資源簡介

2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數的關系
1.一元二次方程x2＝3x的解集是（　　）
A.{0} B.{3}
C.{－3} D.{0，3}
2.若a，b是方程x2＋x－3＝0的兩個實數根，則a2－b＋2 024的值是（　　 ）
A.2 025 B.2 026
C.2 027 D.2 028
3.方程＝解集為單元素集，那么該方程的解集可以是（　　 ）
A.{1} B.{2}
C.{3} D.{4}
4.已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋a＝0的兩個實數根，且＋＝12，則a的值是（　　 ）
A.a＝3
B.a＝－2
C.a＝3或a＝－2
D.a＝－3或a＝2
5.（多選）方程（x2－4）＝0的解可以是（　　 ）
A.x＝－2 B.x＝－
C.x＝ D.x＝2
6.若關于x的一元二次方程3x2＋mx－8＝0有一個根是，則實數m＝　　　.
7.若m＋n＝3，m2＋n2＝5，則以實數m、n為根的一個一元二次方程是　　　　　　　　.
8.已知關于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有實數根，并且兩根的平方和比兩根之積大21，則實數m的值為　　　　　　 　.
9.已知關于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有實數根.
（1）求k的取值范圍；
（2）若此方程的兩個實數根x1，x2滿足＋＝11，求k的值.
10.設m∈R，若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分不必要條件，則實數m的值為（　　 ）
A.－ B.1
C.－或1 D.－1或
11.集合{x｜（a－2）x2＋3x－1＝0，x∈R}有且僅有兩個子集，則a＝　　　　　　.
12.在學習解一元二次方程之后，對于某些不是一元二次方程的方程，我們也可通過變形將其轉化為一元二次方程來解.例如：方程：x2－3｜x｜＋2＝0.
其解法為：設｜x｜＝y，則原方程可化為：y2－3y＋2＝0（y≥0）.
解得：y1＝1，y2＝2.
當y＝1時，｜x｜＝1，∴x＝±1；
當y＝2時，｜x｜＝2，∴x＝±2.
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“換元法”.
請用“換元法”解決下列問題：
（1）解方程：x4－10x2＋9＝0；
（2）若實數x滿足x2＋－3x－＝2，求x＋的值.
13.已知一元二次方程mx2－2x＋m＋3＝0有兩個正實根，則實數m的取值范圍是　　　　 　.
14.已知關于x的方程x2－（2k＋1）x＋4＝0.
（1）求證：無論k取何值，這個方程總有實數根；
（2）若等腰△ABC的一邊長a＝4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.
2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數的關系
1.D　∵x2＝3x，∴x2－3x＝0，∴x（x－3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，故選D.
2.D　因為a，b是方程x2＋x－3＝0的兩個實數根，
所以a2＋a－3＝0，a＋b＝－1，
兩式相減，得a2－b＝4，所以a2－b＋2 024＝4＋2 024＝2 028. 故選D.
3.A　由題意可知x≠－1且x≠0，則原方程可化為x＝，得x2－2x－m＝0，
由題意可得Δ＝4＋4m＝0，解得m＝－1，故原方程為x2－2x＋1＝0，解得x＝1.故選A.
4.B　由題意得Δ＝（2a）2－4（a2＋a）≥0且解得a≤0，
又＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－2a）2－2（a2＋a）＝12，解得a＝－2或a＝3（舍）.故選B.
5.CD　由題意，方程（x2－4）＝0，則x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝，
又由2x－1≥0，解得x≥，
所以方程（x2－4）＝0的解為x＝2或x＝.故選C、D.
6.10　解析：因為一元二次方程3x2＋mx－8＝0有一個根是，所以3×＋m×－8＝0，解得m＝10.
7.x2－3x＋2＝0（答案不唯一）　解析：因為m＋n＝3，所以（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2＝9，因為m2＋n2＝5，所以mn＝2，根據兩根之和為3，兩根之積為2，故可以寫出實數m、n為根的一個一元二次方程為x2－3x＋2＝0.
8.－1　解析：設方程的兩個實數根為x1，x2，
則x1＋x2＝2（2－m），x1x2＝m2＋4，
根據這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21，
即＋－x1x2＝（x1＋x2）2－3x1x2＝4（2－m）2－3（m2＋4）＝21，解得m＝17或m＝－1，
另由根的判別式可得Δ＝4（m－2）2－4（m2＋4）＝－16m≥0，故m≤0，所以m＝－1.
9.解：（1）因為關于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有實數根.
所以Δ≥0，
即[－（2k－1）]2－4×1×（k2＋k－1）＝－8k＋5≥0，
解得k≤.
所以k的取值范圍為.
（2）由題知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
所以＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（2k－1）2－2（k2＋k－1）＝2k2－6k＋3.
因為＋＝11，所以2k2－6k＋3＝11，即k2－3k－4＝0，
解得k＝4或k＝－1，
因為k≤，所以k＝－1.
10.A　由題意可知，x＝2是m2x2－（m＋3）x＋4＝0的解，但不是唯一的解，
因此4m2－2（m＋3）＋4＝0，解得m＝1或m＝－.
當m＝1時，x＝2是x2－4x＋4＝0唯一的解，故不滿足題意；
當m＝－時， 則x2－x＋4＝0，即x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝8，滿足題意.綜上所述，m＝－.故選A.
