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第二十四章 相似三角形 單元綜合復習卷
（時間：120分鐘 滿分：120分）
一、單選題(本大題有10個小題，每小題3分，共30分）
1．如圖，兩條直線被三條平行線所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，則AC的長為（　　）
A．2.5 B．4.5 C．6.5 D．7.5
2．如圖，樹在路燈的照射下形成投影，若樹高，樹影，樹與路燈的水平距離，則路燈的高度是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長交AD于點F，已知S△AEF＝3，則下列結論：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正確的是（　　）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，F是AD的中點，FE交AC于O點，交CB的延長線于G點，那么S△AOF：S△COG＝（　　）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
5．如圖△ABC的邊上有D，E，F三點，若，，，，，，則四邊形ADEF與△ABC的面積之比為（　　）
A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8
6．若，則的值為(　　)
A． B． C． D．
7．如圖，在中，，將繞點逆時針方向旋轉得到，當點落在邊上時，的延長線恰好經過點，則的長為（　　）
A．1 B． C．-1+ D．
8．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，且DE∥AC．若S△BDC：S△ADC＝1：3，則S△DOE：S△AOC的值為（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，這是圓桌正上方的燈泡（看作一個點）發出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖．已知桌面的直徑為1.2米，桌面距離地面1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積為（　　）
A．0.36 平方米 B．0. 81 平方米
C．2 平方米 D．3.24 平方米
10．如圖中，，，，，為中點，若點為直線下方一點（在異側），且與相似，則下列結論：
①若，與相交于，則點必為的重心；
②若，則的最大值為；
③若，，則的長為；
④若，則當時，取得最大值．其中正確的為　　
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④
二、填空題(本大題有6個小題，每小題3分，共18分)
11．在矩形中，，將其沿對角線折疊，頂點C的對應點為E（如圖1），交于點F；再折疊，使點D落在F處，折痕交于點M，交于點N（如圖2．則折痕的長為　 　．
12．如圖，矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝12，E為AD中點，F為AB上一點，將△AEF沿EF折疊后，點A恰好落到CF上的點G處，則折痕EF的長是　 　．
13．如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉一定的角度得，且點D恰好落在邊上，與交于點F．
（1）求　 　；
（2）當時，　 　．
14．如圖， 是 以點 為位似中心經過位似變換得到的，若 ，則 的周長與 的周長比是　 　．
15．△ABC中，AB=9cm，AC=6cm，D是AC上的一點，且AD=2cm，過點D作直線DE交AB于點E，使所得的三角形與原三角形相似，則AE=　 　cm．
16．如圖，在正方形中，，點是的中點，連接，將沿折疊至，連接，延長，交于點；，交于點，則　 　．
三、綜合題(本大題有9個小題，每小題8分，共72分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．如圖，在平面直角坐標系內，已知點，點．動點從點開始，在線段上以每秒個單位長度的速度向點移動，同時動點從點開始，在線段上以每秒個單位長度的速度向點移動，設點移動的時間為．
（1）求出的長度；
（2）用含有的式子表示和；
（3）當為何值時，與相似？
18．如圖，已知正方形ABCD，AB=6，點M為邊CD上的動點，射線AM交BD于E交射線BC于F，過點C作CQ⊥CE，交AF于點Q.
（1）當點M是CD中點時，求BE長；
（2）求證：∠QCF=∠QFC；
（3）若 ，求證：△CMQ是等邊三角形.
19．如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點，DF⊥AE于點F，設 =λ(λ>0)．
（1）若λ=1，求證：CE=FE．
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直線上時，求λ的值．
20．在直角坐標系中，過原點O及點A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，連接OB，點D為OB的中點，點E是線段AB上的動點，連接DE，作DF⊥DE，交OA于點F，連接EF．已知點E從A點出發，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，設移動時間為t秒．
（1）如圖1，當t=3時，求DF的長．
（2）如圖2，當點E在線段AB上移動的過程中，的大小是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出的值．
（3）連接AD，當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時，求相應的t的值．
21．如圖，已知在 中，AD是 的中線，∠DAC=∠B，點E在邊AD上，CE=CD.
（1）求證： ；
（2）求證： .
