資源簡介

2.2.1　不等式及其性質(zhì)
1.已知｜m｜＞｜n｜＞0，則下列不等式一定成立的是（　　 ）
A.m＞n B.｜m｜＋n＞0
C.m＋n＜0 D.＜
2.已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（　　 ）
A.x＞y
B.x＝y(tǒng)
C.x＜y
D.x，y的關(guān)系隨c而定
3.設(shè)0＜α＜，0≤β≤，則2α－的范圍是（　　）
A.0＜2α－＜ B.－＜2α－＜
C.0＜2α－＜π D.－＜2α－＜π
4.下面四個條件中，使a＞b成立的必要而不充分的條件是（　　 ）
A.a＞b＋1 B.a＞b－1
C.a2＞b2 D.a3＞b3
5.（多選）若x＞1＞y，則下列不等式一定成立的是（　　）
A.x－1＞1－y B.x－1＞y－1
C.x－y＞1－y D.1－x＞y－x
6.能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實數(shù).若a2＋b2＞c2，則a＋b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為　　　　 　.
7.給出下列命題：
①若a＜b，c＜0，則＜；
②若ac－3＞bc－3，則a＞b；
③若a＞b且k∈N*，則ak＞bk；
④若c＞a＞b＞0，則＞.
其中是真命題的有　　　　（填序號）.
8.設(shè)f（x）＝ax2＋bx，若1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，則f（－2）的取值范圍是　　　　.
9.已知0＜a＜b且a＋b＝1，試比較：
（1）a2＋b2與b的大小；
（2）2ab與的大小.
10.（多選）若＜＜0，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A.a2＜b2
B.ab＜b2
C.a＋b＜0
D.｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜
11.已知三個不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.則以其中兩個命題為條件，剩下的一個命題為結(jié)論，能得到幾個正確的命題（　　 ）
A.0個 B.1個
C.2個 D.3個
12.（1）用反證法證明：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角大于或等于60°；
（2）證明：用分析法證明＋＞2＋2.
13.有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積（單位：m2）分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費用（單位：元/m2）分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）是（　　）
A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx
C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz
14.某單位計劃今、明兩年均購買某物品，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的購買方案，甲方案：每年購買的數(shù)量相等；乙方案：每年購買的金額相等.假設(shè)今、明兩年該物品的單價分別為p1，p2（p1≠p2），記甲、乙方案中的平均價格分別為Q1，Q2，比較Q1，Q2的大小，并說明哪種方案比較劃算.
2.2.1　不等式及其性質(zhì)
1.B　對于A，若m＝－2，n＝1時，滿足｜m｜＞｜n｜＞0，而不滿足m＞n，所以A錯誤；對于B，當(dāng)n＞0時，則｜m｜＋n＞0一定成立，當(dāng)n＜0時，由｜m｜＞｜n｜＞0，得｜m｜＞－n，則｜m｜＋n＞0，所以B正確；對于C，若m＝2，n＝1時，滿足｜m｜＞｜n｜＞0，而不滿足m＋n＜0，所以C錯誤；對于D，若m＝－2，n＝－1時，則滿足｜m｜＞｜n｜＞0，而不滿足＜，所以D錯誤，故選B.
2.C　由題設(shè)，易知x，y＞0，又＝＝＜1，∴x＜y.故選C.
3.D　由已知，得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
4.B　對A.當(dāng)a＝3，b＝2.5時，此時a＞b不能推出a＞b＋1，不滿足必要性；對B.由a＞b，可得a＞b－1；反之不成立，滿足必要不充分；對C.當(dāng)a＝3，b＝－3時，此時a＞b不能推出a2＞b2，不滿足必要性；對D.由a＞b，可得a3＞b3，反之a(chǎn)3＞b3也可推出a＞b，是充要條件.故選B.
5.BCD　對選項A可用特殊值法.令x＝2，y＝－1，則x－1＝2－1＜1－（－1）＝1－y，故選項A中不等式不成立；x－1－（y－1）＝x－y＞0，故選項B中不等式成立；x－y－（1－y）＝x－1＞0，故選項C中不等式成立；1－x－（y－x）＝1－y＞0，故選項D中不等式成立，故選B、C、D.
6.－3，－1，1（答案不唯一）　解析：令a＝－3，b＝－1，c＝1，則a2＋b2＝10＞1＝c2，此時a＋b＝－4＜－1，所以“a＋b＞c”是假命題.
7.④　解析：①當(dāng)ab＜0時，＞，故①為假命題；
②當(dāng)c＜0時，c3＜0，不等式ac－3＞bc－3的兩邊同時乘以c3，得a＜b，故②為假命題；
③當(dāng)a＝1，b＝－2，k＝2時，12＜（－2）2，故③為假命題；
④∵a＞b＞0，∴－a＜－b＜0，∴0＜c－a＜c－b.
同乘以，得0＜＜，
又a＞b＞0，∴＞＞，故④為真命題.
8.[5，10]　解析：設(shè)f（－2）＝mf（－1）＋nf（1）（m，n為待定系數(shù)），則4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），
即4a－2b＝（m＋n）a＋（n－m）b.
于是得解得
∴f（－2）＝3f（－1）＋f（1）.
又∵1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4.
∴5≤3f（－1）＋f（1）≤10，故5≤f（－2）≤10.
9.解：（1）因為0＜a＜b且a＋b＝1，所以0＜a＜＜b，
則a2＋b2－b＝a2＋b（b－1）＝a2－ab＝a（a－b）＜0，
所以a2＋b2＜b.
（2）因為2ab－＝2a（1－a）－＝－2a2＋2a－
＝－2＝－2＜0，
所以2ab＜.
