資源簡介

1.2.1　命題與量詞
1.2.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
1.將“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱量詞命題，下列說法正確的是（　　）
A.對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy
C.對任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy
D.存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≥2xy
2.命題“有些實數的絕對值是正數”的否定是（　?。?br/>A. x∈R，｜x｜＞0 B. x∈R，｜x｜＞0
C. x∈R，｜x｜≤0 D. x∈R，｜x｜≤0
3.設非空集合P，Q滿足P∩Q＝P，則（　　）
A. x∈Q，有x∈P
B. x Q，有x P
C. x Q，使得x∈P
D. x∈P，使得x Q
4.有下列命題：① x∈R，＋1＞0；② x∈N，x2＞0；③ x∈N，x∈[－3，－1）.其中真命題的個數為（　　）
A.1 B.2
C.3 D.0
5.（多選）下列命題錯誤的是（　?。?br/>A. x∈{－1，1}，2x＋1＞0
B. x∈Q，x2＝3
C. x∈R，x2－1＞0
D. x∈N，｜x｜≤0
6.給出下列命題，①存在a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0；②任何實數都有算術平方根；③某些四邊形不存在外接圓；④ x，y∈R，都有x2＋｜y｜＞0.
其中正確命題的序號為　　　　.
7.能夠說明“設x，y，z是任意實數.若x＞y＞z，則x＞y＋z”是假命題的一組整數x，y，z的值依次為　　　　.
8.已知命題p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命題，則實數m的最大值是　　　　.
9.寫出下列命題的否定，并判斷真假：
（1）正方形都是菱形；
（2） x∈R，使4x－3＞x；
（3） x∈R，有x＋1＝2x；
（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集.
10.已知a＞0，函數y＝ax2＋bx＋c，若m滿足關于x的方程2ax＋b＝0，當x＝m時的函數值記為M，則下列選項中的命題為假命題的是（　?。?br/>A. x∈R，ax2＋bx＋c≤M
B. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
C. x∈R，ax2＋bx＋c≤M
D. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
11.若命題“ x∈R，x2＋3≤m”為假命題，則滿足條件的一個自然數m的值為　　　.
12.已知命題p： 1≤x≤3，都有m≥x，命題q： 1≤x≤3，使m≥x，若命題p為真命題，命題q的否定為假命題，求實數m的取值范圍.
13.某中學開展小組合作學習模式，高一某班某組小王同學給組內小李同學出題如下：若命題“ x∈R，函數y＝x2＋2x＋m的圖象在x軸的下方”是假命題，求m范圍.小李略加思索，反手給了小王一道題：若命題“ x∈R，函數y＝x2＋2x＋m的圖象在x軸的上方或x軸上”是真命題，求m范圍.你認為，兩位同學題中m的范圍是否一致？　　　　.（填“是”“否”中的一種）
14.從兩個符號“ ”“ ”中任選一個補充在下面的問題中，并完成下面的問題.
已知集合A＝{x｜5≤x≤6}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若命題：　　　　x∈A，則x∈B是真命題，求m的取值范圍.
注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.
1.2.1　命題與量詞
1.2.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
1.A　“x2＋y2≥2xy”是指對任意x，y∈R都有x2＋y2≥2xy成立，故選項A正確.
2.C　由詞語“有些”知原命題為存在量詞命題，故其否定為全稱量詞命題，然后再否定結論，所以選C.
3.B　∵P∩Q＝P，∴P Q，如圖，
∴A錯誤；B正確；C錯誤；D錯誤.故選B.
4.A　對于①， x∈R，≥0，則＋1＞0，①是真命題；
對于②，因x＝0時，x∈N，x2＝0，②是假命題；
對于③，因 x∈N，x≥0，即x [－3，－1），③是假命題.
所以真命題的序號是①，共1個.故選A.
5.ABC　對于A，x＝－1時，不合題意，A錯誤；
對于B，x＝±，B錯誤；
對于C，比如x＝0時，－1＜0，C錯誤；
D選項正確.故選A、B、C.
6.③　解析：①是假命題，因為對任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－12）≥0；
②是假命題，例如－4沒有算術平方根；
③是真命題，因為只有對角互補的四邊形有外接圓；
④為假命題，當x＝y＝0時，x2＋｜y｜＝0.
7.3，2，1（答案不唯一）　解析：由題意，整數x，y，z滿足x＞y＞z，但不滿足x＞y＋z，所以x，y，z的值依次可以為3，2，1.
8.5　解析：當x≥3時，2x≥6 2x－1≥5，因為“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命題，所以m≤5.
9.解：（1）命題的否定：正方形不都是菱形，是假命題.
（2）命題的否定： x∈R，有4x－3≤x.因為當x＝2時，4×2－3＝5＞2，所以“ x∈R，有4x－3≤x”是假命題.
（3）命題的否定： x∈R，使x＋1≠2x.因為當x＝2時，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“ x∈R，使x＋1≠2x”是真命題.
（4）命題的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命題.
