資源簡介

培優課　空間幾何體的截面問題
1.用一個平面去截一個四棱錐，截面形狀不可能的是（　　）
A.四邊形 B.三角形
C.五邊形 D.六邊形
2.已知圓錐的母線長為3，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（　　）
A.（3＋3）π B.
C.（4＋6）π D.（6＋6）π
3.若正方體的一個截面恰好截這個正方體為等體積的兩部分，則該截面（　　）
A.一定通過正方體的中心
B.一定通過正方體一個表面的中心
C.一定通過正方體的一個頂點
D.一定構成正多邊形
4.（2024·杭州月考）已知過BD1的平面與正方體ABCD-A1B1C1D1相交，分別交棱AA1，CC1于M，N.則下列關于截面BMD1N的說法中，不正確的是（　　）
A.截面BMD1N可能是矩形
B.截面BMD1N可能是菱形
C.截面BMD1N可能是梯形
D.截面BMD1N不可能是正方形
5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方體中過點M，N，C1的截面圖形是（　　）
A.三角形 B.四邊形
C.五邊形 D.六邊形
6.如圖是一個棱長為2的正方體被過棱A1B1、A1D1的中點M、N，頂點A和過點N及頂點D、C1的兩個截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
7.如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（　　）
A.（2）（5） B.（1）（3）
C.（2）（4） D.（1）（5）
8.已知正方體的棱長為2，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（　　）
A. B.2
C.3 D.3
9.用一個平面去截一個正方體，截面邊數有　　　　種情況.
10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F分別為BB1，A1D1的中點，過點A，E，F作長方體ABCD-A1B1C1D1的一截面，則該截面的周長為　　　　.
11.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別為A1B1，B1C1的中點，過M，N的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為　　　　.
12.如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝60°，四邊形CDD1C1是正方形.指出棱CC1與平面ADB1的交點E的位置（無需證明），并在圖中將平面ADB1截該四棱柱所得的截面補充完整.
13.（2024·陽江質檢）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，M為DD1的中點.
（1）求證：D1B∥平面MAC；
（2）過D1B作正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面，使得截面平行于平面MAC，在正四棱柱表面應該怎樣畫線？請說明理由，并求出截面的面積.
培優課　空間幾何體的截面問題
1.D　根據一般的截面與幾何體的幾個面相交就得到幾條交線，截面就是幾邊形，而四棱錐最多只有5個面，則截面形狀不可能的是六邊形，故選D.
2.B　依題意，圓錐的母線長為3，軸截面為等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑為r＝，所以圓錐的表面積為π×（）2＋π××3＝，故選B.
3.A　根據題意，恰好截正方體為等體積的兩部分的截面，可能為中截面、對角面、也可能是傾斜的平面，不管哪種截面都過正方體的中心.故選A.
4.C　如圖①，當M，N分別與對角頂點重合時，顯然BMD1N是矩形；
如圖②，當M，N為AA1，CC1的中點時，顯然BMD1N是菱形，由正方體的性質及勾股定理易知：BMD1N不可能為正方形；
根據對稱性，其它情況下BMD1N為平行四邊形；綜上，C不正確.故選C.
5.C　先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點.如圖，設直線C1M，CD相交于點P，直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形.
6.C　將正方體還原可得如圖所示圖形，則＝××1×1×2＝，＝××1×2×2＝，＝23＝8，所以該幾何體的體積V＝8－－＝7.故選C.
7.D　當截面ABCD如圖①為軸截面時，截面圖形如（1）所示；
當截面ABCD如圖②不為軸截面時，截面圖形如（5）所示，下側為拋物線的形狀.
故選D.
8.C　在正方體中，共有3組互相平行的棱，每條棱與平面α所成的角都相等，如圖所示的正六邊形對應的截面面積最大.此時正六邊形的邊長為，其面積為6××（）2＝3.
9.4　解析：正方體有六個面，用一個平面去截一個正方體，截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示，因此截面邊數有4種情況.
10.4＋2　解析：連接AF，過點E作EP∥AF交B1C1于點P，連接FP，AE，即可得到截面AFPE，因為E為BB1中點，EP∥AF，所以B1P＝A1F＝1，因為AB＝2，AD＝AA1＝4，則AF＝＝2，且EP＝AF＝，AE＝＝2，FP＝＝，所以截面AFPE的周長為2＋＋2＋＝4＋2.
