資源簡介

培優課　幾何法求空間角
1.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線D'A與BB'所成的角可以表示為（　　）
A.∠DD'A B.∠AD'C'
C.∠ADB' D.∠DAD'
2.若一個圓錐的側面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小為（　　）
A.　　　 B.
C.　　　 D.
3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BD1與直線AA1所成角的余弦值是（　　）
A. B.
C. D.
4.（2024·東莞月考）已知二面角α-AB-β的平面角是銳角θ，平面α上有一點C到β的距離為3，點C到棱AB距離為4，那么tan θ＝（　　）
A. B.
C. D.
5.已知正三棱錐S-ABC的棱長為2，則側面和底面所成二面角的余弦值為（　　）
A. B.－
C. D.－
6.二面角α-MN-β的平面角為θ1，AB α，B∈MN，∠ABM＝θ2（θ2為銳角），AB與β的夾角為θ3，則下列關系式成立的是（　　）
A.cos θ3＝cos θ1·cos θ2
B.cos θ3＝sin θ1·cos θ2
C.sin θ3＝sin θ1·sin θ2
D.sin θ3＝cos θ1·sin θ2
7.（多選）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則（　　）
A.直線AB1與A1C1所成的角為60°
B.直線AC與B1D1所成的角為60°
C.二面角B-AD-B1的大小為45°
D.二面角A-BD-A1的大小為45°
8.（多選）《九章算術》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐，如圖，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，過點A作AD⊥SC交SC于點D，以AD為折痕把△SAD折起，當幾何體S-ABCD為陽馬時，下列四個命題正確的是（　　）
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA與平面SBD所成角的大小等于45°
D.AB與SC所成角的大小等于30°
9.已知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面邊長分別為2和4，若側棱AA1與底面ABCD所成的角為60°，則該正四棱臺的體積為　　　　.
10.（2024·濰坊月考）如圖所示，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，則tan θ的最大值是　　　　.（仰角θ為直角AP與平面ABC所成的角）
11.如圖，S是正三角形ABC所在平面外的一點，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分別是AB和SC的中點.求異面直線SM與BN所成角的余弦值.
12.在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的余弦值.
13.如圖，點P為平面ABC外一點，AP，AB，AC兩兩互相垂直，過AC的中點D作ED⊥平面ABC，且ED＝1，PA＝2，AC＝2，連接BP，BE，BD，多面體B-PADE的體積是.
（1）畫出平面PBE與平面ABC的交線，并說明理由；
（2）求BE和平面PADE所成角的正切值.
培優課　幾何法求空間角
1.A
2.C　設圓錐的底面半徑為R，母線長為l，因為圓錐的側面積是底面積的2倍，所以πRl＝2πR2，解得l＝2R，設該圓錐的母線與底面所成角為α，則cos α＝＝，所以α＝.故選C.
3.D　由于AA1∥DD1，所以∠DD1B（或其補角）即為直線BD1與直線AA1所成的角，不妨設正方體的棱長為a，則BD＝a，BD1＝＝a，所以cos∠DD1B＝＝＝，故選D.
4.B　如圖，作CE⊥AB于點E，CD⊥平面β于點D，連接ED，因為AB 平面β，所以CD⊥AB，又CE∩CD＝C，且CE 平面CDE，CD 平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因為ED 平面CDE，所以AB⊥ED，因此∠CED＝θ，CD＝3，CE＝4，所以ED＝＝，所以tan θ＝＝.故選B.
5.C　法一　如圖所示，過點S作SO⊥底面ABC，點O為垂足，連接OA，OB，OC，則Rt△OAS≌Rt△OBC≌Rt△OCS，∴OA＝OB＝OC，∴點O為等邊三角形ABC的中心.延長AO交BC于點D，連接SD，則AD⊥BC，BC⊥SD，∴∠ODS為側面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角.∵OD＝AD＝SD，∴在Rt△SOD中，cos∠ODS＝＝.
法二　∵三個側面在底面上的射影完全相同，都是底面正三角形面積的，且正三棱錐S-ABC的四個面面積相同，∴由cos θ＝知，側面和底面所成二面角（顯然為銳角）的余弦值為.
6.C　如圖，過點A作AH⊥β于點H，作HO⊥MN于點O，連接AO，BH，則AO⊥MN，所以∠AOH為α-MN-β的平面角，∠ABH為AB與β所成的角，因為sin θ1＝，sin θ2＝，所以sin θ1·sin θ2＝·＝＝sin θ3.
