資源簡介

1.2.3　充分條件、必要條件
1.若a為實數，則“a＜1”是“＞1”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
2.使x＞1成立的一個充分條件是（　　）
A.x＞0 B.x＞2
C.x＜0 D.x＜2
3.設x∈R，則“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的（　　）
A.必要不充分條件
B.充分不必要條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
4.若關于x的不等式｜x－1｜＜a成立的充分條件是0＜x＜4，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（－∞，1] B.（－∞，1）
C.（3，＋∞） D.[3，＋∞）
5.（多選）對任意實數a，b，c，給出下列命題，其中為真命題是（　　）
A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件
B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件
C.“a＜5”是“a＜3”的必要條件
D.“a＋5是無理數”是“a是無理數”的充要條件
6.王大媽在地攤上因為一時貪圖便宜買了劣質商品，非常氣憤的說了句“真是便宜沒好貨”，按照王大媽的理解，“好貨”是“不便宜”的　　　　　　　　條件.
7.設甲、乙、丙是三個命題.如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么丙是甲的　　　　 條件.
8.若“1－m＜x＋m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分條件，則實數m的取值范圍為　　　　.
9.設全集U＝R，集合A＝{x｜m－2＜x＜m＋2，m∈R}，集合B＝{x｜－4＜x＜4}.
（1）當m＝3時，求A∩B，A∪B；
（2）設命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q的充分不必要條件，求實數m的取值范圍.
10.已知p： x∈[3，4），x2－a≥0，則p成立的一個充分不必要條件可以是（　　）
A.a＜9 B.a＞9
C.a＜16 D.a＞16
11.（多選）設計如圖所示的四個電路圖，若p：開關S閉合，q：燈泡L亮，則p是q的充要條件的電路圖是（　　）
12.已知P＝{x｜1≤x≤2}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.
（1）是否存在實數m，使x∈P是x∈S的充分條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（2）是否存在實數m，使x∈P是x∈S的必要條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
13.若實數a，b滿足a≥0，b≥0，且ab＝0，則稱a與b互補，記φ（a，b）＝－a－b，那么φ（a，b）＝0是a與b互補的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
14.已知a，b，c均為實數，證明“ac＜0”是“關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根”的充要條件.
1.2.3　充分條件、必要條件
1.B　由＞1得0＜a＜1，
則“a＜1”是“＞1”的必要不充分條件，故選B.
2.B　根據充分條件的定義，由x＞2可以得出x＞1，B正確；
若x＞0，取x＝，無法得到x＞1，A錯誤；C顯然錯誤；
若x＜2，取x＝，無法得到x＞1，D錯誤.故選B.
3.B　“1＜x＜2” “1＜x＜3”，反之不成立.
∴“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的充分不必要條件.故選B.
4.D　｜x－1｜＜a成立的充分條件是0＜x＜4，則a＞0，｜x－1｜＜a 1－a＜x＜1＋a，所以 a≥3.故選D.
5.CD　對于A，因為“a＝b”時ac＝bc成立，ac＝bc，c＝0時，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要條件，故A錯；對于B，a＝－1，b＝－2，a＞b時，a2＜b2；a＝－2，b＝1，a2＞b2時，a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要條件，故B錯；對于C，因為“a＜3”時一定有“a＜5”成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要條件，C正確；對于D“a＋5是無理數”是“a是無理數”的充要條件，D正確.
6.充分不必要　解析：“便宜沒好貨”的另一種理解是“好貨不便宜”，而“好貨不便宜”是真命題.
所以“好貨” “不便宜”，
所以“好貨”是“不便宜”的充分不必要條件.
7.充分不必要　解析：∵甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，
∴乙 甲，丙 乙，乙推不出丙，∴丙 甲，且甲不能推出丙，
∴丙是甲的充分不必要條件.
8.（1，＋∞）　解析：不等式0＜＜1的解集為（－1，1），不等式1－m＜x＋m＜2m的解集為（1－2m，m），
因為“1－m＜x＋m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分條件，
所以（－1，1） （1－2m，m），所以或解得m＞1，所以實數m的取值范圍為（1，＋∞）.
9.解：（1）當m＝3時，A＝{x｜1＜x＜5}，
∴A∩B＝{x｜1＜x＜4}，A∪B＝{x｜－4＜x＜5}.
（2）若p是q的充分不必要條件，則A是B的真子集，
∴或
解得：－2≤m≤2，
∴實數m的取值范圍是[－2，2].
10.A　當p真時，a≤x2在區間[3，4）上恒成立，所以a≤9，所以p成立的一個充分不必要條件可以是a＜9.故選A.
11.BD　由題知，電路圖A中，開關S閉合，燈泡L亮，而燈泡L亮開關S不一定閉合，故A中p是q的充分不必要條件；電路圖B中，開關S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開關S一定閉合，故B中p是q的充要條件；電路圖C中，開關S閉合，燈泡L不一定亮，燈泡L亮則開關S一定閉合，故C中p是q的必要不充分條件；電路圖D中，開關S閉合則燈泡L亮，燈泡L亮則一定有開關S閉合，故D中p是q的充要條件.故選B、D.