11.　解析：如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形MNCA，其中MN＝，AC＝2，AM＝CN＝，高為h＝＝，故面積為×（＋2）×＝.
12.解：E為CC1的中點.
作圖如下：如圖，取CC1的中點E，連接DE，B1E，
平面ADEB1即為該四棱柱所得的截面（可通過證明 DE∥AB1來判斷）.
13.解：（1）證明：連接DB，交AC于點O，所以O為DB的中點，連接MO.因為M為DD1的中點，所以MO是△D1DB的中位線，所以D1B∥MO.
又MO 平面MAC，D1B 平面MAC，所以D1B∥平面MAC.
（2）分別取A1A，B1B，C1C的中點E，G，F，連接D1E，EB，BF，FD1，則四邊形D1EBF即為所求截面，證明如下：
連接A1G，GF，所以A1E＝GB，A1E∥GB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1G＝EB，A1G∥EB.同理A1D1＝GF，A1D1∥GF，所以四邊形D1A1GF是平行四邊形，所以A1G＝D1F，A1G∥D1F，所以D1F＝EB，D1F∥EB，即四邊形D1EBF是平行四邊形.
又因為MD1＝CF，MD1∥CF，所以四邊形D1MCF是平行四邊形，所以D1F∥MC.
因為D1F 平面MAC，MC 平面MAC，所以D1F∥平面MAC，又因為D1F∩D1B＝D1，D1F，D1B 平面D1EBF，所以平面MAC∥平面D1EBF，所以四邊形D1EBF即為所求截面.
又因為EB＝＝＝，
FB＝＝＝，所以EB＝FB，所以四邊形D1EBF為菱形，所以D1B⊥EF.
因為D1B＝
＝
＝＝2，
EF＝AC＝＝，所以截面面積為D1B·EF＝.
2 / 2培優課　空間幾何體的截面問題
　　截面定義：用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面，與幾何體表面的交集（交線）叫做截線，與幾何體棱的交集（交點）叫做截點.
題型一 直接法作截面
【例1】　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BB1的中點，畫出過A1，C1，P三點的截面.
通性通法
　　若截面上的點都在幾何體的棱上，且兩兩在同一個平面內，可借助基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內”，直接連線作截面.
【跟蹤訓練】
（多選）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點E，F，G，H分別為棱A1C1，B1C1，BC，AC上的點，過E，F，G，H四點作截面，則截面的形狀可以為（　　）
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
題型二 平行線法作截面
【例2】　在長方體ABCD-A'B'C'D'中，點P是棱BB'的中點，畫出過點A'，D'，P三點的截面.
通性通法
　　若截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某一個面平行，可以借助于兩個性質：①如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；②如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行，利用平行線法作截面.
【跟蹤訓練】
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為BC，CC1的中點，則平面AEF截正方體所得的截面多邊形的形狀為（　　 ）
A.三角形 B.四邊形
C.五邊形 D.六邊形
2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點P在棱AD上，過點P作該正方體的截面，當截面平行于平面B1D1C且該截面的面積為時，線段AP的長為（　　）
A. B.1
C. D.
題型三 延長線法作截面
【例3】　如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為6，M是A1B1的中點，點N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出過點D，M，N的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作法.
通性通法
　　若截面上的點中至少有兩個點在幾何體的一個表面上，可以借助于基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內”，利用延長線法作截面.
【跟蹤訓練】
已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M為PA中點，過C，D，M的平面截四棱錐P-ABCD所得的截面為α.若α與棱PB交于點F，畫出截面α，保留作圖痕跡（不用說明理由），求點F的位置.
1.用一個平面去截一個幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個幾何體不可能是（　　）
A.圓錐 B.圓柱
C.三棱錐 D.正方體
2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面α和線段AA1，BB1，CC1，DD1分別交于點E，F，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（　　）
A.梯形 B.正方形
C.長方形 D.菱形
3.（2024·中山月考）在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是正方形ABCD、正方形BB1C1C的中心，則過點A，M，N的平面截正方體的截面面積為　　　　.