7.AC　對于A，連接AC，CB1，由正方體的性質知：AB1＝B1C＝AC，所以△AB1C為等邊三角形，故∠B1AC＝60°，由于A1A∥C1C，A1A＝C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，故∠B1AC＝60°即為直線AB1與A1C1所成的角，故A正確；對于B，由于B1D1∥BD，而BD⊥AC，所以直線AC與B1D1所成的角為90°，故B錯誤；對于C，因為DA⊥平面B1BAA1，AB1 平面B1BAA1，所以AD⊥AB1，又因為AB⊥DA，故∠BAB1即為二面角B-AD-B1的平面角，由于∠BAB1＝45°，故C正確；
對于D，連接A1D，A1B，設正方體的棱長為2，所以A1D＝BD＝A1B＝2，AO＝，A1O＝，又A1O⊥BD，AO⊥BD，所以∠A1OA即為二面角A-BD-A1的平面角，所以sin∠A1OA＝＝＝，故D錯誤.故選A、C.
8.AB　如圖，當幾何體S-ABCD為陽馬時，SD⊥平面ABCD，對于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD＝D，故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正確；對于B，因為AB∥CD，且AB 平面SCD，CD 平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正確；對于C，由A知，AC⊥平面SBD，連接SO，則∠ASO是SA與平面SBD所成的角，因為SA＝，OA＝，所以∠ASO＝30°，故C不正確；對于D，因為AB∥CD，所以∠SCD是AB與SC所成的角，因為SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故D不正確.
9.　解析：如圖，S，O分別為上底面和下底面的中心，連接OS，則OS⊥底面ABCD，過點A1作A1T⊥AO于點T，則A1T⊥底面ABCD，因為上、下底面邊長分別為2和4，所以A1S＝，AO＝2，故TO＝A1S＝，AT＝AO－OT＝，tan∠A1AT＝，由于∠A1AT＝60°，故A1T＝AT＝，故該正四棱臺的體積為（22＋42＋）×＝.
10.　解析：由勾股定理得BC＝20 m.如圖所示，過P點作PD⊥BC于D，連接AD，則點A觀察點P的仰角θ＝∠PAD，tan θ＝.設PD＝x，則DC＝x，BD＝20－x.在Rt△ABD中，AD＝＝＝，所以tan θ＝＝＝≤，故tan θ的最大值為.
11.解：如圖所示，連接CM，
設Q為CM的中點，連接QN，則QN∥SM.
∴∠QNB或其補角是異面直線SM與BN所成的角.
連接BQ，設SC＝a，在△BQN中，
BN＝a，NQ＝SM＝a，
BQ＝a，
∴cos∠QNB＝＝＝，即異面直線SM與BN所成角的余弦值為.
12.解：設PA＝AB＝2，過點A在平面ABCD內作AE⊥BC交BC于點E，連接PE，如圖所示，
∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵AE⊥BC，PA∩AE＝A，PA，AE 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∵PE 平面PAE，∴PE⊥BC，
∴二面角P-BC-A的平面角為∠PEA，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，
AB＝2，
則AE＝AB＝1，
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∴PE＝＝，
∴cos∠PEA＝＝＝.
∴二面角P-BC-A的余弦值為.
13.解：（1）如圖，延長PE交AC于點F，連接BF，
∵AP，AB，AC兩兩互相垂直，
∴PA⊥平面ABC.
∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，
∴＝＝，∴F與C重合.
∵C∈PE，C∈AC，PE 平面PBE，AC 平面ABC，
∴C是平面PBE與平面ABC的公共點.
又B是平面PBE與平面ABC的公共點，
∴BC是平面PBE與平面ABC的交線.
（2）如圖，連接AE.
∵AP，AB，AC兩兩互相垂直，
∴AB⊥平面PAC，
∴∠BEA為BE和平面PADE所成的角.
∵VB-PADE＝S梯形ADEP·AB
＝××（1＋2）×1×AB＝，
∴AB＝.
又∵AE＝＝，
∴tan∠BEA＝＝＝，
∴BE和平面PADE所成角的正切值為.
1 / 2培優課　幾何法求空間角
題型一 異面直線所成的角
【例1】　正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側棱長為，則這個棱柱側面對角線E1D與BC1所成的角是（　　）
A.90°　 　B.60° C.45°　 　D.30°
通性通法
求異面直線所成的角的方法
　　求異面直線所成的角，可通過多種方法平移產生三角形，主要有三種方法：①直接平移法（可利用圖中已有的平行線）；②中位線平移法；③補形平移法（在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線）.
