，因為AB＝AD＝2 ，所以CO⊥BD，CO＝.因為CD＝BC，所以C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.所以∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角.因為tan∠C1OC＝＝＝，所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小為30°.
10.解：如圖，取AB的中點E，連接VE，CE.
因為VA＝VB＝AC＝BC＝2，
所以由等腰三角形的性質，可得VE⊥AB，CE⊥AB，
所以∠VEC就是二面角V-AB-C的平面角.
由AB＝2，
可知EB＝AB＝.
又VB＝2，所以在Rt△VEB中，
VE＝＝1，同理EC＝1，
所以VE＝EC＝VC＝1，
所以△VEC為正三角形，
所以∠VEC＝60°.
11.D　由題意知：AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝且∠ABD＝，過B作BE⊥AD于E，連接B1E，則BE＝，而BB1⊥平面ABD，AD 平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即AD⊥平面BEB1，故二面角B1-AD-B的平面角為∠BEB1，∴tan∠BEB1＝＝，而∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝.
12.ABC　對于A，因為點E，F分別是AB，AP的中點，所以EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面PBC.同理，EG∥平面PBC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中結論正確；對于B，因為PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG 平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中結論正確；對于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC為直線BC與直線PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角，因此C中結論正確；對于D，由于FE，GE與AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角，因此D中結論不正確.
13.BM⊥PC（或DM⊥PC）　解析：易證△PAB ≌ △PAD，∴PB＝PD，易證△PDC≌△PBC，當BM⊥PC時，則有DM⊥PC，又BM∩DM ＝M，∴PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
14.證明：（1）設BD＝a，則CE＝CA＝2a.如圖，
作DF∥BC交CE于點F，則CF＝DB＝a.
因為CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC.
因為EF＝a，BC＝2a，
所以DE＝＝a.
又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，DB⊥AB，所以DA＝＝a，所以DE＝DA.
（2）如圖所示，取CA的中點N，連接MN，BN，則MN∥CE∥DB，且MN＝CE＝DB，
所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以MD∥BN.
因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
由（1）知DE＝DA，M為EA的中點，所以DM⊥AE.
因為EC∩AE＝E，EC 平面AEC，AE 平面AEC，
所以DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA.
（3）由（2）知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.
15.5　解析：如圖所示，P為二面角α-l-β的一個面α內一點，PO是它到另一個面β的距離，PH是它到棱的距離為10，∵PO⊥β，∴PO⊥l，又PH⊥l， ∴l⊥平面POH，得出l⊥OH，∴∠PHO為二面角α-l-β的平面角，∠PHO＝60°，在Rt△PHO中，PO＝PH·sin 60°＝10×＝5.
16.解：（1）證明：因為四邊形ABB1A1和四邊形ADD1A1均為正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.
因為AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
（2）過點B作BH⊥CD于點H，連接B1H（圖略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，則BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，
所以CD⊥平面BB1H，
所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1為二面角B1-CD-A的平面角.
由等面積法可得 BH＝1×2，即BH＝，
所以B1H＝＝，
故cos∠BHB1＝＝.
3 / 38.6.3　平面與平面垂直
第1課時　平面與平面垂直的判定
新課程標準解讀 核心素養
1.從相關定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中平面與平面的垂直關系 數學抽象
2.了解二面角的相關概念，平面與平面垂直的定義 邏輯推理
3.歸納出平面與平面垂直的判定定理 數學運算
　　如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會給人以面面“夾角”變大的感覺.
【問題】　你認為應該怎樣刻畫不同的面面“夾角”呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　二面角
1.定義：從一條直線出發的兩個　　　　所組成的圖形叫做二面角.
2.相關概念
二面角的棱 二面角的面 記法
AB（l） α，β 二面角α-AB-β； 二面角α-l-β； 二面角P-l-Q； 二面角P-AB-Q
3.二面角的平面角
（1）定義：在二面角α-l-β的棱l上　　　　　　，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作　　　于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角；
（2）范圍：　　　　　　；
（3）直二面角：平面角是直角的二面角.
【想一想】
　二面角與平面幾何中的角有什么區別？
知識點二　平面與平面垂直
1.平面與平面垂直的定義
（1）定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是　　　，就說這兩個平面互相垂直；
（2）畫法：
（3）記作：　　　　.
2.平面與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一個平面過另一個平面的　　　，那么這兩個平面垂直
符號語言 a α，a⊥β α⊥β
圖形語言
提醒　判定定理的關鍵詞是“過另一個平面的垂線”，所以應用的關鍵是在平面內尋找另一個面的垂線.