11.2或－　解析：∵集合{x｜（a－2）x2＋3x－1＝0，x∈R}有且僅有兩個子集，
∴方程（a－2）x2＋3x－1＝0只有一個根，
∴當a＝2時，x＝，成立；
當a≠2時，Δ＝9＋4（a－2）＝0即a＝－，方程只有一個根，
∴a＝2或a＝－.
12.解：（1）設x2＝a，則原方程可化為a2－10a＋9＝0（a≥0），
即（a－1）（a－9）＝0，
解得：a＝1或a＝9，
當a＝1時，x2＝1，∴x＝±1；
當a＝9時，x2＝9，∴x＝±3.
∴原方程的解集是{1，－1，3，－3}.
（2）設x＋＝y，
則原方程可化為y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，
∴（y＋1）（y－4）＝0，
解得：y＝－1或y＝4，
即x＋＝－1（方程無解，舍去）或x＋＝4，
故x＋＝4.
13.0＜m≤　解析：設兩個正實數根分別為x1，x2，
則 0＜m≤.
14.解：（1）證明：∵Δ＝（2k＋1）2－16＝4k2－12k＋9＝（2k－3）2≥0，
所以無論k取何值，關于x的方程x2－（2k＋1）x＋4＝0總有實數根.
（2）△ABC為等腰三角形，可能有兩種情況：
①b或c中至少有一個等于a＝4，即：方程x2－（2k＋1）x＋4＝0有一根為4，
則42－4（2k＋1）＋4＝10－4k＝0，解得k＝.
方程為x2－6x＋8＝0，另一根為2，此時△ABC周長為a＋b＋c＝10；
②b＝c時，Δ＝（2k＋1）2－16＝4k2－12k＋9＝（2k－3）2＝0，解得k＝，
方程為x2－4x＋4＝0，得b＝c＝2，則b＋c＝a，此時不能構成三角形.
綜上，△ABC的周長為10.
2 / 22.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數的關系
新課程標準解讀 核心素養
1.能利用判別式Δ的值判定一元二次方程根的個數 數學運算
2.會利用一元二次方程根與系數的關系進行計算求值及求參數的取值范圍 數學運算
　　今天是小芳的生日，她的4個小伙伴約好為她舉辦一個生日晚會，鄰居張叔叔路過晚會現場，想了解一下他們的年齡.小芳說：我是最小的，我們5個的年齡從小到大依次恰好相差1歲.小明說：我們中較大的兩個的年齡的平方和恰好等于較小的三個人的年齡的平方和.張叔叔說：“我可以算出小芳的年齡了”.
【問題】　張叔叔是怎樣算出小芳年齡的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　一元二次方程的解集
一般地，Δ＝　　　　稱為一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判別式.
（1）當Δ＞0時，方程的解集為　　　　　；
（2）當Δ＝0時，方程的解集為　　　　　；
（3）當Δ＜0時，方程的解集為　　　　　.
【想一想】
對于方程ax2＋bx＋c＝0，Δ＞0時一定有兩不相等的解嗎？
知識點二　一元二次方程根與系數的關系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集不是空集，設x1，x2是該一元二次方程的兩個根，則x1＋x2＝　　　，x1x2＝　　　　.
提醒　一元二次方程根與系數的關系是以一元二次方程有兩個實數根為前提條件的.利用根與系數的關系解答問題時，只有在Δ≥0的前提下才有意義，所以求得的參數的值要代入Δ＝b2－4ac來驗證.
1.方程2x2－5x＋3＝0的根的情況是（　　）
A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根
C.無實數根 D.無法確定
2.已知m，n是方程2x2－x－2＝0的兩個實數根，則＋的值為（　　）
A.－1　　　　　　　　 B.
C.－ D.1
3.若關于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是　　　　.
題型一 一元二次方程解集的求法
角度1　直接開平方法
【例1】　用直接開平方法求下列一元二次方程的解集：
（1）4y2－25＝0；
（2）3x2－x＝15－x.
嘗試解答
通性通法
應用直接開平方法求一元二次方程解集的主要步驟
（1）化為x2＝p（p≥0）的形式；
（2）直接開平方；
（3）解兩個一元一次方程，寫出方程的兩個根；
（4）總結寫成解集的形式.
角度2　配方法
【例2】　用配方法求下列方程的解集：
（1）x2＋4x－1＝0；
（2）4x2＋8x＋1＝0.
嘗試解答
通性通法
　　利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），先把二次項系數變為1，即方程兩邊都除以a，然后把常數項移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項系數一半的平方，把方程的一邊配方化為一個完全平方式，另一邊化為非負數，然后用直接開平方法求解（若另一邊為負數，則此方程無實數根）.
角度3　公式法
【例3】　用公式法求下列方程的解集：
（1）x2－4x＋10＝0；
（2）x2＋x＋＝0.
嘗試解答
通性通法
　　利用公式法解一元二次方程時，首先將方程化為一般形式，找出二次項系數，一次項系數及常數項，計算b2－4ac的值；當b2－4ac≥0時，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后總結寫出解集.
【跟蹤訓練】
求下列方程的解集：
（1）2x2＋5x＝3；
（2）2x4－7x2＋3＝0；
（3）＋－1＝0.
題型二 一元二次方程根的判別式
【例4】　不解方程，判斷下列一元二次方程的解集情況：
（1）3x2－2x－1＝0；
（2）2x2－x＋1＝0；
（3）4x－x2＝x2＋2.
嘗試解答
通性通法
　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判別式Δ＝b2－4ac.當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程沒有實數根.