10.ABC　因為＜＜0，所以b＜a＜0，所以b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，所以A、B、C均正確，因為b＜a＜0，所以｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，故D錯誤.故選A、B、C.
11.D　由于ab＞0，在bc＞ad兩邊同除以ab，得＞，故①③ ②成立；由于ab＞0，在＞的兩邊同乘以ab，得bc＞ad，故①② ③成立；由＞，移項通分得＞0，結(jié)合bc＞ad，得分母ab＞0，故②③ ①成立.綜上所述，以其中兩個作條件，余下的一個作結(jié)論，可組成3個真命題.故選D.
12.證明：（1）在△ABC中，由內(nèi)角和定理得A＋B＋C＝180°，假設(shè)至少有一個內(nèi)角大于或等于60°不正確，則三個角都小于60°，即A＜60°，B＜60°，C＜60°，
則A＋B＋C＜60°＋60°＋60°＝180°，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，
故假設(shè)不成立，所證結(jié)論正確.
（2）要證＋＞2＋2，只要證（＋）2＞（2＋2）2，
即證16＋2＞16＋8，即證2＞8，即證240＞192，因為240＞192顯然成立，
所以原不等式成立.
13.B　法一　∵x＜y＜z且a＜b＜c，
∴ax＋by＋cz－（az＋by＋cx）
＝a（x－z）＋c（z－x）＝（x－z）（a－c）＞0，
∴ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；
同理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz）
＝b（z－x）＋c（x－z）＝（z－x）（b－c）＜0，
∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；
同理，az＋by＋cx－（ay＋bz＋cx）
＝a（z－y）＋b（y－z）＝（z－y）（a－b）＜0，
∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.
∴最低費用為az＋by＋cx（元）.故選B.
法二（特殊值法）　取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，則ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14；az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10；ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11；ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13.故選B.
14.解：對于甲方案，設(shè)每年購買的數(shù)量為x，則兩年購買的總金額為p1x＋p2x，
平均價格Q1＝＝.
對于乙方案，設(shè)每年購買的金額為y，則兩年購買的總數(shù)量為＋，
平均價格Q2＝＝.
因為Q1－Q2＝－＝＝＞0，所以Q1＞Q2.
因此使用乙方案較劃算.
2 / 22.2.1　不等式及其性質(zhì)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì) 數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理
清麗、優(yōu)美的芭蕾舞劇《睡美人》序曲奏響了，一名女演員雙手撫摸著短裙，眼里閃爍著倔強(qiáng)和自信的目光.只見她踮起腳尖，一個優(yōu)雅的旋轉(zhuǎn)，輕盈地提著舞裙，飄然來到臺上，在追光燈下飄起舞裙，那飄灑翩躚的舞姿，把整個舞臺化成一片夢境……她為什么要踮起腳尖呢？因為一般的人，下半身長x與全身長y的比值在0.57～0.6之間.設(shè)人的腳尖立起提高了m，則下半身長與全身長度的比由變成了，這個比值非常接近黃金分割值0.618.這便是不等式在實際生活中的應(yīng)用.
【問題】　不等式還有哪些重要的性質(zhì)呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　比較實數(shù)a，b的大小
1.a－b＜0 　　　　.
2.a－b＝0 　　　　.
3.a－b＞0 　　　　.
【想一想】
1.在比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)中，a，b兩數(shù)是任意實數(shù)嗎？
2.p q的含義是什么？
知識點二　不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1：如果a＞b，那么a＋c　　b＋c.
性質(zhì)2：如果a＞b，c＞0，那么ac　　bc.
性質(zhì)3：如果a＞b，c＜0，那么ac　　bc.
性質(zhì)4：如果a＞b，b＞c，那么a　　c.（傳遞性）
性質(zhì)5：a＞b 　　　　.
推論1：如果a＋b＞c，那么a　　　c－b.（不等式的移項法則）
推論2：如果a＞b，c＞d，那么a＋c　　　b＋d.（同向可加性）
推論3：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac　　　bd.
推論4：如果a＞b＞0，那么an　　　bn（n∈N，n＞1）.
推論5：如果a＞b＞0，那么　　.
【想一想】
1.若a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d成立嗎？a－c＞b－d呢？
2.若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立嗎？
1.設(shè)M＝（x－1）（x－5），N＝（x－3）2，則M與N的大小關(guān)系是（　　 ）
A.M＜N　　　　　　 B.M＞N
C.M＝N D.不能確定
2.對于實數(shù)a，b，c，下列命題中是真命題的是（　　 ）
A.若a＞b，則ac2＞bc2
B.a＞b＞0，則＞
C.若a＞b，＞，則a＞0，b＜0
D.若a＞b＞0，則＞
3.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是　　　　（用“＞”連接）.
題型一 作差法比較大小
【例1】　（1）已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，則（　　）
A.t＞s　　　　　　　 B.t≥s
C.t≤s D.t＜s
（2）設(shè)a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關(guān)系為　　　　.
嘗試解答
通性通法
作差法比較大小的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
1.已知x≠2，y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，則M與N的大小關(guān)系是（　　 ）
A.M＞N B.M＜N
C.M＝N D.不能確定
2.若x∈R，則a＝與b＝的大小關(guān)系為　　 　.
題型二 利用不等式性質(zhì)判斷命題的真假
【例2】　若實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，則下列不等式正確的是（　　 ）
A.a＋c＞b B.a｜c｜＞b｜c｜
C.＜ D.＜
嘗試解答
通性通法
運用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的技巧
（1）運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能隨意捏造性質(zhì)；
（2）解有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.