【跟蹤訓練】
　已知正四棱錐P-ABCD中，PA＝2，AB＝，M是側棱PC的中點，且BM＝，則異面直線PA與BM所成角為　　　　.
題型二 直線與平面所成的角
【例2】　如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為（　　）
A. B.
C. D.
通性通法
直線與平面所成的角的求法
　　求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點（斜足），然后在直線上取一點（除斜足外）作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，即得直線在平面內的射影，最后根據垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角.
提醒　（1）斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段；（2）一條斜線與平面所成的角是這條斜線與平面內所有直線所成角中最小的，稱之為最小角定理.
【跟蹤訓練】
　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱BC，A1B1的中點分別為E，F，則直線EF與平面ABB1A1所成角的正弦值為（　　）
A. B.
C. D.
題型三 二面角
角度1　定義法求二面角
【例3】　如圖所示，平面ABCD⊥平面BCEF，四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE.求平面ADE與平面BCEF所成二面角的大小.
通性通法
　　利用二面角的定義，在二面角的棱上找點，過點在兩個平面內作棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角，解題時應先找平面角，再證明，最后在三角形中求平面角.
角度2　垂面法求二面角
【例4】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點.
（1）求證：平面MNF⊥平面NEF；
（2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值.
通性通法
　　二面角中如果存在一個平面與棱垂直，且與二面角的兩個半平面都相交，那么這兩條交線所成的角即為該二面角的平面角.
角度3　垂線法求二面角
【例5】　如圖，平面β內一條直線AC，AC與平面α所成的角為30°，AC與棱BD所成的角為45°，求二面角α-BD-β的大小.
通性通法
　　如果兩個平面相交，有過一個平面內的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點作棱的垂線，連接兩個垂足，應用三垂線定理可證明兩垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.
角度4　射影面積法求二面角
【例6】　在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小.
通性通法
　　若多邊形的面積為S，它在一個平面內的射影圖形的面積為S'，且多邊形與該平面所成的二面角為θ，則cos θ＝.
【跟蹤訓練】
1.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，則二面角A1-BC-A的平面角的正切值為（　　）
A. B.
C.1 D.
2.《九章算術》是我國古代數學名著，書中將四個面均為直角三角形的棱錐稱為“鱉臑”.如圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，則二面角A-PC-B的正弦值為　　　　.
1.若斜線段AB的長是它在平面α上的射影長的2倍，則AB與平面α所成的角是（　　）
A.60° B.45°
C.30° D.120°
2.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，則異面直線B1C1與AC所成角的大小為（　　）
A.45° B.60°
C.30° D.90°
3.已知在如圖所示的四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，則二面角B-CD-A的正切值為　　　　.
培優課　幾何法求空間角
【典型例題·精研析】
【例1】　B　連接FE1，FD，則FE1∥BC1，故∠FE1D為E1D與BC1所成的角或其補角.在△EFD中，EF＝ED＝1，∠FED＝120°，∴FD2＝EF2＋ED2－2EF·ED·cos 120°＝3，∴FD＝，在△EFE1和△EE1D中，得E1F＝E1D＝＝，∴△FE1D是等邊三角形，∠FE1D＝60°.故選B.
跟蹤訓練
　45°　解析：如圖，連接AC，BD交于點O，連接OM，則∠OMB為異面直線PA與BM所成角.由O，M分別為AC，PC中點，得OM＝PA＝1.在Rt△AOB中，易得OB＝AB·sin 45°＝1.又BM＝，即OB2＋OM2＝BM2，所以△OMB為等腰直角三角形，∠OMB＝45°.
【例2】　A　取A1C1，AC的中點E，F，連接B1E，BF，EF，如圖所示.由正三棱柱性質易知B1E⊥平面AA1C1C，過D作DH∥B1E，則DH⊥平面AA1C1C，則∠DAH即為AD與平面AA1C1C所成的角，易得DH＝B1E＝，DA＝，所以sin∠DAH＝＝，故選A.
跟蹤訓練
　C　連接FB，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面ABB1A1，棱BC的中點為E，則BE⊥平面ABB1A1，而BF 平面ABB1A1，故BE⊥BF，則∠EFB即為直線EF與平面ABB1A1所成角，設正方體棱長為2，則BE＝1，BF＝＝＝，則EF＝＝，故sin∠EFB＝＝＝，故選C.