12.解：（1）要使x∈P是x∈S的充分條件，需使P S，即解得m≥1，所以存在實數m≥1，使x∈P是x∈S的充分條件.
（2）要使x∈P是x∈S的必要條件，需使S P.
當S＝ 時，1－m＞1＋m，解得m＜0，滿足題意；
當S≠ 時，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S P，則有解得m≤0，所以m＝0.
綜上可得，當實數m≤0時，x∈P是x∈S的必要條件.
13.C　φ（a，b）＝－a－b＝0，得＝a＋b，∴ab＝0，故a，b至少有一個為0，
不妨設a＝0，由＝a＋b得＝b，于是b≥0，同理可得a≥0，故a與b互補；
反之若a與b互補，則a≥0，b≥0且ab＝0，
不妨設a＝0，則φ（a，b）＝－a－b＝－b＝b－b＝0，即φ（a，b）＝0.
綜上：φ（a，b）＝0是a與b互補的充要條件.故選C.
14.證明：若ac＜0成立，則關于x的方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac＞0，且兩根之積＜0，
所以關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根成立，即充分性成立，
反之，若關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根成立，則兩根之積＜0，
所以ac＜0成立，即必要性成立，
綜上，“ac＜0”是“關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根”的充要條件.
2 / 21.2.3　充分條件、必要條件
新課程標準解讀 核心素養
1.理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系 數學抽象、邏輯推理
2.理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系 數學抽象、邏輯推理
3.理解充要條件的意義，理解數學定義與充要條件的關系 數學抽象、邏輯推理
某居民的臥室里安有一盞燈，在臥室門口和床頭各有一個開關，任意一個開關都能夠獨立控制這盞燈，這就是電器上常用的“雙刀”開關，如圖所示.
【問題】　（1）A開關閉合時B燈一定亮嗎？
（2）B燈亮時A開關一定閉合嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　充分條件與必要條件
命題真假 “如果p，那么q”是真命題 “如果p，那么q”是假命題
推出關系 p　　q p　　 q
條件關系 p是q的　　　條件，q是p的　　　條件 p不是q的　　　條件，q不是p的　　　條件
【想一想】
在邏輯推理中p q能表達成哪幾種說法？
知識點二　充要條件
　如果　　　，且　　　，就記作　　　.此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們就說p是q的　　　　　　條件，簡稱為充要條件.
【想一想】
1.若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題，這種說法對嗎？
2.“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區別在哪里？
1.“x，y∈Q”是“xy∈Q”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0的根”的　　　 　條件（填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一個）
題型一 充分、必要、充要條件的判斷
【例1】　（1）設a∈R，則“a＞1”是“a2＞a”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
（2）“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
（3）“x＜2”是“＜0”的（　　）
A.充要條件
B.必要不充分條件
C.充分不必要條件
D.既不充分也不必要條件
嘗試解答
通性通法
　　充分、必要、充要條件的判斷方法
（1）定義法：若p q，q / p，則p是q的充分不必要條件；
若p / q，q p，則p是q的必要不充分條件；
若p q，q p，則p是q的充要條件；
若p / q，q / p，則p是q的既不充分也不必要條件.
（2）集合法：對于集合A＝{x｜x滿足條件p}，B＝{x｜x滿足條件q}，具體情況如下：
若A B，則p是q的充分條件；
若A B，則p是q的必要條件；
若A＝B，則p是q的充要條件；
若A B，則p是q的充分不必要條件；
若A B，則p是q的必要不充分條件.
【跟蹤訓練】
1.已知函數f（x）＝x2－4x－2，則“x＝3”是“f（x）＝－5”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.（多選）下列選項中p是q的必要條件的是（　　）
A.p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B.p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C.p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形
D.p：a≠0，q：關于x的方程ax＝1有唯一解
題型二 充分條件、必要條件、充要條件的探求
【例2】　（1）不等式x（x－2）＜0成立的一個必要不充分條件是（　　）
A.x∈（0，2）　　　　　 B.x∈[－1，＋∞）
C.x∈（0，1） D.x∈（1，3）
（2）函數y＝ax2＋2x＋1（a≠0）的圖象與x軸的交點，一個在原點的左側，一個在原點的右側的充分不必要條件是（　　）
A.a＜0 B.a＞0
C.a＜－1 D.a＞1
（3）在平面直角坐標系中，點（x，1－x）在第一象限的充要條件是　　　　.
嘗試解答
通性通法
　　探求充分條件、必要條件、充要條件問題時，首先應確定“條件”與“結論”，再尋找“結論”成立的條件，其解題的通法是先推導出“結論”成立的充要條件，將充要條件“放大”即得“結論”的必要不充分條件，將充要條件“縮小”即得“結論”的充分不必要條件.
【跟蹤訓練】
1.“x－1＞0”成立的一個必要不充分條件的是（　　）
A.x＞1　　　　　　　　 B.x＞2
C.x＜3 D.x＞0
2.（多選）使a∈R，｜a｜＜4成立的充分不必要條件可以是（　　）
A.a＜4 B.｜a｜＜3
C.－4＜a＜4 D.0＜a＜3
題型三 充要條件的證明
【例3】　已知a＋b≠0，證明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.