10.C　方程2ax＋b＝0的解為m＝－.由當x＝m時的函數值記為M知A、B為真命題；
∵a＞0，∴函數y＝ax2＋bx＋c在x＝－＝m處取得最小值.∴M是函數y＝ax2＋bx＋c的最小值，因此D為真命題，C為假命題.故選C.
11.2（答案不唯一）　解析：因為x2＋3≥3，又命題 “ x∈R，x3＋3≤m”為假命題，所以m＜3，因為m為自然數，所以m為0，1，2都可以.
12.解：因為 q為假命題，所以q為真命題，
命題p： 1≤x≤3，都有m≥x， 為真命題，則m≥xmax，即m≥3.
命題q： 1≤x≤3，使m≥x，為真命題，則m≥xmin，即m≥1.
因為命題p，q同時為真命題，所以解得m≥3，
故實數m的取值范圍是[3，＋∞）.
13.是　解析：∵命題“ x∈R，函數y＝x2＋2x＋m的圖象在x軸的下方”的否定是“ x∈R，函數y＝x2＋2x＋m的圖象在x軸的上方或x軸上”.而命題“ x∈R，函數y＝x2＋2x＋m的圖象在x軸的下方”是假命題，則其否定“ x∈R，函數y＝x2＋2x＋m的圖象在x軸的上方或x軸上”為真命題.∴兩位同學題中m的范圍是一致的.
14.解：由已知集合A＝{x｜5≤x≤6}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}.
若選 ，則“ x∈A，則x∈B”是真命題，則A B，
所以解得≤m≤4.
若選 ，則p：“ x∈A，則x∈B”是真命題，
若 p即“ x∈A，則x B”為真命題，則m＋1＞2m－1或或
解得m＜3，或m＞5，故若p為真，只需3≤m≤5.
2 / 21.2　常用邏輯用語
1.2.1　命題與量詞1.2.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
新課程標準解讀 核心素養
1.通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義 數學抽象
2.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定 數學抽象
3.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定 數學抽象
　　“紅豆生南國，春來發幾枝.愿君多采擷，此物最相思.”這是唐代詩人王維的《相思》詩.
【問題】?。?）在這4句詩中，哪幾句是疑問句？哪幾句是陳述句？
（2）疑問句、祈使句、感嘆句能否作為命題？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　命題
1.命題：可供真假判斷的　　　　　　.
2.真命題：　　　　　　的語句.
3.假命題：　　　　　　的語句.
提醒　若一個語句為命題，則需滿足兩點：①陳述句；②能夠判斷真假.
知識點二　全稱量詞與存在量詞
全稱量詞 存在量詞
量詞 任意、所有、每一個 存在、有、至少有一個
符號
命題 含有　　　　　　的命題稱為全稱量詞命題 含有　　　　　的命題稱為存在量詞命題
命題 形式 “對集合M中的所有元素x，r（x）”，可用符號簡記為“　　　　　　” “存在集合M中的元素x， s（x）”，可用符號簡記為“　　　　　　　”
【想一想】
1.如何判定全稱量詞命題為假命題？
2.如何判定存在量詞命題為真命題？
知識點三　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
q q 結論
全稱量詞命題 x∈M，q（x） x∈M， q（x） 全稱量詞命題的否定是　　　　　　　
存在量詞命題 x∈M，p（x） 　　　　　 存在量詞命題的否定是　　　　　　　
提醒　命題p與其否定 p，必定是一個真命題一個假命題.
1.下列命題既是全稱量詞命題又是真命題的是（　　）
A. x∈R，有＝x
B.所有的質數都是奇數
C.至少有一個實數x，使x2≤0
D.有的正方形的四條邊不相等
2.命題“ x∈R，｜x｜＋≥0”的否定是（　?。?br/>A. x∈R，｜x｜＋≥0
B. x∈R，｜x｜＋＜0
C. x∈R，｜x｜＋＜0
D. x R，｜x｜＋＜0
3.選擇適當的符號“ ”，“ ”表述下列命題：有一個實數x，使x2＋2x＋3＝0：　　 　.
題型一 全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷
【例1】　判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：
（1）凸多邊形的外角和等于360°；
（2）矩形的對角線不相等；
（3）若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
（4）有些實數a，b能使｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜；
（5）方程3x－2y＝10有整數解.
嘗試解答
通性通法
　　判斷一個語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路
提醒　全稱量詞命題可能省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略.
【跟蹤訓練】
1.給出下列命題：
①存在實數x＞1，使x2＞1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一個實數a，使ax2－ax＋1＝0的根為負數.
其中存在量詞命題的個數為（　?。?br/>A.1　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
2.用量詞符號“ ”或“ ”表述下列命題：
（1）當x為有理數時，x2＋x＋1也是有理數；
（2）對所有實數a，b，方程ax＋b＝0恰有一個解；
（3）有些整數既能被2整除，又能被3整除.
題型二 全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷
【例2】　（鏈接教科書第26頁例）判斷下列命題的真假：
（1） x∈Z，x3＜1；
（2）存在一個四邊形不是平行四邊形；
（3）在平面直角坐標系中，任意有序實數對（x，y）都對應一點P；
（4） x∈N，x2＞0.