【例3】　解：在平面BCEF中，過點E作BC的平行線與BF的延長線交于點G，連接AG，如圖，則EG∥BC.
因為四邊形ABCD為矩形，所以AD∥BC，所以EG∥AD.則平面ADEG與平面BCEG所成的角即是我們要求的二面角，EG即為該二面角的棱.
由BC⊥CD，BC⊥CE可知，BC⊥平面CDE.
又EG∥BC，所以EG⊥平面CDE.
因為在平面BCEG中有CE⊥EG，在平面ADEG中，有DE⊥EG，
所以∠DEC即為平面ADE與平面BCEF所成二面角的平面角.
因為DC＝CE，所以△DCE是等腰直角三角形，
所以∠DEC＝45°，
即平面ADE與平面BCEF所成二面角的大小為45°.
【例4】　解：（1）證明：∵N，F均為所在棱的中點，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN 平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.
又∵M，E均為所在棱的中點，
∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形，
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，
∴∠MNE＝90°，
∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，
∴MN⊥平面NEF.
而MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.
（2）在平面NEF中，過點N作NG⊥EF于點G，連接MG.如圖所示.
由（1）得知MN⊥平面NEF，
又EF 平面NEF，
∴MN⊥EF.
又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.
∴∠MGN為二面角M-EF-N的平面角.
設該正方體的棱長為2.
在Rt△NEF中，NG＝＝＝，
∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝.
∴二面角M-EF-N的平面角的正切值為.
【例5】　解：如圖，過A作AF⊥BD，F為垂足，作AE⊥平面α，E為垂足，連接EF，CE，
∴由三垂線定理知BD⊥EF，
∴∠AFE為二面角α-BD-β的平面角.
依題意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，設AC＝2，
∴AF＝CF＝，AE＝1，
∴sin∠AFE＝＝＝，
∴∠AFE＝45°.
∴二面角α-BD-β的大小為45°.
【例6】　解：如圖，∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，
同理BC⊥平面PAB.
∴△PCD在平面PBA上的射影為△PAB，
設平面PBA與平面PCD所成的二面角為θ，
∴cos θ＝＝＝，
∴θ＝45°.
故平面PBA與平面PCD所成的二面角的大小為45°.
跟蹤訓練
1.D　由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，設棱長為a，BC的中點為E，連接A1E，AE（圖略），可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角為∠A1EA，在Rt△A1AE中，AE＝a，所以tan∠A1EA＝＝＝，即二面角A1-BC-A的平面角的正切值為.
2.　解析：因為PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.過點B作BD⊥AC于點D，過點D作DE⊥PC于點E，連接BE.因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BD 平面ABC，所以BD⊥平面PAC.因為PC 平面PAC，所以BD⊥PC.因為DE⊥PC，BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，所以PC⊥平面BDE.因為BE 平面BDE，所以PC⊥BE，所以二面角A-PC-B的平面角為∠BED.因為AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABC，所以PB＝，AC＝，PC＝2，PB⊥BC.又因為BE⊥PC，所以E為PC的中點，所以BE＝1.由等面積法得BD＝.因為BD⊥平面PAC，所以sin∠BED＝＝.所以二面角A-PC-B的正弦值為.
隨堂檢測
1.A　斜線段、垂線段以及射影構成直角三角形，如圖所示，∠ABO即是斜線段AB與平面α所成的角.因為AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°.
2.A　因為BC∥B1C1，所以∠ACB（或它的補角）為異面直線B1C1與AC所成角，因為∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，所以∠ACB＝45°，所以異面直線B1C1與AC所成角為45°.故選A.
3.1　解析：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴∠ACB為二面角B-CD-A的平面角.∵BC⊥CD，∴BD＝＝.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB＝＝1，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝1.
2 / 3(共66張PPT)
培優課　幾何法求空間角
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 異面直線所成的角
【例1】　正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側棱長
為 ，則這個棱柱側面對角線E1D與BC1所成的角是（　　）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
解析：　連接FE1，FD，則FE1∥BC1，故∠FE1D為E1D與BC1所
成的角或其補角.在△EFD中，EF＝ED＝1，∠FED＝120°，
∴FD2＝EF2＋ED2－2EF·ED· cos 120°＝3，∴FD＝ ，在
△EFE1和△EE1D中，得E1F＝E1D＝ ＝ ，
∴△FE1D是等邊三角形，∠FE1D＝60°.故選B.
通性通法
求異面直線所成的角的方法
　　求異面直線所成的角，可通過多種方法平移產生三角形，主要有
三種方法：①直接平移法（可利用圖中已有的平行線）；②中位線平
移法；③補形平移法（在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便
找到平行線）.