【跟蹤訓練】
1.不解方程，判斷關于x的方程2x2－（2m＋1）x＋（m2＋1）＝0的解集情況是（　　 ）
A. 　　　　　　　　 B.非空集
C.單元素集合 D.二元集
2.若關于x的方程ax2＋2（a＋1）x＋4＝0的解集為單元素集合，則（　　 ）
A.a＝0 B.a＝1
C.a＝0或a＝1 D.a≠0且a≠1
題型三 一元二次方程根與系數的關系
角度1　直接應用根與系數的關系進行計算
【例5】　（鏈接教科書第52頁例2）已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的兩根分別是x1，x2，請利用根與系數的關系求：
（1）＋；（2）＋.
嘗試解答
通性通法
　　在求含有一元二次方程兩根的代數式的值時，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用.在計算時，要先根據原方程求出兩根之和與兩根之積，再將代數式變形為局部含有兩根之和與兩根之積的形式，然后代入求值.
常見變形還有：
（1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；
（2）｜x1－x2｜＝＝.
角度2　求字母系數的值或范圍
【例6】　已知關于x的方程x2－（k＋1）x＋k2＋1＝0，根據下列條件，求出k的值.
（1）方程兩實根的積為5；
（2）方程的兩實根x1，x2，滿足｜x1｜＝x2.
嘗試解答
通性通法
　　利用一元二次方程根與系數的關系求待定字母的值時，務必注意根與系數的關系的應用前提條件，即Δ≥0.
【跟蹤訓練】
1.若關于x的方程x2－6x＋2＝0的兩根分別是x1，x2，則＋＝（　　 ）
A.6 B.7
C.8 D.9
2.若a，b為實數，關于x的方程ax2＋abx＋b＝0的解集為{－1，3}，則a＋b＝　　　.
1.方程4（1－x）2＝1的解集是（　　 ）
A. B.
C. D.
2.下列一元二次方程中，解集為空集的是（　　 ）
A.x2－2x＝0
B.x2＋4x－1＝0
C.2x2－4x＋3＝0
D.3x2＝5x－2
3.關于x的方程x2－（m＋6）x＋m2＝0有兩個相等的實數根，且滿足x1＋x2＝x1x2，則m的值是（　　）
A.－2或3　　　　　　　B.3
C.－2 D.－3或2
4.（多選）關于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下說法正確的是（　　 ）
A.當m＝0時，方程只有一個實數根
B.當m＝1時，方程有兩個相等的實數根
C.當m＝－1時，方程沒有實數根
D.當m＝2時，方程有兩個不相等的實數根
5.已知α，β是關于x的方程x2－2mx＋m2－4＝0（m∈R）的兩個根，則｜α－β｜＝ 　　　.
2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數的關系
【基礎知識·重落實】
知識點一
　b2－4ac　（1）
（2）　（3）
想一想
　提示：不一定.
知識點二
　－　
自我診斷
1.A　∵Δ＝（－5）2－4×2×3＝1＞0，∴方程2x2－5x＋3＝0有兩個不相等的實數根.故選A.
2.C　因為m，n是方程2x2－x－2＝0的兩個實數根，所以m＋n＝，mn＝－1，所以＋＝＝＝－.故選C.
3.（－∞，4]　解析：因為一元二次方程x2＋4x＋k＝0有兩個實數根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）移項，得4y2＝25.
兩邊都除以4，得y2＝.
解得y1＝，y2＝－，
所以原一元二次方程的解集是.
（2）移項，合并同類項，得3x2＝15.
兩邊都除以3，得x2＝5，
解得x1＝，x2＝－.
所以原一元二次方程的解集是{，－}.
【例2】　解：（1）∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴（x＋2）2＝5，
∴x＝－2±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}.
（2）移項，得4x2＋8x＝－1.
二次項系數化為1，得x2＋2x＝－，
配方，得x2＋2x＋12＝12－，即（x＋1）2＝.
∴x＋1＝±.
∴x1＝－1＋，x2＝－1－，
∴原一元二次方程的解集是.
【例3】　解：（1）∵a＝1，b＝－4，c＝10，
Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×10＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
∴原一元二次方程的解集是{2＋，2－}.
（2）方程兩邊都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.
∵a＝4，b＝4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴x＝＝－，∴x1＝x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
跟蹤訓練
　解：（1）法一（配方法）　2x2＋5x＝3，則2＝3＋2×＝，即＝，解得x1＝－＋＝，x2＝－－＝－3.
∴方程2x2＋5x＝3的解集是.
法二（公式法）　原方程可化為2x2＋5x－3＝0.
∵a＝2，b＝5，c＝－3，
Δ＝b2－4ac＝25＋24＝49，
∴x＝＝，∴x1＝－3，x2＝.
∴方程2x2＋5x＝3的解集是.
（2）2x4－7x2＋3＝0可化為（x2－3）（2x2－1）＝0，
解得x2＝3或x2＝，故x＝、－、、－，
方程2x4－7x2＋3＝0的解集為.
（3）＋－1＝0可化為2＋x－x2＝0（x≠0），
即（x－2）（x＋1）＝0，解得x＝2或－1，
方程＋－1＝0的解集為{－1，2}.
【例4】　解：（1）∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝16＞0，∴方程有兩個不相等的實數根，∴方程的解集中有兩個元素.
（2）∵Δ＝（－1）2－4×2×1＝－7＜0，∴方程沒有實數根，∴方程的解集為空集.
