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2025--2026高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)試卷：計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)解答題專項(xiàng)練
一、計(jì)數(shù)原理（本大題共4小題）
1．已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)和第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．
（1）求展開(kāi)式中的系數(shù)；
（2）設(shè)展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為，展開(kāi)式的所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，求．
2．某班共有團(tuán)員14人，其中男團(tuán)員8人，女團(tuán)員6人，并且男、女團(tuán)員各有一名組長(zhǎng)，現(xiàn)從中選6人參加學(xué)校的團(tuán)員座談會(huì)．（用數(shù)字做答）
（1）若至少有1名組長(zhǎng)當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；
（2）若至多有3名女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；
（3）若既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)．
3．有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情況各有多少種不同的排法？
（1）女生甲排在正中間；
（2）名女生不相鄰；
（3）女生甲必須排在女生乙的左邊（不一定相鄰）；
（4）名女生中間恰有名男生．
4．已知的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)是第二項(xiàng)系數(shù)的2倍．
（1）求的值；
（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）求的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)（結(jié)果用數(shù)值表示）．
二、概率（本大題共40小題）
5．某校參加夏令營(yíng)的同學(xué)有3名男同學(xué)和3名女同學(xué)，其所屬年級(jí)情況如下表：
高一年級(jí) 高二年級(jí) 高三三年級(jí)
男同學(xué)
女同學(xué)
現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽（每人被選到的可能性相同）
（1）用表中字母寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；
（2）設(shè)為事件“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，寫出事件的樣本點(diǎn)，并求事件發(fā)生的概率.
6．某班組織同學(xué)開(kāi)展古詩(shī)詞背誦活動(dòng)，老師要從10篇古詩(shī)詞中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能過(guò)關(guān)．某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：
（1）抽到他能背誦的古詩(shī)詞的數(shù)量的概率分布；
（2）他能過(guò)關(guān)的概率．
7．航天員安全返回，中國(guó)航天再創(chuàng)輝煌1去年6月4日，當(dāng)?shù)貢r(shí)間6時(shí)20分許，神舟十五號(hào)載人飛船成功著陸，費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸等航天員安全順利地出艙，身體狀況良好．這標(biāo)志著神舟十五號(hào)載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功．某學(xué)校高一年級(jí)利用高考放假期間開(kāi)展組織1200名學(xué)生參加線上航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）若從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人成績(jī)，求10人中成績(jī)不高于50分的人數(shù)；
（2）求的值，并以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)以及中位數(shù)；
（3）由首輪競(jìng)賽成績(jī)確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率．
8．某公司為了慶祝公司成立二十周年，設(shè)計(jì)了一個(gè)“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個(gè)套圈，向A，B兩個(gè)目標(biāo)投擲，先向目標(biāo)A擲一次，套中得40元，沒(méi)有套中得0元，再向目標(biāo)B連續(xù)擲兩次，每套中一次得80元，沒(méi)套中得0元，根據(jù)累計(jì)金額發(fā)放紅包.已知小胡每投擲一次，套中目標(biāo)A的概率為，套中目標(biāo)B的概率為，假設(shè)小胡每次投擲的結(jié)果相互獨(dú)立.
（1）求小胡至少套中1次的概率；
（2）記小胡的累計(jì)金額為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
9．某高中在一次高一數(shù)學(xué)測(cè)試后，為了解本次測(cè)試的成績(jī)情況，在整個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，成績(jī)均在內(nèi)，將成績(jī)分為，，，，，共5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求m的值，并估計(jì)這200名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）從成績(jī)?cè)诤偷膶W(xué)生中，用分層隨機(jī)抽樣方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生數(shù)學(xué)成 績(jī)?cè)诤蛢?nèi)各1人的概率．
10．隨著現(xiàn)代社會(huì)物質(zhì)生活水平的提高，中學(xué)生的零花錢越來(lái)越多，消費(fèi)水平也越來(lái)越高，因此滋生了一些不良的攀比現(xiàn)象.某學(xué)校為幫助學(xué)生培養(yǎng)正確的消費(fèi)觀念，對(duì)該校學(xué)生每周零花錢的數(shù)額進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，現(xiàn)將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按， ，分組后繪成如圖所示的頻率分布直方圖，已知.
（1） 求頻率分布直方圖中，的值；
（2） 估計(jì)該校學(xué)生每周零花錢的第55百分位數(shù)；
（3） 若按照各組頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法從每周零花錢在內(nèi)的人中抽取11人，求內(nèi)抽取的人數(shù).
11．在 的展開(kāi)式中，第 ， ， 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列．
求 ；
求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
將展開(kāi)式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率．
12．為弘揚(yáng)“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”，某中學(xué)在校內(nèi)對(duì)全體學(xué)生進(jìn)行了一次檢測(cè)，規(guī)定分?jǐn)?shù)分為優(yōu)秀，為了解學(xué)生的測(cè)試情況，現(xiàn)從2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行分析，按成績(jī)分組，得到如下頻數(shù)分布表．
分?jǐn)?shù)
頻數(shù) 5 35 30 20 10
（1）在圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；
（2）估計(jì)這次測(cè)試的平均分和中位數(shù)；
（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中任意抽取3人參加這次考試的質(zhì)量分析會(huì)，試求成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生至多有2人被抽到的概率.．
13．某寵物醫(yī)院為了解客戶對(duì)寵物醫(yī)院服務(wù)的滿意程度，醫(yī)院對(duì)1000位客戶進(jìn)行了服務(wù)評(píng)價(jià)調(diào)查，滿分為100分.根據(jù)客戶的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)（評(píng)分都在[40，100]之間），將其按照[40，50),[50，60),[60，70),[70，80),[80，90),[90，100]劃分為6組，其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求圖中的值，并估算本次服務(wù)評(píng)價(jià)調(diào)查的平均得分；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
（2）若寵物醫(yī)院準(zhǔn)備對(duì)給出高評(píng)價(jià)（將評(píng)分從高到低排序，排在前的視為高評(píng)價(jià)）的客戶贈(zèng)送寵物護(hù)理禮包，那么獲得寵物護(hù)理禮包的客戶評(píng)分至少要達(dá)到多少分？
（3）若通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方式從“評(píng)分最低組”[40，50)和“評(píng)分最高組”[90，100]中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2位客戶進(jìn)行回訪，求進(jìn)行回訪的2人都來(lái)自“評(píng)分最高組”的概率.
14．“你好！我是DeepSeek，很高興見(jiàn)到你！我可以幫你寫代碼，讀文件，寫作各種創(chuàng)意內(nèi)容，請(qǐng)把你的任務(wù)交給我吧”，DeepSeek從橫空出世到與我們?nèi)粘Ｏ喟?，成為我們解決問(wèn)題的“好參謀，好助手”，AI大模型正在改變著我們的工作和生活的方式．為了了解不同學(xué)歷人群對(duì)DeepSeek的使用情況，隨機(jī)調(diào)查了200人，得到如下數(shù)據(jù)：
單位：人
學(xué)歷 使用情況 合計(jì)
經(jīng)常使用 不經(jīng)常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合計(jì) 115 85 200
（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為DeepSeek的使用情況與學(xué)歷有關(guān)？
（2）某校組織“AI模型”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩名選手在決賽階段相遇，決賽階段共有3道題目，甲、乙同時(shí)依次作答，3道試題作答完畢后比賽結(jié)束.規(guī)定：若對(duì)同一道題目，兩人同時(shí)答對(duì)或答錯(cuò)，每人得0分；若一人答對(duì)另一人答錯(cuò)，答對(duì)的得10分，答錯(cuò)的得分，比賽結(jié)束累加得分為正數(shù)者獲勝，兩人分別獨(dú)立答題互不影響，每人每次的答題結(jié)果也互不影響，若甲，乙兩名選手正確回答每道題的概率分別為，．
（ⅰ）求比賽結(jié)束后甲獲勝的概率；
（ⅱ）求比賽結(jié)束后甲獲勝的條件下，乙恰好回答對(duì)1道題的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15．書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這位年輕人每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）
（2）若年輕人每天閱讀時(shí)間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；
（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時(shí)間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．
16．甲、乙投籃比賽，據(jù)以往比賽情況，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每次投中與否互不影響.
（1）若甲、乙各投籃一次，求甲、乙都投中的概率；
（2）若甲投籃兩次，乙投籃一次，求甲投中次數(shù)與乙投中次數(shù)相等的概率.
17．小林、小張、小陳、小王4位同學(xué)參加校園文化知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，每位同學(xué)只回答一個(gè)問(wèn)題，且小林、小張、小陳、小王答對(duì)的概率分別為，，，，每位同學(xué)答對(duì)與否相互獨(dú)立.
（1）在小林答對(duì)的情況下，求恰有3位同學(xué)答對(duì)題目的概率；
（2）若答對(duì)題目得2分，答錯(cuò)題目得0分，X表示4位同學(xué)得分之和，求X的數(shù)學(xué)期望.
18．某滑雪場(chǎng)開(kāi)業(yè)當(dāng)天共有600人滑雪，滑雪服務(wù)中心根據(jù)他們的年齡分成，，，，，六個(gè)組，現(xiàn)按照分層抽樣的方法選取20人參加有獎(jiǎng)活動(dòng)，這些人的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下圖所示，從左往右分別為一組、二組、三組、四組、五組、六組．
（1）求并估計(jì)開(kāi)業(yè)當(dāng)天所有滑雪的人年齡在有多少人？
（2）由頻率分布直方圖估計(jì)樣本平均數(shù)和中位數(shù)；（求得數(shù)據(jù)四舍五入保留兩位小數(shù)，同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)數(shù)值代替）
（3）在選取的這20人樣本中，從年齡不低于35歲的人中任選兩人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求這兩個(gè)人來(lái)自同一組的概率．
19．甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，約定賽制如下：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空，每局比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一局比賽，負(fù)者下一局輪空，直至一人累計(jì)勝兩局，此人最終獲勝，比賽結(jié)束.已知每局比賽甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，每局比賽沒(méi)有平局，且比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
（1）若甲、乙首先比賽，求甲最終獲勝的概率；
（2）求乙最終獲勝的概率.
