資源簡介

2.1.1　等式的性質與方程的解集
1.若多項式x2－3x＋a可分解為（x－5）（x－b），則a，b的值是（　　）
A.a＝10，b＝2 B.a＝10，b＝－2
C.a＝－10，b＝－2 D.a＝－10，b＝2
2.（a＋b）2＋8（a＋b）－20分解因式得（　　）
A.（a＋b＋10）（a＋b－2）
B.（a＋b＋5）（a＋b－4）
C.（a＋b＋2）（a＋b－10）
D.（a＋b＋4）（a＋b－5）
3.小明在做作業時，不小心將方程中的一個常數污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么辦呢？小明想了一想便翻看了書后的答案，此方程的解是y＝－3，那么這個常數應是（　　 ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），將余下的部分剪接拼成一個長方形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式為（　　）
A.（a＋2b）（a－b）＝a2＋ab－2b2
B.a2－b2＝（a＋b）（a－b）
C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
D.（a－b）2＝a2－2ab＋b2
5.（多選）若x2＋xy－2y2＝0，則的值可以為（　　 ）
A.－ B.－
C. D.
6.已知x＋1是多項式x2－mx＋3的一個因式，則m＝　　　　.
7.關于x的方程（2x＋3）（2x4－x2－6）＝0的解集為　　　.
8.我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的直角三角形，若a＝2，b＝3，則小正方形的面積是　　　　.
9.用因式分解法求下列方程的解集：
（1）x2－10x＋9＝0；
（2）2（x－3）＝3x（x－3）；
（3）4（3x－2）（x＋1）＝3x＋3；
（4）2（2x－3）2－3（2x－3）＝0；
（5）2x2－16＝x2＋5x＋8；
（6）（3x－1）2＋3（3x－1）＋2＝0.
10.（多選）設A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，B＝{x｜ax＋1＝0}，若A∩B＝B，則實數a的值可以為（　　 ）
A.－ B.0
C.3 D.－
11.一般情況下，＋＝不成立，但也有數可以使它成立，如m＝n＝0.使得＋＝成立的一對數m、n我們稱為“相伴數對”，記為（m，n）.若（x，1）是“相伴數對”，則x的值為　　　　.
12.設a，b∈R，求關于x的方程a2x＝x＋ab－b的解集.
13.小東是一位密碼愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：a－b，a＋b，a2－b2，c－d，c＋d，c2－d2依次對應下列六個字：科、愛、勤、我、理、學，現將（a2－b2）c2－（a2－b2）d2因式分解，其結果呈現的密碼信息可能是（　　）
A.勤學 B.愛科學
C.我愛理科 D.我愛科學
14.如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小長方形，且m＞n.（以上長度單位：cm）
（1）用含m，n的代數式表示圖中所有裁剪線（虛線部分）的長度之和；
（2）觀察圖形，將代數式2m2＋5mn＋2n2因式分解；
（3）若每塊小長方形的面積為10 cm2，四個正方形的面積和為58 cm2，試求（m＋n）2的值.
2.1.1　等式的性質與方程的解集
1.C　因為（x－5）（x－b）＝x2－（5＋b）x＋5b，
所以即
2.A　（a＋b）2＋8（a＋b）－20＝ [（a＋b）－2][（a＋b）＋10]＝（a＋b－2）（a＋b＋10）.
3.D　設所缺的部分為x，則2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故選D.
4.B　圖甲中陰影部分的面積為a2－b2，圖乙中陰影部分面積為（a＋b）（a－b），因為兩個圖形中陰影部分的面積相等，所以a2－b2＝（a＋b）（a－b）.故選B.
5.BD　由x2＋xy－2y2＝0得（x＋2y）（x－y）＝0，得x＝－2y或x＝y，
當x＝－2y時，＝＝－；
當x＝y時，＝＝.故選B、D.
6.－4　解析：由題意，x＋1是多項式x2－mx＋3的一個因式，故x＝－1是方程x2－mx＋3＝0的一個根，代入可得（－1）2＋m＋3＝0，∴m＝－4.
7.　解析：（2x＋3）（2x4－x2－6）＝0可化為（2x＋3）（2x2＋3）（x2－2）＝0，
∵2x2＋3＞0，∴（2x＋3）（x2－2）＝0，解得x1＝－，x2＝，x3＝－
所以方程（2x＋3）（2x4－x2－6）＝0的解集為{－，，－}.
8.1　解析：設小正方形邊長為x，由勾股定理得：（2＋x）2＋（3＋x）2＝（2＋3）2，解得：x＝1，故小正方形的面積為1×1＝1.
9.解：（1）原方程可化為（x－1）（x－9）＝0，所以x＝1或x＝9，
所以該方程的解集為{1，9}.
（2）原方程整理，得（x－3）（2－3x）＝0，
所以x－3＝0或2－3x＝0，
所以x＝3或x＝，
所以該方程的解集為.
