資源簡介

2.1.3　方程組的解集
1.方程組的解集為（　　）
A. B.{（1，1）}
C.{2，－1} D.{（2，－1）}
2.已知{（2，1）}是方程組的解集，則a，b的值為（　　）
A.a＝－1， b＝3 B.a＝1， b＝3
C.a＝3， b＝1 D.a＝3， b＝－1
3.如果其中xyz≠0，那么x∶y∶z＝（　　）
A.1∶2∶3 B.2∶3∶4
C.2∶3∶1 D.3∶2∶1
4.若｜3a＋b＋5｜＋｜2a－2b－2｜＝0，則2a2－3ab的值是（　　 ）
A.14 B.2
C.－2 D.－4
5.（多選）有下面四種表示方法：其中能正確表示方程組的解集的是（　　 ）
A.{（x，y）｜x＝－1或y＝2}
B.
C.{x＝－1，y＝2}
D.{（－1，2）}
6.設(shè)k∈R.若關(guān)于x與y的二元一次方程組的解集為 ，則k＝　　　.
7.已知方程組的解也是方程3x＋my＋2z＝0的解，則m的值為　　　　.
8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意可列方程組為　　　　.
9.求方程組的解集.
10.關(guān)于x，y的方程組的解集，下列說法不正確的是（　　 ）
A.可能是空集
B.必定不是空集
C.可能是單元素集合
D.可能是無限集
11.若相異兩實(shí)數(shù)x，y滿足則x3－2xy＋y3＝（　　 ）
A.3 B.4
C.5 D.6
12.已知關(guān)于x，y的方程組的解都為正數(shù).
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，解此方程組；
（2）求a的取值范圍.
13.已知集合≠ ，其中x，y∈Z，則整數(shù)m的取值個(gè)數(shù)為　　　　.
14.規(guī)定：｜a　cb　d｜＝ad－bc，例如：｜2　－13　　0｜＝2×0－3×（－1）＝3，解方程組
2.1.3　方程組的解集
1.B　
①×5－②得，7x＝7，∴x＝1.
代入①得y＝1.
2.B　因?yàn)閧（2，1）}是方程組的解集，所以把x＝2，y＝1代入方程組，得所以
3.C　已知
①×2－②得7y－21z＝0，即y＝3z，代入①可得：x＝8z－6z＝2z，∴x∶y∶z＝2z∶3z∶z＝2∶3∶1，故選C.
4.D　∵｜3a＋b＋5｜＋｜2a－2b－2｜＝0，∴解得：a＝－1，b＝－2，則2a2－3ab＝2－6＝－4.故選D.
5.BD　由得解集用列舉法表示為{（－1，2）}，用描述法表示為.故選B、D.
6.1　解析：由二元一次方程組可得（k－1）x＝－4，
因?yàn)橛深}意，二元一次方程組的解集為 ，所以k－1＝0，即k＝1.
7.－5　解析：由原方程組可得：（x－y）＋（y－z）＝5，即x－z＝5，
則解得把x＝3代入x－y＝2得，y＝1.
故原方程組的解是代入3x＋my＋2z＝0，得9＋m－4＝0，解得m＝－5.
8.　解析：設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得：
9.解：
①＋②×2得，x2＋y2＋2xy＝36，即（x＋y）2＝36，得x＋y＝6或x＋y＝－6；
①－②×2得，x2＋y2－2xy＝16，即（x－y）2＝16，
得x－y＝4或x－y＝－4.
所以或
或或
解此四個(gè)方程組，得或或或
故方程組的解集是{（5，1），（1，5），（－1，－5），（－5，－1）}.
10.A　當(dāng)a＝時(shí)，x－3y＝6與3x－2y＝4重合，的解集是無限集，則D正確；
當(dāng)a≠時(shí)，的解集為單元素集合{（0，2）}，從而B，C正確；故選A.
11.D　兩式作差消元得：（x－y）（x＋y－1）＝0 x＋y＝1（x≠y），反代回去得：x2－x－1＝0，同理可得：y2－y－1＝0，所以x，y是方程t2－t－1＝0的兩不等實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系有：繼而有：x3－2xy＋y3＝x（x＋1）－2xy＋y（y＋1）＝（x2＋y2）＋（x＋y）－2xy＝（x＋y）2＋（x＋y）－4xy＝1＋1＋4＝6.故選D.
12.解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，方程組為
①×2＋②得7x＝7，即x＝1，
把x＝1代入①得，3－y＝－1，即y＝4，
故此方程組的解集為{（1，4）}.
（2）方程組
由③×2＋④得7x＝7a－7即x＝a－1，
把x＝a－1代入④得y＝a＋2，
∴方程組的解為
由題意，得∴a＞1，
故所求a的取值范圍是（1，＋∞）.
13.4　解析：
②－①得（m－2）x＝m，
∵方程組有解，∴m－2≠0即m≠2，
∴x＝.
把x＝代入①得＋y＝2，
解得y＝，
∵解為整數(shù)，∴2－m＝±1，2－m＝±2，2－m＝±4時(shí)，y為整數(shù)，
解得m＝1或3或0或4或－2或6，
當(dāng)m＝1或3或0或4時(shí)，x也為整數(shù).故m的取值個(gè)數(shù)為4.
14.解：根據(jù)題意，可得｜3　y2　x｜＝3x－2y＝1，｜x　 z－3　5｜＝5x＋3z＝8，｜3　z6　y｜＝3y－6z＝－3，
所以方程組可化為
解得x＝1，y＝1，z＝1，
所以原方程組的解集為{（1，1，1）}.