嘗試解答
通性通法
充要條件的證明思路
（1）在證明有關充要條件的問題時，通常從“充分性”和“必要性”兩個方面來證明.在證明時，要注意：若證明“p的充要條件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若證明“p是q的充要條件”，則與之相反；
（2）證明充要條件問題，其實質就是證明一個命題的原命題和其逆命題都成立.若不易直接證明，可根據命題之間的關系進行等價轉換，然后加以證明.
提醒　證明時一定要注意證明的方向性，分清充分性與必要性的證明方向.
【跟蹤訓練】
證明：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
題型四 利用充分條件、必要條件求參數的范圍
【例4】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.
嘗試解答
【母題探究】
1.（變條件）若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”，其他條件不變，求實數m的取值范圍.
2.（變設問）本例中p，q不變，是否存在實數m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
通性通法
充分條件與必要條件的應用技巧
（1）應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題；
（2）求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式（組）進行求解.
【跟蹤訓練】
1.“x≥a”是“x≥2”的必要不充分條件，則a的取值范圍為（　　）
A.（3，＋∞） B.（－∞，2）
C.（－∞，2] D.[0，＋∞）
2.設p：m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）；q：1≤x≤3.若q是p的充分條件，則實數m的取值范圍為　　　　.
1.若a，b∈R，則“a＝b”是“a2＝b2”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.a＜0，b＜0的一個必要條件為（　　）
A.＞1 B.＜－1
C.a＋b＜0 D.a－b＞0
3.（多選）下列四個命題中為真命題的是（　　）
A.“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要條件
B.“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條件
C.關于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有實數根的充要條件是Δ＝b2－4ac≥0
D.若集合A B，則x∈A是x∈B的充分不必要條件
4.設p：0＜x＜a（a＞0），q：x＜8－3a，若q是p的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是　　　.
1.2.3　充分條件、必要條件
【基礎知識·重落實】
知識點一
　 　 /　充分　必要　充分　必要
想一想
　提示：以下5種說法：①“若p，則q”為真命題；②p是q的充分條件；③q是p的必要條件；④q的充分條件是p；⑤p的必要條件是q.
知識點二
　p q　q p　p q　充分必要
想一想
1.提示：正確.若p是q的充要條件，則p q，即p等價于q.
2.提示：①p是q的充要條件說明p是條件，q是結論.
②p的充要條件是q說明q是條件，p是結論.
自我診斷
1.A　若x，y∈Q，則xy∈Q，x，y∈Q是xy∈Q的充分條件，反之，若xy∈Q，不一定推出x，y∈Q，如當x＝y＝時，x，y Q，xy＝2∈Q.所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分不必要條件.故選A.
2.B　由“－3＜x＜4”不能推出“－2＜x≤3”，但是由“－2＜x≤3”能推出“－3＜x＜4”，故“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的必要不充分條件.故選B.
3.充要　解析：因為x2－2x＋1＝0，所以x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0的根”的充要條件.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）A　（2）B　（3）A　解析：（1）由a2＞a得a＞1或a＜0，反之，由a＞1得a2＞a，則“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要條件，故選A.
（2）由兩個三角形全等可得：兩個三角形面積相等.反之不成立.即“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的必要不充分條件.故選B.
（3）由＜0得x－2＜0得x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要條件，故選A.
跟蹤訓練
1.A　顯然f（3）＝－5，但由x2－4x－2＝－5可以得出x＝3或x＝1，所以“x＝3”是“f（x）＝－5”的充分不必要條件.故選A.
2.CD　對于A，p：3x＋2＞5 x＞1，q：－2x－3＞－5 x＜1，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要條件；
對于B，p：a＞2，b＜2 q：a＞b；當a＝1，b＝0時，滿足a＞b但q推不出p，故p是q的充分不必要條件；
對于C，若“兩條對角線互相垂直平分”成立推不出“四邊形是正方形”；
反之，若“四邊形是正方形”成立 “兩條對角線互相垂直平分”成立，故p是q的必要條件；
對于D，p：a≠0 q：關于x的方程ax＝1有唯一解，故p是q的充分必要條件.故選C、D.
【例2】　（1）B　（2）C　（3）0＜x＜1　解析：（1）∵x（x－2）＜0的解集為（0，2），且（0，2） [－1，＋∞），∴“x∈[－1，＋∞）”是“不等式x（x－2）＜0成立”的一個必要不充分條件.
（2）∵函數圖象一定過（0，1）點，∴函數圖象與x軸的兩個交點在原點左、右兩側各一個的充要條件為a＜0.結合選項知，充分不必要條件是a＜－1.故選C.
（3）由題意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1.
跟蹤訓練
1.D　因為x－1＞0 x＞1，所以A為“x－1＞0”成立的充要條件；B為“x－1＞0”成立的充分不必要條件；C為“x－1＞0”成立的既不充分也不必要條件；D為“x－1＞0”成立的必要不充分條件.故選D.
2.BD　由｜a｜＜4可得a的集合是（－4，4），
A.由（－4，4） （－∞，4），所以a＜4是｜a｜＜4成立的一個必要不充分條件；
B.由（－3，3） （－4，4），所以｜a｜＜3是｜a｜＜4成立的一個充分不必要條件；
C.由（－4，4）＝（－4，4），所以－4＜a＜4是｜a｜＜4成立的一個充要條件；
D.由（0，3） （－4，4），所以0＜a＜3是｜a｜＜4成立的一個充分不必要條件.故選B、D.