【想一想】
　“過平面外一點，有且只有一個與已知平面垂直的平面”對嗎？
1.如圖所示的二面角可記為（　　）
A.α-β-l B.M-l-N C.l-M-N D.l-β-α
2.在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有的條件是（　　）
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1所有經過四個頂點的平面中，垂直于平面ABC1D1的平面有　　　　.
題型一 二面角的計算
【例1】　如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
（2）求二面角B-PA-C的大小.
通性通法
求二面角大小的步驟
　　簡稱為“一作二證三求”.
提醒　作平面角時，要清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關，通常可根據需要，選擇特殊點做平面角的頂點.
【跟蹤訓練】
　（2024·寧波質檢）在正四面體A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值為（　　）
A. B.
C. D.
題型二 平面與平面垂直的證明
【例2】　如圖所示，在四面體A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
證明面面垂直常用的方法
（1）定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為“線面垂直”；
（3）性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面.
【跟蹤訓練】
1.如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.
2.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3，M，N分別是棱A1C1，AC的中點，E在側棱AA1上，且A1E＝2EA，求證：平面MEB⊥平面BEN.
1.下列說法：①兩個相交平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成的角；③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置有關系.其中正確的個數是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角（　　）
A.相等 B.互補
C.相等或互補 D.關系無法確定
3.（2024·江門月考）如圖所示，AB是☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為　　　　.
4.如圖①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高.以AD為折痕將△ABC折起，使∠BDC為直角，如圖②所示，求證：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
第1課時　平面與平面垂直的判定
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.半平面　3.（1）任取一點O　垂直　（2）0°≤∠AOB≤180°
想一想
　提示：平面幾何中的角是從一點出發的兩條射線組成的圖形；二面角是從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.
知識點二
1.（1）直二面角　（3）α⊥β　2.垂線
想一想
　提示：不止一個，事實上有無數個，過平面外一點可以作平面的一條垂線，過該垂線可以作出無數個平面，由平面與平面垂直的判定定理可知這些平面都與已知平面垂直，所以過平面外一點，可以作無數個與已知平面垂直的平面.
自我診斷
1.B　根據二面角的記法規則可知B正確.故選B.
2.D
3.平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面ADD1A1　解析：連接B1C，A1D（圖略），在正方體ABCD-A1B1C1D1中有AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平面A1B1CD.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又四邊形ABCD為正方形，
∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小為90°.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.
又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小為45°.
跟蹤訓練
　B　由A-BCD為正四面體，取CD的中點E，連接AE，BE（如圖），則AE⊥CD，BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB為二面角A-CD-B的平面角，設正四面體的棱長為1，則AE＝BE＝，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，則cos∠AEB＝，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝，∴cos∠AEB＝.故選B.
【例2】　證明：法一（定義法）　因為∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等邊三角形，
則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，
則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.
取BC的中點D，連接AD，SD，如圖所示，則AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（判定定理法）　因為SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心.
因為△SBC為直角三角形，
所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，
所以AD⊥平面SBC.
又因為AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
跟蹤訓練
1.證明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
2.證明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN 平面ABC，則AA1⊥BN.
因為N是棱AC的中點，△ABC為正三角形，則BN⊥AC.
因為AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，ME 平面AA1C1C，BN⊥ME.
又AB＝4，AA1＝3，A1E＝2EA，所以EA＝，A1E＝2，
因為＝＝，∠NAE＝∠EA1M＝90°，
所以Rt△A1EM∽Rt△ANE，故∠A1EM＝∠ANE，∠A1EM＋∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，則有∠MEN＝90°，故EN⊥ME.
因為EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME 平面MEB，所以平面MEB⊥平面BEN.
隨堂檢測
1.A　根據二面角的定義知①兩個相交的半平面所組成的圖形叫做二面角，故錯誤；②二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作棱的垂線所成的角，故錯誤；③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置無關，故錯誤.所以①②③都不正確.故選A.
2.D　如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當平面HDG繞DG轉動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，因為二面角H-DG-F的大小不確定，所以兩個二面角的大小關系不確定.
3.45°　解析：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°.
4.證明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
4 / 4(共67張PPT)
第1課時　平面與平面垂直的判定
新課程標準解讀 核心素養
1.從相關定義和基本事實出發，借助長方體，通過直
觀感知，了解空間中平面與平面的垂直關系 數學抽象
2.了解二面角的相關概念，平面與平面垂直的定義 邏輯推理
3.歸納出平面與平面垂直的判定定理 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會給人以面面“夾角”
變大的感覺.