（3）原方程可化為4（3x－2）（x＋1）－3（x＋1）＝0，
即（x＋1）（12x－11）＝0，所以x＝－1或x＝，
所以該方程的解集為.
（4）原方程可化為（2x－3）[2（2x－3）－3]＝0，
即（2x－3）（4x－9）＝0，所以x＝或x＝，
所以該方程的解集為.
（5）原方程可化為2x2－x2－5x－16－8＝0，
x2－5x－24＝0，（x－8）（x＋3）＝0，
所以x＝8或x＝－3，
所以該方程的解集為{8，－3}.
（6）原方程可化為[（3x－1）＋1][（3x－1）＋2]＝0，
即3x（3x＋1）＝0，所以x＝0或x＝－，
所以該方程的解集為.
10.ABD　∵A∩B＝B，∴B A，A＝{x｜x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，
當a＝0時，B＝ ，符合題意；
當a≠0時，B＝ ，
要使B A，則－＝3或－＝5，解得a＝－或a＝－.
綜上，a＝0或a＝－或a＝－.故選A、B、D.
11.－　解析：由題意，得＋＝，解得x＝－.
12.解：方程a2x＝x＋ab－b可化為（a2－1）x＝（a－1）b，
當a≠±1時，解集為；
當a＝1，b∈R時，解集為R；
當a＝－1，b＝0時，解集為R；
當a＝－1，b≠0時，解集為 .
13.C　∵（a2－b2）c2－（a2－b2）d2＝（a2－b2）（c2－d2）＝（a＋b）（a－b）（c＋d）（c－d），a－b，a＋b，c－d，c＋d四個代數式分別對應科、愛、我、理，∴結果呈現的密碼信息可能是“我愛理科”.故選C.
14.解：（1）題圖中所有裁剪線（虛線部分）長度之和為2（m＋2n）＋2（2m＋n）＝6m＋6n＝6（m＋n）.
（2）2m2＋5mn＋2n2可以因式分解為（m＋2n）（2m＋n）.
（3）依題意得，2m2＋2n2＝58，mn＝10，∴m2＋n2＝29.
∵（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2，∴（m＋n）2＝29＋20＝49.
2 / 22.1.1　等式的性質與方程的解集
新課程標準解讀 核心素養
掌握等式的性質及常用的恒等式，會用因式分解法解一元二次方程 數學抽象、數學運算
有只狡猾的狐貍平時總喜歡戲弄其他動物，有一天它遇見老虎，狐貍說：“我發現了2和5可以相等.我這里有一個方程5x－2＝2x－2.等式兩邊同時加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，等式兩邊同時除以x，得5＝2”.老虎瞪大了眼睛，一臉的疑惑.
【問題】　你認為狐貍的說法正確嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　等式的性質與方程的解
1.等式的性質
（1）等式的兩邊同時加上　　　　數或代數式，等式仍成立；
（2）等式的兩邊同時乘以同一個　　　　的數或代數式，等式仍成立.
提醒　等式的性質拓展：①a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4 a1＝a2＝a3＝a4；②a＝b c－a＝c－b；③a＝b －a＝－b；④a＝b≠0 ＝.
2.恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取　　　　　　時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式　　　　　　.
提醒　常用重要恒等式：①a2－b2＝（a＋b）（a－b）；②（a±b）2＝a2±2ab＋b2；③a3±b3＝（a±b）·（a2 ab＋b2）；④（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
3.方程的解集
一般地，把一個方程　　　　組成的集合稱為這個方程的解集.
【想一想】
1.若ac＝bc，一定有a＝b嗎？
2.把方程通過適當變換后，求出的未知數的值都是這個方程的解（根）嗎？
1.已知3x＝7y（y≠0），則下列比例式成立的是（　　 ）
A.＝　　　　　　　 B.＝
C.＝ D.＝
2.若m（3x－y2）＝9x2－y4，則m＝　　　　.
3.方程x2＋2x－15＝0的解集為　　　　.
題型一 等式性質的應用
【例1】　已知x＝y， 則下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正確的有（　　 ）
A.①②③　　　　　　 B.④⑤⑥
C.①③⑤ D.②④⑥
嘗試解答
通性通法
　　在等式變形中運用等式的性質時要注意，必須保證等式兩邊同乘以或除以的同一個數是不為零的數，此外，還要注意等式本身隱含的條件.
【跟蹤訓練】
下列運用等式的性質進行的變形中，正確的是（　　 ）
A.如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B.如果a2＝6a，那么a＝6
C.如果a＝b，那么＝
D.如果＝，那么a＝b
題型二 恒等式的化簡
角度1　利用恒等式化簡
【例2】　計算下列各式：
（1）（4＋m）（16－4m＋m2）；
（2）（a＋2）（a－2）（a4＋4a2＋16）；
（3）（x＋1）（x－1）（x2－x＋1）（x2＋x＋1）；
（4）（x2＋2xy＋y2）（x2－xy＋y2）2.