嘗試解答
通性通法
全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷的技巧
（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p（x）成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x，使得p（x）不成立即可；
（2）要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x使p（x）成立即可；否則，這個存在量詞命題就是假命題.
【跟蹤訓練】
1.下列是全稱量詞命題且是真命題的為（　　）
A. x∈R，x2＞2x－1
B. x，y∈Q，都有x＋y∈Q
C. x∈Z，－x2＋1≥1
D. x，y∈R，｜x｜＋｜y｜＞0
2.下列命題中是假命題的是（　?。?br/>A. x∈R，x2≥0
B. x∈R，使x2≤0
C. x∈R，使x2＜0
D. x∈R，使x2＞0
題型三 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
【例3】　（鏈接教科書第30頁例1）（1）命題“存在實數x，使x＞1”的否定是（　?。?br/>A.對任意實數x，都有x＞1
B.不存在實數x，使x≤1
C.對任意實數x，都有x≤1
D.存在實數x，使x≤1
（2）命題“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（　?。?br/>A. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
嘗試解答
通性通法
全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的思路
（1）一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應結論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞， 同時否定結論；
（2）對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據規則來寫出命題的否定.
【跟蹤訓練】
1.命題“ x∈R，x2＋1≥x”的否定為（　　）
A. x∈R，x2＋1≤x B. x∈R，x2＋1≤x
C. x∈R，x2＋1＜x D. x∈R，x2＋1＜x
2.已知命題p： a∈N，a≥100，則 p為（　?。?br/>A. a∈N，a≤100
B. a∈N，a＜100
C. a∈N，a≤100
D. a∈N，a＜100
題型四 全稱量詞命題與存在量詞命題的應用
【例4】　（1）若“ x∈R，x2＋2x－a＜0”是真命題，則實數a的取值范圍是　　　??；
（2）已知命題p：“ x∈R，x2－2x＋m＞0”是真命題，則實數m的取值范圍是　　　　.
嘗試解答
通性通法
利用含量詞的命題的真假求參數的范圍的方法
（1）含參數的全稱量詞命題為真時，常與不等式恒成立有關，可借助判別式Δ、函數最值來確定參數的取值范圍，如： x∈m，a＞f（x） a＞f（x）max； x∈m，a＜f（x） a＜f（x）min；
（2）含參數的存在量詞命題為真時，常轉化為方程或不等式有解問題來處理，可借助判別式Δ、函數最值來確定參數的范圍，如： x∈m，a＞f（x） a＞f（x）min； x∈m，a＜f（x） a＜f（x）max.
【跟蹤訓練】
1.若 x∈R，x2－a＞0恒成立，則實數a的取值范圍是（　?。?br/>A.a＞0　　　　　　B.a＜0
C.a≥0 D.a≤0
2.（多選）已知命題p： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0為真命題，則實數a的取值可以是（　　）
A.1 B.0
C.3 D.－3
1.下列是存在量詞命題且是真命題的是（　?。?br/>A. x∈R，x3＞0
B. x∈Z，x2＞2
C. x∈N，x2∈N
D. x，y∈R，x2＋y2＜0
2.命題p： x∈N，x3＞x2的否定形式 p為（　?。?br/>A. x∈N，x3≤x2 B. x∈N，x3＞x2
C. x∈N，x3＜x2 D. x∈N，x3≤x2
3.下列四個命題：
① x∈R，x2－x＋≥0；②不存在實數x，使x3＋1＝0；③ n∈R，n2≥n；④至少有一個實數x，使得x3＋1＝0.
其中真命題的序號是（　?。?br/>A.①③ B.②③
C.②④ D.①④
4.若p：存在x＜5，使2x＋a＞0是真命題，則實數a的取值范圍是　　　.
1.2.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.陳述語句　2.判斷為真　3.判斷為假
知識點二
　全稱量詞　存在量詞　 x∈M，r（x）　 x∈M，s（x）
想一想
1.提示：只要找到一個x∈M，r（x）不成立.
2.提示：只要找到一個x∈M，s（x）成立.
知識點三
　存在量詞命題　 x∈M， p（x）　全稱量詞命題
自我診斷
1.A　對于A，是全稱量詞命題，且為真命題，所以A正確；
對于B，是全稱量詞命題，2是質數，但2不是奇數，所以此命題為假命題，所以B錯誤；
對于C，是存在量詞命題，所以C錯誤；
對于D，是存在量詞命題，且為假命題，所以D錯誤.故選A.
2.C　命題“ x∈R，｜x｜＋≥0”的否定是“ x∈R，｜x｜＋＜0”.故選C.
3. x∈R，有x2＋2x＋3＝0
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360°，故為全稱量詞命題.
（2）可以改為所有矩形的對角線不相等，故為全稱量詞命題.
（3）若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題.
（4）含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題.
（5）可改寫為：存在一對整數x，y，使3x－2y＝10成立，故為存在量詞命題.
