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一元二次方程 單元同步練習提升卷
（時間：120分鐘 滿分：120分）
一、單選題(本大題有10個小題，每小題3分，共30分）
1．若關于x的一元二次方程有實數根，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．且
2．某班同學畢業時，都將自己的照片向本班其他同學送一張留念，全班一共送了張，如果全班有名同學，根據題意，列出方程為(　　)
A． B．
C． D．
3．一元二次方程x（3x+2）= 6（3x+2）的解是（　　）
A．x=6 B．x=
C．x1=6，x2= D．x1=-6，x2=
4．若m，n滿足，，且，則的值（　　）
A． B． C． D．
5．已知2是關于x的方程3x2﹣2a＝0的一個解，則a的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若關于x的一元二次方程k-6x+9=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　　）
A．k<1 B．k<1且k≠0 C．k≠1 D．k>1
7．將方程進行配方，下列正確的是（　　）
A． B． C． D．
8．如圖，矩形的頂點和正方形的頂點都在反比例函數的圖象上，點的坐標為，則點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
9．已知 是方程 的一個實數根，則代數式 的值（ ）
A．2 B． C． D．
10．歐幾里得是古希臘數學家，所著的《幾何原本》聞名于世．在《幾何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的圖解法是：如圖，以 和b為直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD＝ ，則圖中哪條線段的長是方程x2+ax＝b2的解？答：是（　　）
A．AC B．AD C．AB D．BC
二、填空題(本大題有6個小題，每小題3分，共18分)
11．如圖，一個三角點陣，從上向下有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點第n行有n個點則78是前　 　行的點數和．
12．方程 的根的判別式的值為　 　．
13．若x1，x2是方程x2＋2x﹣3＝0兩個根，則x12x2＋x1x22的值為　 　．
14．在實數范圍內定義一種運算，其規則為：M※N＝M2﹣MN，根據這個規則，則方程（x﹣3）※5＝0的解為　 　 　．
15．已知x1、x2是方程x2-2x-1＝0的兩根，則＝　 　．
16．已知的兩邊是關于的方程的兩根，第三邊長為，當是等腰三角形時，則的值是　 　．
三、綜合題(本大題有9個小題，每小題8分，共72分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．A地區2015年公民出境旅游總人數約600萬人，2017年公民出境旅游總人數約864萬人，若2016年、2017年公民出境旅游總人數逐年遞增，求2016、2017這兩年A地區公民出境旅游總人數的年平均增長率？
18．某工廠生產的一種產品按供需要求分成十個檔次，若生產第一檔次（最低檔次）的產品，一天可生產76件，每件的利潤為10元，每提高一個檔次，每件的利潤增加2元，每天的產量將減少4件．若該產品一天的總利潤為1080元，求這天生產這種產品的檔次．
19．隨著人民生活水平的提高，汽車的需求量日益增長．某汽車銷售公司2020年盈利1500萬元，2022年盈利2160萬元，且從2020年到2022年，每年盈利的年增長率相同，求平均每年的增長率．
20．已知關于x的方程x2+mx+m﹣3＝0.
（1）若該方程有一個根為﹣3，求方程的另一根；
（2）求證：不論m取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.
21．某蔬菜經銷商到蔬菜種植基地采購一種蔬菜，經銷商一次性采購蔬菜的采購單價y（元/千克）與采購量x（千克）之間的函數關系圖象如圖中折線AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端點A）．
（1）當100＜x＜200時，直接寫y與x之間的函數關系式：　 　．
（2）蔬菜的種植成本為2元/千克，某經銷商一次性采購蔬菜的采購量不超過200千克，當采購量是多少時，蔬菜種植基地獲利最大，最大利潤是多少元？
（3）在（2）的條件下，求經銷商一次性采購的蔬菜是多少千克時，蔬菜種植基地能獲得418元的利潤？
22．已知關于x的一元二次方程x2-2x-a=0
（1）如果此方程有兩個不相等的實數根，求a的取值范圍；
（2）如果此方程的兩個實數根為x1，x2，且滿足 ，求a的值。
23．計算：
（1）已知關于x的一元二次方程kx2+5x﹣10＝0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍．
（2）先化簡，再求值：÷（a+2﹣），其中，a滿足a2﹣4＝0．
24．某賓館擁有客房100間，經營中發現：每天入住的客房數y（間）與房價x（元）（180≤x≤300）滿足一次函數關系，部分對應值如下表：
x（元） 180 260 280 300
y（間） 100 60 50 40
（1）求y與x之間的函數表達式；
（2）已知每間入住的客房，賓館每日需支出各種費用100元；每間空置的客房，賓館每日需支出60元，當房價為多少元時，賓館獲得7200元的利潤 （賓館當日利潤=當日房費收入-當日支出）
25．觀察下列分解因式的過程： .