【跟蹤訓(xùn)練】
（多選）下列命題正確的是（　　 ）
A.若a2＞b2，則a＞b
B.若＞，則a＜b
C.若ac2＞bc2，則a＞b
D.若＜，則a＜b
題型三 利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的值或范圍
【例3】　（1）已知1＜a＜4，2＜b＜8，試求2a＋3b與a－b的取值范圍；
（2）已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范圍.
嘗試解答
【母題探究】
（變設(shè)問）在本例（1）條件下，求的取值范圍.
通性通法
利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式范圍的策略
（1）建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運算，求得待求的范圍；
（2）同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知－6＜a＜8，2＜b＜3，則的取值范圍為　　　　.
題型四 利用不等式性質(zhì)證明不等式
角度1　綜合法
【例4】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證＞.
嘗試解答
角度2　分析法與反證法
【例5】　（1）用分析法證明：－4＜－；
（2）用反證法證明：n2＋3n（n∈N*）為偶數(shù).
嘗試解答
通性通法
利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式的實質(zhì)及注意點
（1）實質(zhì)：就是根據(jù)性質(zhì)把不等式變形；
（2）注意點：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；
②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.
證明不等式常選用綜合法，對于不方便用綜合法證明的不等式可以靈活選擇分析法與反證法.
【跟蹤訓(xùn)練】
（1）設(shè)a≥b＞0，求證：a3＋b3≥a2b＋ab2；
（2）設(shè)a＞0，求證：a2＋≥a＋.
　實際問題中的不等關(guān)系
糖水跟煲湯一樣，具有滋補(bǔ)養(yǎng)生功效.可以作為糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清涼性，有的具有燥熱性.根據(jù)不同的主料來配搭不同輔料，可以達(dá)到相輔相成的效果.專家稱，喝糖水可緩解煩躁失眠.在煩躁而不容易入眠時，喝糖水可使體內(nèi)產(chǎn)生大量血清素，亦可助眠.
【問題探究】
下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？
（1）如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；
（2）把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；
（3）如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.
提示：（1）設(shè)糖水b克，含糖a克，糖水濃度為，加入m克糖，即證明不等式＞（其中a，b，m為正實數(shù)，且b＞a）成立.
不妨用作差比較法，證明如下：
－＝＝.
∵a，b，m為正實數(shù)，且a＜b，
∴b＋m＞0，b－a＞0，
∴＞0，
即＞.
（2）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為，且＜，求證：＜＜（其中b＞a＞0，d＞c＞0）.
證明：∵＜，
且b＞a＞0，d＞c＞0，
∴ad＜bc，即bc－ad＞0，
－＝＝＜0，
即＜，
－＝＝＞0，
即＜.
∴＜＜.
（3）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為，加入m克水，求證：＞（其中b＞a＞0，m＞0）.
證明：∵－＝＝＞0，
∴＞.
結(jié)論　（1）如果一個分式（b＞a＞0）的分子分母同時增大相同的值，則該分式的值變大；
（2）兩個分式中分子與分母分別相加所得的分式的大小介于這兩個分式之間；
（3）一個分式分子不變，分母變大，分式的值變小.
【遷移應(yīng)用】
　建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10％，并且這個比例越大，采光條件越好，問同時增加相同的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了還是變壞了？
1.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是（　　）
A.M＜N　　　　　 B.M＞N
C.M＝N D.M≥N
2.若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，則（　　 ）
A.b＜0，c＜0 B.b＞0，c＞0
C.b＞0，c＜0 D.0＜c＜b或c＜b＜0
3.已知1≤a≤2，－1≤b≤4，則a－2b的取值范圍是（　　）
A.－7≤a－2b≤4 B.－6≤a－2b≤9
C.6≤a－2b≤9 D.－2≤a－2b≤8
4.（多選）已知a，b，c，d∈R，則下列結(jié)論中不成立的是（　　 ）
A.若a＞b，c＞b，則a＞c
B.若a＞－b，則c－a＜c＋b
C.若a＞b，c＜d，則＞
D.若a2＞b2，則－a＜－b
5.設(shè)x＞1，－1＜y＜0，將x，y，－y按從小到大的順序排列為　　　　.
2.2.1　不等式及其性質(zhì)
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點一
1.a＜b　2.a＝b　3.a＞b
想一想
1.提示：是.
2.提示：p q的含義是：p可以推出q，q也可以推出p，即p與q可以互推（等價）.
知識點二
　＞　＞　＜　＞　b＜a　＞　＞　＞　＞　＞
想一想
1.提示：a＋c＞b＋d成立，a－c＞b－d不一定成立，但a－d＞b－c成立.
2.提示：不一定，但當(dāng)a＞b＞0，c＞d＞0時，一定成立.
自我診斷
1.A　由M＝（x－1）（x－5），N＝（x－3）2，則M－N＝（x－1）（x－5）－（x－3）2＝（x2－6x＋5）－（x2－6x＋9）＝－4＜0，所以M＜N.故選A.
2.C　若a＞b，則ac2＞bc2不一定成立. 如：c＝0.所以該選項錯誤；－＝＜0，所以＜，所以該選項錯誤；－＝＞0，所以ab＜0，因為a＞b，所以a＞0，b＜0，所以該選項正確；－＝＜0，所以＜ ，所以該選項錯誤.故選C.
3.a＞－b＞b＞－a　解析：如圖，在數(shù)軸上分別找出四個數(shù)所對應(yīng)的點，從左往右所對應(yīng)的數(shù)依次變大.即－a＜b＜0＜－b＜a.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）C　（2）a＜b　解析：（1）t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，故t≤s.故選C.
（2）∵a＝＋2，b＝2＋，∴a2＝11＋4，b2＝11＋4，∴a2－b2＝4（－）＜0，
即a2＜b2，又a＞0，b＞0，
由推論5知a＜b，∴a，b的大小關(guān)系為a＜b.