嘗試解答
通性通法
1.在進行代數式的乘法運算時，要觀察代數式的結構是否滿足乘法公式的結構.
2.注意乘法公式的正用、逆用及變形應用.
角度2　十字相乘法分解因式
【例3】　把下列各式因式分解：
（1）6x2＋11x－7；
（2）x＋5－6y（x＞0，y＞0）；
（3）（x＋y）2－z（x＋y）－6z2.
嘗試解答
通性通法
　　對于ax2＋bx＋c，將二次項的系數a分解成a1×a2，常數項c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如圖：，按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次項系數b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成（a1x＋c1）（a2x＋c2）.
【跟蹤訓練】
1.計算下列各式：
（1）（x－3y－4z）2；
（2）（2a＋1－b）2－（a－b）（a＋2b）；
（3）（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a＋b）3；
（4）（a－4b）.
2.因式分解：x3＋6x2＋11x＋6.
題型三 求方程的解集
角度1　求一元一次方程的解集
【例4】　求下列方程的解集：
（1）4－3（10－y）＝5y；
（2）＝－1.
嘗試解答
通性通法
　　解一元一次方程時，有些變形的步驟可能用不到，要根據方程的形式靈活安排求解步驟.
（1）在分子或分母中有小數時，可以化小數為整數.注意根據分數的基本性質，分子、分母必須同時擴大同樣的倍數；
（2）當有多層括號時，應按一定的順序去括號，注意括號外的系數及符號.
角度2　因式分解法解一元二次方程
【例5】　求下列方程的解集：
（1）x（x＋2）＝2x＋4；
（2）16（x－5）2－9（x＋4）2＝0.
嘗試解答
通性通法
因式分解法解一元二次方程的步驟
（1）將方程右邊化為0；
（2）將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；
（3）令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解.
【跟蹤訓練】
1.若x＝－2是關于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一個根，則a的值為（　　 ）
A.1或4　　　 　　 B.－1或－4
C.－1或4 D.1或－4
2.關于x的方程a2x＋1＝b2－x的解集為　　　.
1.計算（3a－2b）2的結果為（　　）
A.9a2＋4b2 B.9a2＋6ab＋4b2
C.9a2－12ab＋4b2 D.9a2－4b2
2.方程－1＝的解集為（　　）
A.－1 B.{－1}
C.8 D.{8}
3.已知關于x的方程＝＋1的解集為 ，則實數a的值為（　　 ）
A.0 B.1
C. D.
4.（多選）下列式子中變形正確的是（　　 ）
A.若3x－1＝2x＋1，則x＝0
B.若＝，則a＝b
C.若＝，則＝
D.若＝，則y＝x
5.已知x－2y＝6，x－3y＝4，則x2－5xy＋6y2的值為　　　 .
2.1.1　等式的性質與方程的解集
【基礎知識·重落實】
知識點
1.（1）同一個　（2）不為零　2.任意實數　兩邊恒等　3.所有解
想一想
1.提示：不一定，當c≠0時，若ac＝bc，則a＝b.
2.提示：把方程通過變換，求出的未知數的值不一定是這個方程的根，也可能是這個方程的增根.
自我診斷
1.B　因為3x＝7y（y≠0），則x≠0，則＝，＝，故B選項正確，A、C、D選項錯誤.故選B.
2.3x＋y2
3.{3，－5}　解析：x2＋2x－15＝0，即（x－3）（x＋5）＝0，所以x＝3或x＝－5.所以方程的解集為{3，－5}.
【典型例題·精研析】
【例1】　C　①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤＝正確，故選C.
跟蹤訓練
　D　選項A，當c≠0時，顯然不成立；
選項B，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，顯然不成立；
選項C，當c＝0時，＝無意義，不成立；
選項D，如果＝，則c≠0，故×c＝×c，即a＝b，成立.故選D.
【例2】　解：（1）原式＝43＋m3＝64＋m3.
（2）原式＝（a2－4）（a4＋4a2＋16）＝（a2）3－43＝a6－64.
（3）法一　原式＝（x2－1）[（x2＋1）2－x2]＝（x2－1）·（x4＋x2＋1）＝x6－1.
法二　原式＝（x＋1）（x2－x＋1）（x－1）（x2＋x＋1）＝（x3＋1）·（x3－1）＝x6－1.
（4）原式＝（x＋y）2（x2－xy＋y2）2＝[（x＋y）（x2－xy＋y2）]2＝（x3＋y3）2＝x6＋2x3y3＋y6.
【例3】　解：（1）由十字相乘法，得：
所以6x2＋11x－7＝（2x－1）（3x＋7）.
（2）原式＝（＋6）（－）.
（3）原式＝（x＋y＋2z）（x＋y－3z）.
跟蹤訓練
1.解：（1）原式＝x2＋9y2＋16z2－6xy－8xz＋24yz.