解：原式=
像這種通過增減項把多項式轉化成完全平方形式的方法稱為配方法.
（1）請你運用上述配方法分解因式： ；
（2）代數式 是否存在最小值？如果存在，請求出當a、b分別是多少時，此代數式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，請說明理由.
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一元二次方程 單元同步練習提升卷
（時間：120分鐘 滿分：120分）
一、單選題(本大題有10個小題，每小題3分，共30分）
1．若關于x的一元二次方程有實數根，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．且
【答案】D
2．某班同學畢業時，都將自己的照片向本班其他同學送一張留念，全班一共送了張，如果全班有名同學，根據題意，列出方程為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
3．一元二次方程x（3x+2）= 6（3x+2）的解是（　　）
A．x=6 B．x=
C．x1=6，x2= D．x1=-6，x2=
【答案】C
【解析】【解答】解： x（3x+2）= 6（3x+2），
∴（x-6）（3x+2）=0，
∴x1=6，x2=-.
故答案為：C.
【分析】利用因式分解法求解即可.
4．若m，n滿足，，且，則的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵、滿足，，
∴、是方程的根，
∴由根與系數的關系可知，
，，
∴.
故答案為：A.
【分析】根據題意可得m、n是方程x2-5x+6=0的兩根，由根與系數的關系可得m+n=5，mn=6，對待求式通分可得，然后代入進行計算.
5．已知2是關于x的方程3x2﹣2a＝0的一個解，則a的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得3×4﹣2a＝0，解得a＝6．
故答案為：D．
【分析】利用一元二次方程解的定義，把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得12﹣2a＝0，然后解關于a的方程即可．
6．若關于x的一元二次方程k-6x+9=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　　）
A．k<1 B．k<1且k≠0 C．k≠1 D．k>1
【答案】B
【解析】【解答】解：根據題意得k≠0且Δ=（-6）2-4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案為：B．
【分析】利用一元二次方程根的判別式列出不等式求解即可。
7．將方程進行配方，下列正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案為：D.
【分析】首先將常數項移至右邊，然后給兩邊同時加上4，再對左邊的式子利用完全平方公式分解即可.
8．如圖，矩形的頂點和正方形的頂點都在反比例函數的圖象上，點的坐標為，則點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】點的坐標為在反比例函數上，
．
．
反比例函數的解析式為．
點在反比例函數圖象上，
可設．
．
∵正方形，
∴
，．
，
．
．
故選：B．
【分析】
先利用待定系數法求出，然后再由反比例函數圖象上點的坐標特征設，則可表示出AD與ED的長，再由正方形的各邊相等可建立關于的方程，最后再求解并對根進行適當取舍即可．
9．已知 是方程 的一個實數根，則代數式 的值（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】因為m是方程3x2-2x-2=0的一個實數根，
所以3m2-2m-2=0
所以3m2-2m=2，
所以
故答案為：C
【分析】把m代入方程，根據等式性質得3m2-2m=2， ，再代入可得.
10．歐幾里得是古希臘數學家，所著的《幾何原本》聞名于世．在《幾何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的圖解法是：如圖，以 和b為直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD＝ ，則圖中哪條線段的長是方程x2+ax＝b2的解？答：是（　　）
A．AC B．AD C．AB D．BC
【答案】B
【解析】【解答】解： x2+ax＝b2 ，
即x2+ax-b2=0 ，
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
則
故答案為：B.
【分析】解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，則AD等于AB和BD之差，比較AD的長度和x的解即可知結論。
二、填空題(本大題有6個小題，每小題3分，共18分)
11．如圖，一個三角點陣，從上向下有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點第n行有n個點則78是前　 　行的點數和．
【答案】12
12．方程 的根的判別式的值為　 　．
【答案】40
【解析】【解答】解：一元二次方程 中的 ，
則其根的判別式為 ，
故答案為：40．
【分析】根據一元二次方程根的判別式，計算得到答案即可。
13．若x1，x2是方程x2＋2x﹣3＝0兩個根，則x12x2＋x1x22的值為　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：方程x2＋2x﹣3＝0，
，
∵x1，x2是方程x2＋2x﹣3＝0兩個根，
∴ ， ，
∴x12x2＋x1x22＝ ，
故答案為： 6 ．
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得 ， ，再將x12x2＋x1x22變形為，最后將數據代入計算即可。
14．在實數范圍內定義一種運算，其規則為：M※N＝M2﹣MN，根據這個規則，則方程（x﹣3）※5＝0的解為　 　 　．
【答案】x1=3，x2=8
【解析】【解答】解：原式變形為：（x-3）2-5（x-3）=0，
∴（x-3）（x-3-5）=0，
x-3=0，x-3-5=0，
解得：x1=3，x2=8．
故答案為：x1=3，x2=8．
【分析】根據定義新運算得出方程（x-3）2-5（x-3）=0，解出方程即可.
