資源簡介

第2課時　平面與平面垂直的性質(zhì)
1.已知直線l⊥平面α，則“直線l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.設(shè)α-l-β是直二面角，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且a，b與l均不垂直，則（　　）
A.a與b可能垂直，但不可能平行
B.a與b可能垂直也可能平行
C.a與b不可能垂直，但可能平行
D.a與b不可能垂直，也不可能平行
3.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在底面ABC上的射影點H必在（　　）
A.直線AB上 B.直線BC上
C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部
4.已知在四面體ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是邊長為3的等邊三角形，BD＝CD，BD⊥CD，則四面體ABCD的體積為（　　）
A.　　B. C.　　D.
5.（多選）已知平面α，β，γ和直線l，下列命題中正確的是（　　）
A.若α⊥β，β∥γ，則α⊥γ
B.若α⊥β，則存在l α，使得l∥β
C.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，則l⊥γ
D.若α⊥β，l∥α，則l⊥β
6.（多選）（2024·溫州月考）如圖，在四面體P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDF⊥平面ABC
7.已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，則直線a與平面α的位置關(guān)系是　　　.
8.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝　　　　.
9.如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為和.過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'，B'，則＝　　　　.
10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求證：平面PAB⊥平面PBD.
11.如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是（　　）
A.一條線段
B.一條直線
C.一個圓
D.一個圓，但要去掉兩個點
12.（多選）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法中正確的是（　　）
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAD⊥平面PDC
C.AB⊥PD
D.平面PAD⊥平面PBC
13.（2024·泉州月考）如圖，棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1，M是四邊形D1DCC1內(nèi)異于C，D的動點，平面AMD⊥平面BMC.則M點的軌跡的長度為　　　.
14.如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點.求證：
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB.
15.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0＜k＜1），則（　　）
A.當(dāng)k＝時，平面BPC⊥平面PCD
B.當(dāng)k＝時，平面APD⊥平面PCD
C.對任意k∈（0，1），直線PA與底面ABCD都不垂直
D.存在k∈（0，1），使直線PD與直線AC垂直
16.如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點.
（1）求證：EF⊥平面BCG；
（2）求三棱錐D-BCG的體積.
第2課時　平面與平面垂直的性質(zhì)
1.A　①當(dāng)l∥β時，又∵l⊥α，則α⊥β，∴“直線l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分條件；②當(dāng)α⊥β時，又∵l⊥α，則l∥β或l β，∴“直線l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要條件.故選A.
2.C　∵α-l-β是直二面角，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且a，b與l均不垂直，∴當(dāng)a∥l，且b∥l時，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A與D錯誤；當(dāng)a，b垂直時，若二面角是直二面角，則a⊥l，與已知矛盾，∴a與b不可能垂直，但可能平行.故選C.
3.A　連接AC1（圖略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴點C1在平面ABC上的射影點H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上，故選A.
4.C　∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等邊△ABD邊長為3，則S△ABD＝AB·AD·sin 60°＝，又BD＝CD＝3，故V四面體ABCD＝CD·S△ABD＝.故選C.
5.ABC　對選項A，因為α⊥β，所以存在直線a α，使得a⊥β，又因為β∥γ，所以a⊥γ，又因為a α，所以α⊥γ，故A正確；對選項B，如圖①所示：在長方體中，滿足α⊥β，存在這樣的直線l α，使得l∥β，故B正確；對選項C，過直線l上任意一點作直線m⊥γ，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知：m α，m β，所以m與直線l重合，所以l⊥γ，故C正確；對選項D，如圖②所示：在長方體中，滿足α⊥β，l∥α，此時l∥β，故D錯誤.故選A、B、C.
　
6.ABC　因為D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，則DF為△ABC的中位線，則BC∥DF，依據(jù)線面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E為BC的中點，且PB＝PC，AB＝AC，則BC⊥PE，BC⊥AE，依據(jù)線面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因為BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，則平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，則必須有AE⊥PD或AE⊥PF，由條件知此垂直關(guān)系不一定成立，D不一定成立.故選A、B、C.
7.a α或a∥α　解析：因為平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，又a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.
8. 　解析：因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA 平面PAC，所以PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝.