20．在春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上進(jìn)行了機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下數(shù)據(jù)：
喜歡 不喜歡
男性 40 10
女性 25 25
（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試分析對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡是否與性別有關(guān)聯(lián)？
（2）從這100名樣本觀眾中任選1名，設(shè)事件“選到的觀眾是男性”，事件“選到的觀眾喜歡機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目”，比較和的大小，并解釋其意義.
，
21．《齊魯文化大會(huì)》是山東衛(wèi)視推出的一檔以“齊魯文化”為主題，全民參與的大型文化綜藝節(jié)目，深受人們的喜愛(ài)，其中有一個(gè)“杏壇論道”的答題環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)規(guī)定：主持人每公布一題，甲乙兩人就立刻搶答，先搶答者，若答對(duì)，可得1分；若答錯(cuò)，則對(duì)手得1分，誰(shuí)先得3分，誰(shuí)就能在“杏壇論道”環(huán)節(jié)勝出.假設(shè)兩人每一次搶到題的概率均為，答對(duì)每道題的概率分別為，且兩人答題正確與否互不影響.
（1）求“杏壇論道”比賽開(kāi)始后，甲先得1分的概率；
（2）“杏壇論道”比賽進(jìn)行中，甲乙暫時(shí)各得1分，兩人繼續(xù)搶答了X題后“杏壇論道”環(huán)節(jié)結(jié)束，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3） “杏壇論道”比賽開(kāi)始后，若乙先得2分，則乙獲勝的概率比甲大嗎 請(qǐng)說(shuō)明理由.
22．某品牌女裝專賣店設(shè)計(jì)摸球抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，每位顧客只用一個(gè)會(huì)員號(hào)登陸，每次消費(fèi)都有一次隨機(jī)摸球的機(jī)會(huì)．已知顧客第一次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為；從第二次摸球開(kāi)始，若前一次沒(méi)抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為．
（1）求的值，并探究數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求該顧客第幾次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大，請(qǐng)給出證明過(guò)程．
23．已知一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的，三人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的 ， ， 已知三人生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為 ， ， ．
現(xiàn)從這批產(chǎn)品中按等比例分層抽樣抽出 件產(chǎn)品，再?gòu)倪@ 件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進(jìn)行檢測(cè)，記事件 “第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的”， “第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”，分別求 ， ；
現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，已知它是次品，求這件產(chǎn)品是由丙生產(chǎn)的概率．
24．某學(xué)校為全面提高學(xué)生的語(yǔ)文素養(yǎng)和閱讀水平，構(gòu)建“書香校園”，特舉辦“課外閱讀知識(shí)競(jìng)賽”，為了調(diào)查學(xué)生對(duì)這次活動(dòng)的滿意程度，在所有參加“課外閱讀知識(shí)競(jìng)賽”的同學(xué)中抽取容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，并得到如下列聯(lián)表：
單位：人
滿意程度 性別 合計(jì)
男生 女生
滿意 120
不滿意 150
合計(jì) 200
（1）請(qǐng)補(bǔ)全上面的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為滿意程度與性別有關(guān)系；
（2）若競(jìng)賽成績(jī)?cè)谇?0的同學(xué)進(jìn)入決賽環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)共設(shè)置3道試題，且每一道試題必須依次作答，至少答對(duì)2道才能進(jìn)入總決賽，且每人答對(duì)這3道試題的概率分別為，，，3道試題答對(duì)與否互不影響.
（i）用X表示能進(jìn)入總決賽的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；
（ii）記有n人進(jìn)入總決賽的概率為，求取最大值時(shí)的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
25．中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，博大精深.某興趣小組，為了了解當(dāng)?shù)鼐用駥?duì)喝茶的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：
單位：人
年齡段 態(tài)度 合計(jì)
不喜歡喝茶 喜歡喝茶
35歲以上（含35歲） 30 30 60
35歲以下 25 15 40
合計(jì) 55 45 100
（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān)？
（2）以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當(dāng)?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機(jī)選出2人參加茶文化藝術(shù)節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為，求的分布列與期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
26．隨機(jī)數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)加密、安全通信、金融等領(lǐng)域.計(jì)算機(jī)中的隨機(jī)數(shù)是由算法產(chǎn)生的，其“隨機(jī)性”的優(yōu)劣取決于所采用的算法.某工廠計(jì)劃生產(chǎn)一種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，這種發(fā)生器的顯示屏能顯示1，2，3，4中的一個(gè)數(shù)字，每按一次數(shù)字更新按鈕后，顯示屏上的數(shù)字將等可能地更新為另三個(gè)數(shù)字中的一個(gè).在試生產(chǎn)階段，采用兩種不同算法，生產(chǎn)出相應(yīng)算法的甲、乙兩種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器.為評(píng)估兩種算法的優(yōu)劣，從這兩種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)餅圖如下：
（1）已知這150件發(fā)生器中，乙種發(fā)生器的三級(jí)品為2件.在答題卡中填寫列聯(lián)表；依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為甲、乙兩種發(fā)生器的一級(jí)品率存在差異
一級(jí)品 非一級(jí)品 合計(jì)
甲
乙
合計(jì)
（2）若發(fā)生器顯示屏的初始顯示數(shù)字為1，記按次數(shù)字更新按鈕后得到的數(shù)字為，.
（i）求，；
（ii）檢測(cè)一個(gè)發(fā)生器是否為一級(jí)品的方案為：每件被測(cè)發(fā)生器需進(jìn)行100輪測(cè)試，每輪測(cè)試共按10次數(shù)字更新按鈕；表示100輪測(cè)試得到“”的頻率，規(guī)定滿足的被測(cè)發(fā)生器為一級(jí)品.若某件發(fā)生器經(jīng)100輪測(cè)試后得到，能否判斷該發(fā)生器為一級(jí)品
附：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
27．在某詩(shī)詞大會(huì)的“個(gè)人追逐賽”環(huán)節(jié)中，參賽選手應(yīng)從8個(gè)不同的題目中隨機(jī)抽取3個(gè)題目進(jìn)行作答．已知這8個(gè)題目中，選手甲只能正確作答其中的6個(gè)，而選手乙正確作答每個(gè)題目的概率均為0.8，且甲、乙兩位選手對(duì)每個(gè)題目作答都是相互獨(dú)立的．
（1）求選手甲恰好正確作答2個(gè)題目的概率；
（2）記選手乙正確作答的題目個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）如果在抽取的3個(gè)題目中答對(duì)2個(gè)題目就可以晉級(jí)，你認(rèn)為甲、乙兩位選手誰(shuí)晉級(jí)的可能性更大？請(qǐng)說(shuō)明理由．
28．我們把魚(yú)在水中聚集的比較密的地方叫做魚(yú)窩.某人在一湖中用粘網(wǎng)（也叫掛網(wǎng)）捕魚(yú)，如果找到魚(yú)窩下網(wǎng)，則捕到魚(yú)的概率為；如果找不到魚(yú)窩下網(wǎng)，則捕到魚(yú)的概率為.若這個(gè)人能夠找到魚(yú)窩的概率為.
（1）求此人能捕到魚(yú)的概率；
（2）此人連續(xù)下網(wǎng)次，每次下網(wǎng)捕魚(yú)之間相互獨(dú)立，若能捕到魚(yú)的次數(shù)為，則為何值時(shí)，次捕到魚(yú)的概率的值最大
29．一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以寫成，其中是復(fù)數(shù)的模， 是以軸非負(fù)半軸為始邊，射線為終邊的角，稱為復(fù)數(shù)的輻角.我們規(guī)定在 范圍內(nèi)的輻角稱為輻角主值，通常記作，如，，.發(fā)現(xiàn)，就是說(shuō)兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角的和.考慮如下操作：從寫有實(shí)數(shù)0，1，的三張卡片中隨機(jī)抽取兩張，將卡片上的兩個(gè)數(shù)依次作為一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.設(shè)為正整數(shù)，重復(fù)次上述操作，可得到個(gè)復(fù)數(shù)，將它們的乘積記為.
（1） 寫出一次操作后所有可能的復(fù)數(shù)；
（2） 當(dāng)，記的取值為，求的分布列；
（3） 求為實(shí)數(shù)的概率.
30．甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)網(wǎng)球比賽，比賽采用三局兩勝制，每局都沒(méi)有平局，且甲第一局獲勝的概率為.從第二局開(kāi)始，若上一局甲獲勝，則下一局甲獲勝的概率為，若上一局甲未獲勝，則下一局甲獲勝的概率為.
（1）當(dāng)時(shí)，求甲第二局獲勝的概率.
（2）設(shè)甲第一局未獲勝且第二局獲勝的概率為.
①求；
②記這場(chǎng)比賽需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與期望.
31．小華、小明、小紅三人為某比賽制定了如下規(guī)則：先確定挑戰(zhàn)權(quán)，挑戰(zhàn)權(quán)屬于某人時(shí)，該人可挑戰(zhàn)另外兩人.經(jīng)商定，小華首先獲得挑戰(zhàn)權(quán)，他挑戰(zhàn)小明、小紅的概率均為.若他挑戰(zhàn)小明，下一次的挑戰(zhàn)權(quán)即屬于小明，且小明再挑戰(zhàn)小華、小紅的概率分別為；若他挑戰(zhàn)小紅，下一次的挑戰(zhàn)權(quán)即屬于小紅，且小紅再挑戰(zhàn)小華、小明的概率分別為.
