資源簡介

一、幾何體的表面積與體積
　主要考查多面體、旋轉體的表面積，柱體、錐體、臺體的體積及球的表面積和體積等，對于不規則幾何體常用轉換法、分割法、補形法等進行求解.
【例1】　（1）（2023·全國乙卷8題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝，若△PAB的面積等于，則該圓錐的體積為（　　）
A.π　　　B.π C.3π　　　D.3π
（2）（2023·新高考Ⅰ卷14題）在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則該棱臺的體積為　　　　.
反思感悟
關于空間幾何體的體積、表面積
　　首先要準確確定幾何體的基本量，如球的半徑，幾何體的高、棱長等，其次是準確代入相關的公式計算.
【跟蹤訓練】
在一個如圖所示的直角梯形ABCD內挖去一個扇形，E恰好是梯形的下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈.求所得幾何體的表面積和體積
.
二、空間中的平行關系
　空間中的平行主要有線線平行、線面平行、面面平行，主要考查在空間幾何體中證明線面平行、面面平行以及線線平行.
【例2】　已知M，N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD的棱AB，PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE，求證：
（1）MN∥平面PAD；
（2）MN∥PE.
反思感悟
線線平行、線面平行、面面平行間的關系
　　線線平行、線面平行、面面平行這三種關系是緊密相連的，可以進行任意轉化，相互間的轉化關系如圖.
【跟蹤訓練】
如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由.
三、空間中的垂直關系
　主要考查空間中線面垂直、面面垂直的判定定理與性質定理，以及線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的聯系與轉化.
【例3】　如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.
（1）求證：AC⊥平面BCE；
（2）求證：AD⊥AE.
反思感悟
線線垂直、線面垂直、面面垂直相互間的轉化
【跟蹤訓練】
　（2023·全國甲卷18題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
（2）設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高.
四、空間角
1.空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角，主要考查空間角的定義及求法，求角時要先找角，再證角，最后在三角形中求角.
2.通過找角、證角、求角，提升邏輯推理與數學運算素養.
【例4】　如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，B'C∩BC'＝O，求：
（1）AO與A'C'所成角的大小；
（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；
（3）二面角B-AO-C的大小.
反思感悟
1.求異面直線所成的角常用平移轉化法（轉化為相交直線的夾角）.
2.求直線與平面所成的角常用射影轉化法（即作垂線、找射影）.
3.二面角的平面角的作法常有三種：定義法、三垂線法、垂面法.
【跟蹤訓練】
　如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧的中點，E為劣弧的中點，且AB＝2PO＝2.
（1）求異面直線PC與OE所成的角的大小；
（2）求二面角P-AC-E的余弦值.
章末復習與總結
【例1】　（1）B　（2）　解析：（1）如圖所示，在△AOB中，AO＝BO＝，∠AOB＝，由余弦定理得AB＝＝3，設等腰△PAB底邊AB上的高為h，則S△PAB＝×3h＝，解得h＝，由勾股定理得母線PA＝＝3，則該圓錐的高PO＝＝，所以該圓錐的體積為×3π×＝π，故選B.
（2）法一　如圖所示，設點O1，O分別為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則點O1，O分別為B1D1，BD的中點，連接O1O，則O1O即為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，過點B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1O.因為AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×（22＋12＋）×＝.
法二　如圖，將正四棱臺ABCD-A1B1C1D1補形成正四棱錐P-ABCD，
因為AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.連接BD，取BD的中點為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為，所以＝×（22＋12＋）×＝.
跟蹤訓練
　解：根據題意知，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈后所得幾何體的上部是圓錐，下部是圓柱挖去一個半徑等于圓柱體高的半球的組合體.
該組合體的表面積為S幾何體＝S圓錐側＋S圓柱側＋S半球＝π×2×2＋2π×2×2＋×4π×22＝（4＋16）π，
組合體的體積為V幾何體＝V圓錐＋V圓柱－V半球＝×π×22×2＋π×22×2－××π×23＝.
【例2】　證明：（1）如圖，取DC的中點Q，連接MQ，NQ.
∵NQ是△PCD的中位線，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴MQ∥AD.
∵MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
∴MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
（2）∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
∴MN∥PE.
跟蹤訓練
　解：當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，
證明如下：如圖，連接BD與AC交于點O，連接FO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝PB，PF＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四邊形AFPM是平行四邊形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
【例3】　證明：（1）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.
因為AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
（2）因為AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF，
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
跟蹤訓練
　解：（1）證明：因為A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC.
因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
因為AC∩A1C＝C，AC，A1C 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因為BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
（2）如圖，取棱AA1的中點D，連接BD，CD.