（2）原式＝4a2＋1＋b2＋4a－4ab－2b－（a2＋ab－2b2）＝3a2－5ab＋3b2＋4a－2b＋1.
（3）原式＝a3＋b3－（a3＋3a2b＋3ab2＋b3）＝－3a2b－3ab2.
（4）原式＝（a－4b）（a2＋4ab＋16b2）＝[a3－（4b）3]＝a3－16b3.
2.解：法一　x3＋6x2＋11x＋6
＝（x3＋3x2）＋（3x2＋9x）＋（2x＋6）
＝x2（x＋3）＋3x（x＋3）＋2（x＋3）
＝（x＋3）（x2＋3x＋2）＝（x＋3）（x＋1）（x＋2）.
法二　x3＋6x2＋11x＋6＝（x3＋3x2）＋（3x2＋11x＋6）①
＝x2（x＋3）＋（x＋3）（3x＋2）＝（x＋3）（x2＋3x＋2）
＝（x＋3）（x＋1）（x＋2）.①可用十字相乘法分解因式
　　　
3×3＋2×1＝11.
【例4】　解：（1）去括號，得4－30＋3y＝5y.
移項，得3y－5y＝30－4.
合并同類項，得－2y＝26.
系數化為1，得y＝－13.
所以該方程的解集為{－13}.
（2）去分母，得2（2x－1）＝（2x＋1）－6.
去括號，得4x－2＝2x＋1－6.
移項，得4x－2x＝1－6＋2.
合并同類項，得2x＝－3.
系數化為1，得x＝－.
所以該方程的解集為.
【例5】　解：（1）原方程可變形為x（x＋2）＝2（x＋2），即 （x－2）（x＋2）＝0，
從而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集為{－2，2}.
（2）利用平方差，將原方程變為[4（x－5）＋3（x＋4）]·[4（x－5）－3（x＋4）]＝0，
整理可得（7x－8）（x－32）＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝或x＝32，
故原方程的解集為.
跟蹤訓練
1.B　∵x＝－2是關于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一個根，∴4＋5a＋a2＝0，∴（a＋1）（a＋4）＝0， 解得a＝－1或a＝－4.
2.　解析：由a2x＋1＝b2－x （a2＋1）x＝b2－1，
解得x＝.
隨堂檢測
1.C　由完全平方公式得，原式＝9a2－12ab＋4b2.
2.B　由題得3（3x－1）－12＝2（5x－7），所以9x－15＝10x－14，解得x＝－1.故選B.
3.C　由＝＋1，得x＝1，因為關于x的方程＝＋1的解集為 ，所以－＝0，得a＝，故選C.
4.CD　對于A選項，兩邊同時減（2x－1），得到x＝2，故A不正確；對于B選項，沒有說明c≠0，故B不正確；對于C選項，在等式兩邊同時乘以a（a≠0），得到＝.故C正確；對于D選項，在等式兩邊同時乘以5得到y＝x，故D正確.故選C、D.
5.24　解析：∵x－2y＝6，x－3y＝4，∴原式＝（x－2y）（x－3y）＝24.
4 / 4(共65張PPT)
2.1.1　
等式的性質與方程的解集
新課程標準解讀 核心素養
掌握等式的性質及常用的恒等式，會用因式分解法
解一元二次方程 數學抽象、數學
運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　有只狡猾的狐貍平時總喜歡戲弄其他動物，有一天它遇見老虎，
狐貍說：“我發現了2和5可以相等.我這里有一個方程5 x －2＝2 x －2.
等式兩邊同時加上2，得5 x －2＋2＝2 x －2＋2，即5 x ＝2 x ，等式兩邊
同時除以 x ，得5＝2”.老虎瞪大了眼睛，一臉的疑惑.
【問題】　你認為狐貍的說法正確嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　等式的性質與方程的解
1. 等式的性質
（1）等式的兩邊同時加上 數或代數式，等式仍成立；
（2）等式的兩邊同時乘以同一個 的數或代數式，等式
仍成立.
提醒　等式的性質拓展：① a1＝ a2， a2＝ a3， a3＝ a4 a1＝ a2
＝ a3＝ a4；② a ＝ b c － a ＝ c － b ；③ a ＝ b － a ＝－ b ；
④ a ＝ b ≠0 ＝ .
同一個　
不為零　
2. 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取 時等式
都成立，則稱其為恒等式，也稱等式 .
提醒　常用重要恒等式：① a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）；②（ a
± b ）2＝ a2±2 ab ＋ b2；③ a3± b3＝（ a ± b ）（ a2 ab ＋ b2）；④
（ a ＋ b ＋ c ）2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ＋2 ac ＋2 bc .
3. 方程的解集
一般地，把一個方程 組成的集合稱為這個方程的解集.
任意實數　
兩邊恒等　
所有解　
【想一想】
1. 若 ac ＝ bc ，一定有 a ＝ b 嗎？
提示：不一定，當 c ≠0時，若 ac ＝ bc ，則 a ＝ b .