4.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別是A1D1，C1D1，AA1的中點，試過P，Q，R三點作其截面.
培優課　空間幾何體的截面問題
【典型例題·精研析】
【例1】　解：因為此三點在幾何體的棱上，且兩兩在一個平面內，直接連接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P.
跟蹤訓練
　ACD　截面圖如圖所示，因為ABC-A1B1C1為直三棱柱，則平面A1B1C1∥平面ABC，截面過平面A1B1C1、平面ABC，則交線EF∥HG，當FG不與B1B平行時，此時截得的EH不平行于FG，四邊形EFGH為梯形；當FG∥B1B時，此時截得的EH∥FG，FG⊥EF，當EH≠EF時，四邊形EFGH為矩形；當EH＝EF時，四邊形EFGH為正方形.故A、C、D正確.
【例2】　解：連接 A'P，因為平面 ADD'A'∥平面BCC'B'，所以只要過P作A'D'的平行線即可.取CC'的中點Q，連接PQ，則A'D'∥PQ.連接D'Q即得截面A'PQD'.
跟蹤訓練
1.B　如圖，把截面AEF補形為四邊形AEFD1，連接BC1，因為E，F分別為BC，CC1的中點，則EF∥BC1， 又在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，所以EF∥AD1，則A，D1，F，E四點共面.則平面AEF截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.故選B.
2.D　如圖，連接BD，A1D，過點P作BD，A1D的平行線，分別交棱AB，AA1于點Q，R，連接QR.因為BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，因為B1D1 平面B1D1C，PQ 平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C.因為A1D∥B1C，所以PR∥B1C.因為B1C 平面B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C.又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，則平面PQR為截面，易知△PQR是等邊三角形，則PQ2·＝，解得PQ＝2，所以AP＝PQ＝.故選D.
【例3】　解：如圖所示，五邊形DQMFN為所求截面.
作法如下：連接DN并延長交D1C1的延長線于點E，
連接ME交B1C1于點F，交D1A1的延長線于點H，
連接DH交AA1于點Q，連接QM，FN，
所以五邊形DQMFN即為所求截面.
跟蹤訓練
　解：延長DC交AB的延長線于E，連接ME交PB于F，連接FC，如圖，四邊形MFCD為截面α.在△ADE中，BC∥AD，由＝，則C為DE中點，B為AE中點，過M作MN∥AB交PB于N，則MN＝AB＝1，∴△MNF∽△EBF，∴＝＝，∴BF＝2NF，即BF＝BP，∴F為棱PB上靠近點B位置的三等分點.
隨堂檢測
1.B　用一個平面去截一個圓錐時，軸截面的形狀是一個等腰三角形，所以A滿足條件； 用一個平面去截一個圓柱時，截面的形狀可能是矩形，可能是圓，可能是橢圓，不可能是一個三角形，所以B不滿足條件； 用一個平面去截一個三棱錐時，截面的形狀是一個三角形，所以C滿足條件； 用一個平面去截一個正方體時，截面的形狀可以是一個三角形，所以D滿足條件.故選B.
2.A　∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面α∩平面ADD1A1＝EH，平面α∩平面BCC1B1＝FG，∴EH∥FG，同理可得EF∥HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴截面EFGH的形狀不可能是梯形.故選A.
3.a2　解析：如圖，連接AC，則AC過點M，連接B1C，則B1C經過點N，連接AB1，則過點A、M、N的平面截正方體的截面為等邊△ACB1，因為正方體棱長為a，故△ACB1邊長為a，面積為·（a）2＝a2.
4.解：如圖，取BC的中點為F，延長PR，DA交于點E，連接EF交AB于點G，則G為AB的中點，延長GF，DC交于點H，連接HQ交CC1于點I，所得六邊形PRGFIQ即為所作截面.
1 / 2(共52張PPT)
培優課　空間幾何體的截面問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
　　截面定義：用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫
做這個幾何體的截面，與幾何體表面的交集（交線）叫做截線，與幾
何體棱的交集（交點）叫做截點.
解：因為此三點在幾何體的棱上，且兩兩在一個平面內，直接連接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P.