（1）經(jīng)過(guò)3次挑戰(zhàn)后，小華已使用的挑戰(zhàn)權(quán)次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）若經(jīng)過(guò)次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權(quán)屬于小華、小明、小紅分別記為事件.
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）求事件發(fā)生的概率.
32．某同學(xué)參加趣味答題比賽，規(guī)則如下：第1次答題時(shí)，若答對(duì)則得2分，否則得1分；從第2次答題開(kāi)始，若答對(duì)則獲得上一次答題得分的2倍，否則得1分，該同學(xué)每次答對(duì)的概率都為，答錯(cuò)的概率都為，且每次答對(duì)與否相互獨(dú)立.記第次答題得分為.
（1）求；
（2）求（）的分布列和期望；
（3）在游戲開(kāi)始前，該同學(xué)有兩個(gè)選擇，①?gòu)牡?次開(kāi)始，若第次得分剛好為時(shí)，則該同學(xué)獲得勝利，游戲結(jié)束.②從第1次開(kāi)始，若第次得分剛好為時(shí)，則該同學(xué)獲得勝利，游戲結(jié)束.已知共有4次答題環(huán)節(jié)，求該同學(xué)選擇哪個(gè)方案獲得勝利的概率更大.
33．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項(xiàng)數(shù)列，由所有項(xiàng)數(shù)列組成集合.
（1）若是12項(xiàng)0數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；
（2）從集合中任意取出兩個(gè)數(shù)列，記.
①求隨機(jī)變量的分布列，并證明：；
②若用某軟件產(chǎn)生項(xiàng)數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，且.若，比較與的大小.
34．某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有A，B，C，D四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：
①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題A，B，C，D分別加1分，2分，3分，6分，答錯(cuò)任一題減2分；
②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；
③每位參加者按問(wèn)題A，B，C，D順序作答，直至答題結(jié)束．假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題A，B，C，D回答正確的概率依次為，，，，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．
（1）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；
（2）用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．
35．袋中裝有質(zhì)地均勻、大小相同的紅球和白球共10個(gè)．現(xiàn)進(jìn)行摸球游戲．
（1）若采取有放回的方式從袋中每次摸出1個(gè)球，共摸球兩次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中紅球的個(gè)數(shù)；
（2）已知袋中有紅球5個(gè)，從袋中每次摸出1個(gè)球，若是紅球則放回袋中，若是白球則不放回袋中，求摸球三次共取出兩個(gè)白球的概率；
（3）若采取不放回的方式從袋中每次摸出1個(gè)球，若連續(xù)兩次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直至第六次摸球后結(jié)束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中紅球個(gè)數(shù)的所有可能取值．
36．飛行棋是大家熟悉的棋類游戲，玩家通過(guò)投擲骰子來(lái)決定飛機(jī)起飛與飛行的步數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)玩家投擲出點(diǎn)時(shí)，飛機(jī)才能起飛.并且擲得點(diǎn)的游戲者可以連續(xù)投擲骰子，直至顯示點(diǎn)數(shù)不是點(diǎn).飛機(jī)起飛后，飛行步數(shù)即骰子向上的點(diǎn)數(shù).
（1）求甲玩家第一輪投擲中，投鄭次數(shù)的均值）
（2）對(duì)于兩個(gè)離散型隨機(jī)變量、，我們將其可能出現(xiàn)的結(jié)果作為一個(gè)有序數(shù)對(duì)，類似于離散型隨機(jī)變量的分布列，我們可以用如下表格來(lái)表示這個(gè)有序數(shù)對(duì)的概率分布：
（記，）
若已知，則事件的條件概率為.可以發(fā)現(xiàn)依然是一個(gè)隨機(jī)變量，可以對(duì)其求期望.
（?。┥鲜銎谕琅f是一個(gè)隨機(jī)變量（取值不同時(shí)，期望也不同），不妨記為，求；
（ⅱ）若修改游戲規(guī)則，需連續(xù)擲出兩次點(diǎn)飛機(jī)才能起飛，記表示“甲第一次未能擲出6點(diǎn)”，表示“甲第一次擲出點(diǎn)且第二次未能擲出點(diǎn)”，表示“甲第一次第二次均擲出點(diǎn)”，為甲首次使得飛機(jī)起飛時(shí)拋擲骰子的次數(shù)，求.
37．乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分，如圖，
甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域 .某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在上記3分，在 上記1分，其它情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在上的來(lái)球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在 上的概率為，在 上的概率為；對(duì)落點(diǎn)在 上的來(lái)球，小明回球的落點(diǎn)在上的概率為 ，在上的概率為 .假設(shè)共有兩次來(lái)球且落在上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：
（Ⅰ）小明的兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；
（Ⅱ）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.
38．某學(xué)校有甲、乙兩家餐廳，對(duì)于學(xué)生的午餐就餐情況根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析可以得出如下結(jié)論：前一天選擇甲餐廳就餐的同學(xué)第二天選擇甲餐廳就餐的概率是，選擇乙餐廳就餐的概率為﹔前一天選擇乙餐廳就餐的同學(xué)第二天選擇甲餐廳就餐的概率是，選擇乙餐廳就餐的概率為，如此往復(fù)．假設(shè)所有同學(xué)開(kāi)學(xué)第一天中午等可能隨機(jī)選擇一家餐廳就餐．
（1）第一天中午某班3位同學(xué)去餐廳就餐，求這3位同學(xué)中至少有1位同學(xué)去甲餐廳就餐的概率；
（2）求w同學(xué)與s同學(xué)第二天中午在同一餐廳就餐的概率；
（3）假設(shè)該學(xué)校有2000名學(xué)生，試估計(jì)一星期后中午在甲餐廳就餐的學(xué)生人數(shù)．
39．某商店舉行促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)不透明袋子中放有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中（）個(gè)為紅球，其余均為白球，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，若取到的兩個(gè)球同色，則稱為中獎(jiǎng)，可以領(lǐng)取一張優(yōu)惠券；若取到的兩個(gè)球不同色，則稱為不中獎(jiǎng)．一次抽獎(jiǎng)結(jié)束后，取出的球放回袋子中，供下一位顧客抽獎(jiǎng)（每位顧客只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)）．
（1）若，求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；
（2）若要求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率最?。?br/>（ⅰ）求；
（ⅱ）求兩位顧客抽獎(jiǎng)至少有一位顧客中獎(jiǎng)的概率．
40．某人工智能芯片需經(jīng)過(guò)兩道獨(dú)立的性能測(cè)試.首次測(cè)試（測(cè)試I）通過(guò)率為，末通過(guò)測(cè)試I的芯片進(jìn)入第二次測(cè)試（測(cè)試II），通過(guò)率為.通過(guò)任意一次測(cè)試即為合格芯片，否則報(bào)廢.
（1）若某批次生產(chǎn)了n枚芯片，合格數(shù)為隨機(jī)變量X.當(dāng)，時(shí)，求X的期望與方差；
（2）已知一枚芯片合格，求其是通過(guò)測(cè)試I的概率；
（3）為估計(jì)（2）中的，工廠隨機(jī)抽取m枚合格芯片，其中k枚為通過(guò)測(cè)試I.記.若要使得總能不超過(guò)0.1，試根據(jù)參考內(nèi)容估計(jì)最小樣本量.
參考內(nèi)容：設(shè)隨機(jī)變量X的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有.
41．體育是培養(yǎng)學(xué)生高尚人格的重要途徑之一．足球作為一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，深受學(xué)生喜愛(ài)，為了解學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表：
喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng) 不喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng) 合計(jì)
男生 40
女生 25
合計(jì) 100
已知從這100名學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為．
（1）求；
（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)？
（3）用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，現(xiàn)在從喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名，記其中男生的人數(shù)為，求使事件“”概率最大的的值．
附：，
42．在數(shù)字通信中，信號(hào)是由0和1組成的序列．由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0．已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為和（）；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為和（）．假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的．
（1）若，現(xiàn)發(fā)送信號(hào)3次，記其中接收為正確信號(hào)的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差；
（2）隨機(jī)變量的分布列為，記事件（）發(fā)生后給我們的信息量為，則稱（）為的信息熵．設(shè)發(fā)送信號(hào)1次，接收為正確信號(hào)的次數(shù)為，求的信息熵的最大值；
（3）若，發(fā)送信號(hào)次，設(shè)為出現(xiàn)0的總次數(shù)，為第次出現(xiàn)1的次數(shù)（0或1次），記表示發(fā)送信號(hào)次，0恰好出現(xiàn)次且第次出現(xiàn)1的次數(shù)為的概率，如時(shí)，．對(duì)于隨機(jī)變量，記其合并熵為，且．證明：當(dāng)時(shí)，．
43．甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球.設(shè)從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)口袋為一次操作，經(jīng)過(guò)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為.
（1）寫出的分布列并計(jì)算；
（2）某人重復(fù)進(jìn)行了100次操作，記，，求該數(shù)列的前100項(xiàng)和的最大值；
（3）定性分析當(dāng)交換次數(shù)趨向于無(wú)窮時(shí)，趨向的值.
44．2025年5月下旬，為全面掌握學(xué)生學(xué)業(yè)水平，科學(xué)制定備考策略，某科研組織精心組織了一次針對(duì)高二年級(jí)的全市聯(lián)合考試，研究發(fā)現(xiàn)，本次檢測(cè)的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布.