2 / 22.1.3　方程組的解集
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.會(huì)利用代入消元法或加減消元法解二元一次方程組 數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.能運(yùn)用合適的方法求解二元二次方程組 數(shù)學(xué)運(yùn)算
　　在一個(gè)籠子里有若干只雞和兔，從籠子上看有30個(gè)頭，從籠子下數(shù)有70只腳.
【問題】　這個(gè)籠子里共有多少只兔多少只雞？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　方程組的解集
1.方程組
一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立，就能得到方程組.
2.方程組的解集
方程組中，每個(gè)方程的解集的　　　稱為這個(gè)方程組的解集.
提醒　當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能有無窮多個(gè)元素，此時(shí)，如果將其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其他未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來.
1.方程組的解集是（　　 ）
A.{x＝0，y＝1}　　　 B.{0，1}
C.{（0，1）} D.{x＝0或y＝1}
2.已知?jiǎng)tx∶y∶z＝（　　 ）
A.（－1）∶13∶5 B.1∶（－17）∶（－5）
C.1∶5∶13 D.1∶17∶5
3.若｜x＋y－5｜＋（x－y－9）2＝0，則x，y的值分別為　　　　.
題型一 求二元一次方程組的解集
角度1　用代入消元法求二元一次方程組的解集
【例1】　求方程組的解集.
嘗試解答
通性通法
代入消元法解二元一次方程組的步驟
（1）變形 選取一個(gè)系數(shù)比較簡單的二元一次方程進(jìn)行變形，變形為y＝ax＋b（或x＝ay＋b）（a，b是常數(shù)，a≠0）的形式
（2）代入 把y＝ax＋b（或x＝ay＋b）代入另一個(gè)沒有變形的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程
（3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值
（4）回代 把求得的未知數(shù)的值代入步驟（1）中變形后的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)
（5）寫解集 用集合表示為{（x，y）｜（…，…）}的形式
角度2　用加減消元法求二元一次方程組的解集
【例2】　求下列方程組的解集：
（1）
（2）
嘗試解答
通性通法
加減消元法解二元一次方程組的步驟
（1）變形 根據(jù)同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值的最小公倍數(shù)，將方程的兩邊都乘適當(dāng)?shù)臄?shù)
（2）加減 兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，將兩個(gè)方程相加；同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，將兩個(gè)方程相減
（3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值
（4）回代 把求得的未知數(shù)的值代入方程組中較簡單的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值
（5）寫解集 用集合表示為{（x，y）｜（…，…）}的形式
【跟蹤訓(xùn)練】
1.設(shè)A＝{（x，y）｜y＝－4x＋6}，B＝{（x，y）｜y＝5x－3}，則A∩B＝（　　 ）
A.{（2，1）}　　　　　 B.（1，2）
C.x＝1，y＝2 D.{（1，2）}
2.若（3，－2）∈，則a＋b的值為　　　　.
題型二 求三元一次方程組的解集
【例3】　求下列方程組的解集：
（1）
（2）
嘗試解答
通性通法
解三元一次方程組的一般步驟
　　解三元一次方程組類似于解二元一次方程組，關(guān)鍵是消元轉(zhuǎn)化.通過加減消元或代入消元逐漸將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，然后再逐個(gè)代入求另外兩個(gè)未知數(shù).最后組成三元一次方程組的一組解.
提醒　解特殊的三元一次方程組時(shí)，應(yīng)具體問題具體分析，觀察方程組的特點(diǎn)及未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，靈活消元.對(duì)于一些特殊的方程組，有特殊的解法，例如：若一個(gè)方程組由兩個(gè)方程構(gòu)成，其中一個(gè)方程是x∶y∶z＝a∶b∶c（a，b，c為常數(shù)，且都不為0），另一個(gè)方程是關(guān)于x，y，z的三元一次方程，解這種方程組時(shí)，可引入k（k≠0），用含k的式子表示x，y，z，再代入三元一次方程中，化“三元”為“一元”，求出k的值，進(jìn)而可求出x，y，z的值.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.已知｜x－z＋4｜＋｜z－2y＋1｜＋｜x＋y－z＋1｜＝0，則x＋y＋z＝（　　 ）
A.9 B.10
C.5 D.3
2.已知方程組則代數(shù)式x－y－5z＝　　　　.
題型三 二元二次方程組的解集
【例4】　求下列方程組的解集：
（1）
（2）
嘗試解答
通性通法
　　求二元二次方程組解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元為一元，降次就是把二次降為一次，因此可以通過消元和降次把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組、一元二次方程甚至一元一次方程.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.方程組的解集是（　　）
A.（4，5） B.（5，－4）
C.{（5，－4）} D.{（－4，5）}
2.若則xyz＝（　　 ）
A.2　　　　　　　　 B.
C.± D.3
題型四 方程組的實(shí)際應(yīng)用
【例5】　某汽車在相距70 km的甲、乙兩地往返行駛，行駛中有一坡度均勻的小山，該汽車從甲地到乙地需要2.5 h，從乙地到甲地需要2.3 h.假設(shè)該汽車在平路、上坡路、下坡路的行駛過程中時(shí)速分別是30 km，20 km，40 km，則從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路的長度各是多少？
嘗試解答
通性通法
列方程組解應(yīng)用題的一般步驟
（1）審：認(rèn)真審題，分清題中的已知量、未知量，并明確它們之間的等量關(guān)系；
（2）設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)；
（3）列：依據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程組；
（4）解：解方程組，求出未知數(shù)的值；
（5）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求得的未知數(shù)的值是否符合題意和實(shí)際意義；
（6）答：寫出結(jié)論.