題型一 直接法作截面
【例1】　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BB1的中點，畫出過
A1，C1，P三點的截面.
通性通法
　　若截面上的點都在幾何體的棱上，且兩兩在同一個平面內，可借
助基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線
在這個平面內”，直接連線作截面.
【跟蹤訓練】
（多選）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點E，F，G，H分別
為棱A1C1，B1C1，BC，AC上的點，過E，F，G，H四點作截面，
則截面的形狀可以為（　　）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 梯形
解析：　截面圖如圖所示，因為ABC-A1B1C1為
直三棱柱，則平面A1B1C1∥平面ABC，截面過平面
A1B1C1、平面ABC，則交線EF∥HG，當FG不與
B1B平行時，此時截得的EH不平行于FG，四邊形
EFGH為梯形；當FG∥B1B時，此時截得的
EH∥FG，FG⊥EF，當EH≠EF時，四邊形
EFGH為矩形；當EH＝EF時，四邊形EFGH為正方
形.故A、C、D正確.
題型二 平行線法作截面
【例2】　在長方體ABCD-A'B'C'D'中，點P是棱BB'的中點，畫出過
點A'，D'，P三點的截面.
解：連接 A'P，因為平面 ADD'A'∥平面BCC'B'，所以只要過P作
A'D'的平行線即可.取CC'的中點Q，連接PQ，則A'D'∥PQ. 連接
D'Q即得截面A'PQD'.
通性通法
　　若截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與
幾何體的某一個面平行，可以借助于兩個性質：①如果一條直線平行
于一個平面，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就
和交線平行；②如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩
條交線平行，利用平行線法作截面.
【跟蹤訓練】
1. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為BC，CC1的中點，則
平面AEF截正方體所得的截面多邊形的形狀為（　　 ）
A. 三角形 B. 四邊形
C. 五邊形 D. 六邊形
解析：　如圖，把截面AEF補形為四邊形
AEFD1，連接BC1，因為E，F分別為BC，
CC1的中點，則EF∥BC1， 又在正方體
ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，所以
EF∥AD1，則A，D1，F，E四點共面.則平
面AEF截正方體所得的截面多邊形的形狀為
四邊形.故選B.
2. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點P在棱AD上，過點P
作該正方體的截面，當截面平行于平面B1D1C且該截面的面積為
時，線段AP的長為（　　）
B. 1
解析：　如圖，連接BD，A1D，過點P作
BD，A1D的平行線，分別交棱AB，AA1于點
Q，R，連接QR. 因為BD∥B1D1，所以
PQ∥B1D1，因為B1D1 平面B1D1C，PQ 平
面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C. 因為
A1D∥B1C，所以PR∥B1C. 因為B1C 平面
B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C. 又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，則平面PQR為截面，易知△PQR是等邊三角形，則 PQ2· ＝ ，解得PQ＝2，所以AP＝ PQ＝ .故選D.
　　
題型三 延長線法作截面
【例3】　如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為6，M是A1B1的中
點，點N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出過點D，M，N的平面截正
方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作法.
解：如圖所示，五邊形DQMFN為所求截面.
作法如下：連接DN并延長交D1C1的延長線于點E，
連接ME交B1C1于點F，交D1A1的延長線于點H，
連接DH交AA1于點Q，連接QM，FN，
所以五邊形DQMFN即為所求截面.
通性通法
　　若截面上的點中至少有兩個點在幾何體的一個表面上，可以借助
于基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線
在這個平面內”，利用延長線法作截面.
【跟蹤訓練】
已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥平面
ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M為PA
中點，過C，D，M的平面截四棱錐P-ABCD所得的截面為α.若α與
棱PB交于點F，畫出截面α，保留作圖痕跡（不用說明理由），求
點F的位置.
解：延長DC交AB的延長線于E，連接ME交
PB于F，連接FC，如圖，四邊形MFCD為截
面α.在△ADE中，BC∥AD，由 ＝ ，則
C為DE中點，B為AE中點，過M作
MN∥AB交PB于N，則MN＝ AB＝1，
∴△MNF∽△EBF，∴ ＝ ＝ ，∴BF＝
2NF，即BF＝ BP，∴F為棱PB上靠近點B
位置的三等分點.