15．已知x1、x2是方程x2-2x-1＝0的兩根，則＝　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：x1+x2==2，x1x2==-1
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=22-2×（-1）=6
故答案為：6
【分析】由韋達定理結合x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2的變形代入求解即可。
16．已知的兩邊是關于的方程的兩根，第三邊長為，當是等腰三角形時，則的值是　 　．
【答案】2或3
【解析】【解答】解：，
，
或，
的兩邊是方程的兩根，
的兩邊為、，
當是等腰三角形且第三邊為時，
當時，解得：，
∴三邊分別為，，，
∵2+2=4，
∴三邊2，2，4不能構成三角形，故不符合題意；
當時，解得：，
∴三邊分別為，，，
∵3+4=7＞4，
∴三邊3，4，4能構成三角形，故符合題意；
當時，解得：，
三邊分別為，，，
∵4+4=8＞6，
∴三邊4，4，6能構成三角形，故符合題意；
綜上可得：k的值為2或3.
故答案為：或．
【分析】根據題意先求方程的兩根，即可將三角形另外兩邊用含k的代數式表示出來，再根據等腰三角形兩腰相等可得關于k的方程，解方程求出k的值，然后根據三角形三邊關系定理即可判斷求解．
三、綜合題(本大題有9個小題，每小題8分，共72分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．A地區2015年公民出境旅游總人數約600萬人，2017年公民出境旅游總人數約864萬人，若2016年、2017年公民出境旅游總人數逐年遞增，求2016、2017這兩年A地區公民出境旅游總人數的年平均增長率？
【答案】2016、2017這兩年A地區公民出境旅游總人數的年平均增長率
18．某工廠生產的一種產品按供需要求分成十個檔次，若生產第一檔次（最低檔次）的產品，一天可生產76件，每件的利潤為10元，每提高一個檔次，每件的利潤增加2元，每天的產量將減少4件．若該產品一天的總利潤為1080元，求這天生產這種產品的檔次．
【答案】生產這種產品為5檔時，一天的總利潤為1080元
19．隨著人民生活水平的提高，汽車的需求量日益增長．某汽車銷售公司2020年盈利1500萬元，2022年盈利2160萬元，且從2020年到2022年，每年盈利的年增長率相同，求平均每年的增長率．
【答案】平均每年的增長率為
20．已知關于x的方程x2+mx+m﹣3＝0.
（1）若該方程有一個根為﹣3，求方程的另一根；
（2）求證：不論m取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.
【答案】（1）解：把x＝﹣3代入方程得9﹣3m+m﹣3＝0，解得m＝3，
方程變形為x2+3x＝0，
設方程的另一個根為t，
根據題意得﹣3+t＝﹣3，解得t＝0，
即方程的另一根為0；
（2）證明：Δ＝m2﹣4（m﹣3）
＝（m﹣2）2+8，
∵（m﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不論m取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.
【解析】【分析】（1）由題意把x=-3代入原方程得關于m的方程，解方程可求得m的值；設方程的另一個根為t，根據一元二次方程的根與系數的關系可得關于t的方程，解方程可求解；
（2）由題意先計算b2-4ac的值，根據平方的非負性可得b2-4ac≥0，然后根據一元二次方程的根的判別式"①當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；③當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根"可求解.