跟蹤訓(xùn)練
1.A　因為M－N＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝（x－2）2＋（y＋1）2，且x≠2，y≠－1，所以M－N＞0，所以M＞N，故選A.
2.a≥b　解析：a－b＝－＝＝≥0，當(dāng)x＝1時，等號成立.所以a≥b.
【例2】　C　實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，所以對于A：當(dāng)a＝3，b＝2，c＝－5時，a＋c＞b不成立，故A錯誤；對于B：當(dāng)a＝3，b＝2，c＝0時，a｜c｜＝b｜c｜，故B錯誤；對于C：由于a＞b＞c，所以a－c＞b－c＞0，故－＜0，故C正確；對于D：當(dāng)a＝3，b＝2，c＝0時，無意義，故D錯誤.故選C.
跟蹤訓(xùn)練
　CD　A錯，例如（－3）2＞22；B錯，例如＞；C、D正確.
【例3】　解：（1）∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋（－8）＜a＋（－b）＜4＋（－2），
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范圍是（8，32），a－b的取值范圍是（－7，2）.
（2）設(shè)a＋3b＝λ1（a＋b）＋λ2（a－2b）＝（λ1＋λ2）a＋（λ1－2λ2）b，從而解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤（a＋b）≤，－2≤－（a－2b）≤－，
∴－≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范圍為.
母題探究
　解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范圍是.
跟蹤訓(xùn)練
　（－3，4）　解析：∵－6＜a＜8，2＜b＜3.∴＜＜，
①當(dāng)0≤a＜8時，0≤＜4；
②當(dāng)－6＜a＜0時，得0＜－a＜6，即0＜－＜3，
故－3＜＜0.由①②得：－3＜＜4.
故的取值范圍為（－3，4）.
【例4】　證明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
則（a－c）2＞（b－d）2＞0，即＜.
又∵e＜0，∴＞.
【例5】　證明：（1）要證－4＜－，只需證＋＜＋4，
即證（＋）2＜（＋4）2，即證33＋2＜33＋2，
只需證＜.因為266＜272，
所以＜，
所以－4＜－得證.
（2）假設(shè)n2＋3n（n∈N*）為奇數(shù)，
因為n2＋3n＝n（n＋3），
所以n與n＋3均為奇數(shù)，所以n＋n＋3為偶數(shù)，
而n＋n＋3＝2n＋3為奇數(shù)，所以假設(shè)不成立.故n2＋3n（n∈N*）為偶數(shù).
跟蹤訓(xùn)練
　證明：（1）（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝（a3－a2b）＋（b3－ab2）
＝a2（a－b）＋b2（b－a）
＝（a2－b2）（a－b）＝（a＋b）（a－b）2，
又a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，而（a－b）2≥0，
∴（a＋b）（a－b）2≥0，
故（a3＋b3）－（a2b＋ab2）≥0，即a3＋b3≥a2b＋ab2.
（2）要證a2＋≥a＋，只要證a4＋1≥a3＋a，
只要證a4－a3－（a－1）≥0，只要證a3（a－1）－（a－1）≥0，
只要證（a3－1）（a－1）≥0，只要證（a－1）2（a2＋a＋1）≥0，
因為（a－1）2≥0，a2＋a＋1＝＋＞0，
所以（a－1）2（a2＋a＋1）≥0成立，所以a＞0時，a2＋≥a＋成立.
拓視野　實際問題中的不等關(guān)系
遷移應(yīng)用
　解：設(shè)窗戶面積為a m2，地板面積為b m2，增加的面積為n m2，顯然，a，b，n均為正實數(shù)，且a＜b，由題設(shè)及“糖水濃度不等式”可得：≤＜.
故住宅的采光條件變好了.
隨堂檢測
1.B　∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，
∴－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，
∴M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）
＝a1a2－a1－a2＋1＝a1（a2－1）－（a2－1）
＝（a1－1）（a2－1）＞0，∴M＞N.
2.D　由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.故選D.
3.A　因為－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.故選A.
4.ACD　選項A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；選項C，不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a＞b＞0，c＜0＜d時，不成立；選項D，只有當(dāng)a＞b＞0時才成立.故選A、C、D.
5.y＜－y＜x　解析：∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，
∴y＜－y＜x.
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2.2.1　不等式及其性質(zhì)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì) 數(shù)學(xué)抽象、邏輯
推理
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
清麗、優(yōu)美的芭蕾舞劇《睡美人》序曲奏響了，一名女演員雙手
撫摸著短裙，眼里閃爍著倔強(qiáng)和自信的目光.只見她踮起腳尖，一個優(yōu)
雅的旋轉(zhuǎn)，輕盈地提著舞裙，飄然來到臺上，在追光燈下飄起舞裙，
那飄灑翩躚的舞姿，把整個舞臺化成一片夢境……她為什么要踮起腳
尖呢？因為一般的人，下半身長 x 與全身長 y 的比值 在0.57～0.6之間.
設(shè)人的腳尖立起提高了 m ，則下半身長與全身長度的比由 變成了
，這個比值非常接近黃金分割值0.618.這便是不等式在實際生活
中的應(yīng)用.
【問題】　不等式還有哪些重要的性質(zhì)呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　比較實數(shù) a ， b 的大小
1. a － b ＜0 .
2. a － b ＝0 .
3. a － b ＞0 .
a ＜ b 　
a ＝ b 　
a ＞ b 　
【想一想】
1. 在比較兩實數(shù) a ， b 大小的依據(jù)中， a ， b 兩數(shù)是任意實數(shù)嗎？
提示：是.
