資源簡(jiǎn)介

培優(yōu)課　與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題
1.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)分別為，，2，則它的外接球的半徑為（　　）
A.1　　　 B.
C.　　 D.2
2.一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為20π，則該四棱柱的高為（　?。?br/>A. B.2
C.3 D.
3.若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則其內(nèi)切球的表面積為（　?。?br/>A.4π（r＋R）2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π（R＋r）2
4.（2024·清遠(yuǎn)月考）已知半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則半球的表面積為（　?。?br/>A.10π B.12π
C.15π D.18π
5.已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)為6，則該正三棱錐外接球的體積是（　?。?br/>A. B.64π
C. D.256π
6.（2024·陽(yáng)江月考）如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為（　?。?br/>A. B.
C. D.
7.（多選）如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，上面刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，下列關(guān)于圓柱的體積與球的體積之比以及圓柱的表面積與球的表面積之比的說(shuō)法正確的是（　?。?br/>A.體積之比為 B.體積之比為
C.表面積之比為 D.表面積之比為
8.（多選）已知某正方體的外接球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，該正方體的內(nèi)切球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N，若線段MN的最小值為－1，則下列說(shuō)法正確的是（　?。?br/>A.正方體的外接球的表面積為12π
B.正方體的內(nèi)切球的體積為
C.正方體的棱長(zhǎng)為2
D.線段MN的最大值為2
9.（2023·全國(guó)乙卷16題）已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝　　　　.
10.兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為　　　　.
11.有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體的各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比.
12.一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972π的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球.求：
（1）圓錐的側(cè)面積；
（2）圓錐內(nèi)切球的體積.
13.在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是長(zhǎng)方形，底面周長(zhǎng)為8，PD＝3，且PD是四棱錐的高，設(shè)AB＝x.
（1）當(dāng)x＝3時(shí)，求三棱錐A-PBC的體積；
（2）求四棱錐外接球的表面積的最小值.
培優(yōu)課　與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題
1.B　設(shè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，∴（2R）2＝a2＋b2＋c2＝9，∴長(zhǎng)方體的外接球的半徑R＝.
2.C　設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝20π，解得R2＝5，設(shè)四棱柱的高為h，則（ ）2＋（ ）2＝R2，解得h＝3.
3.C　如圖， BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面積為4πOE2＝4πRr.
4.D　因?yàn)檎襟w的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，所以過(guò)正方體體對(duì)角線的軸截面如圖所示，又正方體的棱長(zhǎng)為2，所以FG＝2，EF＝2，則OF＝（O為半球的球心），OG＝＝，即半球的半徑為，所以半球的表面積為×4π×（）2＋π×（）2＝18π，故選D.
5.C　取△ABC的中心為E，連接SE，記球心為O.如圖，∵在正三棱錐S-ABC中，底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為4，∴BE＝××6＝2，∴SE＝＝6.∵球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長(zhǎng)R，∴OB＝R，OE＝6－R.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋（6－R）2，解得R＝4，∴外接球的體積為V＝πR3＝.
6.C　平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓，∵正方體棱長(zhǎng)為1，∴AC＝CD1＝AD1＝.∴內(nèi)切圓半徑r＝tan 30°·AE＝×＝.∴S＝πr2＝π×＝，故選C.
7.AC　設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，由圓柱和球的體積、表面積公式計(jì)算可得V柱＝2πR3，V球＝πR3，所以V柱∶V球＝3∶2；S柱＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，所以S柱∶S球＝3∶2.
8.ABC　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體外接球半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，為a，內(nèi)切球半徑為棱長(zhǎng)的一半，為.∵M(jìn)，N分別為該正方體外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，∴MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，∴正方體的棱長(zhǎng)為2，C正確.正方體的外接球的表面積為4π×（）2＝12π，A正確.正方體的內(nèi)切球的體積為π×13＝，B正確.線段MN的最大值為a＋＝＋1，D錯(cuò)誤.故選A、B、C.