因為AB＝A1B，所以AA1⊥BD.
因為BC⊥平面ACC1A1，AA1 平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.
因為BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，
所以AA1⊥平面BCD.
因為CD 平面BCD，所以AA1⊥CD.
因為AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.
又因為CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.
因為AA1＝2，所以CD＝1.
易知AA1∥平面BB1C1C，
所以四棱錐A1-BB1C1C的高為CD＝1.
【例4】　解：（1）∵A'C'∥AC，
∴AO與A'C'所成的角就是∠OAC（或其補角）.
∵AB⊥平面BC'，OC 平面BC'，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°.
即AO與A'C'所成的角為30°.
（2）如圖，作OE⊥BC于點E，連接AE.
∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC'，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE為AO與平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO與平面ABCD所成角的正切值為.
（3）由（1）可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即二面角B-AO-C的大小為90°.
跟蹤訓練
　解：（1）∵PO是圓錐的高，∴PO⊥底面圓O，
根據中點條件可以證明OE∥AC，
∠PCA或其補角是異面直線PC與OE所成的角，
AC＝＝＝2，PC＝PA＝＝＝2，
∴∠PCA＝，故異面直線PC與OE所成的角是.
（2）如圖，取AC中點為D，連接PD，OD，
由（1）知，PA＝AC＝PC，
∴PD⊥AC，
∵OA＝OC，∴OD⊥AC，
又E為劣弧的中點，即有E∈底面圓O，
∴二面角P-AC-E的平面角即為∠PDO，
∵C為半圓弧的中點，∴∠AOC＝，
∴OD＝AC＝1，
∵PO⊥底面圓O且OD 底面圓O，∴PO⊥OD，
又PO＝，∴在Rt△PDO中，PD＝，
∴cos∠PDO＝＝，
∴二面角P-AC-E的余弦值是.
3 / 3(共36張PPT)
章末復習與總結
一、幾何體的表面積與體積
　主要考查多面體、旋轉體的表面積，柱體、錐體、臺體的體積及球
的表面積和體積等，對于不規則幾何體常用轉換法、分割法、補形法
等進行求解.
【例1】　（1）（2023·全國乙卷8題）已知圓錐PO的底面半徑為
，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝ ，若△PAB
的面積等于 ，則該圓錐的體積為（　B　）
A. π C. 3π
B
解析：如圖所示，在△AOB中，AO＝BO＝ ，
∠AOB＝ ，由余弦定理得AB＝
＝3，設等腰
△PAB底邊AB上的高為h，則S△PAB＝ ×3h＝
，解得h＝ ，由勾股定理得母線PA＝ ＝3，則該圓錐的高PO＝ ＝ ，所以該圓錐的體積為
×3π× ＝ π，故選B.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷14題）在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝
2，A1B1＝1，AA1＝ ，則該棱臺的體積為 　 　.
解析：法一　如圖所示，設點O1，O
分別為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1上、
下底面的中心，連接B1D1，BD，則點
O1，O分別為B1D1，BD的中點，連接
O1O，則O1O即為正四棱臺ABCD-
A1B1C1D1的高，過點B1作B1E⊥BD，
垂足為E，則B1E＝O1O.

因為AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝ ，O1B1＝ ，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝ ，又AA1＝ ，所以BB1＝ ，
B1E＝ ＝ ＝ ，所以O1O＝ ，所以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ .
法二　如圖，將正四棱臺ABCD-A1B1C1D1補
形成正四棱錐P-ABCD，因為AB＝2，A1B1＝
1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為
PA，PB，PC，PD的中點，又A1A＝ ，所
以PA＝2 ，即PB＝2 .連接BD，取BD
的中點為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，易知BO＝ ，所以PO＝ ＝ ，所以正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為
，所以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ .
反思感悟
關于空間幾何體的體積、表面積
　　首先要準確確定幾何體的基本量，如球的半徑，幾何體的高、棱
長等，其次是準確代入相關的公式計算.
【跟蹤訓練】
在一個如圖所示的直角梯形ABCD內挖去一個扇形，E恰好是梯形的
下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈.求所得幾何體的
表面積和體積.
解：根據題意知，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈后所得幾何體的上部是圓錐，下部是圓柱挖去一個半徑等于圓柱體高的半球
的組合體.
該組合體的表面積為S幾何體＝S圓錐側＋S圓柱側＋S半球＝π×2×2 ＋
2π×2×2＋ ×4π×22＝（4 ＋16）π，
組合體的體積為V幾何體＝V圓錐＋V圓柱－V半球＝ ×π×22×2＋π×22×2
－ × ×π×23＝ .