【問題】　你認為應該怎樣刻畫不同的面面“夾角”呢？
知識點一　二面角
1. 定義：從一條直線出發的兩個 所組成的圖形叫做二
面角.
半平面　
2. 相關概念
二面角的棱 二面角的面 記法
AB（l） α，β 二面角α-AB-β；
二面角α-l-β；
二面角P-l-Q；
二面角P-AB-Q
3. 二面角的平面角
（1）定義：在二面角α-l-β的棱l上 ，以點O為垂
足，在半平面α和β內分別作 于棱l的射線OA和
OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角；
（2）范圍： ；
任取一點O　
垂直　
0°≤∠AOB≤180°　
（3）直二面角：平面角是直角的二面角.
【想一想】
二面角與平面幾何中的角有什么區別？
提示：平面幾何中的角是從一點出發的兩條射線組成的圖
形；二面角是從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.
知識點二　平面與平面垂直
1. 平面與平面垂直的定義
（1）定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角
是 ，就說這兩個平面互相垂直；
（2）畫法：
（3）記作： .
直二面角　
α⊥β　
2. 平面與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一個平面過另一個平面的 ，那么這兩
個平面垂直
符號語言 a α，a⊥β α⊥β
圖形語言
提醒　判定定理的關鍵詞是“過另一個平面的垂線”，所以應用的
關鍵是在平面內尋找另一個面的垂線.
垂線　
【想一想】
“過平面外一點，有且只有一個與已知平面垂直的平面”對嗎？
提示：不止一個，事實上有無數個，過平面外一點可以作平面的一
條垂線，過該垂線可以作出無數個平面，由平面與平面垂直的判定
定理可知這些平面都與已知平面垂直，所以過平面外一點，可以作
無數個與已知平面垂直的平面.
1. 如圖所示的二面角可記為（　　）
A. α-β-l B. M-l-N
C. l-M-N D. l-β-α
解析：　根據二面角的記法規則可知B正確.故選B.
2. 在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平
面角，則必須具有的條件是（　　）
A. AO⊥BO，AO α，BO β
B. AO⊥l，BO⊥l
C. AB⊥l，AO α，BO β
D. AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
3. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1所有經過四個頂點的平面中，垂
直于平面ABC1D1的平面有
.
平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面
ADD1A1
解析：連接B1C，A1D（圖略），在正方體ABCD-A1B1C1D1中有
AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平
面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，
BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平
面A1B1CD.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 二面角的計算
【例1】　如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝
AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小為90°.
（2）求二面角B-PA-C的大小.
解：∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.
又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小為45°.
通性通法
求二面角大小的步驟
　　簡稱為“一作二證三求”.
提醒　作平面角時，要清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位
置無關，通常可根據需要，選擇特殊點做平面角的頂點.
【跟蹤訓練】
（2024·寧波質檢）在正四面體A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角
的余弦值為（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由A-BCD為正四面體，取CD的中點
E，連接AE，BE（如圖），則AE⊥CD，
BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，
∠AEB為二面角A-CD-B的平面角，設正四面體
的棱長為1，則AE＝BE＝ ，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，則 cos ∠AEB＝ ，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝ ，∴ cos ∠AEB＝ .故選B.
題型二 平面與平面垂直的證明
【例2】　如圖所示，在四面體A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，
∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC. 求證：平面ABC⊥平面
SBC.
證明：法一（定義法）　因為∠BSA＝∠CSA＝
60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等邊三角形，
則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，
則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.
取BC的中點D，連接AD，SD，如圖所示，則
AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，
所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，
在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（判定定理法）　因為SA＝SB＝SC，且∠BSA
＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心.
因為△SBC為直角三角形，
所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，
所以AD⊥平面SBC.
又因為AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
證明面面垂直常用的方法
（1）定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂
直，即把問題轉化為“線面垂直”；
（3）性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個
也垂直于此平面.
【跟蹤訓練】
1. 如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.
證明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
2. 如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3 ，M，N
分別是棱A1C1，AC的中點，E在側棱AA1上，且A1E＝2EA，求
證：平面MEB⊥平面BEN.
證明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN 平面
ABC，則AA1⊥BN.
因為N是棱AC的中點，△ABC為正三角形，則BN⊥AC.
因為AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，ME 平面
AA1C1C，BN⊥ME.