9.2　解析：如圖，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，連接O1A，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑r＝O1A＝××3＝.將三棱錐S-ABC補(bǔ)形為正三棱柱SB1C1-ABC，由題意知SA為側(cè)棱，設(shè)球心為O，連接OO1，OA，則OO1⊥平面ABC，且OO1＝SA.又球的半徑R＝OA＝2，OA2＝O＋O1A2，所以4＝SA2＋3，得SA＝2.
10.4π　解析：如圖所示，由球的體積為，可得該球的半徑R＝2，由題意得，兩個(gè)圓錐的高O'S，O'P分別為1和3，∵PS為球O的直徑，∴△PAS為直角三角形，又∵O'A⊥PS，∴可得截面圓半徑O'A＝，∴這兩個(gè)圓錐的體積之和為V＝π·（）2·（3＋1）＝4π.
11.解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，三個(gè)球的半徑分別為r1，r2，r3.
（1）正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面（正方形）的中心，經(jīng)過(guò)在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖①所示.所以2r1＝a，r1＝，S1＝4π＝πa2.
（2）球與正方體各棱的切點(diǎn)為每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖②.
所以2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4π＝2πa2.
（3）正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖③所示.
則2r3＝a，所以r3＝a，S3＝4π＝3πa2.
因此三個(gè)球的表面積之比為S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
12.解：（1）如圖所示，作出軸截面，則等腰△SAB內(nèi)接于圓O，而圓O1內(nèi)切于△SAB.
設(shè)圓O的半徑為R，則有πR3＝972π，
∴R＝9，SE＝2R＝18.
∵SD＝16，∴ED＝2.
連接AE，又SE是圓O的直徑，
∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12.
∵AB⊥SD，D為AB中點(diǎn)，
∴AD2＝SD×DE＝16×2＝32，AD＝4，
∴S圓錐側(cè)＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π.
（2）設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，即圓O1的半徑為r，
∵△SAB的周長(zhǎng)為2×（12＋4）＝32，
∴r×32＝×8×16，解得r＝4.
故圓錐內(nèi)切球的體積V球＝πr3＝π.
13.解：（1）當(dāng)x＝3時(shí)，AB＝3，BC＝1，
則S△ABC＝×AB×BC＝，
∴V三棱錐A-PBC＝V三棱錐P-ABC＝×PD×S△ABC＝.
（2）將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1P，如圖所示，
則四棱錐P-ABCD的外接球和長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1P的外接球相同.
∵AB＝x，∴BC＝4－x，則四棱錐P-ABCD外接球的半徑R＝＝，
易知當(dāng)x＝2時(shí)，R取得最小值，此時(shí)四棱錐外接球的表面積的最小值為4π×（ ）2＝17π.
1 / 2培優(yōu)課　與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題
空間幾何體與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題是立體幾何中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).所謂幾何體的外接球，是指幾何體的各頂點(diǎn)（或旋轉(zhuǎn)體的頂點(diǎn)、底面圓周）都在一個(gè)球面上，此球稱為該幾何體的外接球；內(nèi)切球是指與幾何體內(nèi)各面（平面、曲面）都相切的球.求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是作出合適的截面圓，確定球心，再由球的半徑R、截面圓的半徑r及各幾何量建立關(guān)系.
題型一 幾何體的外接球
角度1　柱體的外接球
【例1】?。?）已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓柱的外接球的體積為（　?。?br/>A. B.
C. D.
（2）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為　　　　.
通性通法
柱體外接球問(wèn)題的求解策略
（1）正方體、長(zhǎng)方體的外接球：①正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半；②長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半；
（2）求圓柱的外接球，可以先作該圓柱的軸截面，軸截面對(duì)角線即為外接球的直徑，或?qū)⒖臻g問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，按圖示方法求解；
（3）求直棱柱的外接球，可以先求其外接圓柱體，再利用該圓柱體的軸截面求半徑即可.
角度2　錐體的外接球
【例2】　（1）已知球O是圓錐PO1的外接球，圓錐PO1的母線長(zhǎng)是底面半徑的3倍，且球O的表面積為，則圓錐PO1的側(cè)面積為　　　?。?br/>（2）若正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為　　　　.