【例3】　證明：充分性：
若a＋b＝1，
則a2＋b2－a－b＋2ab＝（a＋b）2－（a＋b）＝1－1＝0，即充分性成立.
必要性：
若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，則（a＋b）2－（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b－1）＝0.
∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，
即必要性成立.
綜上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.
跟蹤訓練
　證明：先證充分性：
由a＋b＋c＝0可得c＝－a－b，所以ax2＋bx＋c＝0可化為ax2＋bx－a－b＝0，即（x－1）（ax＋a＋b）＝0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1.
再證必要性：
方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，所以x＝1滿足ax2＋bx＋c＝0，所以a＋b＋c＝0.
綜上，關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
【例4】　解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因為p是q的必要不充分條件，
所以q是p的充分不必要條件，
即{x｜1－m≤x≤1＋m} {x｜－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，所以實數m的取值范圍為{m｜0＜m≤3}.
母題探究
1.解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因為p是q的充分不必要條件，
設p代表的集合為A，q代表的集合為B，所以A B.
所以或
解得m≥9.
即實數m的取值范圍是{m｜m≥9}.
2.解：因為p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
若p是q的充要條件，則方程組無解.
故不存在實數m，使得p是q的充要條件.
跟蹤訓練
1.B　由題意得，{x｜x≥2}是{x｜x≥a}的真子集，故a＜2.故選B.
2.　解析：p所對集合為：{x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，q所對集合為：{x｜1≤x≤3}，
因q是p的充分條件，則必有{x｜1≤x≤3} {x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，
于是得解得－≤m≤0，所以實數m的取值范圍為－≤m≤0.
隨堂檢測
1.A　由a2＝b2可得，a＝b或a＝－b，∴“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要條件.故選A.
2.C　a＜0，b＜0 a＋b＜0，反之不成立.
3.AC　{x｜x＞2} {x｜x＜3}且{x｜x＜3} {x｜x＞2}，所以A正確；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的充分不必要條件，故B錯誤；
一元二次方程有實根則Δ≥0，反之亦然，故C正確；
當集合A＝B時，為充要條件，故D不正確.故選A、C.
4.（0，2]　解析：因為q是p的必要不充分條件，所以 0＜a≤2.
4 / 5(共68張PPT)
1.2.3　
充分條件、必要條件
新課程標準解讀 核心素養
1.理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件
的關系 數學抽象、邏輯
推理
2.理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件
的關系 數學抽象、邏輯
推理
3.理解充要條件的意義，理解數學定義與充要條件
的關系 數學抽象、邏輯
推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
某居民的臥室里安有一盞燈，在臥室門口和床頭各有一個開關，
任意一個開關都能夠獨立控制這盞燈，這就是電器上常用的“雙刀”
開關，如圖所示.
【問題】　（1） A 開關閉合時 B 燈一定亮嗎？
（2） B 燈亮時 A 開關一定閉合嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　充分條件與必要條件
命題真
假 “如果 p ，那么 q ”是真
命題 “如果 p ，那么 q ”是假命題
推出關
系 p q p q
條件關
系 p 是 q 的 條件，
q 是 p 的 條件 p 不是 q 的 條件， q 不
是 p 的 條件
　
/　
充分　
必要　
充分　
必要　
【想一想】
在邏輯推理中 p q 能表達成哪幾種說法？
提示：以下5種說法：①“若 p ，則 q ”為真命題；② p 是 q 的充分條
件；③ q 是 p 的必要條件；④ q 的充分條件是 p ；⑤ p 的必要條件是 q .
知識點二　充要條件
　如果 ，且 ，就記作 .此時， p 既是 q 的
充分條件，也是 q 的必要條件，我們就說 p 是 q 的 條件，
簡稱為充要條件.
p q 　
q p 　
p q 　
充分必要　
【想一想】
1. 若 p 是 q 的充要條件，則命題 p 和 q 是兩個相互等價的命題，這種說
法對嗎？
提示：正確.若 p 是 q 的充要條件，則 p q ，即 p 等價于 q .
2. “ p 是 q 的充要條件”與“ p 的充要條件是 q ”的區別在哪里？
提示：① p 是 q 的充要條件說明 p 是條件， q 是結論.
② p 的充要條件是 q 說明 q 是條件， p 是結論.
1. “ x ， y ∈Q”是“ xy ∈Q”的（　　）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解析：　若 x ， y ∈Q，則 xy ∈Q， x ， y ∈Q是 xy ∈Q的充分條
件，反之，若 xy ∈Q，不一定推出 x ， y ∈Q，如當 x ＝ y ＝ 時，
x ， y Q， xy ＝2∈Q. 所以“ x ， y ∈Q”是“ xy ∈Q”的充分不必
要條件.故選A.
2. “－3＜ x ＜4”是“－2＜ x ≤3”的（　　）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解析：　由“－3＜ x ＜4”不能推出“－2＜ x ≤3”，但是由“－
2＜ x ≤3”能推出“－3＜ x ＜4”，故“－3＜ x ＜4”是“－2＜ x
≤3”的必要不充分條件.故選B.