又AB＝4，AA1＝3 ，A1E＝2EA，所以EA＝ ，A1E＝2 ，
因為 ＝ ＝ ，∠NAE＝∠EA1M＝90°，
所以Rt△A1EM∽Rt△ANE，故∠A1EM＝∠ANE，∠A1EM＋
∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，則有∠MEN＝90°，故
EN⊥ME.
因為EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME 平面MEB，所
以平面MEB⊥平面BEN.
1. 下列說法：①兩個相交平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的
平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成的角；③二
面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置有關系.其中正確的個
數是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　根據二面角的定義知①兩個相交的半平面所組成的
圖形叫做二面角，故錯誤；②二面角的平面角是從棱上一點出
發，分別在兩個面內作棱的垂線所成的角，故錯誤；③二面角
的大小與其平面角的頂點在棱上的位置無關，故錯誤.所以①②
③都不正確.故選A.
2. 若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平
面，那么這兩個二面角（　　）
A. 相等 B. 互補
C. 相等或互補 D. 關系無法確定
解析：　如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當
平面HDG繞DG轉動時，平面HDG始終與平面
BCD垂直，因為二面角H-DG-F的大小不確定，
所以兩個二面角的大小關系不確定.
3. （2024·江門月考）如圖所示，AB是☉O的直徑，PA垂直于☉O所
在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，則二面角P-BC-A的
大小為 .
45°
解析：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AB是
☉O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，
PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，
∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角
P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°.
4. 如圖①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高.以AD為折
痕將△ABC折起，使∠BDC為直角，如圖②所示，求證：平面
ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
證明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 以下角：①異面直線所成的角；②直線和平面所成的角；③二面角
的平面角.其中可能為鈍角的有（　　）
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
解析：　異面直線所成的角α的范圍為0°＜α≤90°，直線和平
面所成的角β的范圍為0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范圍為
0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能為鈍角.
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2. 下列命題中正確的是（　　）
A. 平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β
B. 若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條平行直線，則α⊥β
C. 若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條相交直線，則α⊥β
D. 若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β
解析：　當平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面
α和β有可能平行，故A錯；由直線與平面垂直的判定定理知，B、
D錯，C正確.
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3. 如圖，三棱臺ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，則二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　三棱臺ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，則
BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面
ABC，所以∠ABC為二面角A-BB1-C的平面角，因為△ABC為等
邊三角形，所以∠ABC＝60°.故選C.
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4. 如圖，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則該幾何體的表面中
相互垂直的面有（　　）
A. 2對 B. 3對
C. 4對 D. 5對
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解析：　由PA⊥平面ABCD，知平面PAD⊥平面ABCD，平面
PAB⊥平面ABCD；因為PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD＝A，所
以AB⊥平面PAD，則平面PAB⊥平面PAD；因為PA⊥BC，
AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，則平面PBC⊥平
面PAB；因為PA⊥DC，AD⊥DC，PA∩AD＝A，所以DC⊥平
面PAD，則平面PDC⊥平面PAD. 所以題圖中相互垂直的面共有5
對，選D.
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5. （多選）已知α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，則下列命題
中正確的是（　　）
A. 若α∥β，l∥β，則l∥α
B. 若l⊥α，l⊥β，則α∥β
C. 若l⊥α，l∥β，則α⊥β
D. 若α⊥β，l∥β，則l⊥α
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解析：　對于A，若α∥β，l∥β，則l∥α或
l α，故A不正確；對于B，若l⊥α，l⊥β，則
α∥β，故B正確；對于C，如圖，若l⊥α，
l∥β，過l的平面γ與β相交，設交線為m，
∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，則l∥m，∵l⊥α，
則m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正確；對于
D，若α⊥β，l∥β，則l與α不一定垂直，故D不
正確.故選B、C.
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6. （多選）如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，
∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，點A到達A'
的位置，此時A'C＝ ，構成三棱錐A'-BCD，則（　　）
A. 平面A'BD⊥平面BDC
B. 平面A'BD⊥平面A'BC
C. 平面A'DC⊥平面BDC
D. 平面A'DC⊥平面A'BC
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解析：　在三棱錐A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝ ，易知DC＝ ，又A'C＝ ，故A'C2＝A'D2＋DC2，則CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC. 又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC.
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7. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，則平面EBD與平
面AA1C1C的位置關系是 .（填“垂直”或“不垂直”）
解析：如圖，在正方體中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD. 又
AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C. 又BD 平面
EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
垂直
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8. 如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則
折疊后BC＝ .
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解析：由題意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC為二面角B-
AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝
90°，連接BC（圖略），則BC＝ ＝
＝1.