通性通法
錐體外接球問(wèn)題的求解策略
（1）求圓錐的外接球，可以先作其軸截面，其為三角形，該三角形中垂線的交點(diǎn)即為球心，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，按圖示方法求解；
　　
（2）求正棱錐的外接球，可以先求其外接圓錐，再利用該圓錐的軸截面求半徑即可；
（3）求直棱錐的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱體求外接球半徑的方法求解即可.
角度3　臺(tái)體的外接球
【例3】　已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3和4，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（　?。?br/>A.100π　　 B.128π
C.144π　 　D.192π
通性通法
臺(tái)體外接球問(wèn)題的求解策略
（1）圓臺(tái)的外接球：如圖，設(shè)r1，r2，h分別為圓臺(tái)的上、下底面的半徑和高，R為外接球的半徑：
（2）求棱臺(tái)的外接球，可以先求其外接圓臺(tái)，然后按照求圓臺(tái)外接球的方法求解.
角度4　可補(bǔ)成規(guī)則幾何體的外接球
【例4】　已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，則球O的表面積為　　　　.
通性通法
1.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖①所示.
2.若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖②所示.
3.正四面體P-ABC可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)a＝，如圖③所示.
4.若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖④所示.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.在三棱錐P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，設(shè)BC＝1，PB＝CD＝2，則該三棱錐的外接球的體積為（　　）
A.　　 B.3π
C.　　 D.5π
2.一個(gè)圓臺(tái)的軸截面的面積為6，上、下底面的半徑分別為1，2，則該圓臺(tái)的外接球的體積為　　　　.
3.如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個(gè)底面圓周和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側(cè)面積為　　　　.
題型二 幾何體的內(nèi)切球
【例5】?。?）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為（　?。?br/>A. B.
C. D.π
（2）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱錐P-ABC有一個(gè)內(nèi)切球O，則球O的體積為（　?。?br/>A. B. C. D.9π
通性通法
常見(jiàn)幾何體內(nèi)切球的求解策略
（1）正方體的內(nèi)切球：正方體的內(nèi)切球球心位于其體對(duì)角線中點(diǎn)處，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，其內(nèi)切球半徑為R＝；
（2）圓錐的內(nèi)切球：
圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內(nèi)切圓的半徑即為內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，R＝.
【跟蹤訓(xùn)練】
　一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為，那么這個(gè)正三棱柱的體積是（　?。?br/>A.96 B.16
C.24 D.48
1.已知正方體的內(nèi)切球的體積是 π，則正方體的棱長(zhǎng)為（　?。?br/>A.2 B.
C. D.
2.底面半徑為，母線長(zhǎng)為2的圓錐的外接球O的表面積為（　　）
A.6π B.12π C.8π D.16π
3.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為 a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的表面積為　　　　.
培優(yōu)課　與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題
【典型例題·精研析】
【例1】?。?）B　（2）　
解析：（1）法一　如圖，O為外接球球心，母線BB1的長(zhǎng)度為2，底面半徑r＝O2B＝1，易得外接球半徑R＝OB＝＝，∴外接球體積V＝π（）3＝ π.故選B.
法二　由圓柱外接球的直徑等于其軸截面對(duì)角線長(zhǎng)，∴2R＝＝2，R＝，∴外接球體積V＝π（）3＝π.
（2）設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為h，則有解得由六棱柱的外接球等于其外接圓柱體的外接球，又正六棱柱的底面外接圓的半徑r＝，∴外接球的直徑2R＝＝2，∴R＝1，∴V球＝.
【例2】?。?）3π?。?）
解析：（1）設(shè)O1B＝r，球O的半徑為R，則PB＝3r，PO1＝2r.由球O的表面積為4πR2＝，得R2＝.在Rt△OO1B中，R2＝（PO1－R）2＋r2，即R2＝（2r－R）2＋r2，解得r＝1，故圓錐PO1的側(cè)面積為πr·PB＝3r2π＝3π.
（2）法一　如圖，設(shè)正四棱錐的底面中心為O1，∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心為O，∴△ASC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑，在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2.∴△ASC是以AC為斜邊的直角三角形.∴＝1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球＝.