跟蹤訓練
1.C?、佗邰転榇嬖诹吭~命題，②為全稱量詞命題，故選C.
2.解：（1） x∈Q，x2＋x＋1是有理數.
（2） a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解.
（3） x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
【例2】　解：（1）因為－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，所以“ x∈Z，x3＜1”是真命題.
（2）真命題，如梯形.
（3）由有序實數對與平面直角坐標系中的點的對應關系知，它是真命題.
（4）因為0∈N，02＝0，所以命題“ x∈N，x2＞0”是假命題.
跟蹤訓練
1.B　A：當x＝1時，不等式x2＞2x－1不成立，因此命題是假命題，不符合題意；
B：因為 x，y∈Q，都有x＋y∈Q是真命題，且是全稱命題，符合題意；
C：命題是存在量詞命題，不符合題意；
D：因為當x＝y＝0時，｜x｜＋｜y｜＞0不成立，因此命題是假命題，不符合題意.故選B.
2.C　 x∈R，x2≥0，故A正確，C錯誤；因為02＝0，故B正確；因為12＞0，故D正確.故選C.
【例3】?。?）C　（2）D　解析：（1）利用存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可知，原命題的否定為：對于任意的實數x，都有x≤1.
（2）由于存在量詞命題的否定形式是全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定形式是存在量詞命題，所以“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式為“ x∈R， n∈N*，使得n＜x2”.
跟蹤訓練
1.C　由于全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“ x∈R，x2＋1≥x”的否定為“ x∈R，x2＋1＜x”.故選C.
2.D　∵命題p： a∈N，a≥100，∴ p：為 a∈N，a＜100.故選D.
【例4】　（1）{a｜a＞－1}?。?）（1，＋∞）
解析：（1）若“ x∈R，x2＋2x－a＜0”是真命題，
則Δ＞0，即4＋4a＞0，解得a＞－1，則實數a的取值范圍是{a｜a＞－1}.
（2）p：“ x∈R，x2－2x＋m＞0”是真命題，即m＞－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，x∈R恒成立，
設函數y＝－（x－1）2＋1，由二次函數的性質知，
當x＝1時，y最大值＝1，
所以m＞y最大值＝1，
即實數m的取值范圍是（1，＋∞）.
跟蹤訓練
1.B　因為 x∈R，x2－a＞0恒成立，所以 x∈R，x2＞a恒成立，即 x∈R，a＜（x2）min.因為當x∈R時，（x2）min＝0，所以a＜0.故選B.
2.AC　由于命題p： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0為真命題，則Δ＝22－4（2－a）＝4a－4≥0，解得a≥1.符合條件的為A、C選項.故選A、C.
隨堂檢測
1.B　對于A， x∈R，x3＞0是全稱量詞命題，不合題意；
對于B， x∈Z，x2＞2是存在量詞命題，且是真命題，滿足題意；
對于C， x∈N，x2∈N是全稱量詞命題，不合題意；
對于D， x，y∈R，x2＋y2＜0是存在量詞命題，是假命題，不合題意，故選B.
2.D　命題p： x∈N，x3＞x2的否定形式是存在量詞命題；所以 p：“ x∈N，x3≤x2”.故選D.
3.D?、?，x2－x＋＝≥0，當x＝時等號成立. ①正確.
②④，x＝－1時，x3＋1＝0，②錯誤，④正確.
③，n＝時，n2＜n，③錯誤.所以正確的為①④.故選D.
4.{a｜a＞－10}　解析：存在x＜5，使2x＋a＞0，即存在x＜5，使a＞－2x，所以a＞－10.
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1.2.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
新課程標準解讀 核心素養
1.通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞
的意義 數學抽象
2.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定 數學抽象
3.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定 數學抽象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　“紅豆生南國，春來發幾枝.愿君多采擷，此物最相思.”這是唐
代詩人王維的《相思》詩.
【問題】?。?）在這4句詩中，哪幾句是疑問句？哪幾句是陳述句？
（2）疑問句、祈使句、感嘆句能否作為命題？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　命題
1. 命題：可供真假判斷的 .
2. 真命題： 的語句.
3. 假命題： 的語句.
提醒　若一個語句為命題，則需滿足兩點：①陳述句；②能夠判斷
真假.
陳述語句　
判斷為真　
判斷為假　
知識點二　全稱量詞與存在量詞
全稱量詞 存在量詞
量詞 任意、所有、每一個 存在、有、至少有一個
符號
命題 含有 的命題稱
為全稱量詞命題 含有 的命題稱為
存在量詞命題
命題 形式 “對集合 M 中的所有元素 x ，
r （ x ）”，可用符號簡記為
“ ” “存在集合 M 中的元素 x ， s
（ x ）”，可用符號簡記為
“ ”
全稱量詞　
存在量詞　
x ∈ M ， r （ x ）　
x ∈ M ， s （ x ）　
【想一想】
1. 如何判定全稱量詞命題為假命題？
提示：只要找到一個 x ∈ M ， r （ x ）不成立.