22．在△ABC和△ADE中，點E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）若AC∥DE，∠AEC＝45°，求∠C的度數．
23．如圖，AH是△ABC的高，D是邊AB上一點，CD與AH交于點E．已知，．
（1）求；
（2）若以H為圓心、HB為半徑的圓恰好經過點D，求的值．
24．已知線段a，b滿足 ，且a+b=14，
（1）求a，b，c的值；
（2）若線段x是線段b，c的比例中項，求x的值．
25．已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，連接AC，將三角形ABC沿AC翻折，使B點落在E點處，連接EC，AE，AE交DC于F點．
（1）求DF的長．
（2）若將△CEF沿著射線CA方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點C沿CA方向所經過的線段長度）．當點F平移到線段AD上時，如圖②，求出相應的m的值．
（3）如圖③，將△CEF繞點C逆時針旋轉一個角a（0°＜a＜∠ECB），記旋轉中的△CEF為△CE′F′，過E′作E′G⊥AD于G點，在旋轉過程中，當△DCE′為等腰三角形時，求出線段E′G的長度．
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第二十四章 相似三角形 單元綜合復習卷
（時間：120分鐘 滿分：120分）
一、單選題(本大題有10個小題，每小題3分，共30分）
1．如圖，兩條直線被三條平行線所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，則AC的長為（　　）
A．2.5 B．4.5 C．6.5 D．7.5
【答案】D
2．如圖，樹在路燈的照射下形成投影，若樹高，樹影，樹與路燈的水平距離，則路燈的高度是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長交AD于點F，已知S△AEF＝3，則下列結論：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正確的是（　　）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AO＝AC，
∵點E是OA的中點，
∴AE＝CE，
∵ADBC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝，
∵AD＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝；故①符合題意；
∵S△AEF＝3，，
∴S△BCE＝27；故②符合題意；
∵，
∴，
∴S△ABE＝9，故③不符合題意；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF與△ADC只有一個角相等，
∴△AEF與△ACD不一定相似，故④不符合題意，
故答案為：D．
【分析】利用平行四邊形的性質，相似三角形的判定方法和性質逐項判斷即可。
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，F是AD的中點，FE交AC于O點，交CB的延長線于G點，那么S△AOF：S△COG＝（　　）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
【答案】B
【解析】【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E為AB的中點，F為AD的中點，
∴AE＝BE，AF＝ AD＝ BC，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△BGE，
∴ ，
∵AE＝BE，
∴AF＝BG＝ BC，
∴
∵AD∥BC，
∴△AFO∽△CGO，
∴ ，
即S△AOF：S△COG＝1：9，
故答案為：B
【分析】根據平行四邊形的性質可得AD＝BC，AD∥BC，從而推出△AFE∽△BGE，可得，再證明△AFO∽△CGO，可得.
5．如圖△ABC的邊上有D，E，F三點，若，，，，，，則四邊形ADEF與△ABC的面積之比為（　　）
A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8
【答案】D
【解析】【解答】解：∵BE=7，EF=4，FC=5；
∴BC=7+4+5=16
∵∠B=∠FAC，∠C=∠C；
∴△AFC∽△BAC
∴=
∴=BC×FC=16×5=80，解得AC=；
∴===
∵∠B=∠B，∠BDE=∠C；
∴△BED∽△BAC
∴====
∴=（16-5-5）：16=3：8
故答案為：D.
【分析】根據有兩對對應角相等的三角形相似，判定△AFC∽△BAC和△BED∽△BAC；根據三角形相似，對應兩對邊成比例，列代數式，可得AC的長；根據相似三角形的面積之比對應邊之比的平方，可得三角形AFC和三角形BAC的面積之比，三角形BED和三角形BAC的面積之比，進而可得四邊形ADEF和三角形ABC的面積之比.
6．若，則的值為(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案為：A.
【分析】先根據題意得到，然后代入計算即可.
7．如圖，在中，，將繞點逆時針方向旋轉得到，當點落在邊上時，的延長線恰好經過點，則的長為（　　）
A．1 B． C．-1+ D．
【答案】C
8．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，且DE∥AC．若S△BDC：S△ADC＝1：3，則S△DOE：S△AOC的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴BD∶AD=1∶3，
∴BD∶AB=1∶4
∵，
∴△BDE∽△BAC，
∴
∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴S△DEO∶S△CAO=.
故答案為：D.
【分析】由同高三角形的面積之比就等于底之比可得BD∶AD=1∶3，則BD∶AB=1∶4，由平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截三角形與原三角形相似得△BDE∽△BAC，由相似三角形對應邊成比例得進而根據平行于三角形一邊的直線，解其它兩邊的延長線，所截三角形與原三角形相似得△DEO∽△CAO，進而根據相似三角形的面積之比等于底之比可得結論.
9．如圖，這是圓桌正上方的燈泡（看作一個點）發出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖．已知桌面的直徑為1.2米，桌面距離地面1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積為（　　）
A．0.36 平方米 B．0. 81 平方米
C．2 平方米 D．3.24 平方米
【答案】B
【解析】【解答】解：構造如下圖形，由題意可得：DE= 米，FG=1米，AG=3米，DE∥BC，AF和AG分別為△ADE和△ABC的高
∴△ADE∽△ABC
∴
即
解得：BC=
∴地面上陰影部分的面積為
故答案為：B.