法二　設(shè)外接球半徑為R，正四棱錐底面中心為O1，正四棱錐S-ABCD的外接球即為其外接圓錐的外接球，易得正四棱錐底面外接圓的半徑r＝1，又AS＝，AO1＝r＝1，∴SO1＝＝＝1，∴R2＝（SO1－R）2＋r2，解得R＝1，故V球＝.
【例3】　A　由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為××3＝3，××4＝4.設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時(shí)，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時(shí)，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以該球的表面積為4πR2＝100π.故選A.
【例4】　16π　解析：四面體ABCD的外接球O即為以AB，AC，AD為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，所以球O的半徑R＝＝2，所以球O的表面積S＝4πR2＝16π.
跟蹤訓(xùn)練
1.C　如圖，將三棱錐P-BCD放在長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，2的長(zhǎng)方體中，則三棱錐P-BCD的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，所以外接球的直徑PD＝＝＝3，所以該球的體積為π×（）3＝.
2.π　解析：設(shè)圓臺(tái)的高為h，由軸截面的面積為6，得 ＝6，解得h＝2，設(shè)該圓臺(tái)外接球的半徑為R，由題意得＋ ＝2，解得R＝，所以該圓臺(tái)的外接球的體積為 πR3＝π×（）3＝π.
3.4π　解析：依題意，作球的軸截面如圖所示，其中O是球心，E是圓錐的頂點(diǎn)，EC是圓錐的母線，由題意可知πR3＝36π，解得R＝3，由于圓柱的高為2，則OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝＝2，母線EC＝＝2，故圓錐的側(cè)面積為S＝π·DC·EC＝π×2×2＝4π.
【例5】?。?）B?。?）C　
解析：（1）易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐PE及其內(nèi)切球O如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則sin ∠BPE＝＝＝，所以O(shè)P＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以內(nèi)切球的體積V＝πR3＝π，即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.
（2）設(shè)球O的半徑為r，則三棱錐P-ABC的體積V＝××3×4×4＝×（×3×4＋×4×3＋×5×4＋×4×5）×r，解得r＝，所以球O的體積V＝πr3＝，故選C.
跟蹤訓(xùn)練
　D　由球的體積為，得πr3＝，解得r＝2，又球與正三棱柱內(nèi)切，故h＝2r＝4，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，如圖，得r2＋（）2＝（2r）2，解得a＝4，∴正三棱柱的底面積S＝a2＝12，∴該正三棱柱的體積V＝S·h＝48.
隨堂檢測(cè)
1.A　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，其內(nèi)切球的半徑為R，則a＝2R，又 πR3＝π，所以R3＝2 ，所以R＝，所以a＝2 .
2.D　由圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為2，可求得其軸截面的頂角為.設(shè)該圓錐的底面圓心為O1，其半徑為r，球O的半徑為R，則O1O＝｜R－1｜，R2＝O1O2＋r2＝（R－1）2＋（）2，解得R＝2，所以球O的表面積為4πR2＝16π.
3.πa2　解析：由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，均為 a.如圖，P 為三棱柱上底面的中心，O 為球心，易知 AP＝× a＝a，OP＝a，所以球的半徑 R＝OA 滿足R2＝（a）2＋（a）2＝a2，故 S球＝4πR2＝πa2.
2 / 3(共57張PPT)
培優(yōu)課　與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標(biāo)
02
典型例題·精研析
01
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
空間幾何體與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題是立體幾何中的重點(diǎn)，也是
難點(diǎn).所謂幾何體的外接球，是指幾何體的各頂點(diǎn)（或旋轉(zhuǎn)體的頂
點(diǎn)、底面圓周）都在一個(gè)球面上，此球稱為該幾何體的外接球；內(nèi)切
球是指與幾何體內(nèi)各面（平面、曲面）都相切的球.求解此類(lèi)問(wèn)題的
關(guān)鍵是作出合適的截面圓，確定球心，再由球的半徑R、截面圓的半
徑r及各幾何量建立關(guān)系.