【跟蹤訓(xùn)練】
某商店有方形、圓形兩種巧克力，小明如果購買3塊方形和5塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)差8元，如果購買5塊方形和3塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)剩下8元.若他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下多少錢（　　 ）
A.8元 B.16元
C.24元 D.32元
　數(shù)學(xué)文化與方程組問題
【典例】　《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，其中第八章方程中有一問題：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗，問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？設(shè)上、中、下禾實(shí)一秉分別為x，y，z斗，則x＝　　　　，y＋z＝　　　　.
答案：　7
解析：根據(jù)題意知，上、中、下禾實(shí)一秉分別為x，y，z斗，則有
解得x＝，y＝，z＝，則y＋z＝＋＝7.
【問題探究】
《九章算術(shù)》是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作，全書分為九章，共246個(gè)問題，包含了算術(shù)、代數(shù)、幾何等多方面的成就.
代數(shù)方面，《九章算術(shù)》的第八章為“方程”，但指的是一次方程組，本例就是其中的第一個(gè)問題.《九章算術(shù)》給出了解這個(gè)問題的“方程術(shù)”，其實(shí)質(zhì)是將方程中未知數(shù)的系數(shù)與最后的常數(shù)項(xiàng)排成長方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法來解，過程可表示如下：
3 2 1 39
2 3 1 34
1 2 3 26 3 2 1 39
0 5 1 24
0 4 8 39 3 2 1 39
0 5 1 24
0 0 4 11 4 0 0 37
0 4 0 17
0 0 4 11
其中第一步是將第二行的數(shù)乘以3，然后不斷地減去第一行，直到第一個(gè)數(shù)變?yōu)?為止，然后對(duì)第三行做同樣的操作，其余的步驟都類似.
不難看出， “遍乘直除”的目的在于消元.按照我國著名數(shù)學(xué)史學(xué)家李文林先生的說法，《九章算術(shù)》的方程術(shù)，是世界數(shù)學(xué)史上的一顆明珠.
《九章算術(shù)》在代數(shù)方面的另一項(xiàng)成就是引進(jìn)了負(fù)數(shù)，在用“方程術(shù)”解方程組時(shí)，可能出現(xiàn)減數(shù)大于被減數(shù)的情形，為此，《九章算術(shù)》給出了“正負(fù)術(shù)”，即正負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則.
另外，“開方術(shù)”也是《九章算術(shù)》的代數(shù)成就之一，其實(shí)質(zhì)是給出了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的數(shù)值求解步驟.而且，“開方術(shù)”中還提到：若開之不盡者，為不可開.這是意識(shí)到了無理數(shù)的存在.
你知道其他地區(qū)類似的代數(shù)成就出現(xiàn)的時(shí)間嗎？感興趣的同學(xué)請(qǐng)查閱有關(guān)書籍或網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了解吧！
【遷移應(yīng)用】
《九章算術(shù)》第七卷“盈不足”：主要講盈虧問題的一種雙假設(shè)算法，提出了盈不足，盈適足和不足適足、兩盈和兩不足這三種類型的盈虧問題，以及若干可通過兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般解法.這種解法傳到西方后，產(chǎn)生了極大的影響，在當(dāng)時(shí)處于世界領(lǐng)先地位.高中數(shù)學(xué)教科書中就引用了這樣一道題“今有人共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？“譯文如下：“今有人合伙買羊，每人出5錢，差45錢；每人出7錢，差3錢，問合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多少？（　　 ）
A.21、105　　　　　 B.21、150
C.24、165 D.24、171
1.方程組的解集為（　　 ）
A.{（2，1）} B.
C.{1，2} D.{（1，2）}
2.已知集合A＝{（x，y）｜y＝x2}，B＝{（x，y）｜y＝x}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（　　）
A.3 B.2
C.1 D.0
3.下列四個(gè)集合中為方程組的解集的是（　　）
A.{（0，1，－2）}
B.{（1，0，1）}
C.{（0，－1，0）}
D.{（1，－2，3）}
4.設(shè)計(jì)一個(gè)二元二次方程組，使得這個(gè)二元二次方程組的解是和試寫出符合要求的方程組　　　　.
2.1.3　方程組的解集
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)
2.交集
自我診斷
1.C　由得
∴方程組的解集為{（0，1）}.故選C.
2.A　因?yàn)閮墒较嗉拥?x＋z＝0，則z＝－5x，則y＝－13x，所以x∶y∶z＝x∶（－13x）∶（－5x）＝1∶（－13）∶（－5）＝（－1）∶13∶5.故選A.
3.7，－2　解析：由題意知
①＋②得2x－14＝0，即x＝7，
①－②得2y＋4＝0，即y＝－2.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：法一　由②，得y＝4x－5， ③
把③代入①，得2x＋3（4x－5）＝－1，
解這個(gè)一元一次方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝－1.
所以這個(gè)方程組的解集為{（x，y）｜（1，－1）}.
法二　由①，得3y＝－2x－1，即y＝， ③
把③代入②，得4x－＝5，
解這個(gè)一元一次方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝－1.
所以這個(gè)方程組的解集為{（x，y）｜（1，－1）}.
【例2】　解：（1）法一（加法消元）　①＋②，得6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1.