【分析】先求其直徑，二直徑可通過構造相似三角形，由相似三角形性質求出。
10．如圖中，，，，，為中點，若點為直線下方一點（在異側），且與相似，則下列結論：
①若，與相交于，則點必為的重心；
②若，則的最大值為；
③若，，則的長為；
④若，則當時，取得最大值．其中正確的為　　
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④
【答案】C
二、填空題(本大題有6個小題，每小題3分，共18分)
11．在矩形中，，將其沿對角線折疊，頂點C的對應點為E（如圖1），交于點F；再折疊，使點D落在F處，折痕交于點M，交于點N（如圖2．則折痕的長為　 　．
【答案】
12．如圖，矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝12，E為AD中點，F為AB上一點，將△AEF沿EF折疊后，點A恰好落到CF上的點G處，則折痕EF的長是　 　．
【答案】
【解析】【解答】如圖，連接EC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3 ，
∵E為AD中點，
∴AE＝DE＝ AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝ ×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴ ，
∵EC＝ ，
∴ ，
∴FE＝2
故答案為：
【分析】由翻折知△AEF≌△GEF，進而證明△FEC∽△EDC，在利用三角形相似的性質可得到EF的長
13．如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉一定的角度得，且點D恰好落在邊上，與交于點F．
（1）求　 　；
（2）當時，　 　．
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】（1）如圖，過點A作于點G．
設，則．
由旋轉的性質知，
∴．
在中，．
∵，∠B=∠B
∴．
∴，即，
得．
∵，
∴．
∴，
故答案為：
（2）如圖，過A點作交于點M．
由（1）知．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即，
解得，
故答案為：
【分析】（1）過點A作于點G，設，則．由旋轉的性質知，利用勾股定理得出BC的值，證出，得出，代入計算即可；
（2）過A點作交于點M．由（1），由，得出，由平行線的性質得出，推出，代入求解即可。
14．如圖， 是 以點 為位似中心經過位似變換得到的，若 ，則 的周長與 的周長比是　 　．
【答案】2：3
【解析】【解答】解：由題意可得出，
∵ 的周長與 的周長比=
故答案為：2：3．
【分析】根據位似三角形的性質，可得出兩個三角形的周長比等于位似比等于邊長比求解即可．
15．△ABC中，AB=9cm，AC=6cm，D是AC上的一點，且AD=2cm，過點D作直線DE交AB于點E，使所得的三角形與原三角形相似，則AE=　 　cm．
【答案】cm或3cm
16．如圖，在正方形中，，點是的中點，連接，將沿折疊至，連接，延長，交于點；，交于點，則　 　．
【答案】
三、綜合題(本大題有9個小題，每小題8分，共72分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．如圖，在平面直角坐標系內，已知點，點．動點從點開始，在線段上以每秒個單位長度的速度向點移動，同時動點從點開始，在線段上以每秒個單位長度的速度向點移動，設點移動的時間為．
（1）求出的長度；
（2）用含有的式子表示和；
（3）當為何值時，與相似？
【答案】（1）
（2），
（3）或
18．如圖，已知正方形ABCD，AB=6，點M為邊CD上的動點，射線AM交BD于E交射線BC于F，過點C作CQ⊥CE，交AF于點Q.
（1）當點M是CD中點時，求BE長；
（2）求證：∠QCF=∠QFC；
（3）若 ，求證：△CMQ是等邊三角形.
【答案】（1）解：已知正方形ABCD，AB=6，
∴BD= ，AB=DC
又∵AB∥DM
∴
又∵點M是DC中點，
∴
∴BE=2DE
∴BE= BD=
（2）證明：∵正方形ABCD
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE，
又∵CQ⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE=∠QCF，
又∵AD∥BF，
∴∠DAE=∠CFQ，
∴∠QCF=∠QFC
（3）證明：由(2)可知，∠DCE=∠CFQ，
又∵∠MEC=∠CEF，
∴△ECM∽△EFC
∴ =
∴EC2=EM·EF，
由△ADE≌△CDE可知AE=EC，
∴AE2=EM·EF，
又∵
∴EM·EF=EF·FQ，即EM=FQ，
在Rt△MCF中，∠QCF=∠QFC，
可知Q是MF中點，MQ=FQ=CQ，
∴EM=FQ=MQ，即CM是Rt△ECQ斜邊上的中線，
∴CM=MQ=CQ，
即△CMQ是等邊三角形.