題型一 幾何體的外接球
角度1　柱體的外接球
【例1】　（1）已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓柱的外
接球的體積為（　B　）
B
解析：法一　如圖，O為外接球球心，母線BB1的
長(zhǎng)度為2，底面半徑r＝O2B＝1，易得外接球半徑
R＝OB＝ ＝ ，∴外接球體積V＝
π（ ）3＝ π.故選B.
法二　由圓柱外接球的直徑等于其軸截面對(duì)角線長(zhǎng)，∴2R＝
＝2 ，R＝ ，∴外接球體積V＝ π（ ）3＝ π.
（2）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六
棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為 ，底面周
長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為 .
　
解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為h，則有
解得由六棱柱的外接球等于其外接
圓柱體的外接球，又正六棱柱的底面外接圓的半徑r＝ ，∴外
接球的直徑2R＝ ＝2，∴R＝1，∴V球＝ .
通性通法
柱體外接球問(wèn)題的求解策略
（1）正方體、長(zhǎng)方體的外接球：①正方體的外接球的球心為其體對(duì)
角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半；②長(zhǎng)方體的外接球的
球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半；
（2）求圓柱的外接球，可以先作該圓柱的軸截面，軸截面對(duì)角線即為外接球的直徑，或?qū)⒖臻g問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，按圖示方法求解；
（3）求直棱柱的外接球，可以先求其外接圓柱體，再利用該圓柱體的軸截面求半徑即可.
角度2　錐體的外接球
【例2】?。?）已知球O是圓錐PO1的外接球，圓錐PO1的母線長(zhǎng)是
底面半徑的3倍，且球O的表面積為 ，則圓錐PO1的側(cè)面積為 ；
3π
解析：設(shè)O1B＝r，球O的半徑為R，則PB＝3r，PO1＝2 r.由球O的表面積為4πR2＝ ，得R2＝ .在Rt△OO1B中，R2＝（PO1－R）2＋r2，即R2＝（2 r－R）2＋r2，解得r＝1，故圓錐PO1的側(cè)面積為πr·PB＝3r2π＝3π.
（2）若正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 ，各頂點(diǎn)都
在同一球面上，則此球的體積為 .
解析：法一　如圖，設(shè)正四棱錐的底面中心為O1，∴SO1垂直
于底面ABCD，令外接球球心為O，∴△ASC的外接圓就是外接
球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑，在
△ASC中，由SA＝SC＝ ，AC＝2，得SA2＋SC2＝
AC2.∴△ASC是以AC為斜邊的直角三角形.∴ ＝1是外接圓的
半徑，也是外接球的半徑.故V球＝ .

法二　設(shè)外接球半徑為R，正四棱錐底面中心為O1，正四棱錐S-
ABCD的外接球即為其外接圓錐的外接球，易得正四棱錐底面外接圓
的半徑r＝1，又AS＝ ，AO1＝r＝1，∴SO1＝ ＝
＝1，∴R2＝（SO1－R）2＋r2，解得R＝1，故V球＝ .
通性通法
錐體外接球問(wèn)題的求解策略
（1）求圓錐的外接球，可以先作其軸截面，其為三角形，該三角形
中垂線的交點(diǎn)即為球心，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，按圖示
方法求解；
（2）求正棱錐的外接球，可以先求其外接圓錐，再利用該圓錐的軸截面求半徑即可；
（3）求直棱錐的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱體求外接球半徑的方法求解即可.
角度3　臺(tái)體的外接球
【例3】　已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3 和
4 ，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（　　）
A. 100π B. 128π
C. 144π D. 192π
解析：　由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為
× ×3 ＝3， × ×4 ＝4.設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的
圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在
直線O1O2上.設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時(shí)，R2＝32
＋O ＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；當(dāng)球心O不在線
段O1O2上時(shí)，R2＝42＋O ＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所
以R2＝25，所以該球的表面積為4πR2＝100π.故選A.
通性通法
臺(tái)體外接球問(wèn)題的求解策略
（1）圓臺(tái)的外接球：如圖，設(shè)r1，r2，h分別為圓臺(tái)的上、下底面的
半徑和高，R為外接球的半徑：
（2）求棱臺(tái)的外接球，可以先求其外接圓臺(tái)，然后按照求圓臺(tái)外接
球的方法求解.