3. “ x ＝1”是“ x2－2 x ＋1＝0的根”的 條件（填充分不必
要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一個）
解析：因為 x2－2 x ＋1＝0，所以 x ＝1，所以“ x ＝1”是“ x2－2 x
＋1＝0的根”的充要條件.
充要
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 充分、必要、充要條件的判斷
【例1】　（1）設 a ∈R，則“ a ＞1”是“ a2＞ a ”的（　A　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：由 a2＞ a 得 a ＞1或 a ＜0，反之，由 a ＞1得 a2＞ a ，則“ a ＞
1”是“ a2＞ a ”的充分不必要條件，故選A.
（2）“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的（　B　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：由兩個三角形全等可得：兩個三角形面積相等.反之不成
立.即“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的必要不
充分條件.故選B.
（3）“ x ＜2”是“ ＜0”的（　A　）
A. 充要條件
B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：由 ＜0得 x －2＜0得 x ＜2，即“ x ＜2”是“ ＜0”
的充要條件，故選A.
通性通法
充分、必要、充要條件的判斷方法
（1）定義法：若 p q ， q / p ，則 p 是 q 的充分不必要條件；
若 p / q ， q p ，則 p 是 q 的必要不充分條件；
若 p q ， q p ，則 p 是 q 的充要條件；
若 p / q ， q / p ，則 p 是 q 的既不充分也不必要條件.
（2）集合法：對于集合 A ＝{ x ｜ x 滿足條件 p }， B ＝{ x ｜ x 滿足條件
q }，具體情況如下：
若 A B ，則 p 是 q 的充分條件；
若 A B ，則 p 是 q 的必要條件；
若 A ＝ B ，則 p 是 q 的充要條件；
若 A B ，則 p 是 q 的充分不必要條件；
若 A B ，則 p 是 q 的必要不充分條件.
【跟蹤訓練】
1. 已知函數 f （ x ）＝ x2－4 x －2，則“ x ＝3”是“ f （ x ）＝－5”的
（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：　顯然 f （3）＝－5，但由 x2－4 x －2＝－5可以得出 x
＝3或 x ＝1，所以“ x ＝3”是“ f （ x ）＝－5”的充分不必要
條件.故選A.
2. （多選）下列選項中 p 是 q 的必要條件的是（　　）
A. p ：3 x ＋2＞5， q ：－2 x －3＞－5
B. p ： a ＞2， b ＜2， q ： a ＞ b
C. p ：四邊形的兩條對角線互相垂直平分， q ：四邊形是正方形
D. p ： a ≠0， q ：關于 x 的方程 ax ＝1有唯一解
解析：　對于A， p ：3 x ＋2＞5 x ＞1， q ：－2 x －3＞－5 x
＜1，∴ p 推不出 q ， q 推不出 p ， p 是 q 既不充分也不必要條件；
對于B， p ： a ＞2， b ＜2 q ： a ＞ b ；當 a ＝1， b ＝0時，滿足 a ＞
b 但 q 推不出 p ，故 p 是 q 的充分不必要條件；
對于C，若“兩條對角線互相垂直平分”成立推不出“四邊形是正
方形”；
反之，若“四邊形是正方形”成立 “兩條對角線互相垂直平分”
成立，故 p 是 q 的必要條件；
對于D， p ： a ≠0 q ：關于 x 的方程 ax ＝1有唯一解，故 p 是 q 的充
分必要條件.故選C、D.
題型二 充分條件、必要條件、充要條件的探求
【例2】　（1）不等式 x （ x －2）＜0成立的一個必要不充分條件是
（　B　）
A. x ∈（0，2） B. x ∈[－1，＋∞）
C. x ∈（0，1） D. x ∈（1，3）
解析：∵ x （ x －2）＜0的解集為（0，2），且（0，2） [－1，＋
∞），∴“ x ∈[－1，＋∞）”是“不等式 x （ x －2）＜0成立”的一
個必要不充分條件.
（2）函數 y ＝ ax2＋2 x ＋1（ a ≠0）的圖象與 x 軸的交點，一個在原點
的左側，一個在原點的右側的充分不必要條件是（　C　）
A. a ＜0 B. a ＞0
C. a ＜－1 D. a ＞1
解析：∵函數圖象一定過（0，1）點，∴函數圖象與 x 軸的兩個
交點在原點左、右兩側各一個的充要條件為 a ＜0.結合選項知，
充分不必要條件是 a ＜－1.故選C.
（3）在平面直角坐標系中，點（ x ，1－ x ）在第一象限的充要條件
是 .
解析：由題意，可得 x ＞0，且1－ x ＞0，∴0＜ x ＜1.
0＜ x ＜1　
通性通法
　　探求充分條件、必要條件、充要條件問題時，首先應確定
“條件”與“結論”，再尋找“結論”成立的條件，其解題的通
法是先推導出“結論”成立的充要條件，將充要條件“放大”即
得“結論”的必要不充分條件，將充要條件“縮小”即得“結
論”的充分不必要條件.