（3）方程整理為x2－2x＋1＝0， ∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0， ∴方程有兩個相等的實數根，∴方程的解集中有一個元素.
跟蹤訓練
1.A　由判別式Δ＝（2m＋1）2－8（m2＋1）＝－4m2＋4m－7＝－（2m－1）2－6＜0，得方程的解集為空集.故選A.
2.C　a＝0時，原方程為一元一次方程，有唯一解，滿足條件；
a≠0時，原方程為一元二次方程，當判別式Δ＝0時，方程有一個解，此時，Δ＝4（a＋1）2－4×4a＝0，解得a＝1，所以當原方程的解集為單元素集合時，a＝0或a＝1，選項C正確.故選C.
【例5】　解：根據一元二次方程根與系數的關系，
得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
（1）＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－3）2－2×（－1）＝11.
（2）＋＝＝＝3.
【例6】　解：Δ＝[－（k＋1）]2－4×＝2k－3，Δ≥0，k≥.
（1）設方程的兩個根為x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，
k2＝16，k＝4或k＝－4（舍去）.
（2）①若x1≥0，則x1＝x2，Δ＝0，k＝.
方程為x2－x＋＝0，x1＝x2＝＞0滿足.
②若x1＜0，則x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.
方程為x2＋＝0，而方程無解，
所以k≠－1，綜上k＝.
跟蹤訓練
1.C　因為x1，x2是方程x2－6x＋2＝0的兩根，所以x1＋x2＝6，x1x2＝2，
所以＋＝＝＝＝8.故選C.
2.－　解析：由關于x的方程ax2＋abx＋b＝0的解集為{－1，3}，
即－1，3是方程ax2＋abx＋b＝0的兩個實數根，
所以解得a＝，b＝－2，所以a＋b＝－.
隨堂檢測
1.C　由方程4（1－x）2＝1，可得方程（x－1）2＝，解得x－1＝或x－1＝－，所以x＝或x＝，即方程的解集為.故選C.
2.C　利用根的判別式Δ＝b2－4ac分別進行判定即可.A項：Δ＝（－2）2－4×1×0＝4＞0，有兩個不相等的實數根，故此選項不合題意；B項：Δ＝42－4×1×（－1）＝20＞0，有兩個不相等的實數根， 故此選項不合題意；C項：Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，沒有實數根，故此選項符合題意；D項：Δ＝（－5）2－4×3×2＝1＞0，有兩個不相等的實數根，故此選項不合題意.故選C.
3.C　∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.
∵方程x2－（m＋6）x＋m2＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝b2－4ac＝[－（m＋6）]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m＝6或m＝－2.∴m＝－2.
4.AB　當m＝0時，方程化為－4x＋5＝0，解得x＝，此時方程只有一個實數根，A正確；當m＝1時，方程化為x2－4x＋4＝0，因為Δ＝（－4）2－4×1×4＝0，所以此時方程有兩個相等的實數根，B正確；當m＝－1時，方程化為－x2－4x＋6＝0，因為Δ＝（－4）2－4×（－1）×6＞0，所以此時方程有兩個不相等的實數根，C錯誤；當m＝2時，方程化為2x2－4x＋3＝0，因為Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，所以此時方程無實數根，D錯誤.故選A、B.
5.4　解析：因為α，β是關于x的方程x2－2mx＋m2－4＝0（m∈R）的兩個根，所以α＋β＝2m，αβ＝m2－4，
所以｜α－β｜＝＝＝4.
1 / 4(共69張PPT)
2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數的關系
新課程標準解讀 核心素養
1.能利用判別式Δ的值判定一元二次方程根的個數 數學運算
2.會利用一元二次方程根與系數的關系進行計算求值
及求參數的取值范圍 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　今天是小芳的生日，她的4個小伙伴約好為她舉辦一個生日晚
會，鄰居張叔叔路過晚會現場，想了解一下他們的年齡.小芳說：我是
最小的，我們5個的年齡從小到大依次恰好相差1歲.小明說：我們中較
大的兩個的年齡的平方和恰好等于較小的三個人的年齡的平方和.張叔
叔說：“我可以算出小芳的年齡了”.
【問題】　張叔叔是怎樣算出小芳年齡的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　一元二次方程的解集
一般地，Δ＝ 稱為一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）
根的判別式.
（1）當Δ＞0時，方程的解集為


（3）當Δ＜0時，方程的解集為 .
b2－4 ac 　
　
　
　
【想一想】
對于方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0，Δ＞0時一定有兩不相等的解嗎？
提示：不一定.
知識點二　一元二次方程根與系數的關系
若一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的解集不是空集，設 x1， x2
是該一元二次方程的兩個根，則 x1＋ x2＝ 　－ 　， x1 x2＝ 　 　.
提醒　一元二次方程根與系數的關系是以一元二次方程有兩個實數根
為前提條件的.利用根與系數的關系解答問題時，只有在Δ≥0的前提下
才有意義，所以求得的參數的值要代入Δ＝ b2－4 ac 來驗證.
－ 　
　
1. 方程2 x2－5 x ＋3＝0的根的情況是（　　）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 無實數根
D. 無法確定
解析：　∵Δ＝（－5）2－4×2×3＝1＞0，∴方程2 x2－5 x ＋3＝0
有兩個不相等的實數根.故選A.