角度4　可補(bǔ)成規(guī)則幾何體的外接球
【例4】　已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB，
AC，AD兩兩垂直，且AB＝ ，AC＝2，AD＝3，則球O的表面積
為 .
解析：四面體ABCD的外接球O即為以AB，AC，AD為長(zhǎng)、寬、高
的長(zhǎng)方體的外接球，所以球O的半徑R＝ ＝2，所
以球O的表面積S＝4πR2＝16π.
v
通性通法
1. 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，
如圖①所示.
2. 若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖②
所示.
3. 正四面體P-ABC可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)a＝ ，如圖
③所示.
4. 若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖
④所示.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 在三棱錐P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，設(shè)BC＝1，PB
＝CD＝2，則該三棱錐的外接球的體積為（　?。?br/>B. 3π
D. 5π
解析：　如圖，將三棱錐P-BCD放在長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，2
的長(zhǎng)方體中，則三棱錐P-BCD的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，
所以外接球的直徑PD＝ ＝ ＝3，
所以該球的體積為 π×（ ）3＝ .

解析：設(shè)圓臺(tái)的高為h，由軸截面的面積為6，得 ＝6，解
得h＝2，設(shè)該圓臺(tái)外接球的半徑為R，由題意得 ＋
＝2，解得R＝ ，所以該圓臺(tái)的外接球的體積為 πR3
＝ π×（ ）3＝ π.
π
3. 如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個(gè)底
面圓周和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則
圓錐的側(cè)面積為 .
4 π
解析：依題意，作球的軸截面如圖所示，其中O是
球心，E是圓錐的頂點(diǎn)，EC是圓錐的母線，由題意
可知 πR3＝36π，解得R＝3，由于圓柱的高為2，
則OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝ ＝
2 ，母線EC＝ ＝2 ，故圓錐的側(cè)面積
為S＝π·DC·EC＝π×2 ×2 ＝4 π.
題型二 幾何體的內(nèi)切球
【例5】?。?）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半
徑最大的球的體積為（　B　）
D. π
B
解析：易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐PE
及其內(nèi)切球O如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則 sin
∠BPE＝ ＝ ＝ ，所以O(shè)P＝3R，所以PE＝4R＝
＝ ＝2 ，所以R＝ ，所以內(nèi)
切球的體積V＝ πR3＝ π，即該圓錐內(nèi)半徑最大的球
的體積為 .
（2）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若
三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝
3，AB⊥BC，若三棱錐P-ABC有一個(gè)內(nèi)切球O，則球O的體積
為（　C?。?br/>C
D. 9π
解析：設(shè)球O的半徑為r，則三棱錐P-ABC的體積V＝ ×
×3×4×4＝ ×（ ×3×4＋ ×4×3＋ ×5×4＋ ×4×5）
×r，解得r＝ ，所以球O的體積V＝ πr3＝ ，故選C.
通性通法
常見(jiàn)幾何體內(nèi)切球的求解策略
（1）正方體的內(nèi)切球：正方體的內(nèi)切球球心位于其體對(duì)角線中點(diǎn)
處，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，其內(nèi)切球半徑為R＝ ；
（2）圓錐的內(nèi)切球：圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內(nèi)切圓的半徑即為內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，R＝ .
【跟蹤訓(xùn)練】
一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的
體積為 ，那么這個(gè)正三棱柱的體積是（　?。?br/>解析：　由球的體積為 ，得 πr3＝ ，解得r＝2，又球與正三
棱柱內(nèi)切，故h＝2r＝4，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，如圖，得r2＋
（ ）2＝（2r）2，解得a＝4 ，∴正三棱柱的底面積S＝ a2＝
12 ，∴該正三棱柱的體積V＝S·h＝48 .
1. 已知正方體的內(nèi)切球的體積是 π，則正方體的棱長(zhǎng)為（　?。?br/>解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，其內(nèi)切球的半徑為R，則a＝2R，又 πR3＝ π，所以R3＝2 ，所以R＝ ，所以a＝2 .