2. p q 的含義是什么？
提示： p q 的含義是： p 可以推出 q ， q 也可以推出 p ，即 p 與 q 可
以互推（等價）.
知識點二　不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c b ＋ c .
性質(zhì)2：如果 a ＞ b ， c ＞0，那么 ac bc .
性質(zhì)3：如果 a ＞ b ， c ＜0，那么 ac bc .
性質(zhì)4：如果 a ＞ b ， b ＞ c ，那么 a c .（傳遞性）
性質(zhì)5： a ＞ b .
推論1：如果 a ＋ b ＞ c ，那么 a c － b .（不等式的移項法則）
推論2：如果 a ＞ b ， c ＞ d ，那么 a ＋ c b ＋ d .（同向可加性）
推論3：如果 a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0，那么 ac bd .
推論4：如果 a ＞ b ＞0，那么 an bn （ n ∈N， n ＞1）.
推論5：如果 a ＞ b ＞0，那么 .
＞　
＞　
＜　
＞　
b ＜ a 　
＞　
＞　
＞　
＞　
＞　
【想一想】
1. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ d 成立嗎？ a － c ＞ b － d 呢？
提示： a ＋ c ＞ b ＋ d 成立， a － c ＞ b － d 不一定成立，但 a － d ＞ b
－ c 成立.
2. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，那么 ac ＞ bd 成立嗎？
提示：不一定，但當(dāng) a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0時，一定成立.
1. 設(shè) M ＝（ x －1）（ x －5）， N ＝（ x －3）2，則 M 與 N 的大小關(guān)系
是（　　）
A. M ＜ N B. M ＞ N
C. M ＝ N D. 不能確定
解析：　由 M ＝（ x －1）（ x －5）， N ＝（ x －3）2，則 M － N
＝（ x －1）（ x －5）－（ x －3）2＝（ x2－6 x ＋5）－（ x2－6 x ＋
9）＝－4＜0，所以 M ＜ N . 故選A.
2. 對于實數(shù) a ， b ， c ，下列命題中是真命題的是（　　）
A. 若 a ＞ b ，則 ac2＞ bc2
解析：　若 a ＞ b ，則 ac2＞ bc2不一定成立. 如： c ＝0.所以該選項
錯誤； － ＝ ＜0，所以 ＜ － ＝
＞0，所以 ab ＜0，因為 a ＞ b ，所以 a ＞0， b ＜0，所以該選項正
確； － ＝ ＜0，所以 ＜ ，所以該選項錯誤.故選C.
3. 已知 a ＋ b ＞0， b ＜0，那么 a ， b ，－ a ，－ b 的大小關(guān)系是 （用“＞”連接）.
解析：如圖，在數(shù)軸上分別找出四個數(shù)所對應(yīng)
的點，從左往右所對應(yīng)的數(shù)依次變大.即－ a ＜
b ＜0＜－ b ＜ a .
a ＞－
b ＞ b ＞－ a 　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 作差法比較大小
【例1】　（1）已知 t ＝2 a ＋2 b ， s ＝ a2＋2 b ＋1，則（　C　）
A. t ＞ s B. t ≥ s
C. t ≤ s D. t ＜ s
解析： t－ s ＝（2 a ＋2 b ）－（ a2＋2 b ＋1）＝－（ a －1）2≤0，故 t
≤ s .故選C.
（2）設(shè) a ＝ ＋2 ， b ＝2＋ ，則 a ， b 的大小關(guān)系為 .
解析：∵ a ＝ ＋2 ， b ＝2＋ ，∴ a2＝11＋4 ， b2＝11
＋4 ，∴ a2－ b2＝4（ － ）＜0，
即 a2＜ b2，又 a ＞0， b ＞0，由推論5知 a ＜ b ，
∴ a ， b 的大小關(guān)系為 a ＜ b .
a ＜ b
通性通法
作差法比較大小的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 已知 x ≠2， y ≠－1， M ＝ x2＋ y2－4 x ＋2 y ， N ＝－5，則 M 與 N 的
大小關(guān)系是（　　）
A. M ＞ N B. M ＜ N
C. M ＝ N D. 不能確定
解析：　因為 M － N ＝ x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋5＝（ x －2）2＋（ y ＋
1）2，且 x ≠2， y ≠－1，所以 M － N ＞0，所以 M ＞ N ，故選A.
2. 若 x ∈R，則 a ＝ 與 b ＝ 的大小關(guān)系為 .
解析： a － b ＝ － ＝ ＝ ≥0，當(dāng) x ＝1時，
等號成立.所以 a ≥ b .
a ≥ b
題型二 利用不等式性質(zhì)判斷命題的真假
【例2】　若實數(shù) a ， b ， c 滿足 a ＞ b ＞ c ，則下列不等式正確的是
（　　）
A. a ＋ c ＞ b B. a ｜ c ｜＞ b ｜ c ｜
解析：　實數(shù) a ， b ， c 滿足 a ＞ b ＞ c ，所以對于A：當(dāng) a ＝3， b ＝
2， c ＝－5時， a ＋ c ＞ b 不成立，故A錯誤；對于B：當(dāng) a ＝3， b ＝
2， c ＝0時， a ｜ c ｜＝ b ｜ c ｜，故B錯誤；對于C：由于 a ＞ b ＞ c ，
所以 a － c ＞ b － c ＞0，故 － ＜0，故C正確；對于D：當(dāng) a ＝
3， b ＝2， c ＝0時， 無意義，故D錯誤.故選C.
通性通法
運用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的技巧
（1）運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱
化條件，尤其是不能隨意捏造性質(zhì)；
（2）解有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取
值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡
單，便于驗證計算.