【跟蹤訓練】
　已知正四棱錐P-ABCD中，PA＝2，AB＝ ，M是側棱PC的中
點，且BM＝ ，則異面直線PA與BM所成角為 .
解析：如圖，連接AC，BD交于點O，連接OM，則
∠OMB為異面直線PA與BM所成角.由O，M分別
為AC，PC中點，得OM＝ PA＝1.在Rt△AOB中，
易得OB＝AB· sin 45°＝1.又BM＝ ，即OB2＋
OM2＝BM2，所以△OMB為等腰直角三角形，
∠OMB＝45°.
45°
題型二 直線與平面所成的角
【例2】　如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱
BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為（　　）
A. B.
C. D.
解析：　取A1C1，AC的中點E，F，連接B1E，BF，EF，如圖所示.由正三棱柱性質易知B1E⊥平面AA1C1C，過D作DH∥B1E，則DH⊥平面AA1C1C，
則∠DAH即為AD與平面AA1C1C所成的角，易得DH
＝B1E＝ ，DA＝ ，所以 sin ∠DAH＝ ＝ ，
故選A.
通性通法
直線與平面所成的角的求法
　　求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點（斜
足），然后在直線上取一點（除斜足外）作平面的垂線，再過垂足和
斜足作直線，即得直線在平面內的射影，最后根據垂線、斜線、射影
所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角.
提醒　（1）斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是
線段；（2）一條斜線與平面所成的角是這條斜線與平面內所有直線
所成角中最小的，稱之為最小角定理.
【跟蹤訓練】
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱BC，A1B1的中點分別為E，F，則
直線EF與平面ABB1A1所成角的正弦值為（　　）
A. B.
C. D.
解析：　連接FB，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面
ABB1A1，棱BC的中點為E，則BE⊥平面ABB1A1，而BF 平面
ABB1A1，故BE⊥BF，則∠EFB即為直線EF與平面ABB1A1所成角，
設正方體棱長為2，則BE＝1，BF＝ ＝ ＝ ，
則EF＝ ＝ ，故 sin ∠EFB＝ ＝ ＝ ，故選C.
題型三 二面角
角度1　定義法求二面角
【例3】　如圖所示，平面ABCD⊥平面BCEF，四邊形ABCD為矩
形，四邊形BCEF為直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE. 求
平面ADE與平面BCEF所成二面角的大小.
解：在平面BCEF中，過點E作BC的平行線與BF
的延長線交于點G，連接AG，如圖，則EG∥BC.
因為四邊形ABCD為矩形，所以AD∥BC，所以
EG∥AD. 則平面ADEG與平面BCEG所成的角即是
我們要求的二面角，EG即為該二面角的棱.
由BC⊥CD，BC⊥CE可知，BC⊥平面CDE.
又EG∥BC，所以EG⊥平面CDE.
因為在平面BCEG中有CE⊥EG，在平面ADEG中，有DE⊥EG，
所以∠DEC即為平面ADE與平面BCEF所成二面角的平面角.
因為DC＝CE，所以△DCE是等腰直角三角形，
所以∠DEC＝45°，
即平面ADE與平面BCEF所成二面角的大小為45°.
通性通法
　　利用二面角的定義，在二面角的棱上找點，過點在兩個平面內作
棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角，解題時應先找平面
角，再證明，最后在三角形中求平面角.
角度2　垂面法求二面角
【例4】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N
分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點.
（1）求證：平面MNF⊥平面NEF；
解：證明：∵N，F均為所在棱的中點，∴NF⊥平面
A1B1C1D1.而MN 平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.
又∵M，E均為所在棱的中點，∴△C1MN和△B1NE均為等腰
直角三角形，
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，
∴MN⊥NE. 又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF.
而MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.
（2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值.
解：在平面NEF中，過點N作NG⊥EF于點
G，連接MG. 如圖所示.
由（1）得知MN⊥平面NEF，
又EF 平面NEF，
∴MN⊥EF.
又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，
∴EF⊥MG.
∴∠MGN為二面角M-EF-N的平面角.
設該正方體的棱長為2.
在Rt△NEF中，NG＝ ＝ ＝ ，
∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝ ＝ ＝ .
∴二面角M-EF-N的平面角的正切值為 .
通性通法
　　二面角中如果存在一個平面與棱垂直，且與二面角的兩
個半平面都相交，那么這兩條交線所成的角即為該二面角的
平面角.