2. 底面半徑為 ，母線長(zhǎng)為2的圓錐的外接球O的表面積為（　　）
A. 6π B. 12π
C. 8π D. 16π
解析：　由圓錐的底面半徑為 ，母線長(zhǎng)為2，可求得其軸截面的頂角為 .設(shè)該圓錐的底面圓心為O1，其半徑為r，球O的半徑為R，則O1O＝｜R－1｜，R2＝O1O2＋r2＝（R－1）2＋（ ）2，解得R＝2，所以球O的表面積為4πR2＝16π.

解析：由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，
均為 a.如圖，P 為三棱柱上底面的中心，O 為球心，易知 AP＝
× a＝ a，OP＝ a，所以球的半徑 R＝OA 滿足R2＝（ a）2
＋（ a）2＝ a2，故 S球＝4πR2＝ πa2.
πa2
知能演練·扣課標(biāo)
02
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)分別為 ， ，2 ，則它
的外接球的半徑為（　?。?br/>A. 1 D. 2
解析：　設(shè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，
∴（2R）2＝a2＋b2＋c2＝9，∴長(zhǎng)方體的外接球的半徑R＝ .
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2. 一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面
積為20π，則該四棱柱的高為（　?。?br/>B. 2
解析：　設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝20π，解得R2＝5，設(shè)四棱柱
的高為h，則（ ）2＋（ ）2＝R2，解得h＝3 .
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解析：　如圖， BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面積為4πOE2＝4πRr.
3. 若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則其內(nèi)切球的表面積為
（　　）
A. 4π（r＋R）2 B. 4πr2R2
C. 4πRr D. π（R＋r）2
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4. （2024·清遠(yuǎn)月考）已知半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)
面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則半球的表面積為
（　?。?br/>A. 10π B. 12π C. 15π D. 18π
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解析：　因?yàn)檎襟w的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，所以過(guò)正方體
體對(duì)角線的軸截面如圖所示，又正方體的棱長(zhǎng)為2，所以FG＝2，
EF＝2 ，則OF＝ （O為半球的球心），OG＝
＝ ，即半球的半徑為 ，所以半球的表面積為 ×4π×
（ ）2＋π×（ ）2＝18π，故選D.
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5. 已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為4 ，底面邊長(zhǎng)為6，則該正三棱
錐外接球的體積是（　?。?br/>B. 64π
D. 256π
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解析：　取△ABC的中心為E，連接SE，記球
心為O. 如圖，
∵在正三棱錐S-ABC中，底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為
4 ，∴BE＝ × ×6＝2 ，∴SE＝
＝6.∵球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長(zhǎng)R，∴OB＝R，OE＝6－R. 在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋（6－R）2，解得R＝4，∴外
接球的體積為V＝ πR3＝ .
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6. （2024·陽(yáng)江月考）如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-
A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為（　?。?br/>1
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解析：　平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓，∵正方體
棱長(zhǎng)為1，∴AC＝CD1＝AD1＝ .∴內(nèi)切圓半徑r＝tan 30°·AE
＝ × ＝ .∴S＝πr2＝π× ＝ ，故選C.
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7. （多選）如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，上面刻著一
個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相
等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來(lái)重溫
這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，下列關(guān)于圓柱的體積與球的體積之比以及圓柱的表
面積與球的表面積之比的說(shuō)法正確的是（　　）
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解析：　設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，
由圓柱和球的體積、表面積公式計(jì)算可得V柱＝2πR3，V球＝
πR3，所以V柱∶V球＝3∶2；S柱＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝
4πR2，所以S柱∶S球＝3∶2.
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8. （多選）已知某正方體的外接球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，該正方體的內(nèi)
切球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N，若線段MN的最小值為 －1，則下列說(shuō)法
正確的是（　?。?br/>A. 正方體的外接球的表面積為12π
C. 正方體的棱長(zhǎng)為2
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解析：　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體外接球半徑為體對(duì)角
線長(zhǎng)的一半，為 a，內(nèi)切球半徑為棱長(zhǎng)的一半，為 .∵M(jìn)，N分
別為該正方體外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，∴MNmin＝ a－ ＝
a＝ －1，解得a＝2，∴正方體的棱長(zhǎng)為2，C正確.正方體
的外接球的表面積為4π×（ ）2＝12π，A正確.正方體的內(nèi)切球
的體積為 π×13＝ ，B正確.線段MN的最大值為 a＋ ＝ ＋
1，D錯(cuò)誤.故選A、B、C.