所以方程組的解集為{（x，y）｜（2，1）}.
法二（減法消元）　①－②，得－14y＝－14，解得y＝1，
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2.
所以方程組的解集為{（x，y）｜（2，1）}.
法三（加減法消元）　①＋②，得6x＝12，解得x＝2.
①－②，得－14y＝－14，解得y＝1.
所以方程組的解集為{（x，y）｜（2，1）}.
（2）①×5－②×2，得7y＝21，解得y＝3，
把y＝3代入①，整理得2x＝4，解得x＝2.
所以方程組的解集為{（x，y）｜（2，3）}.
跟蹤訓(xùn)練
1.D　由題意得，集合A、B均為點(diǎn)集，所以，所求A∩B即求兩直線的交點(diǎn)即可，
因?yàn)榻獾媒稽c(diǎn)為（1，2）.故選D.
2.－1　解析：∵（3，－2）∈，
∴兩式相加可得：a＋b＝－1.
【例3】　解：（1）法一　①×2＋②，得5x＋8y＝7，　　　　 ④
③與④組成二元一次方程組
解這個(gè)方程組，得
把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×（－1）＋2z＝2，
所以z＝1.
所以這個(gè)三元一次方程組的解集為{（x，y，z）｜（3，－1，1）}.
法二　由③，得y＝2x－7， ④
把④代入①，整理得7x＋2z＝23， ⑤
把④代入②，整理得7x－4z＝17， ⑥
⑤與⑥組成二元一次方程組
解這個(gè)方程組，得
把x＝3代入④，得y＝－1.
所以這個(gè)三元一次方程組的解集為{（x，y，z）｜（3，－1，1）}.
（2）法一　由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5.
設(shè)x＝3k，y＝2k，z＝5k（k≠0），并代入③，得5k＋3k＋2k＝20，解得k＝2.
所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10.
所以這個(gè)三元一次方程組的解集為{（x，y，z）｜（6，4，10）}.
法二　由①，得x＝y(tǒng)， ④
由②，得z＝y(tǒng). ⑤
把④和⑤代入③，得y＋y＋y＝20，解得y＝4.
把y＝4分別代入④和⑤，
得x＝6，z＝10.
所以這個(gè)三元一次方程組的解集為{（x，y，z）｜（6，4，10）}.
跟蹤訓(xùn)練
1.A　 由題意，得
③－①，得y＝3.
把y＝3代入②，得z＝5.
把z＝5代入①，得x＝1.所以x＋y＋z＝1＋3＋5＝9.故選A.
2.3　解析：對(duì)于方程組下式－上式得x－y－5z＝9－6＝3.
【例4】　解：（1）由①得y＝8－x， ③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.
解得x1＝2，x2＝6.
把x1＝2代入③，得y1＝6.
把x2＝6代入③，得y2＝2.
所以原方程組的解集為{（2，6），（6，2）}.
（2）由①得（x－2y）2＋（x－2y）－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由得
由得
所以原方程組的解集為.
跟蹤訓(xùn)練
1.D　由解得所以方程組的解集是{（－4，5）}，故選D.
2.C　法一　由方程組
①÷②得＝，z＝2x，代入③得x＝± ，z＝±，
再代入①得y＝±，即原方程組的解為：
或所以xyz＝±.故選C.
法二　①×②×③得（xyz）2＝6，
∴xyz＝±.故選C.
【例5】　解：設(shè)從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路分別是x km，y km和z km.
由題意得解得
故從甲地到乙地的過程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km.
跟蹤訓(xùn)練
　D　設(shè)方形巧克力每塊x元，圓形巧克力每塊y元，小明帶了a元錢，
則兩式相加得8x＋8y＝2a，
∴x＋y＝a，
∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋（3x＋3y）＝a－8，
∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，
即他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下32元，故選D.
拓視野　數(shù)學(xué)文化與方程組問題
遷移應(yīng)用
　B　設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價(jià)為y錢，則解得故選B.
隨堂檢測
1.D　∵∴所以方程組的解集為{（1，2）}故選D.
2.B　聯(lián)立解得或所以A∩B＝{（0，0），（1，1）}.故選B.
3.D　
①＋②得3x＋y＝1， ④
③－②得x＝1，將x＝1代入④得y＝－2，
將x＝1，y＝－2代入②得z＝3.
所以方程組的解集為{（1，－2，3）}.故選D.
4.（答案不唯一）　解析：由于這兩組解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可組成方程組為
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2.1.3　方程組的解集
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.會(huì)利用代入消元法或加減消元法解二元一次方程
組 數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.能運(yùn)用合適的方法求解二元二次方程組 數(shù)學(xué)運(yùn)算
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　在一個(gè)籠子里有若干只雞和兔，從籠子上看有30個(gè)頭，從籠子下
數(shù)有70只腳.
【問題】　這個(gè)籠子里共有多少只兔多少只雞？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　方程組的解集
1. 方程組
一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立，就能得到方程組.
2. 方程組的解集
方程組中，每個(gè)方程的解集的 稱為這個(gè)方程組
的解集.
提醒　當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集
可能有無窮多個(gè)元素，此時(shí)，如果將其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那
么其他未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來.
交集　
1. 方程組的解集是（　　）
A. { x ＝0， y ＝1} B. {0，1}
C. {（0，1）} D. { x ＝0或 y ＝1}
解析：　由
∴方程組的解集為{（0，1）}.故選C.