【跟蹤訓練】
1. “ x －1＞0”成立的一個必要不充分條件的是（　　）
A. x ＞1 B. x ＞2
C. x ＜3 D. x ＞0
解析：　因為 x －1＞0 x ＞1，所以A為“ x －1＞0”成立的充要
條件；B為“ x －1＞0”成立的充分不必要條件；C為“ x －1＞0”
成立的既不充分也不必要條件；D為“ x －1＞0”成立的必要不充
分條件.故選D.
2. （多選）使 a ∈R，｜ a ｜＜4成立的充分不必要條件可以是
（　　）
A. a ＜4 B. ｜ a ｜＜3
C. －4＜ a ＜4 D. 0＜ a ＜3
解析：　由｜ a ｜＜4可得 a 的集合是（－4，4），
A. 由（－4，4） （－∞，4），所以 a ＜4是｜ a ｜＜4成立的一個
必要不充分條件；
B. 由（－3，3） （－4，4），所以｜ a ｜＜3是｜ a ｜＜4成立的
一個充分不必要條件；
C. 由（－4，4）＝（－4，4），所以－4＜ a ＜4是｜ a ｜＜4成立的
一個充要條件；
D. 由（0，3） （－4，4），所以0＜ a ＜3是｜ a ｜＜4成立的一個
充分不必要條件.故選B、D.
題型三 充要條件的證明
【例3】　已知 a ＋ b ≠0，證明： a2＋ b2－ a － b ＋2 ab ＝0成立的充要
條件是 a ＋ b ＝1.
證明：充分性：
若 a ＋ b ＝1，則 a2＋ b2－ a － b ＋2 ab ＝（ a ＋ b ）2－（ a ＋ b ）＝1－
1＝0，即充分性成立.
必要性：
若 a2＋ b2－ a － b ＋2 ab ＝0，則（ a ＋ b ）2－（ a ＋ b ）＝（ a ＋
b ）·（ a ＋ b －1）＝0.
∵ a ＋ b ≠0，∴ a ＋ b －1＝0，
即必要性成立.
綜上， a2＋ b2－ a － b ＋2 ab ＝0成立的充要條件是 a ＋ b ＝1.
通性通法
充要條件的證明思路
（1）在證明有關充要條件的問題時，通常從“充分性”和“必要
性”兩個方面來證明.在證明時，要注意：若證明“ p 的充要條
件是 q ”，那么“充分性”是 q p ，“必要性”是 p q ；若證
明“ p 是 q 的充要條件”，則與之相反；
（2）證明充要條件問題，其實質就是證明一個命題的原命題和其逆
命題都成立.若不易直接證明，可根據命題之間的關系進行等價
轉換，然后加以證明.
提醒　證明時一定要注意證明的方向性，分清充分性與必要性
的證明方向.
【跟蹤訓練】
證明：關于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一個根為1的充要條件是 a ＋ b
＋ c ＝0.
證明：先證充分性：
由 a ＋ b ＋ c ＝0可得 c ＝－ a － b ，所以 ax2＋ bx ＋ c ＝0可化為 ax2＋ bx
－ a － b ＝0，即（ x －1）（ ax ＋ a ＋ b ）＝0，所以方程 ax2＋ bx ＋ c
＝0有一個根為1.
再證必要性：
方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一個根為1，所以 x ＝1滿足 ax2＋ bx ＋ c ＝0，所
以 a ＋ b ＋ c ＝0.
綜上，關于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一個根為1的充要條件是 a ＋ b
＋ c ＝0.
題型四 利用充分條件、必要條件求參數的范圍
【例4】　已知 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0），若
p 是 q 的必要不充分條件，求實數 m 的取值范圍.
解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
因為 p 是 q 的必要不充分條件，
所以 q 是 p 的充分不必要條件，
即{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m } { x ｜－2≤ x ≤10}，
故有
解得 m ≤3.
又 m ＞0，所以實數 m 的取值范圍為{ m ｜0＜ m ≤3}.
【母題探究】
1. （變條件）若本例中“ p 是 q 的必要不充分條件”改為“ p 是 q 的充
分不必要條件”，其他條件不變，求實數 m 的取值范圍.
解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
因為 p 是 q 的充分不必要條件，
設 p 代表的集合為 A ， q 代表的集合為 B ，所以 A B .
所以解得 m ≥9.
即實數 m 的取值范圍是{ m ｜ m ≥9}.
2. （變設問）本例中 p ， q 不變，是否存在實數 m 使 p 是 q 的充要條
件？若存在，求出 m 的值；若不存在，說明理由.
解：因為 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
若 p 是 q 的充要條件，則方程組無解.
故不存在實數 m ，使得 p 是 q 的充要條件.
通性通法
充分條件與必要條件的應用技巧
（1）應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求
參數的值或取值范圍問題；
（2）求解步驟：先把 p ， q 等價轉化，利用充分條件、必要條件與集
合間的包含關系，建立關于參數的不等式（組）進行求解.
【跟蹤訓練】
1. “ x ≥ a ”是“ x ≥2”的必要不充分條件，則 a 的取值范圍為
（　　）
A. （3，＋∞） B. （－∞，2）
C. （－∞，2] D. [0，＋∞）
解析：　由題意得，{ x ｜ x ≥2}是{ x ｜ x ≥ a }的真子集，故 a ＜2.
故選B.