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9. （2023·全國(guó)乙卷16題）已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面
上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA
＝ .
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解析：如圖，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，連接O1A，因?yàn)?br/>△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑r＝O1A＝
× ×3＝ .將三棱錐S-ABC補(bǔ)形為正三棱柱SB1C1-ABC，由題
意知SA為側(cè)棱，設(shè)球心為O，連接OO1，OA，則OO1⊥平面
ABC，且OO1＝ SA. 又球的半徑R＝OA＝2，
OA2＝O ＋O1A2，所以4＝ SA2＋3，得SA＝2.
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10. 兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的
體積為 ，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之
和為 .
4π
解析：如圖所示，由球的體積為 ，可得該球的半徑R＝2，由題意得，兩個(gè)圓錐的高O'S，O'P分別為1和3，∵PS為球O的直徑，∴△PAS為直角三角形，又∵O'A⊥PS，∴可得截面圓半徑O'A＝ ，∴這兩個(gè)圓錐的體積之和為V＝ π·（ ）2·（3＋1）＝4π.
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11. 有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正
方體的各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三
個(gè)球的表面積之比.
解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，三個(gè)球的半徑分別為r1，r2，r3.
（1）正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面
（正方形）的中心，經(jīng)過(guò)在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)及球心作
截面，如圖①所示.所以2r1＝a，r1＝ ，S1＝4π ＝πa2.
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（2）球與正方體各棱的切點(diǎn)為每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖②.
所以2r2＝ a，r2＝ a，所以S2＝4π ＝2πa2.
（3）正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得
截面，如圖③所示.
則2r3＝ a，所以r3＝ a，S3＝4π ＝3πa2.
因此三個(gè)球的表面積之比為S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
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12. 一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972π的球，在圓錐內(nèi)又有一
個(gè)內(nèi)切球.求：
（1）圓錐的側(cè)面積；
解：如圖所示，作出軸截面，則等腰△SAB內(nèi)接于圓
O，而圓O1內(nèi)切于△SAB.
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設(shè)圓O的半徑為R，則有 πR3＝972π，
∴R＝9，SE＝2R＝18.
∵SD＝16，∴ED＝2.
連接AE，又SE是圓O的直徑，
∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12 .
∵AB⊥SD，D為AB中點(diǎn)，
∴AD2＝SD×DE＝16×2＝32，AD＝4 ，
∴S圓錐側(cè)＝π×AD×SA＝π×4 ×12 ＝96π.
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（2）圓錐內(nèi)切球的體積.
解：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，即圓O1的半徑為r，
∵△SAB的周長(zhǎng)為2×（12 ＋4 ）＝32 ，
∴ r×32 ＝ ×8 ×16，解得r＝4.
故圓錐內(nèi)切球的體積V球＝ πr3＝ π.
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13. 在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是長(zhǎng)方形，底面周
長(zhǎng)為8，PD＝3，且PD是四棱錐的高，設(shè)AB＝x.
（1）當(dāng)x＝3時(shí)，求三棱錐A-PBC的體積；
解：當(dāng)x＝3時(shí)，AB＝3，BC＝1，
則S△ABC＝ ×AB×BC＝ ，
∴V三棱錐A-PBC＝V三棱錐P-ABC＝
×PD×S△ABC＝ .
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（2）求四棱錐外接球的表面積的最小值.
解：將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體
ABCD-A1B1C1P，如圖所示，
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則四棱錐P-ABCD的外接球和長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1P的外接球相同.
∵AB＝x，∴BC＝4－x，則四棱錐P-ABCD外接球的半
徑R＝ ＝ ，
易知當(dāng)x＝2時(shí)，R取得最小值 ，此時(shí)四棱錐外接球的表
面積的最小值為4π×（ ）2＝17π.
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