角度3　垂線法求二面角
【例5】　如圖，平面β內一條直線AC，AC與平面α所成的角為
30°，AC與棱BD所成的角為45°，求二面角α-BD-β的大小.
解：如圖，過A作AF⊥BD，F為垂足，
作AE⊥平面α，E為垂足，連接EF，CE，
∴由三垂線定理知BD⊥EF，
∴∠AFE為二面角α-BD-β的平面角.
依題意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，設AC＝2，
∴AF＝CF＝ ，AE＝1，
∴ sin ∠AFE＝ ＝ ＝ ，
∴∠AFE＝45°.
∴二面角α-BD-β的大小為45°.
通性通法
　　如果兩個平面相交，有過一個平面內的一點與另一個平面垂直的
垂線，可過這一點作棱的垂線，連接兩個垂足，應用三垂線定理可證
明兩垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.
角度4　射影面積法求二面角
【例6】　在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面
ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小.
解：如圖，∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB 平面
PAB，
∴AD⊥平面PAB，
同理BC⊥平面PAB.
∴△PCD在平面PBA上的射影為△PAB，
設平面PBA與平面PCD所成的二面角為θ，
∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，
∴θ＝45°.
故平面PBA與平面PCD所成的二面角的大小為45°.
通性通法
　　若多邊形的面積為S，它在一個平面內的射影圖形的面積為S'，
且多邊形與該平面所成的二面角為θ，則 cos θ＝ .
【跟蹤訓練】
1. 如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，則二面角A1-
BC-A的平面角的正切值為（　　）
A. B.
C. 1 D.
解析：　由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，設棱長為
a，BC的中點為E，連接A1E，AE（圖略），可得A1E⊥BC，
AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角為∠A1EA，在Rt△A1AE
中，AE＝ a，所以tan∠A1EA＝ ＝ ＝ ，即二面角A1-
BC-A的平面角的正切值為 .
2. 《九章算術》是我國古代數學名著，書中將四個面均為直角三角形
的棱錐稱為“鱉臑”.如圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面
ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝ ，則二面角A-PC-B
的正弦值為 .

解析：因為PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC. 過點B作BD⊥AC于點D，過點D作DE⊥PC于點E，連接BE. 因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
BD 平面ABC，
所以BD⊥平面PAC. 因為PC 平面PAC，所以BD⊥PC. 因為DE⊥PC，BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，所以PC⊥平面BDE. 因為BE 平面BDE，所以PC⊥BE，所以二面角A-PC-B的平面角為∠BED. 因為AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABC，所以PB＝ ，AC＝ ，PC＝2，PB⊥BC. 又因為BE⊥PC，所以E為PC的中點，所以BE＝1.由等面積法得BD＝ .因為BD⊥平面PAC，所以 sin ∠BED＝ ＝ .所以二面角A-PC-B的正弦值為 .
1. 若斜線段AB的長是它在平面α上的射影長的2倍，則AB與平面α所
成的角是（　　）
A. 60° B. 45°
C. 30° D. 120°
解析：　斜線段、垂線段以及射影構成直角三角形，如圖所示，∠ABO即是斜線段AB與平面α所成的角.因為AB＝2BO，所以 cos ∠ABO＝ ＝ ，所以∠ABO＝60°.
2. 如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，則異面直線B1C1與AC所成角的大小為（　　）
A. 45° B. 60°
C. 30° D. 90°
解析：　因為BC∥B1C1，所以∠ACB（或它的補角）為異面直
線B1C1與AC所成角，因為∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，所以
∠ACB＝45°，所以異面直線B1C1與AC所成角為45°.故選A.
3. 已知在如圖所示的四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且
BC＝CD＝1，AD＝ ，則二面角B-CD-A的正切值為 .
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解析：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD，又
BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，∴CD⊥平面
ABC，∴CD⊥AC，∴∠ACB為二面角B-CD-A的平面
角.∵BC⊥CD，∴BD＝ ＝ .∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB＝ ＝1，在Rt△ABC
中，tan∠ACB＝ ＝1.
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線D'A與BB'所成的角可以表
示為（　　）
A. ∠DD'A B. ∠AD'C'
C. ∠ADB' D. ∠DAD'
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2. 若一個圓錐的側面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面
所成的角的大小為（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　設圓錐的底面半徑為R，母線長為l，因為圓錐的側面
積是底面積的2倍，所以πRl＝2πR2，解得l＝2R，設該圓錐的母
線與底面所成角為α，則 cos α＝ ＝ ，所以α＝ .故選C.