2. 設 p ： m ＋1≤ x ≤2 m ＋4（ m ∈R）； q ：1≤ x ≤3.若 q 是 p 的充分
條件，則實數 m 的取值范圍為 .
解析： p 所對集合為：{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m ＋4（ m ∈R）}， q 所對
集合為：{ x ｜1≤ x ≤3}，
因 q 是 p 的充分條件，則必有{ x ｜1≤ x ≤3} { x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m
＋4（ m ∈R）}，
于是得解得－ ≤ m ≤0，
所以實數 m 的取值范圍為－ ≤ m ≤0.
　
1. 若 a ， b ∈R，則“ a ＝ b ”是“ a2＝ b2”的（　　）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解析：　由 a2＝ b2可得， a ＝ b 或 a ＝－ b ，∴“ a ＝ b ”是“ a2＝
b2”的充分不必要條件.故選A.
2. a ＜0， b ＜0的一個必要條件為（　　）
A. ＞1 B. ＜－1
C. a ＋ b ＜0 D. a － b ＞0
解析：　 a ＜0， b ＜0 a ＋ b ＜0，反之不成立.
3. （多選）下列四個命題中為真命題的是（　　）
A. “ x ＞2”是“ x ＜3”的既不充分也不必要條件
B. “三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條
件
C. 關于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有實數根的充要條件是Δ＝
b2－4 ac ≥0
D. 若集合 A B ，則 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分不必要條件
解析：　{ x ｜ x ＞2} { x ｜ x ＜3}且{ x ｜ x ＜3} { x ｜ x ＞
2}，所以A正確；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一
定是正三角形，所以“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三
角形”的充分不必要條件，故B錯誤；一元二次方程有實根則
Δ≥0，反之亦然，故C正確；當集合 A ＝ B 時，為充要條件，故
D不正確.故選A、C.
4. 設 p ：0＜ x ＜ a （ a ＞0）， q ： x ＜8－3 a ，若 q 是 p 的必要不充分
條件，則實數 a 的取值范圍是 .
解析：因為 q 是 p 的必要不充分條件，
所以 0＜ a ≤2.
（0，2]　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若 a 為實數，則“ a ＜1”是“ ＞1”的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
解析：　由 ＞1得0＜ a ＜1，
則“ a ＜1”是“ ＞1”的必要不充分條件，故選B.
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2. 使 x ＞1成立的一個充分條件是（　　）
A. x ＞0 B. x ＞2
C. x ＜0 D. x ＜2
解析：　根據充分條件的定義，由 x ＞2可以得出 x ＞1，B正確；
若 x ＞0，取 x ＝ ，無法得到 x ＞1，A錯誤；C顯然錯誤；若 x ＜2，
取 x ＝ ，無法得到 x ＞1，D錯誤.故選B.
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3. 設 x ∈R，則“1＜ x ＜2”是“1＜ x ＜3”的（　　）
A. 必要不充分條件
B. 充分不必要條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
解析：　“1＜ x ＜2” “1＜ x ＜3”，反之不成立.
∴“1＜ x ＜2”是“1＜ x ＜3”的充分不必要條件.故選B.
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4. 若關于 x 的不等式｜ x －1｜＜ a 成立的充分條件是0＜ x ＜4，則實數
a 的取值范圍是（　　）
A. （－∞，1] B. （－∞，1）
C. （3，＋∞） D. [3，＋∞）
解析：　｜ x －1｜＜ a 成立的充分條件是0＜ x ＜4，則 a ＞0，｜ x
－1｜＜ a 1－ a ＜ x ＜1＋ a ，所以 a ≥3.故選D.
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5. （多選）對任意實數 a ， b ， c ，給出下列命題，其中為真命題是
（　　）
A. “ a ＝ b ”是“ ac ＝ bc ”的充要條件
B. “ a ＞ b ”是“ a2＞ b2”的充分條件
C. “ a ＜5”是“ a ＜3”的必要條件
D. “ a ＋5是無理數”是“ a 是無理數”的充要條件
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解析：　對于A，因為“ a ＝ b ”時 ac ＝ bc 成立， ac ＝ bc ， c ＝
0時， a ＝ b 不一定成立，所以“ a ＝ b ”是“ ac ＝ bc ”的充分不必
要條件，故A錯；對于B， a ＝－1， b ＝－2， a ＞ b 時， a2＜ b2； a
＝－2， b ＝1， a2＞ b2時， a ＜ b ，所以“ a ＞ b ”是“ a2＞ b2”的
既不充分也不必要條件，故B錯；對于C，因為“ a ＜3”時一定有
“ a ＜5”成立，所以“ a ＜5”是“ a ＜3”的必要條件，C正確；
對于D“ a ＋5是無理數”是“ a 是無理數”的充要條件，D正確.
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6. 王大媽在地攤上因為一時貪圖便宜買了劣質商品，非常氣憤的說了
句“真是便宜沒好貨”，按照王大媽的理解，“好貨”是“不便
宜”的 條件.
解析：“便宜沒好貨”的另一種理解是“好貨不便宜”，而“好貨
不便宜”是真命題.
所以“好貨” “不便宜”，
所以“好貨”是“不便宜”的充分不必要條件.