9.2　解析：由已知條件可知∠BAB'＝，∠ABA'＝，設(shè)AB＝2a，則BB'＝2asin＝a，A'B＝2acos＝a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
10.證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.
因為PA＝PD＝AD，所以PA2＋PD2＝AD2，
所以PA⊥PD.
又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.
因為PD 平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
11.D　因為平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因為BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點.故選D.
12.ABC　∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥AB.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD，故C中說法正確；又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中說法正確；同理可證平面PAD⊥平面PDC，故B中說法正確；假設(shè)平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，與BC∥AD矛盾，故D中說法錯誤.故選A、B、C.
13.π　解析：因為DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因為平面AMD⊥平面BMC，故要滿足題意，只需DM⊥MC即可.又點M在平面D1DCC1內(nèi)，故點M的軌跡是平面D1DCC1內(nèi)，以DC為直徑的半圓（不包含D，C）.又正方體棱長為2，故該半圓的半徑為1，故其軌跡長度為＝π.
14.證明：（1）因為四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，
因為G為AD的中點，
所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
（2）由（1）可知BG⊥AD，又△PAD為正三角形，
所以PG⊥AD.
因為BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
15.A　當(dāng)k＝時，取PB，PC的中點，分別為M，N，連接MN，AM，DN（圖略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM.又M為PB的中點，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，MN∥BC且MN＝BC，∴AD∥MN且AD＝MN，則四邊形ADNM為平行四邊形，可得AM∥DN，則DN⊥平面BPC.又DN 平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD.故選A.
16.解：（1）證明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.
∵G為AD的中點，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD.
∵CG∩BG＝G，CG，BG 平面BGC，∴AD⊥平面BGC.
又E，F(xiàn)分別是AC，CD的中點，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
（2）在平面ABC內(nèi)，作AO⊥CB，交CB的延長線于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G為AD的中點，∴G到平面BCD的距離h是AO長度的一半.
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，
∴h＝.
在△BCD中，BF＝BD·cos 60°＝2×＝1，
DF＝BD·sin 60°＝，∴DC＝2，
故S△DCB＝BF·DC＝×1×2＝，
∴VD-BCG＝VG-BCD＝S△DCB·h＝××＝.
3 / 3第2課時　平面與平面垂直的性質(zhì)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.從相關(guān)定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中平面與平面的垂直關(guān)系 直觀想象
2.歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理 邏輯推理
1.在教室里，黑板所在平面與地面所在平面垂直，黑板的左右兩邊也與地面垂直.
2.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，直線A1A垂直于其交線AD.
【問題】　通過上述實例，你能總結(jié)出面面垂直的一條性質(zhì)嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　平面與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的　　　，那么這條直線與另一個平面　　　
符號語言 α⊥β，α∩β＝l，　　　，　　　 a⊥β
圖形語言
提醒　（1）定理成立的條件有三個：①兩個平面互相垂直；②直線在其中一個平面內(nèi)；③直線與兩平面的交線垂直；（2）定理的實質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直；（3）已知面面垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.
【想一想】
　如果α⊥β，則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線，正確嗎？
1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則（　　）
A.α∥γ B.α⊥γ
C.α與γ相交但不垂直 D.以上都有可能
2.已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一點M，作ME⊥AB于E，則（　　）
A.ME⊥平面ABCD B.ME 平面ABCD
C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能
3.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是　　　　.
題型一 垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
【例1】　已知m，n表示直線，α，β，γ表示平面，給出下列三個命題：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，則n⊥β；
②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.
其中正確的命題為（　　）
A.①②　　B.③ C.②③　D.①②③
通性通法
垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
　　空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的，它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：
【跟蹤訓(xùn)練】
　（多選）若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是（　　）
A.若m β，α⊥β，則m⊥α
B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β
C.若m⊥β，m∥α，則α⊥β
D.若α⊥γ，α∥β，則β⊥γ
題型二 平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用
【例2】　（2024·信陽月考）如圖，點P為四邊形ABCD所在平面外一點，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點.
求證：（1）PE⊥平面ABCD；
（2）平面PBE⊥平面ABCD.
通性通法
1.面面垂直線面垂直線線垂直.