2. 已知?jiǎng)t x ∶ y ∶ z ＝（　　）
A. （－1）∶13∶5 B. 1∶（－17）∶（－5）
C. 1∶5∶13 D. 1∶17∶5
解析：　因?yàn)閮墒较嗉拥? x ＋ z ＝0，則 z ＝－
5 x ，則 y ＝－13 x ，所以 x ∶ y ∶ z ＝ x ∶（－13 x ）∶（－5 x ）＝
1∶（－13）∶（－5）＝（－1）∶13∶5.故選A.
3. 若｜ x ＋ y －5｜＋（ x － y －9）2＝0，則 x ， y 的值分別為 .
解析：由題意知
①＋②得2 x －14＝0，即 x ＝7，
①－②得2 y ＋4＝0，即 y ＝－2.
7，－2　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 求二元一次方程組的解集
角度1　用代入消元法求二元一次方程組的解集
【例1】　求方程組的解集.
解：法一　由②，得 y ＝4 x －5， ③
把③代入①，得2 x ＋3（4 x －5）＝－1，
解這個(gè)一元一次方程，得 x ＝1，
把 x ＝1代入③，得 y ＝－1.
所以這個(gè)方程組的解集為{（ x ， y ）｜（1，－1）}.
法二　由①，得3 y ＝－2 x －1，
即 y ＝ ， ③
把③代入②，得4 x － ＝5，
解這個(gè)一元一次方程，得 x ＝1，
把 x ＝1代入③，得 y ＝－1.
所以這個(gè)方程組的解集為{（ x ， y ）｜（1，－1）}.
通性通法
代入消元法解二元一次方程組的步驟
（1）
變形 選取一個(gè)系數(shù)比較簡單的二元一次方程進(jìn)行變形，變形為 y ＝
ax ＋ b （或 x ＝ ay ＋ b ）（ a ， b 是常數(shù)， a ≠0）的形式
（2）
代入 把 y ＝ ax ＋ b （或 x ＝ ay ＋ b ）代入另一個(gè)沒有變形的方程，
消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程
（3）
求解 解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值
（4）
回代 把求得的未知數(shù)的值代入步驟（1）中變形后的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)
（5）
寫解集 用集合表示為{（ x ， y ）｜（…，…）}的形式
角度2　用加減消元法求二元一次方程組的解集
【例2】　求下列方程組的解集：
（1）
解：法一（加法消元）　①＋②，得6 x ＝12，
解得 x ＝2，
把 x ＝2代入②，得3×2＋7 y ＝13，解得 y ＝1.
所以方程組的解集為{（ x ， y ）｜（2，1）}.
法二（減法消元）　①－②，得－14 y ＝－14，
解得 y ＝1，
把 y ＝1代入①，得3 x －7×1＝－1，解得 x ＝2.
所以方程組的解集為{（ x ， y ）｜（2，1）}.
法三（加減法消元）　①＋②，得6 x ＝12，解得 x ＝2.
①－②，得－14 y ＝－14，解得 y ＝1.
所以方程組的解集為{（ x ， y ）｜（2，1）}.
（2）
解：①×5－②×2，得7 y ＝21，解得 y ＝3，
把 y ＝3代入①，整理得2 x ＝4，解得 x ＝2.
所以方程組的解集為{（ x ， y ）｜（2，3）}.
通性通法
加減消元法解二元一次方程組的步驟
（1）
變形 根據(jù)同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值的最小公倍數(shù)，將方程的兩
邊都乘適當(dāng)?shù)臄?shù)
（2）
加減 兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，將兩個(gè)方程
相加；同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，將兩個(gè)方程相減
（3）
求解 解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值
（4）
回代 把求得的未知數(shù)的值代入方程組中較簡單的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值
（5）
寫解集 用集合表示為{（ x ， y ）｜（…，…）}的形式
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 設(shè) A ＝{（ x ， y ）｜ y ＝－4 x ＋6}， B ＝{（ x ， y ）｜ y ＝5 x －3}，
則 A ∩ B ＝（　　）
A. {（2，1）} B. （1，2）
C. x ＝1， y ＝2 D. {（1，2）}
解析：　由題意得，集合 A 、 B 均為點(diǎn)集，所以，所求 A ∩ B 即求
兩直線的交點(diǎn)即可，
因?yàn)榻獾媒稽c(diǎn)為（1，2）.故選D.
2. 若（3，－2）∈，則 a ＋ b 的值為 .
解析：∵（3，－2）∈，
∴兩式相加可得： a ＋ b ＝－1.
－1　
題型二 求三元一次方程組的解集
【例3】　求下列方程組的解集：
（1）
③與④組成二元一次方程組
解這個(gè)方程組，得
把 x ＝3， y ＝－1代入①，得3＋3×（－1）＋2 z ＝2，所以 z ＝1.
所以這個(gè)三元一次方程組的解集為{（ x ， y ， z ）｜（3，－1，1）}.
解：法一　①×2＋②，得5 x ＋8 y ＝7， ④
法二　由③，得 y ＝2 x －7， ④
把④代入①，整理得7 x ＋2 z ＝23，
⑤
把④代入②，整理得7 x －4 z ＝17，
⑥
⑤與⑥組成二元一次方程組
解這個(gè)方程組，得把 x ＝3代入④，得 y ＝－1.
所以這個(gè)三元一次方程組的解集為{（ x ， y ， z ）｜（3，－1，1）}.
解：法一　由①和②，得 x ∶ y ∶ z ＝3∶2∶5.