充分不必要
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7. 設甲、乙、丙是三個命題.如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條
件但不是乙的必要條件，那么丙是甲的 條件.
解析：∵甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件但不是乙的必要
條件，
∴乙 甲，丙 乙，乙推不出丙，∴丙 甲，且甲不能推出丙，
∴丙是甲的充分不必要條件.
充分不必要　
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8. 若“1－ m ＜ x ＋ m ＜2 m ”是“0＜ ＜1”的必要不充分條件，則
實數 m 的取值范圍為 .
解析：不等式0＜ ＜1的解集為（－1，1），不等式1－ m ＜ x ＋
m ＜2 m 的解集為（1－2 m ， m ），因為“1－ m ＜ x ＋ m ＜2 m ”是
“0＜ ＜1”的必要不充分條件，所以（－1，1） （1－2 m ，
m ），所以解得 m ＞1，所
以實數 m 的取值范圍為（1，＋∞）.
（1，＋∞）　
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9. 設全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ m －2＜ x ＜ m ＋2， m ∈R}，集合 B
＝{ x ｜－4＜ x ＜4}.
（1）當 m ＝3時，求 A ∩ B ， A ∪ B ；
解：當 m ＝3時， A ＝{ x ｜1＜ x ＜5}，
∴ A ∩ B ＝{ x ｜1＜ x ＜4}， A ∪ B ＝{ x ｜－4＜ x ＜5}.
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（2）設命題 p ： x ∈ A ，命題 q ： x ∈ B ，若 p 是 q 的充分不必要條
件，求實數 m 的取值范圍.
解：若 p 是 q 的充分不必要條件，則 A 是 B 的真子集，
∴
解得：－2≤ m ≤2，
∴實數 m 的取值范圍是[－2，2].
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10. 已知 p ： x ∈[3，4）， x2－ a ≥0，則 p 成立的一個充分不必要條
件可以是（　　）
A. a ＜9 B. a ＞9
C. a ＜16 D. a ＞16
解析：　當 p 真時， a ≤ x2在區間[3，4）上恒成立，所以 a ≤9，
所以 p 成立的一個充分不必要條件可以是 a ＜9.故選A.
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11. （多選）設計如圖所示的四個電路圖，若 p ：開關S閉合， q ：燈
泡L亮，則 p 是 q 的充要條件的電路圖是（　　）
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解析：　由題知，電路圖A中，開關S閉合，燈泡L亮，而燈泡L
亮開關S不一定閉合，故A中 p 是 q 的充分不必要條件；電路圖B
中，開關S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開關S一定閉合，故B
中 p 是 q 的充要條件；電路圖C中，開關S閉合，燈泡L不一定亮，
燈泡L亮則開關S一定閉合，故C中 p 是 q 的必要不充分條件；電路
圖D中，開關S閉合則燈泡L亮，燈泡L亮則一定有開關S閉合，故D
中 p 是 q 的充要條件.故選B、D.
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12. 已知 P ＝{ x ｜1≤ x ≤2}， S ＝{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m }.
（1）是否存在實數 m ，使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充分條件？若存在，求
出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由；
解：要使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充分條件，需使 P S ，即
解得 m ≥1，所以存在實數 m ≥1，使 x ∈ P 是 x
∈ S 的充分條件.
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（2）是否存在實數 m ，使 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要條件？若存在，求
出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由.
解：要使 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要條件，需使 S P .
當 S ＝ 時，1－ m ＞1＋ m ，解得 m ＜0，滿足題意；
當 S ≠ 時，1－ m ≤1＋ m ，解得 m ≥0，要使 S P ，則有
解得 m ≤0，所以 m ＝0.
綜上可得，當實數 m ≤0時， x ∈ P 是 x ∈ S 的必要條件.
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13. 若實數 a ， b 滿足 a ≥0， b ≥0，且 ab ＝0，則稱 a 與 b 互補，記φ
（ a ， b ）＝ － a － b ，那么φ（ a ， b ）＝0是 a 與 b 互補
的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
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解析：　φ（ a ， b ）＝ － a － b ＝0，得 ＝ a ＋
b ，∴ ab ＝0，故 a ， b 至少有一個為0，
不妨設 a ＝0，由 ＝ a ＋ b 得 ＝ b ，于是 b ≥0，同理可
得 a ≥0，故 a 與 b 互補；
反之若 a 與 b 互補，則 a ≥0， b ≥0且 ab ＝0，
不妨設 a ＝0，則φ（ a ， b ）＝ － a － b ＝ － b ＝ b － b
＝0，即φ（ a ， b ）＝0.
綜上：φ（ a ， b ）＝0是 a 與 b 互補的充要條件.故選C.
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14. 已知 a ， b ， c 均為實數，證明“ ac ＜0”是“關于 x 的方程 ax2＋
bx ＋ c ＝0有一正根和一負根”的充要條件.
證明：若 ac ＜0成立，則關于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的判別式Δ＝
b2－4 ac ＞0，且兩根之積 ＜0，
所以關于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一正根和一負根成立，即充分
性成立，
反之，若關于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一正根和一負根成立，
則兩根之積 ＜0，
所以 ac ＜0成立，即必要性成立，
綜上，“ ac ＜0”是“關于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一正根和一
負根”的充要條件.
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