二、空間中的平行關系
　空間中的平行主要有線線平行、線面平行、面面平行，主要考查在
空間幾何體中證明線面平行、面面平行以及線線平行.
【例2】　已知M，N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD的
棱AB，PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE，求證：
（1）MN∥平面PAD；
證明：如圖，取DC的中點Q，連接MQ，NQ.
∵NQ是△PCD的中位線，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴MQ∥AD.
∵MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
∴MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
（2）MN∥PE.
證明：∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝
MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
∴MN∥PE.
反思感悟
線線平行、線面平行、面面平行間的關系
　　線線平行、線面平行、面面平行這三種關系是緊密相連的，可以
進行任意轉化，相互間的轉化關系如圖.
【跟蹤訓練】
如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，
MA∥PB，PB＝2MA. 在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥
平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由.
解：當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，
證明如下：如圖，連接BD與AC交于點O，連接FO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝ PB，PF＝ PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四邊形AFPM是平行四邊形，∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
三、空間中的垂直關系
　主要考查空間中線面垂直、面面垂直的判定定理與性質定理，以及
線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的聯系與轉化.
【例3】　如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，
四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝
2，AB＝4.
（1）求證：AC⊥平面BCE；
證明：在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2 ，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因為AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
（2）求證：AD⊥AE.
證明：因為AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF，
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
反思感悟
線線垂直、線面垂直、面面垂直相互間的轉化
【跟蹤訓練】
（2023·全國甲卷18題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面
ABC，∠ACB＝90°.
（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
解：證明：因為A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以
A1C⊥BC.
因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
因為AC∩A1C＝C，AC，A1C 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因為BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
（2）設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高.
解：如圖，取棱AA1的中點D，連接BD，CD.
因為AB＝A1B，所以AA1⊥BD.
因為BC⊥平面ACC1A1，AA1 平面
ACC1A1，所以BC⊥AA1.
因為BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，
所以AA1⊥平面BCD.
因為CD 平面BCD，所以AA1⊥CD.
因為AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.
又因為CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，
CC1 平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.
因為AA1＝2，所以CD＝1.
易知AA1∥平面BB1C1C，
所以四棱錐A1-BB1C1C的高為CD＝1.
四、空間角
1. 空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角，主要考查空間角
的定義及求法，求角時要先找角，再證角，最后在三角形中求角.
2. 通過找角、證角、求角，提升邏輯推理與數學運算素養.
【例4】　如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，B'C∩BC'＝
O，求：
（1）AO與A'C'所成角的大小；
解：∵A'C'∥AC，
∴AO與A'C'所成的角就是∠OAC（或其補角）.
∵AB⊥平面BC'，OC 平面BC'，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝ ，AC＝ ，
sin ∠OAC＝ ＝ ，∴∠OAC＝30°.
即AO與A'C'所成的角為30°.
（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；
解：如圖，作OE⊥BC于點E，連接AE.
∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD
＝BC，OE 平面BC'，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE為AO與平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中，OE＝ ，AE＝ ＝ ，
∴tan∠OAE＝ ＝ .
即AO與平面ABCD所成角的正切值為 .
（3）二面角B-AO-C的大小.
解：由（1）可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即二面角B-AO-C的大小為90°.
反思感悟
1. 求異面直線所成的角常用平移轉化法（轉化為相交直線的夾角）.
2. 求直線與平面所成的角常用射影轉化法（即作垂線、找射影）.
3. 二面角的平面角的作法常有三種：定義法、三垂線法、垂面法.
【跟蹤訓練】
如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧 的中點，E
為劣弧 的中點，且AB＝2PO＝2 .
（1）求異面直線PC與OE所成的角的大小；
解：∵PO是圓錐的高，∴PO⊥底面圓O，
根據中點條件可以證明OE∥AC，
∠PCA或其補角是異面直線PC與OE所成的角，
AC＝ ＝ ＝2，PC＝PA＝ ＝
＝2，
∴∠PCA＝ ，故異面直線PC與OE所成的角是 .
（2）求二面角P-AC-E的余弦值.
解：如圖，取AC中點為D，連接PD，OD，
由（1）知，PA＝AC＝PC，
∴PD⊥AC，
∵OA＝OC，∴OD⊥AC，
又E為劣弧 的中點，即有E∈底面圓O，
∴二面角P-AC-E的平面角即為∠PDO，
∵C為半圓弧 的中點，∴∠AOC＝ ，
∴OD＝ AC＝1，
∵PO⊥底面圓O且OD 底面圓O，∴PO⊥OD，
又PO＝ ，∴在Rt△PDO中，PD＝ ，
∴ cos ∠PDO＝ ＝ ，∴二面角P-AC-E的余弦值是 .
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