21．某蔬菜經銷商到蔬菜種植基地采購一種蔬菜，經銷商一次性采購蔬菜的采購單價y（元/千克）與采購量x（千克）之間的函數關系圖象如圖中折線AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端點A）．
（1）當100＜x＜200時，直接寫y與x之間的函數關系式：　 　．
（2）蔬菜的種植成本為2元/千克，某經銷商一次性采購蔬菜的采購量不超過200千克，當采購量是多少時，蔬菜種植基地獲利最大，最大利潤是多少元？
（3）在（2）的條件下，求經銷商一次性采購的蔬菜是多少千克時，蔬菜種植基地能獲得418元的利潤？
【答案】（1）y=﹣0.02x+8
（2）解：當采購量是x千克時，蔬菜種植基地獲利W元，
當0＜x≤100時，W=（6﹣2）x=4x；
當x=100時，W有最大值400元；
當100＜x≤200時，W=（y﹣2）x=（﹣0.02x+6）x=﹣0.02（x﹣150）2+450．
∵當x=150時，W有最大值為450元．
綜上所述，一次性采購量為150千克時，蔬菜種植基地能獲得最大利潤為450元．
（3）解：∵418＜450，
∴根據（2）可得，﹣0.02（x﹣150）2+450=418，
解得：x1=110，x 2=190．
答：經銷商一次性采購的蔬菜是110千克或190千克時，蔬菜種植基地能獲得418元的利潤．
【解析】【解答】解：（1）設當100＜x＜200時，y與x之間的函數關系式為：y=ax+b，
∴ ，解得： ．
∴y與x之間的函數關系式為：y=﹣0.02x+8．
【分析】（1）利用待定系數法求出當100（2）根據當0＜x≤100時，當100＜x≤200時，分別求出獲利W與x的函數關系式，進而求出最值即可；
（3）根據（2）中所求得出：0.02（x﹣150）2+450=418，求出即可。
22．已知關于x的一元二次方程x2-2x-a=0
（1）如果此方程有兩個不相等的實數根，求a的取值范圍；
（2）如果此方程的兩個實數根為x1，x2，且滿足 ，求a的值。
【答案】（1）解：∵△=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a
∵方程有兩個不相等的實數根
∴△>0，即4+4a>0，解得a>-1，
∴a的取值范圍是a>-1
（2）解：由題意，得x1+x2=2，x1x2=-a
∵
∴a=3
【解析】【分析】（1）根據已知方程有兩個不相等的實數根，可得到b2-4ac＞0，建立關于a的不等式，解不等式求出a的取值范圍。
（2）利用一元二次方程根與系數的關系，求出x1+x2，x1x2的值，再將等式轉化為，再代入建立關于a的方程，解方程求出a的值。
23．計算：
（1）已知關于x的一元二次方程kx2+5x﹣10＝0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍．
（2）先化簡，再求值：÷（a+2﹣），其中，a滿足a2﹣4＝0．
【答案】（1）解：Δ＝52﹣4×k×（﹣10）＝25+40k，
由題意得：k≠0，25+40k＞0，
解得：k＞﹣且k≠0
（2）解：原式
，
解方程a2﹣4＝0，得a1＝2，a2＝﹣2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
當a＝﹣2時，原式
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式列出不等式Δ＝52﹣4×k×（﹣10）＝25+40k>0，再求出k的取值范圍即可；
（2）先利用分式的混合運算化簡，再將a2﹣4＝0整體代入計算即可。
24．某賓館擁有客房100間，經營中發現：每天入住的客房數y（間）與房價x（元）（180≤x≤300）滿足一次函數關系，部分對應值如下表：
x（元） 180 260 280 300
y（間） 100 60 50 40
（1）求y與x之間的函數表達式；
（2）已知每間入住的客房，賓館每日需支出各種費用100元；每間空置的客房，賓館每日需支出60元，當房價為多少元時，賓館獲得7200元的利潤 （賓館當日利潤=當日房費收入-當日支出）
【答案】（1）解：設一次函數的表達式為，
將（180，100），（260，60）代入得：，
解得：，
∴y與x之間的函數表達式為： （180≤x≤300）.
（2）解：設房價為x元（180 x 300）時，依題意得：
即
整理得：
即
解得
180 x 300
答：當房價為260元時，賓館當日利潤為7200元.
【解析】【分析】（1）利用已知條件設y=kx+b（k≠0），代入兩組x，y的值，建立關于k，b的方程組，解方程組求出k，b的值，可得到一次函數解析式；
（2）設房價為x元（180 x 300），根據賓館的總收入-入住客房的開支-空置客房的開支=賓館獲得的利潤，結合利潤=7200元，可得到關于x的方程，解方程求出符合題意的x的值.
25．觀察下列分解因式的過程： .
解：原式=
像這種通過增減項把多項式轉化成完全平方形式的方法稱為配方法.
（1）請你運用上述配方法分解因式： ；
（2）代數式 是否存在最小值？如果存在，請求出當a、b分別是多少時，此代數式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，請說明理由.
【答案】（1）解： ，
，
，
，
；
（2）解：代數式 ，
=a2+2a+1+b2-6b+9-1-9+12，
= ，
，
∴當 ，b-3=0即 ，b=3時原式有最小值，最小值是2.
【解析】【分析】（1）理解題意，按題意所給方法分解因式即可；
（2）利用配方法將代數式 轉化為完全平方與和的形，然后利用非負數的性質進行解答．
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