（1）按以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，數(shù)學(xué)成績(jī)能達(dá)到特殊招生分?jǐn)?shù)線要求的同學(xué)約占46%，據(jù)此估計(jì)本次檢測(cè)成績(jī)達(dá)到特殊招生分?jǐn)?shù)線的數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少分 （精確到個(gè)位）（說(shuō)明：表示的概率，用來(lái)將非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，從而利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求時(shí)的概率，這里.相應(yīng)于值是指總體取值小于概率，即.參考數(shù)據(jù)：，）.
（2）在統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，問(wèn)卷的設(shè)計(jì)是一門很大的學(xué)問(wèn)，特別是對(duì)一些敏感性問(wèn)題.例如學(xué)生在考試中有無(wú)作弊現(xiàn)象，社會(huì)上的偷稅漏稅等，更要精心設(shè)計(jì)問(wèn)卷，設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實(shí)回答問(wèn)題，否則被調(diào)查者往往會(huì)拒絕回答，或不提供真實(shí)情況，為了調(diào)查早戀現(xiàn)象對(duì)數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的影響，隨機(jī)抽出300名學(xué)生，調(diào)查中使用了兩個(gè)問(wèn)題.①你的學(xué)籍號(hào)的最后一位數(shù)是奇數(shù)（學(xué)籍號(hào)的后四位是序號(hào)）；②你是否有早戀現(xiàn)象，讓被調(diào)查者從裝有4個(gè)紅球，6個(gè)黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機(jī)摸取兩個(gè)球，摸到兩球同色的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，摸到兩球異色的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不放，后來(lái)在盒子中收到了78個(gè)小石子.你能否估算出中學(xué)生早戀人數(shù)的百分比
（3）有一天，柏拉圖問(wèn)蘇格拉底：“什么是愛(ài)情？”蘇格拉底微笑著讓他去麥田里摘一株最大最好的麥穗回來(lái)，并且規(guī)定只能摘一次，而且只能往前走，不能回頭.柏拉圖充滿信心地走進(jìn)麥田，可過(guò)了很久他卻垂頭喪氣地空手而歸.他對(duì)蘇格拉底說(shuō)：“很難得看見(jiàn)一株不錯(cuò)的，卻不知道是不是最好的，因?yàn)橹豢梢哉恢?，無(wú)奈只好放棄；于是，再往前走，看看有沒(méi)有更好的，可是我越往前走，越發(fā)覺(jué)不如以前見(jiàn)到的好，所以我沒(méi)有摘；當(dāng)已經(jīng)走到盡頭時(shí)，才發(fā)覺(jué)原來(lái)最大的最飽滿的麥穗早已錯(cuò)過(guò)了，只好空手而歸.”這時(shí)，蘇格拉底意味深長(zhǎng)地說(shuō)：“這就是‘愛(ài)情’.”
為了擺脫“麥穗困境”，找到最優(yōu)伴侶，龍龍同學(xué)準(zhǔn)備采用“前半觀察，后半選擇”的策略，即：前次心動(dòng)不行動(dòng)，自第次心動(dòng)開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)所有的都優(yōu)秀，就大膽行動(dòng)，否則就在第20次心動(dòng)再行動(dòng).為了使龍龍選擇到最優(yōu)伴侶的概率最大，求的取值.（以下可能會(huì)用到：，）
三、統(tǒng)計(jì)（本大題共13小題）
45．黃山雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國(guó)最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一．為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對(duì)景區(qū)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分100分），根據(jù)這100名游客的評(píng)分，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值；并估計(jì)這100名游客對(duì)景區(qū)滿意度評(píng)分的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值做代表）；
（2）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評(píng)分在、的兩組中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流，求選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人的概率．
46．某校2021年高一年級(jí)共有1000名學(xué)生，現(xiàn)對(duì)高一年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）求a的值，并估計(jì)該校2021年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)；
（2）估計(jì)該校高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù).
47．黔西一中為了提高學(xué)生對(duì)“黔西一中校史”的了解，舉辦了“知史愛(ài)校守初心”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從所有競(jìng)答試卷的卷面成績(jī)中隨機(jī)抽取100份作為樣本數(shù)據(jù)，將樣本答卷中分?jǐn)?shù)x（）的整數(shù)分成六段：，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）求樣本數(shù)據(jù)的第59百分位數(shù)；
（3）已知樣本數(shù)據(jù)落在的平均數(shù)是52，方差是6；落在的平均數(shù)是64，方差是3.求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和總方差.
48．為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過(guò)超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1 000人，得到如下列聯(lián)表：
超聲波檢查結(jié)果組別 正常 不正常 合計(jì)
患該疾病 20 180 200
未患該疾病 780 20 800
合計(jì) 800 200 1 000
（1）記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為p，求p的估計(jì)值；
（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
49．在五一假期中，某校組織全校學(xué)生開(kāi)展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，抽樣調(diào)查了其中的100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間從長(zhǎng)到短按的比例分別被評(píng)為優(yōu)秀、良好、合格.

（1）求的值并估計(jì)該學(xué)校學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；
（2）試估計(jì)至少參加多少小時(shí)的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，方可被評(píng)為優(yōu)秀.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
（3）根據(jù)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的成績(jī)，按分層抽樣的方式抽取5名學(xué)生.從這5名學(xué)生中，任選3人，求這3名學(xué)生成績(jī)各不相同的概率.
50．某學(xué)校為提高學(xué)生對(duì)《紅樓夢(mèng)》的了解，舉辦了“我知紅樓”知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績(jī)中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中的值.
（2）求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù).
（3）已知樣本數(shù)據(jù)落在的平均數(shù)是52，方差是6；落在的平均數(shù)是64，方差是3.求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和總方差.
51．自2022年動(dòng)工至今，我市的“靚淮河”工程已初具規(guī)模．該工程以“一川清 兩灘靚 三脈通 十景紅”為總體布局，以生態(tài)修復(fù)與保護(hù)為核心理念，最終將促進(jìn)城市防洪 交通 航運(yùn) 生態(tài) 觀光 商業(yè)等多種業(yè)態(tài)協(xié)同融合發(fā)展．為調(diào)查我市居民對(duì)“靚淮河”工程的滿意程度，隨機(jī)抽取了200位市民，現(xiàn)擬統(tǒng)計(jì)參與調(diào)查的市民年齡層次，將這200人按年齡（歲）分為5組，依次為，并得到頻率分布直方圖如下．

（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）估計(jì)這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（3）估計(jì)這200人年齡的中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）．
52．某學(xué)校為了解入學(xué)新生的身高情況，隨機(jī)抽取了50名新生，測(cè)得他們的身高（單位：），并分成以下5組：，，，，，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求出樣本中學(xué)生身高的中位數(shù)；（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）
（2）該學(xué)校體育教研室為了解身高是否在一定的范圍內(nèi)與參加彈跳運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)，調(diào)研得到以下5組數(shù)據(jù)：
參加彈跳運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：年） 1 2 3 4 5
身高（單位：） 158 162 166 170 184
表中的數(shù)據(jù)顯示，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，試求出關(guān)于的回歸方程.
附：回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.
53．（13分）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過(guò)超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1 000人，得到如下列聯(lián)表：
超聲波檢查結(jié)果 組別 正常 不正常 合計(jì)
患該疾病 20 180 200
未患該疾病 780 20 800
合計(jì) 800 200 1 000
（1） 記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為，求的估計(jì)值；
（2） 根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).
附：，
.
54．某市疾控中心為研究青少年每日使用電子產(chǎn)品的時(shí)長(zhǎng)與近視的關(guān)系，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到如下列聯(lián)表：
近視學(xué)生 非近視學(xué)生 合計(jì)
每天使用時(shí)長(zhǎng)不低于2小時(shí) 105 250
每天使用時(shí)長(zhǎng)低于2小時(shí)
合計(jì) 175 400
（1）完善列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“學(xué)生近視”與“每天使用電子產(chǎn)品的時(shí)長(zhǎng)是否低于2小時(shí)”有關(guān)聯(lián)？
（2）按每天使用電子產(chǎn)品的時(shí)長(zhǎng)是否低于2小時(shí)，利用分層隨機(jī)抽樣的方法從非近視的學(xué)生中抽取15人進(jìn)一步調(diào)查其用眼衛(wèi)生情況，再?gòu)倪@15人中隨機(jī)抽取5人，記為所抽5人中每天使用電子產(chǎn)品不低于2小時(shí)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：，其中，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
55．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝的使用量x（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.
（1）從散點(diǎn)圖可以看出，可用直線擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)并加以說(shuō)明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用直線擬合）；
（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)液體肥料每畝的使用量為12千克時(shí)西紅柿畝產(chǎn)量的增加量.
56．（13分）
為考察某種藥物A對(duì)預(yù)防疾病B的效果,進(jìn)行了動(dòng)物（單位:只）試驗(yàn),得到如下列聯(lián)表:
藥物 疾病 合計(jì)
未患病 患病
未服用 100 80
服用 150 70 220
合計(jì) 250 400
（1） 求,；
（2） 記未服用藥物A的動(dòng)物患疾病B的概率為,給出的估計(jì)值；
（3） 根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效
附:,
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
57．某公司為了解員工對(duì)食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問(wèn)卷調(diào)查，要求員工對(duì)食堂的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在[40，100]內(nèi)，將所得數(shù)據(jù)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求a的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）和中位數(shù)（精確到0.1）；
（2）現(xiàn)從[70，80），[80，90），[90，100]這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24人，求[70，80）這組中抽取的人數(shù)．
參考答案
1．【答案】（1）－1320；
（2）1023.