2. 已知 m ， n 是方程2 x2－ x －2＝0的兩個實數根，則 ＋ 的值為
（　　）
A. －1
D. 1
解析：　因為 m ， n 是方程2 x2－ x －2＝0的兩個實數根，所以 m
＋ n ＝ ， mn ＝－1，所以 ＋ ＝ ＝ ＝－ .故選C.
3. 若關于 x 的一元二次方程 x2＋4 x ＋ k ＝0有兩個實數根，則 k 的取值
范圍是 .
解析：因為一元二次方程 x2＋4 x ＋ k ＝0有兩個實數根，所以Δ＝16
－4 k ≥0，即 k ≤4.
（－∞，4]　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 一元二次方程解集的求法
角度1　直接開平方法
【例1】　用直接開平方法求下列一元二次方程的解集：
（1）4 y2－25＝0；
解：移項，得4 y2＝25.
兩邊都除以4，得 y2＝ .
解得 y1＝ ， y2＝－ ，
所以原一元二次方程的解集是 .
（2）3 x2－ x ＝15－ x .
解：移項，合并同類項，得3 x2＝15.
兩邊都除以3，得 x2＝5，解得 x1＝ ， x2＝－ .
所以原一元二次方程的解集是{ ，－ }.
通性通法
應用直接開平方法求一元二次方程解集的主要步驟
（1）化為 x2＝ p （ p ≥0）的形式；
（2）直接開平方；
（3）解兩個一元一次方程，寫出方程的兩個根；
（4）總結寫成解集的形式.
角度2　配方法
【例2】　用配方法求下列方程的解集：
（1） x2＋4 x －1＝0；
解：∵ x2＋4 x －1＝0，
∴ x2＋4 x ＝1，
∴ x2＋4 x ＋4＝1＋4，
∴（ x ＋2）2＝5，
∴ x ＝－2± ，
∴ x1＝－2＋ ， x2＝－2－ .
∴原一元二次方程的解集是{－2＋ ，－2－ }.
（2）4 x2＋8 x ＋1＝0.
解：移項，得4 x2＋8 x ＝－1.
二次項系數化為1，得 x2＋2 x ＝－ ，
配方，得 x2＋2 x ＋12＝12－ ，
即（ x ＋1）2＝ .
∴ x ＋1＝± .
∴ x1＝－1＋ ， x2＝－1－ ，
∴原一元二次方程的解集是 .
通性通法
　　利用配方法解一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0），先把二次
項系數變為1，即方程兩邊都除以 a ，然后把常數項移到方程右邊，再
把方程兩邊加上一次項系數一半的平方，把方程的一邊配方化為一個
完全平方式，另一邊化為非負數，然后用直接開平方法求解（若另一
邊為負數，則此方程無實數根）.
角度3　公式法
【例3】　用公式法求下列方程的解集：
（1） x2－4 x ＋10＝0；
解：∵ a ＝1， b ＝－4 ， c ＝10，
Δ＝ b2－4 ac ＝（－4 ）2－4×1×10＝8＞0，
∴ x ＝ ＝ ＝2 ± ，
∴ x1＝2 ＋ ， x2＝2 － .
∴原一元二次方程的解集是{2 ＋ ，2 － }.
（2） x2＋ x ＋ ＝0.
解：方程兩邊都乘以8，得4 x2＋4 x ＋1＝0.
∵ a ＝4， b ＝4， c ＝1，Δ＝ b2－4 ac ＝42－4×4×1＝0，
∴ x ＝ ＝－ ，
∴ x1＝ x2＝－ .
∴原一元二次方程的解集是 .
通性通法
　　利用公式法解一元二次方程時，首先將方程化為一般形式，找出
二次項系數，一次項系數及常數項，計算 b2－4 ac 的值；當 b2－4 ac
≥0時，把 a ， b ， c 的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后總
結寫出解集.
【跟蹤訓練】
求下列方程的解集：
（1）2 x2＋5 x ＝3；
解：法一（配方法）　2 x2＋5 x ＝3，則2 ＝3＋2× ＝ ＝ ，解得 x1＝－ ＋ ＝ ， x2＝－ － ＝－3.
∴方程2 x2＋5 x ＝3的解集是 .
法二（公式法）　原方程可化為2 x2＋5 x －3＝0.
∵ a ＝2， b ＝5， c ＝－3，Δ＝ b2－4 ac ＝25＋24＝49，
∴ x ＝ ＝ ，∴ x1＝－3， x2＝ .
∴方程2 x2＋5 x ＝3的解集是 .
（2）2 x4－7 x2＋3＝0；
解：2 x4－7 x2＋3＝0可化為（ x2－3）（2 x2－1）＝0，
解得 x2＝3或 x2＝ ，故 x ＝ 、－ 、－ ，
方程2 x4－7 x2＋3＝0的解集為 .
（3） ＋ －1＝0.
解： ＋ －1＝0可化為2＋ x － x2＝0（ x ≠0），
即（ x －2）（ x ＋1）＝0，
解得 x ＝2或－1，
方程 ＋ －1＝0的解集為{－1，2}.
題型二 一元二次方程根的判別式
【例4】　不解方程，判斷下列一元二次方程的解集情況：
（1）3 x2－2 x －1＝0；
解：∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝16＞0，∴方程有兩
個不相等的實數根，∴方程的解集中有兩個元素.
（2）2 x2－ x ＋1＝0；
解：∵Δ＝（－1）2－4×2×1＝－7＜0，∴方程沒有實數
根，∴方程的解集為空集.