2. 把方程通過適當變換后，求出的未知數的值都是這個方程的解
（根）嗎？
提示：把方程通過變換，求出的未知數的值不一定是這個方程的
根，也可能是這個方程的增根.
1. 已知3 x ＝7 y （ y ≠0），則下列比例式成立的是（　　）
解析：　因為3 x ＝7 y （ y ≠0），則 x ≠0，則 ＝ ＝ ，故B
選項正確，A、C、D選項錯誤.故選B.
2. 若 m （3 x － y2）＝9 x2－ y4，則 m ＝ .
3. 方程 x2＋2 x －15＝0的解集為 .
解析： x2＋2 x －15＝0，
即（ x －3）（ x ＋5）＝0，
所以 x ＝3或 x ＝－5.
所以方程的解集為{3，－5}.
3 x ＋ y2　
{3，－5}
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 等式性質的應用
【例1】　已知 x ＝ y ， 則下列各式：① x －3＝ y －3；②4 x ＝6 y ；③
－2 x ＝－2 y ；④ ＝1；⑤ ＝ ；⑥ ＝ .其中正確的有
（　C　）
A. ①②③ B. ④⑤⑥
C. ①③⑤ D. ②④⑥
解析：　① x －3＝ y －3；③－2 x ＝－2 y ；⑤ ＝ 正確，故選C.
通性通法
　　在等式變形中運用等式的性質時要注意，必須保證等式兩邊同乘
以或除以的同一個數是不為零的數，此外，還要注意等式本身隱含的
條件.
【跟蹤訓練】
下列運用等式的性質進行的變形中，正確的是（　　）
A. 如果 a ＝ b ，那么 a ＋ c ＝ b － c
B. 如果 a2＝6 a ，那么 a ＝6
解析：　選項A，當 c ≠0時，顯然不成立；
選項B，如果 a2＝6 a ，那么 a ＝6或 a ＝0，顯然不成立；
選項C，當 c ＝0時， ＝ 無意義，不成立；
選項D，如果 ＝ ，則 c ≠0，故 × c ＝ × c ，即 a ＝ b ，成立.故選D.
題型二 恒等式的化簡
角度1　利用恒等式化簡
【例2】　計算下列各式：
（1）（4＋ m ）（16－4 m ＋ m2）；
（2）（ a ＋2）（ a －2）（ a4＋4 a2＋16）；
解：原式＝43＋ m3＝64＋ m3.
解：原式＝（ a2－4）（ a4＋4 a2＋16）＝（ a2）3－43＝ a6－64.
（3）（ x ＋1）（ x －1）（ x2－ x ＋1）（ x2＋ x ＋1）；
（4）（ x2＋2 xy ＋ y2）（ x2－ xy ＋ y2）2.
解：法一　原式＝（ x2－1）[（ x2＋1）2－ x2]＝（ x2－1）·（ x4＋ x2＋1）＝ x6－1.
法二　原式＝（ x ＋1）（ x2－ x ＋1）（ x －1）（ x2＋ x ＋1）＝（ x3＋1）·（ x3－1）＝ x6－1.
解：原式＝（ x ＋ y ）2（ x2－ xy ＋ y2）2＝[（ x ＋ y ）（ x2－ xy ＋
y2）]2＝（ x3＋ y3）2＝ x6＋2 x3 y3＋ y6.
通性通法
1. 在進行代數式的乘法運算時，要觀察代數式的結構是否滿足乘法公
式的結構.
2. 注意乘法公式的正用、逆用及變形應用.
角度2　十字相乘法分解因式
【例3】　把下列各式因式分解：
（1）6 x2＋11 x －7；
解：由十字相乘法，得：
所以6 x2＋11 x －7＝（2 x －1）（3 x ＋7）.
（2） x ＋5 －6 y （ x ＞0， y ＞0）；
解：原式＝（ ＋6 － ）.
（3）（ x ＋ y ）2－ z （ x ＋ y ）－6 z2.
解：原式＝（ x ＋ y ＋2 z ）（ x ＋ y －3 z ）.
通性通法
　　對于 ax2＋ bx ＋ c ，將二次項的系數 a 分解成 a1× a2，常數項 c 分解
成 c1× c2，并且把 a1， a2， c1， c2排列如圖： ，按斜線交叉相
乘，再相加，就得到 a1 c2＋ a2 c1，如果它正好等于 ax2＋ bx ＋ c 的一次
項系數 b ，那么 ax2＋ bx ＋ c 就可以分解成（ a1 x ＋ c1）（ a2 x ＋ c2）.
【跟蹤訓練】
1. 計算下列各式：
（1）（ x －3 y －4 z ）2；
解：原式＝ x2＋9 y2＋16 z2－6 xy －8 xz ＋24 yz .