【詳解】（1）∵第4項(xiàng)和第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
∴，則，
展開(kāi)式通項(xiàng)公式是，，
令，解得，
∴x的系數(shù)為；
（2）在中令得，即為所有項(xiàng)的系數(shù)和，
展開(kāi)式的所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，
∴．
【易錯(cuò)警示】解答此類問(wèn)題應(yīng)掌握(a＋b)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n，且奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和都等于2n-1.
2．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【詳解】（1）方法一：至少有一名組長(zhǎng)含有兩種情況：
有一名組長(zhǎng)和兩名組長(zhǎng)，故共有種．
方法二：至少有一名組長(zhǎng)可以采用排除法，有種．
（2）至多有3名女團(tuán)員含有四種情況：有3名女團(tuán)員，有2名女團(tuán)員，有1名女團(tuán)員，
沒(méi)有女團(tuán)員，故共有種．
（3）既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選含兩類情況：
第一類：女組長(zhǎng)當(dāng)選，有種；
第二類：女組長(zhǎng)不當(dāng)選，男組長(zhǎng)當(dāng)選，從剩余7名男團(tuán)員，5名女團(tuán)員中選5人，
其中至少選擇1名女團(tuán)員，有種．
故共有種．
3．【答案】（1）種；
（2）種；
（3）種；
（4）種
【詳解】（1）女生甲排在正中間，其余人有種排法，因此不同的排法有（種）.
（2）將名男生排成一排，有種排法，2名女生可以在相鄰兩個(gè)男生之間和兩端共6個(gè)位置中選出2個(gè)位置排，有種排法，因此不同的排法有（種）.
（3）對(duì)7名學(xué)生全排列有種排法，因此不同的排法有（種）.
（4）選1名男生排在2名女生中間，有種排法，將3人看成1個(gè)元素與4名男生共5個(gè)元素排成一排，有種排法，又因?yàn)?名女生有種排法，所以不同的排法有（種）.
4．【答案】（1）；
（2）和；
（3）219.
【詳解】（1）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
因?yàn)榈谌?xiàng)的系數(shù)是第二項(xiàng)系數(shù)的2倍，
，解得，因?yàn)椋裕?br/>（2）由知展開(kāi)式共有10項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，
由（1）知第5項(xiàng)為，第6項(xiàng)為，
所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為和；
（3）由（1）知展開(kāi)式中的系數(shù)為
，
所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為219.
5．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；.
【詳解】（1）這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為：
.
（2）選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為；
，，，，，共6種，
因此事件發(fā)生的概率.
6．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）．
【詳解】（1）解：記抽到他會(huì)背誦的古詩(shī)詞的數(shù)量為X，則X的所有可能取值為0，1，2，3，且X服從超幾何分布，所以，．
所以，，，
，.
X的概率分布列為
X 0 1 2 3
p
（2）解：他能過(guò)關(guān)的概率為．
7．【答案】（1）4
（2）平均數(shù)為，中位數(shù)為
（3）
【詳解】（1）因?yàn)槌槿〉?00名學(xué)生中, 不高于50分的人數(shù)為（人），
50分到60分的人數(shù)為（人），
所以從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人的成績(jī)，不高于50分的人數(shù)為（人）.
（2）由，解得，
平均數(shù)，
因?yàn)槌煽?jī)不高于70分的頻率為，
成績(jī)不高于80分的頻率為，
所以中位數(shù)位于內(nèi)，則中位數(shù)為.
（3）三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，
.
8．【答案】（1）；
（2）分布列見(jiàn)詳解，.
【詳解】（1）記“小胡至少套中1次”為事件，
所以，
即小胡至少套中1次的概率為.
（2）由題意可知X的所有可能取值為0，40，80，120，160，200，
所以，，
，，
，，
所以X的分布列為：
X 0 40 80 120 160 200
P
所以.
9．【答案】（1），79.5
（2）
【詳解】（1）由題意知，解得．
估計(jì)這200名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)．
（2）由，得這5人中成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為2，分別記為a，b；
在的人數(shù)為3人，分別記為c，d，e．
在這5人中抽取2人，共ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，10個(gè)基本事件，
這2名學(xué)生成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)各1人，共ac，ad，ae，bc，bd，be，6個(gè)基本事件，
故這2名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)各1人的概率為．
10．【答案】見(jiàn)詳解
【詳解】（1）【解】，即,
又，所以，.
（2）【解】前3組的頻率和為，
前4組的頻率和為，
第55百分位數(shù)位于第4組內(nèi).
估計(jì)第55百分位數(shù)為.
（3）【解】，這三組的頻率分別為，，，
比例為，
則從內(nèi)抽取的人數(shù)分別為.
11．【答案】解： 的展開(kāi)式中，第 ， ， 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次 ， ， ，
根據(jù)題意得： ，
即 ，
化簡(jiǎn)，得 ，
解得： 舍去 ， ；
由 可知，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，即第 項(xiàng)和第 項(xiàng)，
的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為
，
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
即展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 ， ；
由通項(xiàng)公式 ，得
當(dāng) ， ， ， 時(shí)， 的指數(shù)為整數(shù)，即展開(kāi)式的第 ， ， ， 項(xiàng)為有理項(xiàng)，共 項(xiàng)
展開(kāi)式共有 項(xiàng)，先排無(wú)理項(xiàng)，有 種排法，無(wú)理項(xiàng)排好后形成 個(gè)空，
從 個(gè)空中選 個(gè)排有理項(xiàng)，有 種排法，而 項(xiàng)全排列有 種排法，
所以有理項(xiàng)不相鄰的概率 ．
12．【答案】（1）見(jiàn)詳解；
（2）74.5；
（3）.
【詳解】（1）如圖所示
（2）55×0.005×10+65×0.035×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95×0.010×10
＝2.75+22.75+22.5+17+9.5＝74.5，
估計(jì)這次測(cè)試的平均分為74.5分，
由直方圖可知，中位數(shù)左邊和右邊的面積相等，均為，
設(shè)中位數(shù)在70—80之間的寬度為，則有0.005×10+0.035×10+0.030＝0.5，
整理得0.4+0.03＝0.5，所以＝，
，
估計(jì)這次測(cè)試的中位數(shù)為．
（3）根據(jù)題意從[70，80）抽取3人，
[80，90）抽取2人，[90，100]抽取1人，
從中任意抽取3人：，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，共20種，
其中的學(xué)生3人都被抽到的有共1種，
所以成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生至多有2人被抽到的概率.
13．【答案】（1），71分；
（2）88分；
（3）.
【詳解】（1）由，解得；
，
所以本次服務(wù)評(píng)價(jià)調(diào)查的平均得分為71分；
（2）設(shè)獲得寵物護(hù)理禮包的客戶評(píng)分至少要達(dá)到分，
因?yàn)?，?duì)應(yīng)的頻率分別為，
所以排在前的高評(píng)價(jià)客戶應(yīng)在區(qū)間內(nèi)，
所以，解得，
故獲得寵物護(hù)理禮包的客戶評(píng)分至少要達(dá)到88分；
（3）設(shè)在“評(píng)分最高組”和“評(píng)分最低組”抽取的人數(shù)分別為，
所以.
所以由分層隨機(jī)抽樣在“評(píng)分最高組”中抽取4人，在“評(píng)分最低組”中抽取2人.
設(shè)“評(píng)分最高組”中的4人分別用表示；“評(píng)分最低組”中的2人分別為表示.
從中抽取兩人進(jìn)行回訪的所有結(jié)果為共15種.
進(jìn)行回訪的兩人均來(lái)自“評(píng)分最高組”的所有結(jié)果為共6種，
故進(jìn)行回訪的兩人都來(lái)自“評(píng)分最高組”的概率為.
14．【答案】（1）認(rèn)為DeepSeek的使用情況與學(xué)歷無(wú)關(guān)
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【詳解】（1）零假設(shè)為：DeepSeek的使用情況與學(xué)歷無(wú)關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為DeepSeek的使用情況與學(xué)歷無(wú)關(guān)；
（2）（?。┊?dāng)甲，乙同時(shí)回答第道題時(shí)，甲得分為，
，
，
，
比賽結(jié)束甲獲勝時(shí)的得分可能的取值為10，20，30，
則，
，
，
所以比賽結(jié)束后甲獲勝的概率；
（ⅱ）設(shè)“比賽結(jié)束后甲獲勝”，“比賽結(jié)束時(shí)乙恰好答對(duì)一道題”，
，
則，
所以比賽結(jié)束后甲獲勝的條件下，乙恰好回答對(duì)1道題的概率為．
15．【答案】（1）
（2）
（3）分布列見(jiàn)詳解；期望為
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：
．
（2）由題意知，即，
所以．
（3）由題意可知，和的頻率之比為：，
故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，
隨機(jī)變量的取值可以為，
，，
，，
故的分布列為：
0 1 2 3
所以.
16．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）由題意可得，甲乙投籃為獨(dú)立事件，所以甲、乙各投籃一次，求甲、乙都投中的概率.
（2）分中零次和一次，
即.
17．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）小張、小陳、小王答對(duì)題目分別記為事件，
小張、小陳、小王三人中恰有兩人答對(duì)題目記為事件，
，
故在小林答對(duì)的情況下，求恰有3位同學(xué)答對(duì)題目的概率為，
（2）設(shè)表示第位同學(xué)的得分，分別對(duì)應(yīng)小林，小張，小陳，小王），
則，
由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可知，
對(duì)于，答對(duì)得2分，答錯(cuò)得0分，服從兩點(diǎn)分布，
；
；
則.
18．【答案】（1），
（2），
（3）
【詳解】（1）由題意可得：，
則，
所以估計(jì)開(kāi)業(yè)當(dāng)天滑雪的人年齡在內(nèi)有人.