（3）4 x － x2＝ x2＋2.
解：方程整理為 x2－2 x ＋1＝0， ∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0， ∴方程有兩個相等的實數根，∴方程的解集中有一個元素.
通性通法
　　一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）根的判別式Δ＝ b2－4 ac .
當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等
的實數根；當Δ＜0時，方程沒有實數根.
【跟蹤訓練】
1. 不解方程，判斷關于 x 的方程2 x2－（2 m ＋1） x ＋（ m2＋1）＝0的
解集情況是（　　）
A. B. 非空集
C. 單元素集合 D. 二元集
解析：　由判別式Δ＝（2 m ＋1）2－8（ m2＋1）＝－4 m2＋4 m －
7＝－（2 m －1）2－6＜0，得方程的解集為空集.故選A.
2. 若關于 x 的方程 ax2＋2（ a ＋1） x ＋4＝0的解集為單元素集合，則
（　　）
A. a ＝0 B. a ＝1
C. a ＝0或 a ＝1 D. a ≠0且 a ≠1
解析：　 a ＝0時，原方程為一元一次方程，有唯一解，滿足條
件； a ≠0時，原方程為一元二次方程，當判別式Δ＝0時，方程有一
個解，此時，Δ＝4（ a ＋1）2－4×4 a ＝0，解得 a ＝1，所以當原方
程的解集為單元素集合時， a ＝0或 a ＝1，選項C正確.故選C.
題型三 一元二次方程根與系數的關系
角度1　直接應用根與系數的關系進行計算
【例5】　（鏈接教科書第52頁例2）已知一元二次方程 x2＋3 x －1＝0
的兩根分別是 x1， x2，請利用根與系數的關系求：
（1） ＋ ；（2） ＋ .
解：根據一元二次方程根與系數的關系，
得 x1＋ x2＝－3， x1 x2＝－1.
（1） ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝（－3）2－2×（－1）＝
11.
（2） ＋ ＝ ＝ ＝3.
通性通法
　　在求含有一元二次方程兩根的代數式的值時，利用根與系數的關
系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用.在計算時，要先根據原方程
求出兩根之和與兩根之積，再將代數式變形為局部含有兩根之和與兩
根之積的形式，然后代入求值.
常見變形還有：
（1）（ x1－ x2）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2；
（2）｜ x1－ x2｜＝ ＝ .
角度2　求字母系數的值或范圍
【例6】　已知關于 x 的方程 x2－（ k ＋1） x ＋ k2＋1＝0，根據下列
條件，求出 k 的值.
（1）方程兩實根的積為5；
設方程的兩個根為 x1， x2， x1 x2＝ k2＋1＝5，
k2＝16， k ＝4或 k ＝－4（舍去）.
解：Δ＝[－（ k ＋1）]2－4× ＝2 k －3，Δ≥0， k ≥ .
解： ①若 x1≥0，則 x1＝ x2，Δ＝0， k ＝ .
方程為 x2－ x ＋ ＝0， x1＝ x2＝ ＞0滿足.
②若 x1＜0，則 x1＋ x2＝0，即 k ＋1＝0， k ＝－1.
方程為 x2＋ ＝0，而方程無解，
所以 k ≠－1，綜上 k ＝ .
（2）方程的兩實根 x1， x2，滿足｜ x1｜＝ x2.
通性通法
　　利用一元二次方程根與系數的關系求待定字母的值時，務必注意
根與系數的關系的應用前提條件，即Δ≥0.
【跟蹤訓練】
1. 若關于 x 的方程 x2－6 x ＋2＝0的兩根分別是 x1， x2，則 ＋ ＝
（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析：　因為 x1， x2是方程 x2－6 x ＋2＝0的兩根，所以 x1＋ x2＝
6， x1 x2＝2，
所以 ＋ ＝ ＝ ＝ ＝8.故選C.

解析：由關于 x 的方程 ax2＋ abx ＋ b ＝0的解集為{－1，3}，
即－1，3是方程 ax2＋ abx ＋ b ＝0的兩個實數根，
所以解得 a ＝ ， b ＝－2，所以 a ＋ b ＝－ .
－ 　
1. 方程4（1－ x ）2＝1的解集是（　　）
A.
解析：　由方程4（1－ x ）2＝1，可得方程（ x －1）2＝ ，解得 x
－1＝ 或 x －1＝－ ，所以 x ＝ 或 x ＝ .
故選C.
2. 下列一元二次方程中，解集為空集的是（　　）
A. x2－2 x ＝0
B. x2＋4 x －1＝0
C. 2 x2－4 x ＋3＝0
D. 3 x2＝5 x －2
解析：　利用根的判別式Δ＝ b2－4 ac 分別進行判定即可.A項：Δ
＝（－2）2－4×1×0＝4＞0，有兩個不相等的實數根，故此選項不
合題意；B項：Δ＝42－4×1×（－1）＝20＞0，有兩個不相等的實
數根， 故此選項不合題意；C項：Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，
沒有實數根，故此選項符合題意；D項：Δ＝（－5）2－4×3×2＝1
＞0，有兩個不相等的實數根，故此選項不合題意.故選C.
3. 關于 x 的方程 x2－（ m ＋6） x ＋ m2＝0有兩個相等的實數根，且滿
足 x1＋ x2＝ x1 x2，則 m 的值是（　　）
A. －2或3 B. 3
C. －2 D. －3或2
解析：　∵ x1＋ x2＝ m ＋6， x1 x2＝ m2， x1＋ x2＝ x1 x2，
∴ m ＋6＝ m2，
解得 m ＝3或 m ＝－2.