【解析】【分析】（1）根據正方形的性質以及勾股定理可得BD=，AB=DC，根據中點的概念可得，結合平行線分線段成比例的性質可得BE=2DE，則BE=BD，據此計算；
（2）根據正方形的性質可得AD=CD，∠ADE=∠CDE，證明△ADE≌△CDE，得到∠DAE=∠DCE，根據同角的余角相等可得∠DCE=∠QCF，由平行線的性質可得∠DAE=∠CFQ，據此可得結論；
（3）由（2）可知∠DCE=∠CFQ，證明△ECM∽△EFC，根據相似三角形的性質得EC2=EM·EF，根據全等三角形的性質得AE=EC，則AE2=EM·EF，結合已知條件得EM=FQ，由（2）知 ∠QCF=∠QFC ，則Q是MF中點，根據直角三角形斜邊上中線的性質得MQ=FQ=CQ，推出CM是Rt△ECQ斜邊上的中線，得到CM=MQ=CQ，據此證明.
19．如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點，DF⊥AE于點F，設 =λ(λ>0)．
（1）若λ=1，求證：CE=FE．
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直線上時，求λ的值．
【答案】（1）證明：連接DE，
∵，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠AED=∠DEC
∵矩形ABCD，DF⊥AE，
∴∠C=∠DFE=90°
在△DEF和△DEC中，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴CE=FE．
（2）解：如下圖，
∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∴，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADB=90°
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠ABE=∠BAD=90°，
∴△ABE∽△ADB，
∴即
解之：
∴.
【解析】【分析】（1）連接DE，利用等邊對等角可證得∠ADE=∠AED ，利用平行線的性質可推出∠DEC=∠ADE，可證得∠AED=∠DEC，利用AAS證明△DFE≌△DEC，利用全等三角形的對應邊相等，可證得結論.
（2）利用勾股定理求出BD的長，再利用余角的性質可證得∠BAE=∠ADB，由此證明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的對應邊成比例可求出AE的長；然后求出λ的值.
20．在直角坐標系中，過原點O及點A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，連接OB，點D為OB的中點，點E是線段AB上的動點，連接DE，作DF⊥DE，交OA于點F，連接EF．已知點E從A點出發，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，設移動時間為t秒．
（1）如圖1，當t=3時，求DF的長．
（2）如圖2，當點E在線段AB上移動的過程中，的大小是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出的值．
（3）連接AD，當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時，求相應的t的值．
【答案】（1）解：當t=3時，點E為AB的中點，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵點D為OB的中點，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四邊形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）解：的大小不變；
理由：如圖2所示：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四邊形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴，，
∵點D為OB的中點，
∴M、N分別是OA、AB的中點，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴．
（3）解：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD將△DEF的面積分成1：2的兩部分，
設AD交EF于點G，則點G為EF的三等分點；
①當點E到達中點之前時，如圖3所示，NE=3-t，
由△DMF∽△DNE得：MF=，
∴，
∵點G為EF的三等分點，
∴G（，），
設直線AD的解析式為y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：，
解得：，
∴直線AD的解析式為：，
把點G（，）代入得：；
②當點E越過中點之后，如圖4所示，NE=t-3，
由△DMF∽△DNE得：MF=，
∴，
∵點G為EF的三等分點，
∴G（，），
把點G代入直線AD的解析式，
解得：；
【解析】【分析】（1）當t=3時，點E為AB的中點，點D為OB的中點，根據三角形中位線定理可得DE∥OA，DE=OA=4，再由四邊形OABC是矩形，OA⊥AB，∠OAB=∠DEA=90°，可證四邊形DFAE是矩形，得出DF=AE=3；
（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N， 證明四邊形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA， 由平行線得出比例 ，， 由三角形中位線定理可得DM=AB=3，DN=OA=4， 證△DMF∽△DNE，；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD將△DEF的面積分成1：2的兩部分，設AD交EF于點G，則點G為EF的三等分點；
①當點E到達中點之前時，NE=3-t，由△DMF∽△DNE得：MF=，，根據點G為EF的三等分點，
可得G（，），利用待定系數法求出直線AD的解析式為：，把點G（，）代入得：；
②當點E越過中點之后，NE=t-3，同理可得 。
21．如圖，已知在 中，AD是 的中線，∠DAC=∠B，點E在邊AD上，CE=CD.
（1）求證： ；
（2）求證： .