1. 用一個平面去截一個幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個幾何
體不可能是（　　）
A. 圓錐 B. 圓柱
C. 三棱錐 D. 正方體
解析：　用一個平面去截一個圓錐時，軸截面的形狀是一個等腰
三角形，所以A滿足條件； 用一個平面去截一個圓柱時，截面的形
狀可能是矩形，可能是圓，可能是橢圓，不可能是一個三角形，所
以B不滿足條件； 用一個平面去截一個三棱錐時，截面的形狀是一
個三角形，所以C滿足條件； 用一個平面去截一個正方體時，截面
的形狀可以是一個三角形，所以D滿足條件.故選B.
2. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面α和線段AA1，BB1，CC1，
DD1分別交于點E，F，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是
（　　）
A. 梯形 B. 正方形
C. 長方形 D. 菱形
解析：　∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面α∩平面ADD1A1＝
EH，平面α∩平面BCC1B1＝FG，∴EH∥FG，同理可得
EF∥HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴截面EFGH的形狀不
可能是梯形.故選A.

解析：如圖，連接AC，則AC過點M，連接
B1C，則B1C經過點N，連接AB1，則過點A、
M、N的平面截正方體的截面為等邊△ACB1，
因為正方體棱長為a，故△ACB1邊長為 a，
面積為 ·（ a）2＝ a2.
a2
4. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別是A1D1，C1D1，AA1的中點，試過P，Q，R三點作其截面.
解：如圖，取BC的中點為F，延長PR，DA交于點E，連接EF交AB于點G，則G為AB的中點，延長GF，DC交于點H，連接HQ交CC1于點I，所得六邊形PRGFIQ即為所作截面.
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 用一個平面去截一個四棱錐，截面形狀不可能的是（　　）
A. 四邊形 B. 三角形
C. 五邊形 D. 六邊形
解析：　根據一般的截面與幾何體的幾個面相交就得到幾條交
線，截面就是幾邊形，而四棱錐最多只有5個面，則截面形狀不可
能的是六邊形，故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 已知圓錐的母線長為3，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表
面積為（　　）
解析：　依題意，圓錐的母線長為3，軸截面為等腰直角三角
形，所以圓錐的底面半徑為r＝ ，所以圓錐的表面積為π×
（ ）2＋π× ×3＝ ，故選B.
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3. 若正方體的一個截面恰好截這個正方體為等體積的兩部分，則該截
面（　　）
A. 一定通過正方體的中心
B. 一定通過正方體一個表面的中心
C. 一定通過正方體的一個頂點
D. 一定構成正多邊形
解析：　根據題意，恰好截正方體為等體積的兩部分的截面，可
能為中截面、對角面、也可能是傾斜的平面，不管哪種截面都過正
方體的中心.故選A.
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4. （2024·杭州月考）已知過BD1的平面與正方體ABCD-A1B1C1D1相
交，分別交棱AA1，CC1于M，N. 則下列關于截面BMD1N的說法
中，不正確的是（　　）
A. 截面BMD1N可能是矩形
B. 截面BMD1N可能是菱形
C. 截面BMD1N可能是梯形
D. 截面BMD1N不可能是正方形
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解析：　如圖①，當M，N分別與對角頂點重合時，顯然BMD1N是矩形；
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如圖②，當M，N為AA1，CC1的中點時，顯然BMD1N是菱形，由正方體的性質及勾股定理易知：BMD1N不可能為正方形；
根據對稱性，其它情況下BMD1N為平行四邊形；綜上，C不正確.故選C.
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5. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的
點，MD＝ DD1，NB＝ BB1，那么正方體中過點M，N，C1的
截面圖形是（　　）
A. 三角形 B. 四邊形
C. 五邊形 D. 六邊形
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解析：　先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點.如圖，設直線C1M，CD相交于點P，
直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形.
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6. 如圖是一個棱長為2的正方體被過棱A1B1、A1D1的中點M、N，頂
點A和過點N及頂點D、C1的兩個截面截去兩個角后所得的幾何
體，則該幾何體的體積為（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
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解析：　將正方體還原可得如圖所示圖形，則 ＝ × ×1×1×2＝ ， ＝ × ×1×2×2＝ ， ＝23＝8，所以該幾何體的體積V＝8－ － ＝7.故選C.