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3. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BD1與直線AA1所成角的余弦值
是（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　由于AA1∥DD1，所以∠DD1B（或其補角）即為直線
BD1與直線AA1所成的角，不妨設正方體的棱長為a，則BD＝
a，BD1＝ ＝ a，所以 cos ∠DD1B＝ ＝ ＝
，故選D.
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4. （2024·東莞月考）已知二面角α-AB-β的平面角是銳角θ，平面α上
有一點C到β的距離為3，點C到棱AB距離為4，那么tan θ＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　如圖，作CE⊥AB于點E，CD⊥平面
β于點D，連接ED，因為AB 平面β，所以
CD⊥AB，又CE∩CD＝C，且CE 平面
CDE，CD 平面CDE，所以AB⊥平面CDE，
因為ED 平面CDE，所以AB⊥ED，因此
∠CED＝θ，CD＝3，CE＝4，所以ED＝
＝ ，所以tan θ＝ ＝ .故選B.
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5. 已知正三棱錐S-ABC的棱長為2，則側面和底面所成二面角的余弦
值為（　　）
A. B. －
C. D. －
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解析：　法一　如圖所示，過點S作SO⊥底
面ABC，點O為垂足，連接OA，OB，OC，
則Rt△OAS≌Rt△OBC≌Rt△OCS，∴OA＝OB
＝OC，∴點O為等邊三角形ABC的中心.延長
AO交BC于點D，連接SD，則AD⊥BC，
BC⊥SD，∴∠ODS為側面SBC與底面ABC所
成的二面角的平面角.∵OD＝ AD＝ SD，
∴在Rt△SOD中， cos ∠ODS＝ ＝ .
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法二　∵三個側面在底面上的射影完全相同，都是底面正三角形面積
的 ，且正三棱錐S-ABC的四個面面積相同，∴由 cos θ＝ 知，側
面和底面所成二面角（顯然為銳角）的余弦值為 .
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A. cos θ3＝ cos θ1· cos θ2
B. cos θ3＝ sin θ1· cos θ2
C. sin θ3＝ sin θ1· sin θ2
D. sin θ3＝ cos θ1· sin θ2
6. 二面角α-MN-β的平面角為θ1，AB α，B∈MN，∠ABM＝θ2（θ2
為銳角），AB與β的夾角為θ3，則下列關系式成立的是（　　）
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解析：　如圖，過點A作AH⊥β于點H，作HO⊥MN于點O，連接AO，BH，則AO⊥MN，所以∠AOH為α-MN-β的平面角，
∠ABH為AB與β所成的角，因為 sin θ1＝ ， sin θ2＝ ，所以 sin θ1· sin θ2＝ · ＝ ＝ sin θ3.
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7. （多選）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則（　　）
A. 直線AB1與A1C1所成的角為60°
B. 直線AC與B1D1所成的角為60°
C. 二面角B-AD-B1的大小為45°
D. 二面角A-BD-A1的大小為45°
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解析：　對于A，連接AC，CB1，由正方體
的性質知：AB1＝B1C＝AC，所以△AB1C為等
邊三角形，故∠B1AC＝60°，由于
A1A∥C1C，A1A＝C1C，所以四邊形A1ACC1
為平行四邊形，所以A1C1∥AC，故∠B1AC＝
60°即為直線AB1與A1C1所成的角，故A正確；
對于B，由于B1D1∥BD，而BD⊥AC，所以直線AC與B1D1所成的角為90°，故B錯誤；
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對于C，因為DA⊥平面B1BAA1，AB1 平面B1BAA1，所以AD⊥AB1，又因為AB⊥DA，故∠BAB1即為二面角B-AD-B1的平面角，由于∠BAB1＝45°，故C正確；對于D，連接A1D，A1B，設正方體的棱長為2，所以A1D＝BD＝A1B＝2 ，AO＝ ，A1O＝ ，又A1O⊥BD，AO⊥BD，所以∠A1OA即為二面角A-BD-A1的平面角，所以 sin ∠A1OA＝ ＝ ＝ ，故D錯誤.故選A、C.