由面面垂直證明線面垂直，一定注意兩點：①直線必須在其中一個平面內(nèi)；②直線必須垂直兩平面交線.
2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
題型三 空間垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
【例3】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，點E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點.
求證：（1）PA⊥平面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
通性通法
1.熟練掌握垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解題的常規(guī)思路.
2.垂直關(guān)系證明的核心是線面垂直，準(zhǔn)確確定要證明的直線是關(guān)鍵，再利用線線垂直證明.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，邊長為2的正方形ACDE所在平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，AC⊥BC，且AC＝BC.
（1）求證：AM⊥平面EBC；
（2）求直線EC與平面ABE所成角的正切值.
1.下列命題中錯誤的是（　　）
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CC1（　　）
A.平行 B.共面
C.垂直 D.不垂直
3.如圖，空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是　　　　.
4.如圖，在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.
第2課時　平面與平面垂直的性質(zhì)
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點
　交線　垂直　a α　a⊥l
想一想
　提示：正確.
自我診斷
1.D　在正方體中，相鄰兩側(cè)面都與底面垂直；相對的兩側(cè)面都與底面垂直；一側(cè)面和一對角面都與底面垂直，故選D.
2.A　∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME 平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.故選A.
3.平行　解析：因為α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
【典型例題·精研析】
【例1】　B　對于①，依據(jù)線面垂直的判定定理，一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，才能得到該直線與此平面垂直，而n只與β內(nèi)的一條直線m垂直，不能得到n⊥β，故①不正確；對于②，如圖所示，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'與平面DCC'D'的交線為C'D'，與平面ABCD的交線為AB，但C'D'∥AB，故②不正確；對于③，由于m⊥α，m⊥n，則n在平面α內(nèi)或n∥α.若n在平面α內(nèi)，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，過n作平面與α交于直線l，則n∥l，由n⊥β得l⊥β，從而α⊥β，故③正確.
跟蹤訓(xùn)練
　CD　由線面平行、垂直的有關(guān)知識可排除A、B；對于C，因為m∥α，過m作平面γ交α于m'，則m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m' α，則α⊥β，所以C正確，對于D顯然正確，故選C、D.
【例2】　證明：（1）因為PA＝PD，E為AD的中點，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD.
（2）由（1）知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BCC1B1為平行四邊形，
因為BC＝CC1，所以四邊形BCC1B1為菱形，
所以B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥平面A1BC1，
因為B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
【例3】　證明：（1）因為平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥平面ABCD.
（2）因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，
所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.
又BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
（3）由（2）知四邊形ABED為平行四邊形，因為AB⊥AD，
所以四邊形ABED為矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
因為PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因為點E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點，所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因為CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）證明：因為平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.
因為四邊形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
（2）取AB的中點F，連接CF，EF.
因為EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
因為CF 平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
因為EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF即為直線EC與平面ABE所成的角.
在Rt△CFE中，CF＝，F(xiàn)E＝，
tan∠CEF＝＝＝.
隨堂檢測
1.D　如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面β，其他與交線不垂直的直線均不與平面β垂直，故D中命題錯誤.
2.C　如圖所示，在四邊形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1 平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故選C.
3.45°　解析：如圖，過A作AO⊥BD于點O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.
4.證明：因為平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC.
又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因為∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，
AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
4 / 4(共63張PPT)
第2課時　平面與平面垂直的性質(zhì)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.從相關(guān)定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過
直觀感知，了解空間中平面與平面的垂直關(guān)系 直觀想象
2.歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理 邏輯推理
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
1. 在教室里，黑板所在平面與地面所在平面垂直，黑板的左右兩邊也
與地面垂直.
2. 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，直線A1A垂直于其交線AD.
【問題】　通過上述實例，你能總結(jié)出面面垂直的一條性質(zhì)嗎？
知識點　平面與平面垂直的性質(zhì)定理
文字
語言 兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面
的 ，那么這條直線與另一個平面
符號
語言 α⊥β，α∩β＝l， ， a⊥β
圖形
語言
交線　
垂直　
a α　
a⊥l　
提醒　（1）定理成立的條件有三個：①兩個平面互相垂直；②直線
在其中一個平面內(nèi)；③直線與兩平面的交線垂直；（2）定理的實質(zhì)
是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直；（3）已知面面
垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.