（2）（2 a ＋1－ b ）2－（ a － b ）（ a ＋2 b ）；
解：原式＝4 a2＋1＋ b2＋4 a －4 ab －2 b －（ a2＋ ab －2
b2）＝3 a2－5 ab ＋3 b2＋4 a －2 b ＋1.
（3）（ a ＋ b ）（ a2－ ab ＋ b2）－（ a ＋ b ）3；
解：原式＝ a3＋ b3－（ a3＋3 a2 b ＋3 ab2＋ b3）＝－3 a2 b－3 ab2.
（4）（ a －4 b ） .
解：原式＝ （ a －4 b ）（ a2＋4 ab ＋16 b2）＝ [ a3－（4 b ）3]＝ a3－16 b3.
2. 因式分解： x3＋6 x2＋11 x ＋6.
解：法一　 x3＋6 x2＋11 x ＋6
＝（ x3＋3 x2）＋（3 x2＋9 x ）＋（2 x ＋6）
＝ x2（ x ＋3）＋3 x （ x ＋3）＋2（ x ＋3）
＝（ x ＋3）（ x2＋3 x ＋2）
＝（ x ＋3）（ x ＋1）（ x ＋2）.
法二　 x3＋6 x2＋11 x ＋6
＝（ x3＋3 x2）＋（3 x2＋11 x ＋6）①
＝ x2（ x ＋3）＋（ x ＋3）（3 x ＋2）
＝（ x ＋3）（ x2＋3 x ＋2）
＝（ x ＋3）（ x ＋1）（ x ＋2）.
①可用十字相乘法分解因式
3×3＋2×1＝11.
題型三 求方程的解集
角度1　求一元一次方程的解集
【例4】　求下列方程的解集：
（1）4－3（10－ y ）＝5 y ；
解：去括號，得4－30＋3 y ＝5 y .
移項，得3 y －5 y ＝30－4.
合并同類項，得－2 y ＝26.
系數化為1，得 y ＝－13.
所以該方程的解集為{－13}.
（2） ＝ －1.
解：去分母，得2（2 x －1）＝（2 x ＋1）－6.
去括號，得4 x －2＝2 x ＋1－6.
移項，得4 x －2 x ＝1－6＋2.
合并同類項，得2 x ＝－3.
系數化為1，得 x ＝－ .
所以該方程的解集為 .
通性通法
　　解一元一次方程時，有些變形的步驟可能用不到，要根據方程的
形式靈活安排求解步驟.
（1）在分子或分母中有小數時，可以化小數為整數.注意根據分數的
基本性質，分子、分母必須同時擴大同樣的倍數；
（2）當有多層括號時，應按一定的順序去括號，注意括號外的系數
及符號.
角度2　因式分解法解一元二次方程
【例5】　求下列方程的解集：
（1） x （ x ＋2）＝2 x ＋4；
解：原方程可變形為 x （ x ＋2）＝2（ x ＋2），即 （ x －2）·（ x ＋2）＝0，
從而 x ＋2＝0或 x －2＝0，所以 x ＝－2或 x ＝2，方程的解集為
{－2，2}.
（2）16（ x －5）2－9（ x ＋4）2＝0.
解：利用平方差，將原方程變為[4（ x －5）＋3（ x ＋4）]·[4（ x －5）－3（ x ＋4）]＝0，
整理可得（7 x －8）（ x －32）＝0，所以7 x －8＝0或 x －32＝
0，所以 x ＝ 或 x ＝32，
故原方程的解集為 .
通性通法
因式分解法解一元二次方程的步驟
（1）將方程右邊化為0；
（2）將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；
（3）令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解.
【跟蹤訓練】
1. 若 x ＝－2是關于 x 的一元二次方程 x2－ ax ＋ a2＝0的一個根，則 a
的值為（　　）
A. 1或4 B. －1或－4
C. －1或4 D. 1或－4
解析：　∵ x ＝－2是關于 x 的一元二次方程 x2－ ax ＋ a2＝0的一
個根，∴4＋5 a ＋ a2＝0，
∴（ a ＋1）（ a ＋4）＝0，
解得 a ＝－1或 a ＝－4.
2. 關于 x 的方程 a2 x ＋1＝ b2－ x 的解集為 .
解析：由 a2 x ＋1＝ b2－ x （ a2＋1） x ＝ b2－1，
解得 x ＝ .
　
1. 計算（3 a －2 b ）2的結果為（　　）
A. 9 a2＋4 b2
B. 9 a2＋6 ab ＋4 b2
C. 9 a2－12 ab ＋4 b2
D. 9 a2－4 b2
解析：　由完全平方公式得，原式＝9 a2－12 ab ＋4 b2.
2. 方程 －1＝ 的解集為（　　）
A. －1 B. {－1}
C. 8 D. {8}
解析：　由題得3（3 x －1）－12＝2（5 x －7），所以9 x －15＝10
x －14，解得 x ＝－1.故選B.