2. 如何判定存在量詞命題為真命題？
提示：只要找到一個 x ∈ M ， s （ x ）成立.
知識點三　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
q q 結論
全稱量詞命題 x ∈
M ， q （ x ） x ∈ M ， q （ x ） 全稱量詞命題的否定
是
存在量詞命題 x ∈
M ， p （ x ）
存在量詞命題的否定
是
提醒　命題 p 與其否定 p ，必定是一個真命題一個假命題.
存在量詞命題　
x ∈ M ， p
（ x ）　
全稱量詞命題　
1. 下列命題既是全稱量詞命題又是真命題的是（　?。?br/>A. x ∈R，有 ＝ x
B. 所有的質數都是奇數
C. 至少有一個實數 x ，使 x2≤0
D. 有的正方形的四條邊不相等
解析：　對于A，是全稱量詞命題，且為真命題，所以A正確；對
于B，是全稱量詞命題，2是質數，但2不是奇數，所以此命題為假
命題，所以B錯誤；對于C，是存在量詞命題，所以C錯誤；對于
D，是存在量詞命題，且為假命題，所以D錯誤.故選A.
2. 命題“ x ∈R，｜ x ｜＋ ≥0”的否定是（　?。?br/>A. x ∈R，｜ x ｜＋ ≥0
B. x ∈R，｜ x ｜＋ ＜0
C. x ∈R，｜ x ｜＋ ＜0
D. x R，｜ x ｜＋ ＜0
解析：　命題“ x ∈R，｜ x ｜＋ ≥0”的否定是“ x ∈R，｜
x ｜＋ ＜0”.故選C.
3. 選擇適當的符號“ ”，“ ”表述下列命題：有一個實數 x ，使 x2
＋2 x ＋3＝0： .
x ∈R，有 x2＋2 x ＋3＝0　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷
【例1】　判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：
（1）凸多邊形的外角和等于360°；
解：可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360°，故為全稱量詞命題.
（2）矩形的對角線不相等；
解：可以改為所有矩形的對角線不相等，故為全稱量詞命題.
（3）若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
解：若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱
量詞命題.
（4）有些實數 a ， b 能使｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜；
解：含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題.
（5）方程3 x －2 y ＝10有整數解.
解：可改寫為：存在一對整數 x ， y ，使3 x －2 y ＝10成
立，故為存在量詞命題.
通性通法
　　判斷一個語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路
提醒　全稱量詞命題可能省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一
般不能省略.
【跟蹤訓練】
1. 給出下列命題：
①存在實數 x ＞1，使 x2＞1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一個實數 a ，使 ax2－ ax ＋1＝0的根為負數.
其中存在量詞命題的個數為（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：?、佗邰転榇嬖诹吭~命題，②為全稱量詞命題，故選C.
2. 用量詞符號“ ”或“ ”表述下列命題：
（1）當 x 為有理數時， x2＋ x ＋1也是有理數；
解： x ∈Q， x2＋ x ＋1是有理數.
（2）對所有實數 a ， b ，方程 ax ＋ b ＝0恰有一個解；
解： a ， b ∈R，方程 ax ＋ b ＝0恰有一解.
（3）有些整數既能被2整除，又能被3整除.
解： x ∈Z， x 既能被2整除，又能被3整除.
題型二 全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?6頁例）判斷下列命題的真假：
（1） x ∈Z， x3＜1；
解：因為－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，所以“ x ∈Z，
x3＜1”是真命題.
（2）存在一個四邊形不是平行四邊形；
解：真命題，如梯形.
（3）在平面直角坐標系中，任意有序實數對（ x ， y ）都對應一點
P ；
解：由有序實數對與平面直角坐標系中的點的對應關系知，它是真命題.
（4） x ∈N， x2＞0.
解：因為0∈N，02＝0，所以命題“ x ∈N， x2＞0”是假命題.
通性通法
全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷的技巧
（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合 M 中的每
個元素 x 驗證 p （ x ）成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，
只要能舉出集合 M 中的一個 x ，使得 p （ x ）不成立即可；
（2）要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合 M 中，能
找到一個 x 使 p （ x ）成立即可；否則，這個存在量詞命題就是
假命題.
【跟蹤訓練】
1. 下列是全稱量詞命題且是真命題的為（　?。?br/>A. x ∈R， x2＞2 x －1
B. x ， y ∈Q，都有 x ＋ y ∈Q
C. x ∈Z，－ x2＋1≥1
D. x ， y ∈R，｜ x ｜＋｜ y ｜＞0
解析：　A：當 x ＝1時，不等式 x2＞2 x －1不成立，因此命題是假
命題，不符合題意；B：因為 x ， y ∈Q，都有 x ＋ y ∈Q是真命
題，且是全稱命題，符合題意；C：命題是存在量詞命題，不符合
題意；D：因為當 x ＝ y ＝0時，｜ x ｜＋｜ y ｜＞0不成立，因此命
題是假命題，不符合題意.故選B.