【想一想】
如果α⊥β，則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線，正確嗎？
提示：正確.
1. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則（　　）
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α與γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
解析：　在正方體中，相鄰兩側(cè)面都與底面垂直；相對的兩側(cè)面
都與底面垂直；一側(cè)面和一對角面都與底面垂直，故選D.
2. 已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一點M，
作ME⊥AB于E，則（　　）
A. ME⊥平面ABCD
B. ME 平面ABCD
C. ME∥平面ABCD
D. 以上都有可能
解析：　∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME 平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 故選A.
3. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與
n的位置關(guān)系是 .
解析：因為α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，
所以m∥n.
平行
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
【例1】　已知m，n表示直線，α，β，γ表示平面，給出下列三個
命題：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，則n⊥β；
②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.
其中正確的命題為（　　）
A. ①② B. ③
C. ②③ D. ①②③
解析：　對于①，依據(jù)線面垂直的判定定理，一條直
線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，才能得到該直
線與此平面垂直，而n只與β內(nèi)的一條直線m垂直，不
能得到n⊥β，故①不正確；對于②，如圖所示，在長
方體ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'與平面DCC'D'的交線為C'D'，與平面ABCD的交線為AB，但C'D'∥AB，故②不正確；對于③，由于m⊥α，m⊥n，則n在平面α內(nèi)或n∥α.若n在平面α內(nèi)，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，過n作平面與α交于直
線l，則n∥l，由n⊥β得l⊥β，從而α⊥β，故③正確.
通性通法
垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
　　空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)
系不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的，它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：
【跟蹤訓(xùn)練】
（多選）若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則
下列命題中正確的是（　　）
A. 若m β，α⊥β，則m⊥α
B. 若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β
C. 若m⊥β，m∥α，則α⊥β
D. 若α⊥γ，α∥β，則β⊥γ
解析：　由線面平行、垂直的有關(guān)知識可排除A、B；對于C，因
為m∥α，過m作平面γ交α于m'，則m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又
m' α，則α⊥β，所以C正確，對于D顯然正確，故選C、D.
題型二 平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用
【例2】　（2024·信陽月考）如圖，點P為四邊形ABCD所在平面外
一點，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點.
求證：（1）PE⊥平面ABCD；
證明：因為PA＝PD，E為AD的中點，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD.
（2）平面PBE⊥平面ABCD.
證明：由（1）知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
通性通法
1. 面面垂直 線面垂直 線線垂直.
由面面垂直證明線面垂直，一定注意兩點：①直線必須在其中一個
平面內(nèi)；②直線必須垂直兩平面交線.
2. 面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平
面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，
作交線的垂線.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BCC1B1為平行四邊形，
因為BC＝CC1，所以四邊形BCC1B1為菱形，
所以B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，
B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥平面A1BC1，
因為B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
題型三 空間垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
【例3】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，點E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點.
求證：（1）PA⊥平面ABCD；
證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線
AD，所以PA⊥平面ABCD.
（2）BE∥平面PAD；
證明：因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，
所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊
形，所以BE∥AD.
又BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
（3）平面BEF⊥平面PCD.
證明：由（2）知四邊形ABED為平行四邊形，因為AB⊥AD，
所以四邊形ABED為矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
因為PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因為點E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點，所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因為CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
通性通法
1. 熟練掌握垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的
相互轉(zhuǎn)化是解題的常規(guī)思路.
2. 垂直關(guān)系證明的核心是線面垂直，準(zhǔn)確確定要證明的直線是關(guān)鍵，
再利用線線垂直證明.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，邊長為2的正方形ACDE所在平面與平面ABC垂直，AD與CE
的交點為M，AC⊥BC，且AC＝BC.
（1）求證：AM⊥平面EBC；
解：證明：因為平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面
ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.
因為四邊形ACDE是正方形，所以AM⊥CE. 又BC∩CE＝
C，所以AM⊥平面EBC.
（2）求直線EC與平面ABE所成角的正切值.
解：取AB的中點F，連接CF，EF.
因為EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
因為CF 平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
因為EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF即為直線EC與平面ABE所成的角.