設(shè) x ＝3 k ， y ＝2 k ， z ＝5 k （ k ≠0），并代入③，
得5 k ＋3 k ＋2 k ＝20，
解得 k ＝2.所以 x ＝3 k ＝6， y ＝2 k ＝4， z ＝5 k ＝10.
所以這個(gè)三元一次方程組的解集為{（ x ， y ， z ）｜（6，4，10）}.
（2）
法二　由①，得 x ＝ y ， ④
由②，得 z ＝ y . ⑤
把④和⑤代入③，得 y ＋ y ＋ y ＝20，解得 y ＝4.
把 y ＝4分別代入④和⑤，
得 x ＝6， z ＝10.所以這個(gè)三元一次方程組的解集為{（ x ， y ， z ）｜
（6，4，10）}.
通性通法
解三元一次方程組的一般步驟
　　解三元一次方程組類似于解二元一次方程組，關(guān)鍵是消元轉(zhuǎn)化.通
過加減消元或代入消元逐漸將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求
解，然后再逐個(gè)代入求另外兩個(gè)未知數(shù).最后組成三元一次方程組的一
組解.
提醒　解特殊的三元一次方程組時(shí)，應(yīng)具體問題具體分析，觀察方程
組的特點(diǎn)及未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，靈活消元.對(duì)于一些特殊的方程
組，有特殊的解法，例如：若一個(gè)方程組由兩個(gè)方程構(gòu)成，其中一個(gè)
方程是 x ∶ y ∶ z ＝ a ∶ b ∶ c （ a ， b ， c 為常數(shù)，且都不為0），另一
個(gè)方程是關(guān)于 x ， y ， z 的三元一次方程，解這種方程組時(shí)，可引入 k
（ k ≠0），用含 k 的式子表示 x ， y ， z ，再代入三元一次方程中，化
“三元”為“一元”，求出 k 的值，進(jìn)而可求出 x ， y ， z 的值.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 已知｜ x － z ＋4｜＋｜ z －2 y ＋1｜＋｜ x ＋ y － z ＋1｜＝0，則 x ＋
y ＋ z ＝（　　）
A. 9 B. 10
C. 5 D. 3
解析：　 由題意，得
③－①，得 y ＝3.
把 y ＝3代入②，得 z ＝5.
把 z ＝5代入①，得 x ＝1.所以 x ＋ y ＋ z ＝1＋3＋5＝9.故選A.
2. 已知方程組則代數(shù)式 x － y －5 z ＝ .
解析：對(duì)于方程組下式－上式得 x － y －5 z ＝9
－6＝3.
3
題型三 二元二次方程組的解集
【例4】　求下列方程組的解集：
（1）
解：（1）由①得 y ＝8－ x ， ③
把③代入②，整理得 x2－8 x ＋12＝0.
解得 x1＝2， x2＝6.
把 x1＝2代入③，得 y1＝6.
把 x2＝6代入③，得 y2＝2.
所以原方程組的解集為{（2，6），（6，2）}.
（2）
解：由①得（ x －2 y ）2＋（ x －2 y ）－2＝0，
解得 x －2 y ＝1或 x －2 y ＝－2，
由
由
所以原方程組的解集為 .
通性通法
　　求二元二次方程組解集的基本思想是消元和降次，消元就是
化二元為一元，降次就是把二次降為一次，因此可以通過消元和
降次把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組、一元二次方程甚
至一元一次方程.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 方程組的解集是（　　）
A. （4，5） B. （5，－4）
C. {（5，－4）} D. {（－4，5）}
解析：　由
的解集是{（－4，5）}，故選D.
2. 若則 xyz ＝（　　）
A. 2
D. 3
解析：　法一　由方程組
①÷②得 ＝ ， z ＝2 x ，代入③得 x ＝± ， z ＝± ，
再代入①得 y ＝± ，即原方程組的解為：
所以 xyz ＝± .故選C.
法二　①×②×③得（ xyz ）2＝6，
∴ xyz ＝± .故選C.
題型四 方程組的實(shí)際應(yīng)用
【例5】　某汽車在相距70 km的甲、乙兩地往返行駛，行駛中有一坡
度均勻的小山，該汽車從甲地到乙地需要2.5 h，從乙地到甲地需要2.3
h.假設(shè)該汽車在平路、上坡路、下坡路的行駛過程中時(shí)速分別是30
km，20 km，40 km，則從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡
路的長度各是多少？
解：設(shè)從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路分別是 x km，
y km和 z km.
由題意得
解得
故從甲地到乙地的過程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是
4 km.
通性通法
列方程組解應(yīng)用題的一般步驟
（1）審：認(rèn)真審題，分清題中的已知量、未知量，并明確它們之間
的等量關(guān)系；
（2）設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)；
（3）列：依據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程組；
（4）解：解方程組，求出未知數(shù)的值；
（5）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求得的未知數(shù)的值是否符合題意和實(shí)際意義；
（6）答：寫出結(jié)論.
【跟蹤訓(xùn)練】
某商店有方形、圓形兩種巧克力，小明如果購買3塊方形和5塊圓形巧
克力，他帶的錢會(huì)差8元，如果購買5塊方形和3塊圓形巧克力，他帶
的錢會(huì)剩下8元.若他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下多少錢
（　　）
A. 8元 B. 16元
C. 24元 D. 32元
解析：　設(shè)方形巧克力每塊 x 元，圓形巧克力每塊 y 元，小明帶了 a
元錢，
則兩式相加得8 x ＋8 y ＝2 a ，
∴ x ＋ y ＝ a ，
∵5 x ＋3 y ＝ a －8，∴2 x ＋（3 x ＋3 y ）＝ a －8，
∴2 x ＋3× a ＝ a －8，∴2 x ＝ a －8，∴8 x ＝ a －32，
即他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下32元，故選D.