2. 下列命題中是假命題的是（　?。?br/>A. x ∈R， x2≥0 B. x ∈R，使 x2≤0
C. x ∈R，使 x2＜0 D. x ∈R，使 x2＞0
解析：　 x ∈R， x2≥0，故A正確，C錯誤；因為02＝0，故B正
確；因為12＞0，故D正確.故選C.
題型三 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?0頁例1）（1）命題“存在實數 x ，使 x ＞
1”的否定是（　C?。?br/>A. 對任意實數 x ，都有 x ＞1 B. 不存在實數 x ，使 x ≤1
C. 對任意實數 x ，都有 x ≤1 D. 存在實數 x ，使 x ≤1
解析：利用存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可知，原命題的否定
為：對于任意的實數 x ，都有 x ≤1.
（2）命題“ x ∈R， n ∈N*，使得 n ≥ x2”的否定形式是（　D?。?br/>A. x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2
B. x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2
C. x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2
D. x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2
解析：由于存在量詞命題的否定形式是全稱量詞命題，全稱量
詞命題的否定形式是存在量詞命題，所以“ x ∈R， n ∈N*，
使得 n ≥ x2”的否定形式為“ x ∈R， n ∈N*，使得 n ＜ x2”.
通性通法
全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的思路
（1）一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題
是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應結論，
然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量
詞， 同時否定結論；
（2）對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含
量詞的完整形式，再依據規則來寫出命題的否定.
【跟蹤訓練】
1. 命題“ x ∈R， x2＋1≥ x ”的否定為（　　）
A. x ∈R， x2＋1≤ x B. x ∈R， x2＋1≤ x
C. x ∈R， x2＋1＜ x D. x ∈R， x2＋1＜ x
解析：　由于全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“
x ∈R， x2＋1≥ x ”的否定為“ x ∈R， x2＋1＜ x ”.故選C.
2. 已知命題 p ： a ∈N， a ≥100，則 p 為（　?。?br/>A. a ∈N， a ≤100 B. a ∈N， a ＜100
C. a ∈N， a ≤100 D. a ∈N， a ＜100
解析：　∵命題 p ： a ∈N， a ≥100，∴ p ：為 a ∈N， a ＜
100.故選D.
題型四 全稱量詞命題與存在量詞命題的應用
【例4】　（1）若“ x ∈R， x2＋2 x － a ＜0”是真命題，則實數 a 的
取值范圍是 ；
解析：若“ x ∈R， x2＋2 x － a ＜0”是真命題，
則Δ＞0，即4＋4 a ＞0，解得 a ＞－1，則實數 a 的取值范圍是{ a ｜ a ＞
－1}.
{ a ｜ a ＞－1}　
（2）已知命題 p ：“ x ∈R， x2－2 x ＋ m ＞0”是真命題，則實數 m
的取值范圍是 .
解析： p ：“ x ∈R， x2－2 x ＋ m ＞0”是真命題，即 m ＞－ x2
＋2 x ＝－（ x －1）2＋1， x ∈R恒成立，
設函數 y ＝－（ x －1）2＋1，由二次函數的性質知，
當 x ＝1時， y最大值＝1，所以 m ＞ y最大值＝1，
即實數 m 的取值范圍是（1，＋∞）.
（1，＋∞）　
通性通法
利用含量詞的命題的真假求參數的范圍的方法
（2）含參數的存在量詞命題為真時，常轉化為方程或不等式有解問
題來處理，可借助判別式Δ、函數最值來確定參數的范圍，如：
x ∈ m ， a ＞ f （ x ） a ＞ f （ x ）min； x ∈ m ， a ＜ f （ x ）
a ＜ f （ x ）max.
（1）含參數的全稱量詞命題為真時，常與不等式恒成立有關，可借
助判別式Δ、函數最值來確定參數的取值范圍，如： x ∈ m ， a
＞ f （ x ） a ＞ f （ x ）max； x ∈ m ， a ＜ f （ x ） a ＜ f （ x ）
min；
【跟蹤訓練】
1. 若 x ∈R， x2－ a ＞0恒成立，則實數 a 的取值范圍是（　　）
A. a ＞0 B. a ＜0
C. a ≥0 D. a ≤0
解析：　因為 x ∈R， x2－ a ＞0恒成立，所以 x ∈R， x2＞ a 恒
成立，即 x ∈R， a ＜（ x2）min.因為當 x ∈R時，（ x2）min＝0，所
以 a ＜0.故選B.
2. （多選）已知命題 p ： x ∈R， x2＋2 x ＋2－ a ＝0為真命題，則實
數 a 的取值可以是（　?。?br/>A. 1 B. 0
C. 3 D. －3
解析：　由于命題 p ： x ∈R， x2＋2 x ＋2－ a ＝0為真命題，則
Δ＝22－4（2－ a ）＝4 a －4≥0，解得 a ≥1.符合條件的為A、C選
項.故選A、C.