3. 已知關于 x 的方程 ＝ ＋1的解集為 ，則實數 a 的值為（　　）
A. 0 B. 1
解析：　由 ＝ ＋1，得 x ＝1，因為關于 x 的方程 ＝
＋1的解集為 ，所以 － ＝0，得 a ＝ ，故選C.
4. （多選）下列式子中變形正確的是（　　）
A. 若3 x －1＝2 x ＋1，則 x ＝0
解析：　對于A選項，兩邊同時減（2 x －1），得到 x ＝2，故A
不正確；對于B選項，沒有說明 c ≠0，故B不正確；對于C選項，在
等式兩邊同時乘以 a （ a ≠0），得到 ＝ .故C正確；對于D選項，
在等式兩邊同時乘以5得到 y ＝ x ，故D正確.故選C、D.
5. 已知 x －2 y ＝6， x －3 y ＝4，則 x2－5 xy ＋6 y2的值為 .
解析：∵ x －2 y ＝6， x －3 y ＝4，∴原式＝（ x －2 y ）·（ x －3 y ）
＝24.
24
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若多項式 x2－3 x ＋ a 可分解為（ x －5）（ x － b ），則 a ， b 的值是
（　　）
A. a ＝10， b ＝2 B. a ＝10， b ＝－2
C. a ＝－10， b ＝－2 D. a ＝－10， b ＝2
解析：　因為（ x －5）（ x － b ）＝ x2－（5＋ b ） x ＋5 b ，
所以
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2. （ a ＋ b ）2＋8（ a ＋ b ）－20分解因式得（　　）
A. （ a ＋ b ＋10）（ a ＋ b －2）
B. （ a ＋ b ＋5）（ a ＋ b －4）
C. （ a ＋ b ＋2）（ a ＋ b －10）
D. （ a ＋ b ＋4）（ a ＋ b －5）
解析：　（ a ＋ b ）2＋8（ a ＋ b ）－20＝ [（ a ＋ b ）－2][（ a ＋
b ）＋10]＝（ a ＋ b －2）（ a ＋ b ＋10）.
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3. 小明在做作業時，不小心將方程中的一個常數污染了看不清楚，被
污染的方程是2 y －1＝ y －●，怎么辦呢？小明想了一想便翻看了書
后的答案，此方程的解是 y ＝－3，那么這個常數應是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　設所缺的部分為 x ，則2 y －1＝ y － x ，把 y ＝－3代入，
求得 x ＝4.故選D.
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4. 在邊長為 a 的正方形中挖去一個邊長為 b 的小正方形（ a ＞ b ）（如
圖甲），將余下的部分剪接拼成一個長方形（如圖乙），根據兩個
圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式為（　　）
A. （ a ＋2 b ）（ a － b ）＝ a2＋ ab －2 b2
B. a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）
C. （ a ＋ b ）2＝ a2＋2 ab ＋ b2
D. （ a － b ）2＝ a2－2 ab ＋ b2
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解析：　圖甲中陰影部分的面積為 a2－ b2，圖乙中陰影部分面積
為（ a ＋ b ）（ a － b ），因為兩個圖形中陰影部分的面積相等，所
以 a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）.故選B.
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5. （多選）若 x2＋ xy －2 y2＝0，則 的值可以為（　　）
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解析：　由 x2＋ xy －2 y2＝0得（ x ＋2 y ）（ x － y ）＝0，得 x ＝
－2 y 或 x ＝ y ，
當 x ＝－2 y 時， ＝ ＝－ ；
當 x ＝ y 時， ＝ ＝ .故選B、D.
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6. 已知 x ＋1是多項式 x2－ mx ＋3的一個因式，則 m ＝ .
解析：由題意， x ＋1是多項式 x2－ mx ＋3的一個因式，故 x ＝－1是
方程 x2－ mx ＋3＝0的一個根，代入可得（－1）2＋ m ＋3＝0，∴ m
＝－4.
－4
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7. 關于 x 的方程（2 x ＋3）（2 x4－ x2－6）＝0的解集為 .
解析：（2 x ＋3）（2 x4－ x2－6）＝0可化為（2 x ＋3）·（2 x2＋3）
（ x2－2）＝0，∵2 x2＋3＞0，∴（2 x ＋3）·（ x2－2）＝0，解得 x1
＝－ ， x2＝ ， x3＝－ 所以方程（2 x ＋3）（2 x4－ x2－6）＝
0的解集為 .
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8. 我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股
形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形.后人借助這種分割
方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的直角三角形，若 a ＝
2， b ＝3，則小正方形的面積是 .
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解析：設小正方形邊長為 x ，由勾股定理得：（2＋ x ）2＋（3＋ x ）2＝（2＋3）2，解得： x ＝1，故小正方形的面積為1×1＝1.
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9. 用因式分解法求下列方程的解集：
（1） x2－10 x ＋9＝0；
解：原方程可化為（ x －1）（ x －9）＝0，所以 x ＝1或
x ＝9，所以該方程的解集為{1，9}.