　數(shù)學(xué)文化與方程組問題


7　
解析：根據(jù)題意知，上、中、下禾實(shí)一秉分別為 x ， y ， z 斗，則有
解得 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ，則 y ＋ z ＝ ＋ ＝7.
【問題探究】
《九章算術(shù)》是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作，全書分為九章，共246
個(gè)問題，包含了算術(shù)、代數(shù)、幾何等多方面的成就.
代數(shù)方面，《九章算術(shù)》的第八章為“方程”，但指的是一次方程
組，本例就是其中的第一個(gè)問題.《九章算術(shù)》給出了解這個(gè)問題的
“方程術(shù)”，其實(shí)質(zhì)是將方程中未知數(shù)的系數(shù)與最后的常數(shù)項(xiàng)排成長
方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法來解，過程可表示如下：
其中第一步是將第二行的數(shù)乘以3，然后不斷地減去第一行，直到第
一個(gè)數(shù)變?yōu)?為止，然后對(duì)第三行做同樣的操作，其余的步驟都類似.
不難看出， “遍乘直除”的目的在于消元.按照我國著名數(shù)學(xué)史學(xué)家
李文林先生的說法，《九章算術(shù)》的方程術(shù)，是世界數(shù)學(xué)史上的一顆
明珠.
《九章算術(shù)》在代數(shù)方面的另一項(xiàng)成就是引進(jìn)了負(fù)數(shù)，在用“方程
術(shù)”解方程組時(shí)，可能出現(xiàn)減數(shù)大于被減數(shù)的情形，為此，《九章算
術(shù)》給出了“正負(fù)術(shù)”，即正負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則.
另外，“開方術(shù)”也是《九章算術(shù)》的代數(shù)成就之一，其實(shí)質(zhì)是
給出了一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的數(shù)值求解步驟.而
且，“開方術(shù)”中還提到：若開之不盡者，為不可開.這是意識(shí)到
了無理數(shù)的存在.
你知道其他地區(qū)類似的代數(shù)成就出現(xiàn)的時(shí)間嗎？感興趣的同學(xué)請(qǐng)查閱
有關(guān)書籍或網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了解吧！
【遷移應(yīng)用】
《九章算術(shù)》第七卷“盈不足”：主要講盈虧問題的一種雙假設(shè)算
法，提出了盈不足，盈適足和不足適足、兩盈和兩不足這三種類型的
盈虧問題，以及若干可通過兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般解法.這種
解法傳到西方后，產(chǎn)生了極大的影響，在當(dāng)時(shí)處于世界領(lǐng)先地位.高中
數(shù)學(xué)教科書中就引用了這樣一道題“今有人共買羊，人出五，不足四
十五；人出七，不足三.問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？“譯文如下：“今有人
合伙買羊，每人出5錢，差45錢；每人出7錢，差3錢，問合伙人數(shù)、
羊價(jià)各是多少？（　　）
A. 21、105 B. 21、150
C. 24、165 D. 24、171
解析：　設(shè)合伙人數(shù)為 x 人，羊價(jià)為 y 錢，則
故選B.
1. 方程組的解集為（　　）
A. {（2，1）} B.
C. {1，2} D. {（1，2）}
解析：　∵∴的解
集為{（1，2）}故選D.
2. 已知集合 A ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x2}， B ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x }，則
集合 A ∩ B 中元素的個(gè)數(shù)為（　　）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析：　聯(lián)立所以 A ∩ B ＝
{（0，0），（1，1）}.故選B.
3. 下列四個(gè)集合中為方程組的解集的是（　　）
A. {（0，1，－2）} B. {（1，0，1）}
C. {（0，－1，0）} D. {（1，－2，3）}
③－②得 x ＝1，將 x ＝1代入④得 y ＝－2，
將 x ＝1， y ＝－2代入②得 z ＝3.
所以方程組的解集為{（1，－2，3）}.故選D.
解析：　
①＋②得3 x ＋ y ＝1， ④
4. 設(shè)計(jì)一個(gè)二元二次方程組，使得這個(gè)二元二次方程組的解是
和試寫出符合要求的方程組 　（答
.
解析：由于這兩組解都有： xy ＝2×3＝6， x － y ＝－1，
故可組成方程組為
（答
案不唯一）　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 方程組的解集為（　　）
B. {（1，1）}
C. {2，－1} D. {（2，－1）}
解析：　
①×5－②得，7 x ＝7，∴ x ＝1.