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8. （多選）《九章算術》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為底面
為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐，如圖，在直角梯形ABCS中，
∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，過點A作AD⊥SC
交SC于點D，以AD為折痕把△SAD折起，當幾何體S-ABCD為陽
馬時，下列四個命題正確的是（　　）
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA與平面SBD所成角的大小等于45°
D. AB與SC所成角的大小等于30°
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解析：　如圖，當幾何體S-ABCD為陽馬
時，SD⊥平面ABCD，對于A，SD⊥平面
ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD
＝D，故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正
確；對于B，因為AB∥CD，且AB 平面
SCD，CD 平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正確；對于C，由A知，AC⊥平面SBD，連接SO，則∠ASO是SA與平面SBD所成的角，因為SA＝ ，OA＝ ，所以∠ASO＝30°，故C不
正確；對于D，因為AB∥CD，所以∠SCD是AB與SC所成的角，因為SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故D不正確.
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9. 已知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面邊長分別為2和4，若
側棱AA1與底面ABCD所成的角為60°，則該正四棱臺的體積
為 .

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解析：如圖，S，O分別為上底面和下底面的
中心，連接OS，則OS⊥底面ABCD，過點A1
作A1T⊥AO于點T，則A1T⊥底面ABCD，因
為上、下底面邊長分別為2和4，所以A1S＝
，AO＝2 ，故TO＝A1S＝ ，AT＝AO－OT＝ ，tan∠A1AT＝ ，由于∠A1AT＝60°，故A1T＝ AT＝ ，故該正四棱臺的體積為 （22＋42＋ ）× ＝ .
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10. （2024·濰坊月考）如圖所示，某人在垂直于水平地面ABC的墻面
前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標
點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計
算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB＝15 m，AC＝25 m，
∠BCM＝30°，則tan θ的最大值是 .（仰角θ為直角AP與
平面ABC所成的角）

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解析：由勾股定理得BC＝20 m.如圖所示，過
P點作PD⊥BC于D，連接AD，則點A觀察點
P的仰角θ＝∠PAD，tan θ＝ .設PD＝x，則
DC＝ x，BD＝20－ x.在Rt△ABD中，
AD＝ ＝ ＝
，所以tan θ＝ ＝ ＝
≤ ，故tan θ的最大值為 .
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11. 如圖，S是正三角形ABC所在平面外的一點，SA＝SB＝SC，且
∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ ，M，N分別是AB和SC的中點.求
異面直線SM與BN所成角的余弦值.
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解：如圖所示，連接CM，
設Q為CM的中點，連接QN，則QN∥SM.
∴∠QNB或其補角是異面直線SM與BN所成的角.
連接BQ，設SC＝a，在△BQN中，
BN＝ a，NQ＝ SM＝ a，BQ＝ a，
∴ cos ∠QNB＝ ＝ ＝
，即異面直線SM與BN所成角的余弦值為 .
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12. 在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，PA⊥平面
ABCD，PA＝AB，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的余弦值.
解：設PA＝AB＝2，過點A在平面ABCD內作AE⊥BC交BC于點E，連接PE，如圖所示，
∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵AE⊥BC，PA∩AE＝A，PA，AE 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∵PE 平面PAE，∴PE⊥BC，
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∴二面角P-BC-A的平面角為∠PEA，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，
AB＝2，
則AE＝ AB＝1，
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∴PE＝ ＝ ，
∴ cos ∠PEA＝ ＝ ＝ .
∴二面角P-BC-A的余弦值為 .
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13. 如圖，點P為平面ABC外一點，AP，AB，AC兩兩互相垂直，
過AC的中點D作ED⊥平面ABC，且ED＝1，PA＝2，AC＝2，
連接BP，BE，BD，多面體B-PADE的體積是 .
（1）畫出平面PBE與平面ABC的交線，并說明理由；
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解：如圖，延長PE交AC于點F，連接BF，
∵AP，AB，AC兩兩互相垂直，
∴PA⊥平面ABC.
∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，
∴ ＝ ＝ ，∴F與C重合.
∵C∈PE，C∈AC，PE 平面PBE，AC 平面ABC，
∴C是平面PBE與平面ABC的公共點.
又B是平面PBE與平面ABC的公共點，
∴BC是平面PBE與平面ABC的交線.
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（2）求BE和平面PADE所成角的正切值.
解：如圖，連接AE.
∵AP，AB，AC兩兩互相垂直，
∴AB⊥平面PAC，
∴∠BEA為BE和平面PADE所成的角.
∵VB-PADE＝ S梯形ADEP·AB
＝ × ×（1＋2）×1×AB＝ ，
∴AB＝ .
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又∵AE＝ ＝ ，
∴tan∠BEA＝ ＝ ＝ ，
∴BE和平面PADE所成角的正切值為 .
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