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9. 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 ，CC1＝
，則二面角C1-BD-C的大小為 .
30°
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解析：如圖，取BD中點O，連接OC，OC1，因為AB＝AD＝2
，所以CO⊥BD，CO＝ .因為CD＝BC，所以C1D＝
C1B，所以C1O⊥BD. 所以∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角.
因為tan∠C1OC＝ ＝ ＝ ，所以∠C1OC＝30°，即二面角
C1-BD-C的大小為30°.
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10. 如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2 ，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小.
解：如圖，取AB的中點E，連接VE，CE.
因為VA＝VB＝AC＝BC＝2，
所以由等腰三角形的性質，可得VE⊥AB，CE⊥AB，
所以∠VEC就是二面角V-AB-C的平面角.
由AB＝2 ，
可知EB＝ AB＝ .
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又VB＝2，所以在Rt△VEB中，VE＝ ＝1，同理
EC＝1，
所以VE＝EC＝VC＝1，
所以△VEC為正三角形，
所以∠VEC＝60°.
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11. （2024·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為3，側
棱AA1＝ ，D是CB延長線上一點，且BD＝BC，則二面角B1-
AD-B的大小為（　　）
A. B. C. D.
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解析：　由題意知：AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝ 且∠ABD＝ ，過B作BE⊥AD于E，連接B1E，則BE＝ ，而BB1⊥平面ABD，AD 平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即
AD⊥平面BEB1，故二面角B1-AD-B的平面角為∠BEB1，∴tan∠BEB1＝ ＝ ，而∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝ .
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12. （多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，
點E，F，G分別是所在棱的中點，則下面結論中正確的是（　）
A. 平面EFG∥平面PBC
B. 平面EFG⊥平面ABC
C. ∠BPC是直線EF與直線PC所成的角
D. ∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角
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解析：　對于A，因為點E，F分別是AB，AP的中點，所以EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面
PBC. 同理，EG∥平面PBC. 又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥
平面PBC，因此A中結論正確；對于B，因為PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG 平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中結論正確；對于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC為直線BC與直線PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角，因此C中結論正確；對于D，由于FE，GE與AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角，因此D中結論不正確.
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13. （2024·珠海月考）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底
面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足
時，平面MBD⊥平面PCD.
解析：易證△PAB ≌ △PAD，∴PB＝PD，易證△PDC≌△PBC，當BM⊥PC時，則有DM⊥PC，又BM∩DM ＝M，∴PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
BM⊥PC
（或DM⊥PC）
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14. 如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝
CA＝2BD，M是EA的中點.
求證：（1）DE＝DA；
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證明：設BD＝a，則CE＝CA＝2a.如圖，
作DF∥BC交CE于點F，則CF＝DB＝a.
因為CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC.
因為EF＝a，BC＝2a，
所以DE＝ ＝ a.
又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，
DB⊥AB，所以DA＝ ＝ a，
所以DE＝DA.
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（2）平面BDM⊥平面ECA；
證明：如圖所示，取CA的中點N，連
接MN，BN，則MN∥CE∥DB，且MN＝
CE＝DB，
所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以
MD∥BN.
因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，
EC⊥MD.
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由（1）知DE＝DA，M為EA的中點，所以DM⊥AE.
因為EC∩AE＝E，EC 平面AEC，AE 平面AEC，
所以DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，所以平面
BDM⊥平面ECA.
（3）平面DEA⊥平面ECA.
證明：由（2）知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.
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15. 在60°二面角的一個面內有一個點，若它到二面角的棱的距離是
10，則該點到另一個面的距離是 .
解析：如圖所示，P為二面角α-l-β的一個面α內一
點，PO是它到另一個面β的距離，PH是它到棱的距
離為10，∵PO⊥β，∴PO⊥l，又PH⊥l， ∴l⊥平
面POH，得出l⊥OH，∴∠PHO為二面角α-l-β的平
面角，∠PHO＝60°，在Rt△PHO中，PO＝PH· sin
60°＝10× ＝5 .
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16. （2024·寧德月考）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角
梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四邊形ABB1A1和
四邊形ADD1A1均為正方形.
（1）求證：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
解：證明：因為四邊形ABB1A1和四
邊形ADD1A1均為正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.
因為AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
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（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
解：過點B作BH⊥CD于點H，連
接B1H（圖略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，則
BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，
所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1為二面角B1-CD-A的平面角.
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由等面積法可得 BH＝1×2，即BH＝ ，
所以B1H＝ ＝ ，
故 cos ∠BHB1＝ ＝ .
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