代入①得 y ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 已知{（2，1）}是方程組的解集，則 a ， b 的值為
（　　）
A. a ＝－1， b ＝3 B. a ＝1， b ＝3
C. a ＝3， b ＝1 D. a ＝3， b ＝－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：　因?yàn)閧（2，1）}是方程組的解集，所以
把 x ＝2， y ＝1代入方程組，得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 如果其中 xyz ≠0，那么 x ∶ y ∶ z ＝（　　）
A. 1∶2∶3 B. 2∶3∶4
C. 2∶3∶1 D. 3∶2∶1
解析：　已知
①×2－②得7 y －21 z ＝0，即 y ＝3 z ，代入①可得： x ＝8 z －6 z ＝2
z ，∴ x ∶ y ∶ z ＝2 z ∶3 z ∶ z ＝2∶3∶1，故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 若｜3 a ＋ b ＋5｜＋｜2 a －2 b －2｜＝0，則2 a2－3 ab 的值是
（　　）
A. 14 B. 2
C. －2 D. －4
解析：　∵｜3 a ＋ b ＋5｜＋｜2 a －2 b －2｜＝0，
∴解得： a ＝－1， b ＝－2，則2 a2－3 ab ＝2－6
＝－4.故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （多選）有下面四種表示方法：其中能正確表示方程組
的解集的是（　　）
A. {（ x ， y ）｜ x ＝－1或 y ＝2}
C. { x ＝－1， y ＝2}
D. {（－1，2）}
1
2
3
4
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解析：　由解集用列舉法表示為
{（－1，2）}，用描述法表示為.
故選B、D.
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6. 設(shè) k ∈R. 若關(guān)于 x 與 y 的二元一次方程組的解集為 ，
則 k ＝ .
解析：由二元一次方程組可得（ k －1） x ＝－4，
因?yàn)橛深}意，二元一次方程組的解集為 ，所以 k －1＝0，即 k ＝1.
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7. 已知方程組的解也是方程3 x ＋ my ＋2 z ＝0的解，則 m
的值為 .
－5
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解析：由原方程組可得：（ x － y ）＋（ y － z ）＝5，即 x － z ＝5，
則把 x ＝3代入 x － y ＝2得， y ＝1.
故原方程組的解是代入3 x ＋ my ＋2 z ＝0，得9＋ m －4＝
0，解得 m ＝－5.
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解析：設(shè)每枚黃金重 x 兩，每枚白銀重 y 兩，由題意得：
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9. 求方程組的解集.
解：
①＋②×2得， x2＋ y2＋2 xy ＝36，即（ x ＋ y ）2＝36，得 x ＋ y ＝6或
x ＋ y ＝－6；
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①－②×2得， x2＋ y2－2 xy ＝16，即（ x － y ）2＝16，
得 x － y ＝4或 x － y ＝－4.
所以
或
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解此四個(gè)方程組，得
故方程組的解集是{（5，1），（1，5），（－1，
－5），（－5，－1）}.
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10. 關(guān)于 x ， y 的方程組的解集，下列說法不正確的是
（　　）
A. 可能是空集 B. 必定不是空集
C. 可能是單元素集合 D. 可能是無限集
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解析：　當(dāng) a ＝ x －3 y ＝6與3 x －2 y ＝4重合，
的解集是無限集，則D正確；
當(dāng) a ≠的解集為單元素集合{（0，2）}，從
而B，C正確；故選A.
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11. 若相異兩實(shí)數(shù) x ， y 滿足則 x3－2 xy ＋ y3＝
（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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解析：　兩式作差消元得：（ x － y ）（ x ＋ y －1）＝0 x ＋ y ＝
1（ x ≠ y ），反代回去得： x2－ x －1＝0，同理可得： y2－ y －1＝
0，所以 x ， y 是方程 t2－ t －1＝0的兩不等實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)
系有：繼而有： x3－2 xy ＋ y3＝ x （ x ＋1）－2 xy ＋ y
（ y ＋1）＝（ x2＋ y2）＋（ x ＋ y ）－2 xy ＝（ x ＋ y ）2＋（ x ＋
y ）－4 xy ＝1＋1＋4＝6.故選D.
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12. 已知關(guān)于 x ， y 的方程組的解都為正數(shù).
（1）當(dāng) a ＝2時(shí)，解此方程組；
解：當(dāng) a ＝2時(shí)，方程組為
①×2＋②得7 x ＝7，即 x ＝1，
把 x ＝1代入①得，3－ y ＝－1，即 y ＝4，
故此方程組的解集為{（1，4）}.
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（2）求 a 的取值范圍.
解：方程組
由③×2＋④得7 x ＝7 a －7即 x ＝ a －1，
把 x ＝ a －1代入④得 y ＝ a ＋2，
∴方程組的解為
由題意，得∴ a ＞1，
故所求 a 的取值范圍是（1，＋∞）.
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13. 已知集合≠ ，其中 x ， y ∈Z，則整
數(shù) m 的取值個(gè)數(shù)為 .
解析：
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②－①得（ m －2） x ＝ m ，
∵方程組有解，∴ m －2≠0即 m ≠2，∴ x ＝ .
把 x ＝ 代入①得 ＋ y ＝2，解得 y ＝ ，
∵解為整數(shù)，∴2－ m ＝±1，2－ m ＝±2，2－ m ＝±4時(shí)， y 為
整數(shù)，
解得 m ＝1或3或0或4或－2或6，
當(dāng) m ＝1或3或0或4時(shí)， x 也為整數(shù).故 m 的取值個(gè)數(shù)為4.
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14. 規(guī)定：｜ a 　 cb 　 d ｜＝ ad － bc ，例如：｜2　－13　　0｜＝2×0
－3×（－1）＝3，解方程組
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解：根據(jù)題意，可得｜3　 y 2　 x ｜＝3 x －2 y ＝1，｜ x 　 z －3　
5｜＝5 x ＋3 z ＝8，｜3　 z 6　 y ｜＝3 y －6 z ＝－3，
所以方程組可化為
解得 x ＝1， y ＝1， z ＝1，
所以原方程組的解集為{（1，1，1）}.
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