【跟蹤訓(xùn)練】
（多選）下列命題正確的是（　　）
A. 若 a2＞ b2，則 a ＞ b
C. 若 ac2＞ bc2，則 a ＞ b
解析：　A錯，例如（－3）2＞22；B錯，例如 ＞ ；C、D正確.
題型三 利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的值或范圍
【例3】　（1）已知1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，試求2 a ＋3 b 與 a － b 的取
值范圍；
解：∵1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，∴2＜2 a ＜8，6＜3 b ＜24.
∴8＜2 a ＋3 b ＜32.
∵2＜ b ＜8，∴－8＜－ b ＜－2.
又∵1＜ a ＜4，
∴1＋（－8）＜ a ＋（－ b ）＜4＋（－2），
即－7＜ a － b ＜2.
故2 a ＋3 b 的取值范圍是（8，32）， a － b 的取值范圍是（－
7，2）.
（2）已知－1≤ a ＋ b ≤1，1≤ a －2 b ≤3，求 a ＋3 b 的取值范圍.
解：設(shè) a ＋3 b ＝λ1（ a ＋ b ）＋λ2（ a －2 b ）＝（λ1＋λ2） a
＋（λ1－2λ2） b ，從而解得λ1＝ ，λ2＝－ .
又－ ≤ （ a ＋ b ）≤ ，－2≤－ （ a －2 b ）≤－ ，
∴－ ≤ a ＋3 b ≤1.
故 a ＋3 b 的取值范圍為 .
【母題探究】
（變設(shè)問）在本例（1）條件下，求 的取值范圍.
解：∵2＜ b ＜8，∴ ＜ ＜ ，而1＜ a ＜4，
∴1× ＜ a · ＜4× ＜ ＜2.
故 .
通性通法
利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式范圍的策略
（1）建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用不等
式的性質(zhì)進(jìn)行運算，求得待求的范圍；
（2）同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），這種轉(zhuǎn)化不是
等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)
大其取值范圍.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知－6＜ a ＜8，2＜ b ＜3，則 的取值范圍為 .
解析：∵－6＜ a ＜8，2＜ b ＜3.∴ ＜ ＜ ，
①當(dāng)0≤ a ＜8時，0≤ ＜4；
（－3，4）
②當(dāng)－6＜ a ＜0時，得0＜－ a ＜6，
即0＜－ ＜3，
故－3＜ ＜0.
由①②得：－3＜ ＜4.
故 的取值范圍為（－3，4）.
題型四 利用不等式性質(zhì)證明不等式
角度1　綜合法
【例4】　若 a ＞ b ＞0， c ＜ d ＜0， e ＜0，求證 ＞ .
證明：∵ c ＜ d ＜0，∴－ c ＞－ d ＞0.
又 a ＞ b ＞0，∴ a － c ＞ b － d ＞0.
則（ a － c ）2＞（ b － d ）2＞0，即 ＜ .
又∵ e ＜0，∴ ＞ .
角度2　分析法與反證法
【例5】　（1）用分析法證明： －4＜ － ；
證明：要證 －4＜ － ＋ ＜ ＋4，
即證（ ＋ ）2＜（ ＋4）2，即證33＋2 ＜33＋2
，
只需證 ＜ .因為266＜272，
所以 ＜ ，
所以 －4＜ － 得證.
（2）用反證法證明： n2＋3 n （ n ∈N*）為偶數(shù).
證明：假設(shè) n2＋3 n （ n ∈N*）為奇數(shù)，
因為 n2＋3 n ＝ n （ n ＋3），
所以 n 與 n ＋3均為奇數(shù)，
所以 n ＋ n ＋3為偶數(shù)，
而 n ＋ n ＋3＝2 n ＋3為奇數(shù)，
所以假設(shè)不成立.故 n2＋3 n （ n ∈N*）為偶數(shù).
通性通法
　　利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式的實質(zhì)及注意點
（1）實質(zhì)：就是根據(jù)性質(zhì)把不等式變形；
（2）注意點：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確
地加以應(yīng)用；
②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成
立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)
與法則.
證明不等式常選用綜合法，對于不方便用綜合法證明的不等式
可以靈活選擇分析法與反證法.
【跟蹤訓(xùn)練】
（1）設(shè) a ≥ b ＞0，求證： a3＋ b3≥ a2 b ＋ ab2；
證明：（ a3＋ b3）－（ a2 b ＋ ab2）＝（ a3－ a2 b ）＋（ b3－
ab2）
＝ a2（ a － b ）＋ b2（ b － a ）
＝（ a2－ b2）（ a － b ）＝（ a ＋ b ）（ a － b ）2，
又 a ＞0， b ＞0，∴ a ＋ b ＞0，而（ a － b ）2≥0，
∴（ a ＋ b ）（ a － b ）2≥0，
故（ a3＋ b3）－（ a2 b ＋ ab2）≥0，即 a3＋ b3≥ a2 b ＋ ab2.
（2）設(shè) a ＞0，求證： a2＋ ≥ a ＋ .
證明：要證 a2＋ ≥ a ＋ ，只要證 a4＋1≥ a3＋ a ，
只要證 a4－ a3－（ a －1）≥0，只要證 a3（ a －1）－（ a －1）
≥0，
只要證（ a3－1）（ a －1）≥0，只要證（ a －1）2（ a2＋ a ＋
1）≥0，
因為（ a －1）2≥0， a2＋ a ＋1＝ ＋ ＞0，
所以（ a －1）2（ a2＋ a ＋1）≥0成立，所以 a ＞0時， a2＋ ≥
a ＋ 成立.
　實際問題中的不等關(guān)系
　　糖水跟煲湯一樣，具有滋補(bǔ)養(yǎng)生功效.可以作為糖水的材料有很
多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清涼性，有的具有燥熱性.