（2）由題意可得：，
又因?yàn)椋?br/>可知，則解得：.
（3）中的人數(shù)：，分別記為；
中的人數(shù)：，分別記為
中的人數(shù)：，記為
則任選兩人的情況有
，共種，
其中來(lái)自同一組有
，共種，
所以兩個(gè)人來(lái)自同一組的概率為.
19．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）甲最終獲勝包含以下情況：
第一種情況是甲第一局和第二局比賽都獲勝，其概率為；
第二種情況是甲第一局和第四局比賽獲勝，其概率為；
第三種情況是甲第三局和第四局比賽獲勝，其概率是.
故甲、乙首先比賽，甲最終獲勝的概率；
（2）①若甲、乙首先比賽，則乙最終獲勝有三種情況：
甲、乙比賽乙勝，乙、丙比賽乙勝，概率為；
甲、乙比賽甲勝，甲、丙比賽丙勝，乙、丙比賽乙勝，甲、乙比賽乙勝，
概率為；
甲、乙比賽乙勝，乙、丙比賽丙勝，甲、丙比賽甲勝，甲、乙比賽乙勝，
概率為.
故甲、乙首先比賽，乙最終獲勝的概率.
②若甲、丙首先比賽，則乙最終獲勝有兩種情況：
甲、丙比賽甲勝，甲、乙比賽乙勝，乙、丙比賽乙勝，概率為；
甲、丙比賽丙勝，乙、丙比賽乙勝，甲、乙比賽乙勝，概率為.
故甲、丙首先比賽，乙最終獲勝的概率.
③若乙、丙首先比賽，則乙最終獲勝有三種情況：
乙、丙比賽乙勝，甲、乙比賽乙勝，概率為；
乙、丙比賽乙勝，甲、乙比賽甲勝，甲、丙比賽丙勝，乙、丙比賽乙勝，
概率為；
乙、丙比賽丙勝，甲、丙比賽甲勝，甲、乙比賽乙勝，乙、丙比賽乙勝，
概率為.
故乙、丙首先比賽，乙最終獲勝的概率.
故乙最終獲勝的概率.
20．【答案】（1）有關(guān)聯(lián)
（2），意義見(jiàn)詳解
【詳解】（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如下：
喜歡 不喜歡 合計(jì)
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合計(jì) 65 35 100
零假設(shè)：對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡與性別無(wú)關(guān)聯(lián)，
則，
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡與性別有關(guān)聯(lián)；
（2）由題意可知，，，
所以，
其意義為該樣本中男性對(duì)機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡的概率比女性對(duì)機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡概率大；
或者男性對(duì)機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡的人數(shù)比女性對(duì)機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡多等等
21．【答案】（1）；
（2）分布列見(jiàn)詳解，；
（3）乙獲勝的概率比甲大，理由見(jiàn)詳解
【詳解】（1）設(shè)事件“甲搶到題”，“甲答對(duì)題目”，“甲答錯(cuò)題目”，
“乙搶到題”，“乙答對(duì)題目”， “乙答錯(cuò)題目”，“甲得1分”，
則.
（2）繼續(xù)進(jìn)行的比賽為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且由（1）知甲得1分的概率為，乙得1分的概率為.
隨機(jī)變量的所有可能取值為，
，
.
故的分布列為
2 3
數(shù)學(xué)期望為.
（3）乙獲勝的概率比甲大，理由如下.
乙先得2分的情況下，若甲獲勝，則甲連得三分，其概率是，
從而乙獲勝的概率是.
因?yàn)?，所以乙獲勝的概率比甲大.
22．【答案】（1），
（2）第二次，見(jiàn)詳解
【詳解】（1）記該顧客第次摸球抽中獎(jiǎng)品為事件A，依題意，，
．
因?yàn)?，，?br/>所以，
所以，
所以，
又因?yàn)椋瑒t，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故．
（2）證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則隨著n的增大而減小，
所以，．
綜上，該顧客第二次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大．
23．【答案】解： 因?yàn)榧?、乙、丙三名工人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的 、 、 ，
所以按等比例分層抽樣抽出 件產(chǎn)品，
則從甲、乙、丙三人生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取的數(shù)量分別是：
、 、 ．
因?yàn)閺某槿〉?件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進(jìn)行檢測(cè)，所有的取法有 ，
而第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的，第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的所有的取法有 ，
所以 ．
因?yàn)閺某槿〉?件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進(jìn)行檢測(cè)，所有的取法有 ，
所以第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的所有的取法有 ，
因此 ，所以 ．
因?yàn)閺某槿〉?件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進(jìn)行檢測(cè)，所有的取法有 ，
而第一次、第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的所有的取法有 ，
第一次取出的產(chǎn)品不是甲生產(chǎn)的，第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的所有的取法有 ，
所以第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的所有的取法有 ，
因此 ，所以 ．
設(shè) 、 、 分別表示產(chǎn)品是由甲、乙、丙生產(chǎn)的， 表示取出的產(chǎn)品是次品，
因此 、 、 、
、 、 ，
所以
，
因此 ，
即這件產(chǎn)品是由丙生產(chǎn)的概率為 ．
24．【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)詳解，推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001
（2）（i）；（ii）12
【詳解】（1）列聯(lián)表如下：
單位：人
滿意程度 性別 合計(jì)
男生 女生
滿意 120 30 150
不滿意 80 70 150
合計(jì) 200 100 300
零假設(shè)為：滿意程度與性別無(wú)關(guān)，，
所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即能認(rèn)為滿意程度與性別有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.
（2）（i）依題意，設(shè)“答對(duì)第道題”；“某同學(xué)進(jìn)入總決賽”，
則，，，
所以
，
依題意，，所以；
（ii）依題意，，，
若最大，則，
解得，因?yàn)?，所以?br/>所以取最大值時(shí)的值為12.
25．【答案】（1）不能
（2）分布列見(jiàn)詳解，
【詳解】（1）零假設(shè)為：該地居民喜歡喝茶與年齡沒(méi)有關(guān)系.
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡沒(méi)有關(guān)系.
（2）由題意可知，的取值可能為.
則.
所以的分布列為
0 1 2
所以的期望為.
26．【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)詳解，存在差異
（2）（i），；（ii）該發(fā)生器為一級(jí)品
【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：
一級(jí)品 非一級(jí)品 合計(jì)
甲 26 24 50
乙 70 30 100
合計(jì) 96 54 150
零假設(shè)為：甲、乙兩批發(fā)生器的一級(jí)品率沒(méi)有差異.
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
所以可以認(rèn)為甲、乙兩批發(fā)生器的一級(jí)品率存在差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
（2）（i）依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，
由全概率公式，得
.
（ii）由全概率公式，得
，
所以，
即，且，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即.
所以.
因?yàn)?，所以該發(fā)生器為一級(jí)品.
解法二：（i）依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為2”，
“按次按鈕后顯示的數(shù)字為3”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為4”，
則，且，，，兩兩互斥.
依據(jù)題意得，，
.
由全概率公式，得
.
（ii）
所以，
即，且，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
所以，即.
所以.
因?yàn)椋栽摪l(fā)生器為一級(jí)品.
解法三：（i）依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，
由全概率公式，得
.
.
.
.
.
.
.
.
.
因?yàn)?，所以該發(fā)生器為一級(jí)品.
27．【答案】（1）
（2）分布列見(jiàn)詳解，
（3）選手乙，理由見(jiàn)詳解
【詳解】（1）設(shè)事件A為“選手甲正確作答2個(gè)題目”，則．
故選手甲恰好正確作答2個(gè)題目的概率為．
（2）由題意得，，X的所有可能取值為0，1，2，3，
∴，，，，
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
∴．
（3）設(shè)選手甲正確作答的題目個(gè)數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴可以認(rèn)為選手乙晉級(jí)的可能性更大．
28．【答案】（1）
（2）或
【詳解】（1）記事件為“此人能補(bǔ)到魚(yú)”，事件為“此人能找到魚(yú)窩”，
則，，，
.
（2）由（1）知：，，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，次補(bǔ)到魚(yú)的概率最大，
則，解得：，
若的值最大，則，解得：，
又且，或，
即當(dāng)或時(shí)，次補(bǔ)到魚(yú)的概率的值最大.
29．【答案】（1） 一次操作后可能的復(fù)數(shù)為1，，，，，.
（2） 一次操作后復(fù)數(shù)的模所有可能的取值為1，，2，由，故的所有可能取值為1，，2，3，，4，，，,，，，
所以的分布列為
1 2 3 4
（3） 若為實(shí)數(shù)，則或 .
而1，，，，，的輻角主值分別是0，，0，，，，
設(shè)在次操作中，得到，的次數(shù)為，得到的次數(shù)為，得到的次數(shù)為，
于是 ，,且為偶數(shù)，
從而，即，
因此所求的概率即為是3的整數(shù)倍的概率.下面研究與之間的關(guān)系.
（?。┦?的整數(shù)倍，且第次操作得到的復(fù)數(shù)是1，，，概率為；
（ⅱ）被3除余1，且第次操作得到的復(fù)數(shù)是概率為.
（ⅲ）被3除余2，且第次操作得到的復(fù)數(shù)是概率為；
因此由全概率公式可以得到，變形得，其中，故.
30．【答案】（1）
（2）①；②分布列見(jiàn)詳解，期望為.
【詳解】（1）設(shè)“甲第局獲勝”，其中，依題意得，
當(dāng)時(shí)，由全概率公式得.
，
所以甲第二局獲勝的概率為.
（2）①甲第一局未獲勝且第二局獲勝的概率為，
依題意得，解得.
②的可能取值為2，3.
，
所以的分布列為
2 3
.