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7. 如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下
底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現用一個豎直的平面去截
這個幾何體，則截面圖形可能是（　　）
A. （2）（5） B. （1）（3）
C. （2）（4） D. （1）（5）
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解析：　當截面ABCD如圖①為軸截面時，截面圖形如
（1）所示；
當截面ABCD如圖②不為軸截面時，截面圖形如（5）所
示，下側為拋物線的形狀.
故選D.
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8. 已知正方體的棱長為2，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則
α截此正方體所得截面面積的最大值為（　　）
D. 3
解析：　在正方體中，共有3組互相平行的棱，
每條棱與平面α所成的角都相等，如圖所示的正
六邊形對應的截面面積最大.此時正六邊形的邊
長為 ，其面積為6× ×（ ）2＝3 .
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9. 用一個平面去截一個正方體，截面邊數有 種情況.
解析：正方體有六個面，用一個平面去截一個正方體，截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示，因此截面邊數有4種情況.
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10. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F
分別為BB1，A1D1的中點，過點A，E，F作長方體ABCD-
A1B1C1D1的一截面，則該截面的周長為 .
4 ＋2
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解析：連接AF，過點E作EP∥AF交B1C1于點P，連接FP，AE，即可得到截面AFPE，因為E為BB1中點，EP∥AF，所以B1P＝ A1F＝1，因為AB＝2，AD＝AA1＝4，則AF＝
＝2 ，且EP＝ AF＝ ，AE＝ ＝2 ，FP＝ ＝ ，所以截面AFPE的周長為2 ＋ ＋2 ＋ ＝4 ＋2 .
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解析：如圖所示，最大面積的截面四邊形為等
腰梯形MNCA，其中MN＝ ，AC＝2 ，
AM＝CN＝ ，高為h＝ ＝ ，故面
積為 ×（ ＋2 ）× ＝ .

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12. 如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯
形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝60°，四邊形CDD1C1是
正方形.指出棱CC1與平面ADB1的交點E的位置（無需證明），
并在圖中將平面ADB1截該四棱柱所得的截面補充完整.
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解：E為CC1的中點.
作圖如下：如圖，取CC1的中點E，連接DE，B1E，
平面ADEB1即為該四棱柱所得的截面（可通過證明 DE∥AB1來判斷）.
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13. （2024·陽江質檢）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝ ，M為DD1的中點.
（1）求證：D1B∥平面MAC；
解：證明：連接DB，交AC于點O，
所以O為DB的中點，連接MO. 因為M為
DD1的中點，所以MO是△D1DB的中位線，
所以D1B∥MO.
又MO 平面MAC，D1B 平面MAC，所
以D1B∥平面MAC.
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（2）過D1B作正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面，使得截面平行
于平面MAC，在正四棱柱表面應該怎樣畫線？請說明理
由，并求出截面的面積.
解：分別取A1A，B1B，C1C的中點E，G，F，連接D1E，EB，BF，FD1，
則四邊形D1EBF即為所求截面，證明如下：
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連接A1G，GF，所以A1E＝GB，A1E∥GB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1G＝EB，A1G∥EB. 同理A1D1＝GF，A1D1∥GF，所以四邊形D1A1GF是平行四邊形，所以A1G＝D1F，
A1G∥D1F，所以D1F＝EB，D1F∥EB，
即四邊形D1EBF是平行四邊形.
又因為MD1＝CF，MD1∥CF，所以四邊形D1MCF是平行四邊形，所以D1F∥MC.
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因為D1F 平面MAC，MC 平面MAC，所以D1F∥平面MAC，又因為D1F∩D1B＝D1，D1F，D1B 平面D1EBF，所以平面MAC∥平面D1EBF，所以四邊形D1EBF即為所求截面.
又因為EB＝ ＝ ＝ ，
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FB＝ ＝ ＝ ，
所以EB＝FB，所以四邊形D1EBF為菱形，
所以D1B⊥EF.
因為D1B＝
＝ ＝
＝2，
EF＝AC＝ ＝ ，所以截面面
積為 D1B·EF＝ .
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