根據(jù)不同的主料來配搭不同輔料，可以達(dá)到相輔相成的效果.專家稱，
喝糖水可緩解煩躁失眠.在煩躁而不容易入眠時，喝糖水可使體內(nèi)產(chǎn)生
大量血清素，亦可助眠.
【問題探究】
下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？
（1）如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；
提示：設(shè)糖水 b 克，含糖 a 克，糖水濃度
為 ，加入 m 克糖，即證明不等式 ＞
（其中 a ， b ， m 為正實數(shù)，且 b ＞ a ）成立.
不妨用作差比較法，證明如下：
－ ＝ ＝ .
∵ a ， b ， m 為正實數(shù)，且 a ＜ b ，
∴ b ＋ m ＞0， b － a ＞0，∴ ＞0，即 ＞ .
（2）把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到
的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；
提示：設(shè)原糖水 b 克，含糖 a 克，糖水濃
度為 ；另一份糖水 d 克，含糖 c 克，糖水濃度
為 ＜ ＜ ＜ （其中 b
＞ a ＞0， d ＞ c ＞0）.
證明：∵ ＜ ，且 b ＞ a ＞0， d ＞ c ＞0，
∴ ad ＜ bc ，即 bc － ad ＞0，
－ ＝ ＝ ＜0，
即 ＜ ，
－ ＝ ＝ ＞0，
即 ＜ .
∴ ＜ ＜ .
（3）如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.
提示：設(shè)原糖水 b 克，含糖 a 克，糖水濃
度為 ，加入 m 克水，求證： ＞ （其中
b ＞ a ＞0， m ＞0）.
證明：∵ － ＝ ＝
＞0，
∴ ＞ .
結(jié)論　（1）如果一個分式 （ b ＞ a ＞0）的分子分母同時增大
相同的值，則該分式的值變大；
（2）兩個分式中分子與分母分別相加所得的分式的大小介于這兩個
分式之間；
（3）一個分式分子不變，分母變大，分式的值變小.
【遷移應(yīng)用】
　建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按
采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10％，并且這個
比例越大，采光條件越好，問同時增加相同的窗戶面積和地板
面積，住宅的采光條件是變好了還是變壞了？
解：設(shè)窗戶面積為 a m2，地板面積為 b m2，增加的面積為 n
m2，顯然， a ， b ， n 均為正實數(shù)，且 a ＜ b ，由題設(shè)及“糖水濃
度不等式”可得： ≤ ＜ .
故住宅的采光條件變好了.
1. 已知0＜ a1＜1，0＜ a2＜1，記 M ＝ a1 a2， N ＝ a1＋ a2－1，則 M 與 N
的大小關(guān)系是（　　）
A. M ＜ N B. M ＞ N
C. M ＝ N D. M ≥ N
解析：　∵0＜ a1＜1，0＜ a2＜1，∴－1＜ a1－1＜0，－1＜ a2－1
＜0，∴ M － N ＝ a1 a2－（ a1＋ a2－1）＝ a1 a2－ a1－ a2＋1＝ a1（ a2
－1）－（ a2－1）＝（ a1－1）（ a2－1）＞0，∴ M ＞ N .
2. 若 abcd ＜0，且 a ＞0， b ＞ c ， d ＜0，則（　　）
A. b ＜0， c ＜0 B. b ＞0， c ＞0
C. b ＞0， c ＜0 D. 0＜ c ＜ b 或 c ＜ b ＜0
解析：　由 a ＞0， d ＜0，且 abcd ＜0，知 bc ＞0，又∵ b ＞ c ，
∴0＜ c ＜ b 或 c ＜ b ＜0.故選D.
3. 已知1≤ a ≤2，－1≤ b ≤4，則 a －2 b 的取值范圍是（　　）
A. －7≤ a －2 b ≤4 B. －6≤ a －2 b ≤9
C. 6≤ a －2 b ≤9 D. －2≤ a －2 b ≤8
解析：　因為－1≤ b ≤4，所以－8≤－2 b ≤2，由1≤ a ≤2，得
－7≤ a －2 b ≤4.故選A.
4. （多選）已知 a ， b ， c ， d ∈R，則下列結(jié)論中不成立的是（　　）
A. 若 a ＞ b ， c ＞ b ，則 a ＞ c
B. 若 a ＞－ b ，則 c － a ＜ c ＋ b
D. 若 a2＞ b2，則－ a ＜－ b
解析：　選項A，若 a ＝4， b ＝2， c ＝5，顯然不成立；選項
C，不滿足倒數(shù)不等式的條件，如 a ＞ b ＞0， c ＜0＜ d 時，不成
立；選項D，只有當(dāng) a ＞ b ＞0時才成立.故選A、C、D.
5. 設(shè) x ＞1，－1＜ y ＜0，將 x ， y ，－ y 按從小到大的順序排列為
.