31．【答案】（1）分布列見(jiàn)詳解，
（2）（?。┮?jiàn)詳解；（ⅱ）
【詳解】（1）的可能取值為1和2，且；
，則的分布列如下：
1 2
則的期望為.
（2）（ⅰ）①
②
①-②得：.
又，則，即.
（ⅱ）③，
①+②得：.
由③知
又；
則有，其中；
則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
可得：；所以
32．【答案】（1）
（2）分別列見(jiàn)詳解，
（3）方案②
【詳解】（1）由題意可知表示事件“第1次答錯(cuò)，第2，3次均答對(duì)”，
（2）可取且表示事件“第次答錯(cuò)”，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
表示事件“第次答錯(cuò)，第次均答對(duì)”，
所以，，
表示事件“第次都答對(duì)”
，
所以
所以的分布列為：
1 2 4
（3）若選擇方案①，只可能為2，4，即:，
表示事件“第1次答錯(cuò)，第2次答對(duì)”，
表示事件“第2次答錯(cuò)，第3、4次均答對(duì)"，
因?yàn)?、互斥，所?br/>若選擇方案②，只可能為1，2，4，即:，
表示事件“第1次答對(duì)”；
表示事件“第1、2次均答對(duì)”，
而第1次答對(duì)的話，游戲已結(jié)束，故不需要考慮這種情況；
表示事件“第1次答錯(cuò)，第2，3，4次均答對(duì)”；
因?yàn)榕c互斥，所以
，
所以應(yīng)該選擇方案②.
33．【答案】（1）0.
（2）①分布列見(jiàn)詳解，見(jiàn)詳解；②
【詳解】（1）因?yàn)槭?2項(xiàng)數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)和時(shí)，.設(shè)數(shù)列的所有項(xiàng)的和為S，
則
，所以數(shù)列的所有項(xiàng)的和為0.
（2）①因?yàn)閿?shù)列是從集合中任意取出兩個(gè)數(shù)列，所以，數(shù)列為項(xiàng)數(shù)列所以，的可能取值為：當(dāng)時(shí)，數(shù)列中有項(xiàng)取值不同，有項(xiàng)取值相同，
又因?yàn)榧现性氐膫€(gè)數(shù)共有個(gè)，
所以，，
所以，的分布列為：
1 2
因?yàn)椋?br/>所以，
②由題知，所以，，
所以，，
所以，即，
所以，，即
34．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)詳解，.
【詳解】設(shè)A，B，C，D分別為第一，二，三，四個(gè)問(wèn)題．用Mi(i＝1，2，3，4)表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答正確，用Ni(i＝1，2，3，4)表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則Mi與Ni是對(duì)立事件(i＝1，2，3，4)．由題意得，P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝，
所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝.
（1）記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q，
Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，
P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)
＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)
＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝.
（2）由題意，隨機(jī)變量ξ的可能取值為2，3，4.由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，
所以P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝××＋××＝，
P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝.
隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ 2 3 4
P
所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.
【命題意圖】本題考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、考查了離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望的知識(shí)，考查了同學(xué)們利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
35．【答案】（1）4個(gè)；
（2）；
（3）4，5，6，7，8個(gè).
【詳解】（1）設(shè)袋中有紅球m個(gè)．
設(shè)“采取有放回的方式從袋中每次摸出1個(gè)球?yàn)榧t球”，則．
設(shè)“摸球兩次，至少得到一次白球”．“摸球兩次，兩次均為紅球”．
則，解得，即袋中紅球有4個(gè)．
（2）設(shè)“摸球三次共取出兩個(gè)白球”，
則三次摸球可能情況為：“白白紅”，“白紅白”，“紅白白”，
則．
所以摸球三次共取出兩個(gè)白球的概率為．
（3）設(shè)“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”．
由題意知：．
若，則不可能連續(xù)兩次摸到紅球，不合題意．
若，則事件E三次摸球依次為“白紅紅”，，
事件F五次摸球依次為“白白白紅紅”，，，不合題意．
若，則最多第四次就停止摸球，不符合題意．
若，則事件E三次摸球依次為“白紅紅”，，
事件F五次摸球依次為“白紅白紅紅”或“紅白白紅紅”，
，，符合題意．
若，則事件E：三次摸球依次為“白紅紅”，，
事件F：五次摸球依次為“白白白紅紅”或“白紅白紅紅”或“紅白白紅紅”，
，
由，得，
即，解得或．即，5，6，7，
綜上所述，紅球個(gè)數(shù)的所有可能取值為4，5，6，7，8個(gè)．
36．【答案】（1）
（2）（?。?；（ⅱ）
【詳解】（1），，
所以，，
記，則.
作差得：，
所以，.
故.
（2）（ⅰ）所有可能的取值為：，、、、，
且對(duì)應(yīng)的概率，、、、，
所以，
又，
所以.
（ⅱ），；，；，，
，故.
37．【答案】（I）小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為.
（II）機(jī)變量的分布列為：
數(shù)學(xué)期望
【詳解】試題分析：（I）記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球的得分為分”（ ）
則，
記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球的得分為分” （ ）
則，
記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”，
由題意，，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，即可得到小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率.
（II）由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，得
可得隨機(jī)變量的分布列為：
利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式得到
試題解析：（I）記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球的得分為分”（ ）
則，
記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球的得分為分” （ ）
則，
記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”，
由題意，，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，
,
所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為.
（II）由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，得
,
,
,
,
,
,
可得隨機(jī)變量的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望
考點(diǎn)：隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件、獨(dú)立事件的概率.
38．【答案】（1）
（2）
（3）人
【詳解】（1）記事件A為“這3位同學(xué)中至少有1位同學(xué)去甲餐廳就餐”，
則﹔
（2）記事件為“某同學(xué)第i天在甲餐廳就餐”，
則，
記事件C為“w同學(xué)與s同學(xué)第二天在同一餐廳就餐”，
則．
（3）記事件為“某同學(xué)第i天在甲餐廳就餐”，
則，
所以，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即，
記學(xué)校2000名學(xué)生第n天在甲餐廳就餐的學(xué)生人數(shù)為X，則，
當(dāng)時(shí)，
所以一星期后在甲餐廳就餐的學(xué)生人數(shù)大約為人．
39．【答案】（1）
（2）（?。áⅲ?br/>【詳解】（1）設(shè)“一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”
（1）記這2個(gè)紅球的編號(hào)為個(gè)白球的編號(hào)為，
所以樣本空間，共有30個(gè)樣本點(diǎn)，
又因?yàn)?br/>所以，
所以；
（2）（?。┊?dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，所以時(shí)，一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率最?。?br/>（ⅱ）記“兩位顧客抽獎(jiǎng)至少有一位顧客中獎(jiǎng)”，“第位顧客中獎(jiǎng)”，
由題意知，，
所以．
40．【答案】（1），
（2）
（3）1000
【詳解】（1）每個(gè)芯片通過(guò)測(cè)試的合格率為，，
則，；
（2）解法一：記事件A：通過(guò)測(cè)試I，事件B：通過(guò)測(cè)試II，事件C：芯片合格，
，
則；
解法二：記事件：經(jīng)過(guò)測(cè)試I，事件：經(jīng)過(guò)測(cè)試II，事件B：芯片合格，
，，，，
，
則；
（3）因?yàn)?，所以，?br/>解法一：，，
，，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，均有，
取，則，
根據(jù)題意要使得總能不超過(guò)0.1，
當(dāng)，即時(shí)滿足條件，
最小樣本量大約為1000.
解法二：由已知得對(duì)，，
，
記，，，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，均有，
取，則，
根據(jù)題意要使得總能不超過(guò)0.1，
當(dāng)，即時(shí)滿足條件，
最小樣本量大約為1000.
41．【答案】（1）
（2）沒(méi)有的把握認(rèn)為喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)
（3）20
【詳解】（1）因?yàn)閺倪@100名學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為，
所以；
（2）零假設(shè)：喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)．
作出列聯(lián)表如下：
喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng) 不喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng) 合計(jì)
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合計(jì) 60 40 100
由題，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷成立，
也就是說(shuō)沒(méi)有的把握認(rèn)為喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．
（3）現(xiàn)在從喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生是男生的概率是，
從而從喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名時(shí)，記其中男生的人數(shù)為，則，
所以，
令，解得，
故使事件“”概率最大的的值為20．
42．【答案】（1），；
（2）；
（3）證明見(jiàn)詳解.
【詳解】（1）當(dāng)發(fā)送信號(hào)1次時(shí)，記發(fā)送信號(hào)為事件（），接收為正確信號(hào)為事件，
則，，，，
所以．
因?yàn)?，所以?br/>由題意知，
所以．
（2）發(fā)送信號(hào)1次，接收為正確信號(hào)的次數(shù)的分布列為
0 1
所以，
令，記，，
所以，
由，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
又，所以此時(shí)取得最大值，
且最大值為．
（3）當(dāng)時(shí)，第次出現(xiàn)0，前次中有次出現(xiàn)0，
所以，
所以
．
當(dāng)時(shí)，第次出現(xiàn)1，前次中有次出現(xiàn)0，
所以，
所以，
所以
．
因?yàn)椋?br/>所以，
所以．
43．【答案】（1）分布列見(jiàn)詳解，
（2）50
（3），理由見(jiàn)詳解
【詳解】（1）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球.