在Rt△CFE中，CF＝ ，F(xiàn)E＝ ，
tan∠CEF＝ ＝ ＝ .
1. 下列命題中錯誤的是（　　）
A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平
面β
C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
解析：　如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)垂直于交線的直線都
垂直于平面β，其他與交線不垂直的直線均不與平面β垂直，故D中
命題錯誤.
2. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CC1（　　）
A. 平行 B. 共面
C. 垂直 D. 不垂直
解析：　如圖所示，在四邊形ABCD中，∵AB＝
BC，AD＝CD，∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平
面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD
平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C. 又CC1 平面
AA1C1C，∴BD⊥CC1.故選C.
3. 如圖，空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是 .
45°
解析：如圖，過A作AO⊥BD于點O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴∠ADO＝45°.
4. 如圖，在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，
∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥
平面ABC. 求證：平面PAB⊥平面PBC.
證明：因為平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC. 又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因為∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，
AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB. 又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 已知直線l⊥平面α，則“直線l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的
（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
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解析：　①當(dāng)l∥β時，又∵l⊥α，則α⊥β，∴“直線l∥平面β”
是“平面α⊥平面β”的充分條件；②當(dāng)α⊥β時，又∵l⊥α，則
l∥β或l β，∴“直線l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要
條件.故選A.
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2. 設(shè)α-l-β是直二面角，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且a，
b與l均不垂直，則（　　）
A. a與b可能垂直，但不可能平行
B. a與b可能垂直也可能平行
C. a與b不可能垂直，但可能平行
D. a與b不可能垂直，也不可能平行
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解析：　∵α-l-β是直二面角，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β
內(nèi)，且a，b與l均不垂直，∴當(dāng)a∥l，且b∥l時，由平行公理得
a∥b，即a，b可能平行，故A與D錯誤；當(dāng)a，b垂直時，若二面
角是直二面角，則a⊥l，與已知矛盾，∴a與b不可能垂直，但可
能平行.故選C.
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3. 如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
則點C1在底面ABC上的射影點H必在（　　）
A. 直線AB上 B. 直線BC上
C. 直線AC上 D. △ABC內(nèi)部
解析：　連接AC1（圖略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1
＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平
面ABC，∴點C1在平面ABC上的射影點H必在平面ABC1與平面
ABC的交線AB上，故選A.
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4. 已知在四面體ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是邊長為3
的等邊三角形，BD＝CD，BD⊥CD，則四面體ABCD的體積為
（　　）
A. B. C. D.
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解析：　∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝
BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等邊
△ABD邊長為3，則S△ABD＝ AB·AD· sin 60°＝ ，又BD＝CD
＝3，故V四面體ABCD＝ CD·S△ABD＝ .故選C.
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5. （多選）已知平面α，β，γ和直線l，下列命題中正確的是（　　）
A. 若α⊥β，β∥γ，則α⊥γ
B. 若α⊥β，則存在l α，使得l∥β
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，則l⊥γ
D. 若α⊥β，l∥α，則l⊥β
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解析：　對選項A，因為α⊥β，所以存在直線a α，使得a⊥β，又因為β∥γ，所以a⊥γ，又因為a α，所以α⊥γ，故A正確；對選項B，如圖①所示：在長方體中，滿足α⊥β，存在這樣的直線l α，使得l∥β，故B正確；對選項C，過直線l上任意一點作直線m⊥γ，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知：m α，m β，所以m與直線l重合，所以l⊥γ，故C正確；對選項D，如圖②所示：在長方體中，滿足α⊥β，l∥α，此時l∥β，故D錯誤.故選A、B、C.
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6. （多選）（2024·溫州月考）如圖，在四面體P-ABC中，AB＝
AC，PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點，則下
列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A. BC∥平面PDF
B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面PAE
D. 平面PDF⊥平面ABC
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解析：　因為D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，則DF為△ABC的中位線，則BC∥DF，依據(jù)線面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E為BC的中點，且PB＝PC，AB＝AC，則BC⊥PE，BC⊥AE，依據(jù)線面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE. 因為BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，則平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，則必須有AE⊥PD或AE⊥PF，由條件知此垂直關(guān)系不一定成立，D不一定成立.故選A、B、C.