∵方程 x2－（ m ＋6） x ＋ m2＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝ b2－4 ac ＝[－（ m ＋6）]2－4 m2＝－3 m2＋12 m ＋36＝0，
解得 m ＝6或 m ＝－2.
∴ m ＝－2.
4. （多選）關于 x 的方程 mx2－4 x － m ＋5＝0，以下說法正確的是
（　　）
A. 當 m ＝0時，方程只有一個實數根
B. 當 m ＝1時，方程有兩個相等的實數根
C. 當 m ＝－1時，方程沒有實數根
D. 當 m ＝2時，方程有兩個不相等的實數根
解析：　當 m ＝0時，方程化為－4 x ＋5＝0，解得 x ＝ ，此
時方程只有一個實數根，A正確；當 m ＝1時，方程化為 x2－4 x
＋4＝0，因為Δ＝（－4）2－4×1×4＝0，所以此時方程有兩個
相等的實數根，B正確；當 m ＝－1時，方程化為－ x2－4 x ＋6
＝0，因為Δ＝（－4）2－4×（－1）×6＞0，所以此時方程有兩
個不相等的實數根，C錯誤；當 m ＝2時，方程化為2 x2－4 x ＋3
＝0，因為Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，所以此時方程無實
數根，D錯誤.故選A、B.
5. 已知α，β是關于 x 的方程 x2－2 mx ＋ m2－4＝0（ m ∈R）的兩個
根，則｜α－β｜＝ .
解析：因為α，β是關于 x 的方程 x2－2 mx ＋ m2－4＝0（ m ∈R）的
兩個根，
所以α＋β＝2 m ，αβ＝ m2－4，
所以｜α－β｜＝ ＝ ＝4.
4
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 一元二次方程 x2＝3 x 的解集是（　　）
A. {0} B. {3}
C. {－3} D. {0，3}
解析：　∵ x2＝3 x ，∴ x2－3 x ＝0，∴ x （ x －3）＝0，解得 x1＝
0， x2＝3，故選D.
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2. 若 a ， b 是方程 x2＋ x －3＝0的兩個實數根，則 a2－ b ＋2 024的值是
（　　）
A. 2 025 B. 2 026
C. 2 027 D. 2 028
解析：　因為 a ， b 是方程 x2＋ x －3＝0的兩個實數根，所以 a2＋
a －3＝0， a ＋ b ＝－1，兩式相減，得 a2－ b ＝4，所以 a2－ b ＋2
024＝4＋2 024＝2 028. 故選D.
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3. 方程 ＝ 解集為單元素集，那么該方程的解集可以是
（　　）
A. {1} B. {2}
C. {3} D. {4}
解析：　由題意可知 x ≠－1且 x ≠0，則原方程可化為 x ＝
，得 x2－2 x － m ＝0，
由題意可得Δ＝4＋4 m ＝0，解得 m ＝－1，故原方程為 x2－2 x ＋1＝
0，解得 x ＝1.故選A.
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4. 已知 x1， x2是關于 x 的一元二次方程 x2＋2 ax ＋ a2＋ a ＝0的兩個實數
根，且 ＋ ＝12，則 a 的值是（　　）
A. a ＝3 B. a ＝－2
C. a ＝3或 a ＝－2 D. a ＝－3或 a ＝2
解析：　由題意得Δ＝（2 a ）2－4（ a2＋ a ）≥0且
解得 a ≤0，又 ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝
（－2 a ）2－2（ a2＋ a ）＝12，解得 a ＝－2或 a ＝3（舍）.故選B.
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5. （多選）方程（ x2－4） ＝0的解可以是（　　）
A. x ＝－2
D. x ＝2
解析：　由題意，方程（ x2－4） ＝0，則 x2－4＝0或2 x
－1＝0，解得 x ＝±2或 x ＝ ，又由2 x －1≥0，解得 x ≥ ，所以方
程（ x2－4）· ＝0的解為 x ＝2或 x ＝ .故選C、D.
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6. 若關于 x 的一元二次方程3 x2＋ mx －8＝0有一個根是 ，則實數 m
＝ .
解析：因為一元二次方程3 x2＋ mx －8＝0有一個根是 ，所以3×
＋ m × －8＝0，解得 m ＝10.
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7. 若 m ＋ n ＝3， m2＋ n2＝5，則以實數 m 、 n 為根的一個一元二次方
程是 .
解析：因為 m ＋ n ＝3，所以（ m ＋ n ）2＝ m2＋2 mn ＋ n2＝9，因為
m2＋ n2＝5，所以 mn ＝2，根據兩根之和為3，兩根之積為2，故可
以寫出實數 m 、 n 為根的一個一元二次方程為 x2－3 x ＋2＝0.
x2－3 x ＋2＝0（答案不唯一）　
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8. 已知關于 x 的方程 x2＋2（ m －2） x ＋ m2＋4＝0有實數根，并且兩
根的平方和比兩根之積大21，則實數 m 的值為 .
解析：設方程的兩個實數根為 x1， x2，
則 x1＋ x2＝2（2－ m ）， x1 x2＝ m2＋4，
根據這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21，
即 ＋ － x1 x2＝（ x1＋ x2）2－3 x1 x2＝4（2－ m ）2－3（ m2＋4）
＝21，
解得 m ＝17或 m ＝－1，
另由根的判別式可得Δ＝4（ m －2）2－4（ m2＋4）＝－16 m ≥0，
故 m ≤0，所以 m ＝－1.