【答案】（1）證明：∵AD為△ABC的中線，
∴BD=CD，
∵CD=CE，
∴BD=CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠DAC+∠ACE，∠DAC=∠B，
∴∠BAD=∠ACE
∵△ACE∽△BAD，
∴
∴ ；
（2）證明：∵△ACE∽△BAD，
∴ ，
∴BD CE=AE AD，
∴DC2=AD AE①．
∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠ACB，
∴△ACD∽△BCA，
∴
∴AC2=BC·CD=2CD2②，
∴由①②可得， .
【解析】【分析】（1）由CE=CD=BD轉化比例式，再證出△ACE∽△BAD即可；（2）由（1）中相似可得出，DC2=AD AE①，再證△ACD∽△BCA，得出AC2=BC·CD=2CD2②，結合①②即可得出結果．
22．在△ABC和△ADE中，點E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）若AC∥DE，∠AEC＝45°，求∠C的度數．
【答案】（1）證明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠AED＝∠EAC，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠C，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEC＝45°，
∴∠C＝（180°-45°）÷2＝67.5°，
∴∠C的度數為67.5°．
【解析】【分析】（1）根據兩角對應相等的兩個三角形相似即證；
（2） 利用平行線的性質及相似三角形的性質可得∠EAC=∠AED＝∠C， 根據三角形內角和定理即可求解.
23．如圖，AH是△ABC的高，D是邊AB上一點，CD與AH交于點E．已知，．
（1）求；
（2）若以H為圓心、HB為半徑的圓恰好經過點D，求的值．
【答案】（1）解：過點D作DF⊥BC交BC于點F
∵，AH為△的高，
∴∠
∵∠
∴△
∴
∴
∵
∴
設，則
∴
∵
∴
∴
∴
∵∠
∴△
∴
∴
∴
（2）解：以H為圓心，HB為半徑作圓，如圖，
∵
∴BC是⊙O的直徑
∴∠
由（1）知，
∵
∴設
∴
∴
在中，
在中，
∴
∴
∵
∴
在中，
【解析】【分析】（1）做輔助線，得到三角形相似，再利用相似求比各線段的比例
（2）根據圓的性質可知∠BDC為90°，根據（1）的相似比，以及勾股定理得出線段長度關系比，求出cosB
24．已知線段a，b滿足 ，且a+b=14，
（1）求a，b，c的值；
（2）若線段x是線段b，c的比例中項，求x的值．
【答案】（1）解：設 ，則a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b=14，
∴3k+4k=7k=14，
解得k=2，
∴a=6，b=8，c=10
（2）解：∵b=8，c=10，x是b，c的比例中項，
∴x2=8×10=80，
解得
【解析】【分析】（1）利用已知條件a=3k，b=4k，c=5k，根據a+b=14，可求出k的值，然后求出a，b，c的值.
（2）利用x是b，c的比例中項， 可得到x2=bc，代入可得到關于x的方程，解方程求出x的值.
25．已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，連接AC，將三角形ABC沿AC翻折，使B點落在E點處，連接EC，AE，AE交DC于F點．
（1）求DF的長．
（2）若將△CEF沿著射線CA方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點C沿CA方向所經過的線段長度）．當點F平移到線段AD上時，如圖②，求出相應的m的值．
（3）如圖③，將△CEF繞點C逆時針旋轉一個角a（0°＜a＜∠ECB），記旋轉中的△CEF為△CE′F′，過E′作E′G⊥AD于G點，在旋轉過程中，當△DCE′為等腰三角形時，求出線段E′G的長度．
【答案】（1）解：如圖①，
四邊形是矩形，AB=8，AD=6，
‖CD，，
由折疊可知∠1=∠2，
又‖CD，
∠1=∠3，
∠2=∠3，
AF=CF，
設AF=CF=x ，則DF=，
在中，，，DF=，
由勾股定理得：，
解得，
則DF=．
（2）解：設平移中的三角形為△，如圖②所示：
由勾股定理得：，
由（1）知，
由平移性質可知，， ，
，
又，
，
，
，
解得，
.
（3）解：①當時，△DCE'為等腰三角形，
E'在DC的垂直平分線上，過E'作E'H⊥CD于點H，則四邊形DGE'H為矩形，．
②當時，△DCE'為等腰三角形，
過E'作E'H⊥CD于點H，則四邊形DGE'H為矩形，連接DE'，
設，則，
由勾股定理得：，
綜合可得：，
，解得，
．
【解析】【分析】（1）設AF=CF=x ，則DF=，利用勾股定理可得，求出x的值，再求出DF的長即可；
（2）先證出，可得，再將數據代入求出，最后求出即可；
（3）分類討論： ①當時，△DCE'為等腰三角形，②當時，△DCE'為等腰三角形， 再分別畫出圖象并求解即可。
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