1. 下列是存在量詞命題且是真命題的是（　?。?br/>A. x ∈R， x3＞0 B. x ∈Z， x2＞2
C. x ∈N， x2∈N D. x ， y ∈R， x2＋ y2＜0
解析：　對于A， x ∈R， x3＞0是全稱量詞命題，不合題意；對
于B， x ∈Z， x2＞2是存在量詞命題，且是真命題，滿足題意；對
于C， x ∈N， x2∈N是全稱量詞命題，不合題意；對于D， x ， y
∈R， x2＋ y2＜0是存在量詞命題，是假命題，不合題意，故選B.
2. 命題 p ： x ∈N， x3＞ x2的否定形式 p 為（　?。?br/>A. x ∈N， x3≤ x2 B. x ∈N， x3＞ x2
C. x ∈N， x3＜ x2 D. x ∈N， x3≤ x2
解析：D　命題 p ： x ∈N， x3＞ x2的否定形式是存在量詞命題；所
以 p ：“ x ∈N， x3≤ x2”.故選D.
3. 下列四個命題：
① x ∈R， x2－ x ＋ ≥0；
②不存在實數 x ，使 x3＋1＝0；
③ n ∈R， n2≥ n ；
④至少有一個實數 x ，使得 x3＋1＝0.
其中真命題的序號是（　?。?br/>A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
解析：?、伲?x2－ x ＋ ＝ ≥0，當 x ＝ 時等號成立. ①正
確.②④， x ＝－1時， x3＋1＝0，②錯誤，④正確.③， n ＝ 時， n2
＜ n ，③錯誤.所以正確的為①④.故選D.
4. 若 p ：存在 x ＜5，使2 x ＋ a ＞0是真命題，則實數 a 的取值范圍
是 .
解析：存在 x ＜5，使2 x ＋ a ＞0，即存在 x ＜5，使 a ＞－2 x ，所以
a ＞－10.
{ a ｜ a ＞－10}　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 將“ x2＋ y2≥2 xy ”改寫成全稱量詞命題，下列說法正確的是（　?。?br/>A. 對任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy
B. 存在 x ， y ∈R，使 x2＋ y2≥2 xy
C. 對任意 x ＞0， y ＞0，都有 x2＋ y2≥2 xy
D. 存在 x ＜0， y ＜0，使 x2＋ y2≥2 xy
解析：　“ x2＋ y2≥2 xy ”是指對任意 x ， y ∈R都有 x2＋ y2≥2 xy
成立，故選項A正確.
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2. 命題“有些實數的絕對值是正數”的否定是（　　）
A. x ∈R，｜ x ｜＞0 B. x ∈R，｜ x ｜＞0
C. x ∈R，｜ x ｜≤0 D. x ∈R，｜ x ｜≤0
解析：　由詞語“有些”知原命題為存在量詞命題，故其否定為
全稱量詞命題，然后再否定結論，所以選C.
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3. 設非空集合 P ， Q 滿足 P ∩ Q ＝ P ，則（　?。?br/>A. x ∈ Q ，有 x ∈ P B. x Q ，有 x P
C. x Q ，使得 x ∈ P D. x ∈ P ，使得 x Q
解析：　∵ P ∩ Q ＝ P ，∴ P Q ，如圖，
∴A錯誤；B正確；C錯誤；D錯誤.故選B.
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4. 有下列命題：① x ∈R， ＋1＞0；② x ∈N， x2＞0；③ x
∈N， x ∈[－3，－1）.其中真命題的個數為（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
解析：　對于①， x ∈R， ≥0，則 ＋1＞0，①是真
命題；
對于②，因 x ＝0時， x ∈N， x2＝0，②是假命題；
對于③，因 x ∈N， x ≥0，即 x [－3，－1），③是假命題.
所以真命題的序號是①，共1個.故選A.
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5. （多選）下列命題錯誤的是（　?。?br/>A. x ∈{－1，1}，2 x ＋1＞0
B. x ∈Q， x2＝3
C. x ∈R， x2－1＞0
D. x ∈N，｜ x ｜≤0
解析：ABC　對于A， x ＝－1時，不合題意，A錯誤；
對于B， x ＝± ，B錯誤；
對于C，比如 x ＝0時，－1＜0，C錯誤；
D選項正確.故選A、B、C.
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6. 給出下列命題，①存在 a ， b ∈R，使得 a2＋ b2－2 a －2 b ＋2＜0；
②任何實數都有算術平方根；③某些四邊形不存在外接圓；④ x ，
y ∈R，都有 x2＋｜ y ｜＞0.
其中正確命題的序號為 .
解析：①是假命題，因為對任意的 a ， b ∈R，都有 a2＋ b2－2 a －2
b ＋2＝（ a －1）2＋（ b －12）≥0；
②是假命題，例如－4沒有算術平方根；
③是真命題，因為只有對角互補的四邊形有外接圓；
④為假命題，當 x ＝ y ＝0時， x2＋｜ y ｜＝0.
③
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7. 能夠說明“設 x ， y ， z 是任意實數.若 x ＞ y ＞ z ，則 x ＞ y ＋ z ”是假
命題的一組整數 x ， y ， z 的值依次為 .