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9. 已知關于 x 的一元二次方程 x2－（2 k －1） x ＋ k2＋ k －1＝0有
實數根.
（1）求 k 的取值范圍；
解：因為關于 x 的一元二次方程 x2－（2 k －1） x ＋ k2＋
k －1＝0有實數根.所以Δ≥0，
即[－（2 k －1）]2－4×1×（ k2＋ k －1）＝－8 k ＋5≥0，
解得 k ≤ .所以 k 的取值范圍為 .
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（2）若此方程的兩個實數根 x1， x2滿足 ＋ ＝11，求 k 的值.
解：由題知 x1＋ x2＝2 k －1， x1 x2＝ k2＋ k －1，
所以 ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝（2 k －1）2－2（ k2＋ k
－1）＝2 k2－6 k ＋3.
因為 ＋ ＝11，所以2 k2－6 k ＋3＝11，即 k2－3 k －4＝0，
解得 k ＝4或 k ＝－1，
因為 k ≤ ，所以 k ＝－1.
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10. 設 m ∈R，若“ x ＝2”是“ m2 x2－（ m ＋3） x ＋4＝0”的充分不
必要條件，則實數 m 的值為（　　）
B. 1
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解析：　由題意可知， x ＝2是 m2 x2－（ m ＋3） x ＋4＝0的解，
但不是唯一的解，因此4 m2－2（ m ＋3）＋4＝0，解得 m ＝1或 m
＝－ .當 m ＝1時， x ＝2是 x2－4 x ＋4＝0唯一的解，故不滿足題
意；當 m ＝－ 時， 則 x2－ x ＋4＝0，即 x2－10 x ＋16＝0，解得
x ＝2或 x ＝8，滿足題意.綜上所述， m ＝－ .故選A.
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解析：∵集合{ x ｜（ a －2） x2＋3 x －1＝0， x ∈R}有且僅有兩個
子集，∴方程（ a －2） x2＋3 x －1＝0只有一個根，
∴當 a ＝2時， x ＝ ，成立；當 a ≠2時，Δ＝9＋4（ a －2）＝0即 a
＝－ ，方程只有一個根，∴ a ＝2或 a ＝－ .
2或－
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12. 在學習解一元二次方程之后，對于某些不是一元二次方程的方
程，我們也可通過變形將其轉化為一元二次方程來解.例如：方
程： x2－3｜ x ｜＋2＝0.
其解法為：設｜ x ｜＝ y ，則原方程可化為： y2－3 y ＋2＝0（ y
≥0）.
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解得： y1＝1， y2＝2.
當 y ＝1時，｜ x ｜＝1，∴ x ＝±1；
當 y ＝2時，｜ x ｜＝2，∴ x ＝±2.
∴原方程的解是： x1＝1， x2＝－1， x3＝2， x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“換元法”.
請用“換元法”解決下列問題：
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2
3
4
5
6
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8
9
10
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13
14
（1）解方程： x4－10 x2＋9＝0；
解：設 x2＝ a ，則原方程可化為 a2－10 a ＋9＝0（ a ≥0），
即（ a －1）（ a －9）＝0，解得： a ＝1或 a ＝9，
當 a ＝1時， x2＝1，∴ x ＝±1；當 a ＝9時， x2＝9，∴ x ＝±3.
∴原方程的解集是{1，－1，3，－3}.
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（2）若實數 x 滿足 x2＋ －3 x － ＝2，求 x ＋ 的值.
解：設 x ＋ ＝ y ，
則原方程可化為 y2－2－3 y ＝2，即 y2－3 y －4＝0，
∴（ y ＋1）（ y －4）＝0，解得： y ＝－1或 y ＝4，
即 x ＋ ＝－1（方程無解，舍去）或 x ＋ ＝4，
故 x ＋ ＝4.
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解析：設兩個正實數根分別為 x1， x2，
則 0＜ m ≤ .
0＜ m ≤
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14. 已知關于 x 的方程 x2－（2 k ＋1） x ＋4 ＝0.
（1）求證：無論 k 取何值，這個方程總有實數根；
解：證明：∵Δ＝（2 k ＋1）2－16 ＝4 k2－12 k ＋9＝（2 k －3）2≥0，
所以無論 k 取何值，關于 x 的方程 x2－（2 k ＋1） x ＋4
＝0總有實數根.
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（2）若等腰△ ABC 的一邊長 a ＝4，另兩邊的長 b 、 c 恰好是這個
方程的兩個根，求△ ABC 的周長.
解：△ ABC 為等腰三角形，可能有兩種情況：
① b 或 c 中至少有一個等于 a ＝4，即：方程 x2－（2 k ＋1） x
＋4 ＝0有一根為4，則42－4（2 k ＋1）＋4 ＝
10－4 k ＝0，解得 k ＝ .方程為 x2－6 x ＋8＝0，另一根為2，
此時△ ABC 周長為 a ＋ b ＋ c ＝10；
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② b ＝ c 時，Δ＝（2 k ＋1）2－16 ＝4 k2－12 k ＋9＝
（2 k －3）2＝0，解得 k ＝ ，方程為 x2－4 x ＋4＝0，得 b ＝ c
＝2，則 b ＋ c ＝ a ，此時不能構成三角形.
綜上，△ ABC 的周長為10.
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