（2）2（ x －3）＝3 x （ x －3）；
解：原方程整理，得（ x －3）（2－3 x ）＝0，
所以 x －3＝0或2－3 x ＝0，所以 x ＝3或 x ＝ ，
所以該方程的解集為 .
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（3）4（3 x －2）（ x ＋1）＝3 x ＋3；
解：原方程可化為4（3 x －2）（ x ＋1）－3（ x ＋1）＝0，
即（ x ＋1）（12 x －11）＝0，所以 x ＝－1或 x ＝ ，
所以該方程的解集為 .
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（4）2（2 x －3）2－3（2 x －3）＝0；
解：原方程可化為（2 x －3）[2（2 x －3）－3]＝0，
即（2 x －3）（4 x －9）＝0，所以 x ＝ 或 x ＝ ，
所以該方程的解集為 .
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（5）2 x2－16＝ x2＋5 x ＋8；
解：原方程可化為2 x2－ x2－5 x －16－8＝0，
x2－5 x －24＝0，（ x －8）（ x ＋3）＝0，
所以 x ＝8或 x ＝－3，
所以該方程的解集為{8，－3}.
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（6）（3 x －1）2＋3（3 x －1）＋2＝0.
解：原方程可化為[（3 x －1）＋1][（3 x －1）＋2]＝0，
即3 x （3 x ＋1）＝0，所以 x ＝0或 x ＝－ ，
所以該方程的解集為 .
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10. （多選）設 A ＝{ x ｜ x2－8 x ＋15＝0}， B ＝{ x ｜ ax ＋1＝0}，若 A
∩ B ＝ B ，則實數 a 的值可以為（　　）
B. 0
C. 3
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解析：　∵ A ∩ B ＝ B ，∴ B A ， A ＝{ x ｜ x2－8 x ＋15＝0}
＝{3，5}，當 a ＝0時， B ＝ ，符合題意；當 a ≠0時， B ＝
，要使 B A ，則－ ＝3或－ ＝5，解得 a ＝－ 或 a ＝－ .
綜上， a ＝0或 a ＝－ 或 a ＝－ .故選A、B、D.
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11. 一般情況下， ＋ ＝ 不成立，但也有數可以使它成立，如
m ＝ n ＝0.使得 ＋ ＝ 成立的一對數 m 、 n 我們稱為“相伴
數對”，記為（ m ， n ）.若（ x ，1）是“相伴數對”，則 x 的值
為 .
解析：由題意，得 ＋ ＝ ，解得 x ＝－ .
－ 　
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12. 設 a ， b ∈R，求關于 x 的方程 a2 x ＝ x ＋ ab － b 的解集.
解：方程 a2 x ＝ x ＋ ab － b 可化為（ a2－1） x ＝（ a －1） b ，
當 a ≠±1時，解集為 ；
當 a ＝1， b ∈R時，解集為R；
當 a ＝－1， b ＝0時，解集為R；
當 a ＝－1， b ≠0時，解集為 .
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13. 小東是一位密碼愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息： a －
b ， a ＋ b ， a2－ b2， c － d ， c ＋ d ， c2－ d2依次對應下列六個字：
科、愛、勤、我、理、學，現將（ a2－ b2） c2－（ a2－ b2） d2因式
分解，其結果呈現的密碼信息可能是（　　）
A. 勤學 B. 愛科學
C. 我愛理科 D. 我愛科學
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解析：　∵（ a2－ b2） c2－（ a2－ b2） d2＝（ a2－ b2）·（ c2－
d2）＝（ a ＋ b ）（ a － b ）（ c ＋ d ）（ c － d ）， a － b ， a ＋ b ，
c － d ， c ＋ d 四個代數式分別對應科、愛、我、理，∴結果呈現的
密碼信息可能是“我愛理科”.故選C.
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14. 如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是
邊長都為 m 的大正方形，兩塊是邊長都為 n 的小正方形，五塊是長
為 m ，寬為 n 的全等小長方形，且 m ＞ n .（以上長度單位：cm）
（1）用含 m ， n 的代數式表示圖中所有裁剪線（虛線部分）的長
度之和；
解：題圖中所有裁剪線（虛線部分）長度之和為2（ m ＋2 n ）＋2（2 m ＋ n ）＝6 m ＋6 n ＝6（ m ＋ n ）.
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（2）觀察圖形，將代數式2 m2＋5 mn ＋2 n2因式分解；
解：2 m2＋5 mn ＋2 n2可以因式分解為
（ m ＋2 n ）·（2 m ＋ n ）.
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（3）若每塊小長方形的面積為10 cm2，四個正方形的面積和為58
cm2，試求（ m ＋ n ）2的值.
解：依題意得，2 m2＋2 n2＝58， mn ＝
10，∴ m2＋ n2＝29.
∵（ m ＋ n ）2＝ m2＋2 mn ＋ n2，∴（ m ＋
n ）2＝29＋20＝49.
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