解析：由題意，整數 x ， y ， z 滿足 x ＞ y ＞ z ，但不滿足 x ＞ y ＋ z ，
所以 x ， y ， z 的值依次可以為3，2，1.
3，2，1（答案不唯一）　
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8. 已知命題 p ：“ x ≥3，使得2 x －1≥ m ”是真命題，則實數 m 的最
大值是 .
解析：當 x ≥3時，2 x ≥6 2 x －1≥5，因為“ x ≥3，使得2 x －
1≥ m ”是真命題，所以 m ≤5.
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9. 寫出下列命題的否定，并判斷真假：
（1）正方形都是菱形；
解：命題的否定：正方形不都是菱形，是假命題.
（2） x ∈R，使4 x －3＞ x ；
解：命題的否定： x ∈R，有4 x －3≤ x .因為當 x ＝2時，4×2－3＝5＞2，所以“ x ∈R，有4 x －3≤ x ”是假命題.
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（3） x ∈R，有 x ＋1＝2 x ；
解：命題的否定： x ∈R，使 x ＋1≠2 x .因為當 x ＝2時， x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“ x ∈R，使 x ＋1≠2 x ”是真命題.
（4）集合 A 是集合 A ∩ B 或集合 A ∪ B 的子集.
解：命題的否定：集合 A 既不是集合 A ∩ B 的子集也不是集合 A ∪ B 的子集，是假命題.
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10. 已知 a ＞0，函數 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，若 m 滿足關于 x 的方程2 ax ＋ b
＝0，當 x ＝ m 時的函數值記為 M ，則下列選項中的命題為假命題
的是（　?。?br/>A. x ∈R， ax2＋ bx ＋ c ≤ M
B. x ∈R， ax2＋ bx ＋ c ≥ M
C. x ∈R， ax2＋ bx ＋ c ≤ M
D. x ∈R， ax2＋ bx ＋ c ≥ M
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解析：　方程2 ax ＋ b ＝0的解為 m ＝－ .由當 x ＝ m 時的函數值
記為 M 知A、B為真命題；
∵ a ＞0，∴函數 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝－ ＝ m 處取得最小值.
∴ M 是函數 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的最小值，因此D為真命題，C為假命
題.故選C.
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11. 若命題“ x ∈R， x2＋3≤ m ”為假命題，則滿足條件的一個自然
數 m 的值為 .
解析：因為 x2＋3≥3，又命題 “ x ∈R， x3＋3≤ m ”為假命題，
所以 m ＜3，因為 m 為自然數，所以 m 為0，1，2都可以.
2（答案不唯一）　
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12. 已知命題 p ： 1≤ x ≤3，都有 m ≥ x ，命題 q ： 1≤ x ≤3，使 m ≥
x ，若命題 p 為真命題，命題 q 的否定為假命題，求實數 m 的取值
范圍.
解：因為 q 為假命題，所以 q 為真命題，
命題 p ： 1≤ x ≤3，都有 m ≥ x ， 為真命題，則 m ≥ xmax，即 m
≥3.
命題 q ： 1≤ x ≤3，使 m ≥ x ，為真命題，則 m ≥ xmin，即 m ≥1.
因為命題 p ， q 同時為真命題，所以解得 m ≥3，
故實數 m 的取值范圍是[3，＋∞）.
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13. 某中學開展小組合作學習模式，高一某班某組小王同學給組內小
李同學出題如下：若命題“ x ∈R，函數 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的圖象在
x 軸的下方”是假命題，求 m 范圍.小李略加思索，反手給了小王一
道題：若命題“ x ∈R，函數 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的圖象在 x 軸的上方
或 x 軸上”是真命題，求 m 范圍.你認為，兩位同學題中 m 的范圍是
否一致？ .（填“是”“否”中的一種）
是　
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解析：∵命題“ x ∈R，函數 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的圖象在 x 軸的
下方”的否定是“ x ∈R，函數 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的圖象在 x 軸
的上方或 x 軸上”.而命題“ x ∈R，函數 y ＝ x2＋2 x ＋ m 的圖
象在 x 軸的下方”是假命題，則其否定“ x ∈R，函數 y ＝ x2
＋2 x ＋ m 的圖象在 x 軸的上方或 x 軸上”為真命題.∴兩位同學
題中 m 的范圍是一致的.
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14. 從兩個符號“ ”“ ”中任選一個補充在下面的問題中，并完成
下面的問題.
已知集合 A ＝{ x ｜5≤ x ≤6}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，若
命題： 　 　 x ∈ A ，則 x ∈ B 是真命題，求 m 的取值范圍.
注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.
解：由已知集合 A ＝{ x ｜5≤ x ≤6}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －
1}.
若選 ，則“ x ∈ A ，則 x ∈ B ”是真命題，則 A B ，
所以≤ m ≤4.
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若選 ，則 p ：“ x ∈ A ，則 x ∈ B ”是真命題，
若 p 即“ x ∈ A ，則 x B ”為真命題，則 m ＋1＞2 m －1或
或
解得 m ＜3，或 m ＞5，故若 p 為真，只需3≤ m ≤5.
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