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7. 已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，則直線a與平面α的位置關(guān)系
是 .
解析：因為平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，又a⊥β，所
以a∥b，即a α或a∥α.
a α或a∥α
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8. 如圖所示，在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC
＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝ .
解析：因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA 平面PAC，所以PA⊥平面
ABC. 又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝
＝ .

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9. 如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角
分別為 和 .過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'，B'，
則 ＝ .
2
解析：由已知條件可知∠BAB'＝ ，∠ABA'＝ ，設(shè)AB＝2a，則BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
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10. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，
側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD. 求證：平面PAB⊥
平面PBD.
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證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝
AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.
因為PA＝PD＝ AD，所以PA2＋PD2＝AD2，
所以PA⊥PD.
又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.
因為PD 平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
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11. 如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面
PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是（　　）
A. 一條線段
B. 一條直線
C. 一個圓
D. 一個圓，但要去掉兩個點
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解析：　因為平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平
面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC. 又因為
BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以動點C
的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點.故選D.
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12. （多選）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面
PAD⊥平面ABCD，則下列說法中正確的是（　　）
A. 平面PAB⊥平面PAD
B. 平面PAD⊥平面PDC
C. AB⊥PD
D. 平面PAD⊥平面PBC
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解析：　∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥AB. ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面PAD. ∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD，故C中說法正確；又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中說法正確；同理可證平面PAD⊥平面PDC，故B中說法正確；假設(shè)平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，與BC∥AD矛盾，故D中說法錯誤.故選A、B、C.
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13. （2024·泉州月考）如圖，棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1，M
是四邊形D1DCC1內(nèi)異于C，D的動點，平面AMD⊥平面BMC.
則M點的軌跡的長度為 .
π
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解析：因為DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因為平面AMD⊥平面BMC，故要滿足題意，只需DM⊥MC即可.又點M在平面D1DCC1內(nèi)，故點M的軌跡是平面D1DCC1內(nèi)，以DC為直徑的半圓（不包含D，C）.又正方體棱長為2，故該半圓的半徑為1，故其軌跡長度為 ＝π.
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14. 如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD
是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所
在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點.求證：
（1）BG⊥平面PAD；
證明：因為四邊形ABCD是菱形且
∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，因為G為AD的中點，
所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
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（2）AD⊥PB.
證明：由（1）可知BG⊥AD，又
△PAD為正三角形，
所以PG⊥AD.
因為BG∩PG＝G，BG，PG 平面
PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
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15. 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0
＜k＜1），則（　　）
A. 當(dāng)k＝ 時，平面BPC⊥平面PCD
B. 當(dāng)k＝ 時，平面APD⊥平面PCD
C. 對任意k∈（0，1），直線PA與底面ABCD都不垂直
D. 存在k∈（0，1），使直線PD與直線AC垂直
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解析：　當(dāng)k＝ 時，取PB，PC的中點，分別為M，N，連接
MN，AM，DN（圖略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM. 又M為PB的中點，PA＝
AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝
BC，MN∥BC且MN＝ BC，∴AD∥MN且AD＝MN，則四邊
形ADNM為平行四邊形，可得AM∥DN，則DN⊥平面BPC. 又
DN 平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD. 故選A.
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16. 如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝
2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的
中點.
（1）求證：EF⊥平面BCG；
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解：證明：∵AB＝BC＝BD＝2，
∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.
∵G為AD的中點，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD.
∵CG∩BG＝G，CG，BG 平面
BGC，∴AD⊥平面BGC.
又E，F(xiàn)分別是AC，CD的中點，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
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（2）求三棱錐D-BCG的體積.
解：在平面ABC內(nèi)，作AO⊥CB，
交CB的延長線于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，
平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平
面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G為AD的中點，∴G到平面BCD的距
離h是AO長度的一半.
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在△AOB中，AO＝AB· sin 60°＝ ，
∴h＝ .
在△BCD中，BF＝BD· cos 60°＝2× ＝1，
DF＝BD· sin 60°＝ ，∴DC＝2 ，
故S△DCB＝ BF·DC＝ ×1×2 ＝ ，
∴VD-BCG＝VG-BCD＝ S△DCB·h＝ × × ＝ .
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