從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)口袋為一次操作，
記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，則的可能取值有1，2，3，
則，
，
，
所以的分布列為：
1 2 3
即；
（2）根據(jù)題設(shè)可得不可能同時(shí)為1，故，
由于，要使得取到最大值，則使得多出現(xiàn)0個(gè)，即甲口袋中的黑球要最快被換成白球，
即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，再第二次還是要從甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，
這樣經(jīng)歷次可以得到甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為0，此時(shí)，
之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交換，此時(shí)，則，
我們可以再次從甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，得到，則，
這樣總可以是間隔一次出現(xiàn)甲口袋中沒(méi)有黑球，所以的最大值為50；
（3）設(shè)表示第次交換后甲口袋中黑球有個(gè)的概率，
則，
，
，
，
所以
，
由上可得期望的遞推關(guān)系：，
變形構(gòu)造為：，由（1）得，所以，
即數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
所以當(dāng)交換次數(shù)趨向于無(wú)窮時(shí)，趨向的值為.
44．【答案】（1）
（2）
（3）
【詳解】（1）由，根據(jù)公式,
其中.
解得，由參考數(shù)據(jù)，
可得，解得.
因此，特殊招生分?jǐn)?shù)線的數(shù)學(xué)成績(jī)約為 87 分;
（2）兩球同色的概率為，則兩球異色的概率為，
回答問(wèn)題①且回答“是”的概率，
摸到同色時(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題（學(xué)籍號(hào)最后一位是奇數(shù)），概率為 （假設(shè)學(xué)籍號(hào)均勻分布）.
摸到異色時(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題（是否有早戀），設(shè)早戀比例為 ，則 .
回答“是”的總概率為：
.
實(shí)際收到 78 個(gè)小石子，樣本量為 300，所以回答“是”的樣本比例為：
,所以
因此，中學(xué)生早戀人數(shù)的百分比約為 5%；
（3）最優(yōu)伴侶在前 次出現(xiàn)：如果最優(yōu)伴侶在前 次出現(xiàn)，龍龍不會(huì)選擇（因?yàn)榍? 次不行動(dòng)），因此概率貢獻(xiàn)為 0.
最優(yōu)伴侶在第 次出現(xiàn)（)：為了在第次選擇最優(yōu)伴侶，必須滿足：
最優(yōu)伴侶在第 次出現(xiàn)，且前 次中的最優(yōu)伴侶出現(xiàn)在前 次中（否則龍龍會(huì)在 之前選擇）.
因此，條件概率為 .
龍龍選擇到最優(yōu)伴侶的總概率 ：最優(yōu)伴侶出現(xiàn)在任何位置的概率是.
對(duì)于 ，選中最優(yōu)伴侶的概率是 .
因此：
根據(jù)提示，，所以：.
為最大化 ，考慮函數(shù) .
求導(dǎo)：
令 ：,,
∵,
∴,∴.
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減，
由于 為整數(shù)，比較 和 ：
當(dāng)：,
比較 ，且其他 值（如 ) 均小于 ，故 時(shí)概率最大.
因此， 時(shí)概率最大.
45．【答案】（1），平均數(shù)為；
（2）.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得，則；
平均數(shù)為.
（2）評(píng)分在的頻率分別為，
則在中抽取人，記為；在中抽取4人，記為，
從這6人中隨機(jī)抽取2人，樣本空間：
，共有15個(gè)結(jié)果，
設(shè)選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人為事件，
則，共有8個(gè)結(jié)果，
所以.
46．【答案】（1），250人
（2）115
【詳解】（1）由題意得，
解得
由頻率分布直方圖可得，期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘念l率為
，
所以該校2021年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)約為
（人）
（2）由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以下所點(diǎn)比例為
，
在130分以下所點(diǎn)比例為，
所以80%分位數(shù)一定位于內(nèi)，
由，可得樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115分，
所以該校高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)約為115分
47．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【詳解】（1）由題意，解得；
（2）由直方圖知，前3組數(shù)的頻率為
前4組數(shù)的頻率為，
因此第59百分位數(shù)在第4組即區(qū)間上，設(shè)第59百分位數(shù)為x，
則，解得；
（3）樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間的個(gè)數(shù)為，在區(qū)間上的個(gè)數(shù)為，
所以，
總方差為.
48．【答案】（1）；
（2）超聲波檢查結(jié)果與患該疾病有關(guān).
【詳解】（1）根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的人中有人患病，所以p的估計(jì)值為.
（2）零假設(shè)為：超聲波檢查結(jié)果與患病無(wú)關(guān)，
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò).
49．【答案】（1），20.32小時(shí)
（2）21.73小時(shí)
（3）
【詳解】（1）由，解得，
因?yàn)樾r(shí)，
所以該學(xué)校學(xué)生假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的平均數(shù)約為20.32小時(shí).
（2）時(shí)間從長(zhǎng)到短按的比例分別被評(píng)為優(yōu)秀、良好、合格，
由題意知，即求60百分位數(shù)，又，，
所以60百分位數(shù)位于18~22之間，
設(shè)60百分位數(shù)為，則，解得小時(shí).
故至少參加21.73小時(shí)的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，方可被評(píng)為優(yōu)秀.
（3）易知，5名學(xué)生中，
優(yōu)秀有人，設(shè)為，
良好有人，設(shè)為，
合格有人，設(shè)為.
任選3人，總共有，10種情況，
其中符合的有，共4種，
故概率為.
50．【答案】（1）
（2）分
（3），
【詳解】（1）由，
解得；
（2）因?yàn)椋?br/>，
所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在內(nèi)，
可得，
所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為分；
（3）樣本數(shù)據(jù)落在的個(gè)數(shù)為，
落在的個(gè)數(shù)為，
，
總方差.
51．【答案】（1）
（2）41.5歲
（3）42.1歲
【詳解】（1）由題意：，解得．
（2）由題意：，
估計(jì)這200人年齡的樣本平均數(shù)為41.5歲．
（3）由圖可知，年齡在的頻率為0.25，在的頻率為0.35，
，
估計(jì)這200人年齡的樣本中位數(shù)為42.1歲．
52．【答案】（1）頻率分布直方見(jiàn)詳解，165.36；
（2）.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，
，解得，
∴補(bǔ)全后的頻率分布直方圖如圖所示，
又，，
∴中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)其值為，
∴，解得，
∴樣本中學(xué)生身高的中位數(shù)約為165.36；
（2）由題意可知，，，
，
，
根據(jù)公式，可求得，則，
∴所求回歸直線方程為.
53．【答案】（1） 根據(jù)題表數(shù)據(jù)可知，超聲波檢查結(jié)果不正常的有200人，其中患該疾病的有180人，因此估計(jì)超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率（易錯(cuò)：注意該問(wèn)所求概率中用到的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)找錯(cuò)，計(jì)算也就出錯(cuò)）. …………6分
（2） 第一步:給出零假設(shè)
零假設(shè)為超聲波檢查結(jié)果與患該疾病無(wú)關(guān). …………8分
第二步：計(jì)算的值并與進(jìn)行比較
. …………11分
第三步：給出獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，超聲波檢查結(jié)果與患該疾病有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001. …………13分
54．【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)詳解，有關(guān)聯(lián)；
（2）分布列見(jiàn)詳解，.
【詳解】（1）列聯(lián)表如下：
近視學(xué)生 非近視學(xué)生 合計(jì)
每天使用時(shí)長(zhǎng)不低于2小時(shí) 145 105 250
每天使用時(shí)長(zhǎng)低于2小時(shí) 30 120 150
合計(jì) 175 225 400
零假設(shè)：“學(xué)生近視”與“每天使用電子產(chǎn)品的時(shí)長(zhǎng)是否低于2小時(shí)”無(wú)關(guān)聯(lián)．
因?yàn)椋?br/>根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，
即認(rèn)為“學(xué)生近視”與“每天使用電子產(chǎn)品時(shí)長(zhǎng)是否低于2小時(shí)”有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001．
（2）由分層隨機(jī)抽樣知：在每天使用電子產(chǎn)品不低于2小時(shí)的學(xué)生中抽取人，
在每天使用電子產(chǎn)品低于2小時(shí)的學(xué)生中抽取人．
所以的可能取值為0，1，2，3，4，5，
所以，
，
故的分布列為：
0 1 2 3 4 5
所以.
55．【答案】（1），理由見(jiàn)詳解；（2），9.9百千克.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br/>，
，
，
所以，
所以可用直線擬合y與x的關(guān)系；
（2）因?yàn)?，?br/>所以關(guān)于的線性回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，，
所以預(yù)測(cè)液體肥料每畝的使用量為12千克時(shí)西紅柿畝產(chǎn)量的增加量為9.9百千克.
56．【答案】
（1） 【解】第一步：計(jì)算的數(shù)值
由題意可知，180，············2分
第二步:計(jì)算的數(shù)值
150.············4分
（2） 第一步:由列聯(lián)表得出未服用藥物A的動(dòng)物數(shù)量以及未服用藥物A患疾病B的動(dòng)物數(shù)量
由列聯(lián)表可得，未服用藥物A的動(dòng)物總共180只，
未服用藥物A患疾病B的動(dòng)物共80只，
第二步:根據(jù)古典概型計(jì)算概率
所以.············7分
（3） 第一步：提出零假設(shè)
零假設(shè)藥物A對(duì)預(yù)防疾病B無(wú)效.············8分
第二步:根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算
由題表中數(shù)據(jù)，可得，··········11分
第三步:根據(jù)臨界值表做出判斷
所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效.············13分
57．【答案】（1）平均數(shù)為72.5，中位數(shù)為72.9
（2）14
【詳解】（1）由題意知，
解得．
估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)．
[40，70）的頻率為，
[40，80）的頻率為，
所以中位數(shù)落在區(qū)間[70，80），設(shè)中位數(shù)為m，所以，
解得，即估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.9．
（2）[70，80）的人數(shù)：，[80，90）的人數(shù)：，
[90，100]的人數(shù)：，
所以[70，80）這組中抽取的人數(shù)為：．
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