解析：∵－1＜ y ＜0，∴0＜－ y ＜1，∴ y ＜－ y ，又 x ＞1，∴ y ＜
－ y ＜ x .
y ＜－ y ＜ x 　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 已知｜ m ｜＞｜ n ｜＞0，則下列不等式一定成立的是（　　）
A. m ＞ n B. ｜ m ｜＋ n ＞0
C. m ＋ n ＜0
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
14
解析：　對于A，若 m ＝－2， n ＝1時，滿足｜ m ｜＞｜ n ｜＞0，
而不滿足 m ＞ n ，所以A錯誤；對于B，當(dāng) n ＞0時，則｜ m ｜＋ n ＞
0一定成立，當(dāng) n ＜0時，由｜ m ｜＞｜ n ｜＞0，得｜ m ｜＞－ n ，
則｜ m ｜＋ n ＞0，所以B正確；對于C，若 m ＝2， n ＝1時，滿足｜
m ｜＞｜ n ｜＞0，而不滿足 m ＋ n ＜0，所以C錯誤；對于D，若 m
＝－2， n ＝－1時，則滿足｜ m ｜＞｜ n ｜＞0，而不滿足 ＜ ，
所以D錯誤，故選B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 已知 c ＞1，且 x ＝ － ， y ＝ － ，則 x ， y 之間的
大小關(guān)系是（　　）
A. x ＞ y B. x ＝ y
C. x ＜ y D. x ， y 的關(guān)系隨 c 而定
解析：　由題設(shè)，易知 x ， y ＞0，又 ＝ ＝ ＜1，
∴ x ＜ y .故選C.
1
2
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8
9
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12
13
14
3. 設(shè)0＜α＜ ，0≤β≤ ，則2α－ 的范圍是（　　）
解析：　由已知，得0＜2α＜π，0≤ ≤ ，∴－ ≤－ ≤0，由
同向不等式相加得到－ ＜2α－ ＜π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 下面四個條件中，使 a ＞ b 成立的必要而不充分的條件是（　　）
A. a ＞ b ＋1 B. a ＞ b －1
C. a2＞ b2 D. a3＞ b3
解析：　對A. 當(dāng) a ＝3， b ＝2.5時，此時 a ＞ b 不能推出 a ＞ b ＋
1，不滿足必要性；對B. 由 a ＞ b ，可得 a ＞ b －1；反之不成立，滿
足必要不充分；對C. 當(dāng) a ＝3， b ＝－3時，此時 a ＞ b 不能推出 a2＞
b2，不滿足必要性；對D. 由 a ＞ b ，可得 a3＞ b3，反之 a3＞ b3也可推
出 a ＞ b ，是充要條件.故選B.
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5. （多選）若 x ＞1＞ y ，則下列不等式一定成立的是（　　）
A. x －1＞1－ y B. x －1＞ y －1
C. x － y ＞1－ y D. 1－ x ＞ y － x
解析：　對選項A可用特殊值法.令 x ＝2， y ＝－1，則 x －1＝2
－1＜1－（－1）＝1－ y ，故選項A中不等式不成立； x －1－（ y －
1）＝ x － y ＞0，故選項B中不等式成立； x － y －（1－ y ）＝ x －1
＞0，故選項C中不等式成立；1－ x －（ y － x ）＝1－ y ＞0，故選
項D中不等式成立，故選B、C、D.
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6. 能夠說明“設(shè) a ， b ， c 是任意實數(shù).若 a2＋ b2＞ c2，則 a ＋ b ＞ c ”
是假命題的一組整數(shù) a ， b ， c 的值依次為
.
解析：令 a ＝－3， b ＝－1， c ＝1，則 a2＋ b2＝10＞1＝ c2，此時 a
＋ b ＝－4＜－1，所以“ a ＋ b ＞ c ”是假命題.
－3，－1，1（答案不唯
一）　
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7. 給出下列命題：
①若 a ＜ b ， c ＜0，則 ＜ ；
②若 ac－3＞ bc－3，則 a ＞ b ；
③若 a ＞ b 且 k ∈N*，則 ak ＞ bk ；
④若 c ＞ a ＞ b ＞0，則 ＞ .
其中是真命題的有 （填序號）.
④
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解析：①當(dāng) ab ＜0時， ＞ ，故①為假命題；
②當(dāng) c ＜0時， c3＜0，不等式 ac－3＞ bc－3的兩邊同時乘以 c3，得 a ＜
b ，故②為假命題；
③當(dāng) a ＝1， b ＝－2， k ＝2時，12＜（－2）2，故③為假命題；
④∵ a ＞ b ＞0，∴－ a ＜－ b ＜0，∴0＜ c － a ＜ c － b .
同乘以 ，得0＜ ＜ ，
又 a ＞ b ＞0，∴ ＞ ＞ ，故④為真命題.
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8. 設(shè) f （ x ）＝ ax2＋ bx ，若1≤ f （－1）≤2，2≤ f （1）≤4，則 f
（－2）的取值范圍是 .
解析：設(shè) f （－2）＝ mf （－1）＋ nf （1）（ m ， n 為待定系數(shù)），
則4 a －2 b ＝ m （ a － b ）＋ n （ a ＋ b ），
即4 a －2 b ＝（ m ＋ n ） a ＋（ n － m ） b .
于是得
∴ f （－2）＝3 f （－1）＋ f （1）.
又∵1≤ f （－1）≤2，2≤ f （1）≤4.
∴5≤3 f （－1）＋ f （1）≤10，故5≤ f （－2）≤10.
[5，10]
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9. 已知0＜ a ＜ b 且 a ＋ b ＝1，試比較：
（1） a2＋ b2與 b 的大小；
解：因為0＜ a ＜ b 且 a ＋ b ＝1，所以0＜ a ＜ ＜ b ，
則 a2＋ b2－ b ＝ a2＋ b （ b －1）＝ a2－ ab ＝ a （ a － b ）＜0，
所以 a2＋ b2＜ b .
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（2）2 ab 與 的大小.
解：因為2 ab － ＝2 a （1－ a ）－
＝－2 a2＋2 a － ＝－2
＝－2 ＜0，
所以2 ab ＜ .
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10. （多選）若 ＜ ＜0，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A. a2＜ b2 B. ab ＜ b2
C. a ＋ b ＜0 D. ｜ a ｜＋｜ b ｜＞｜ a ＋ b ｜
解析：　因為 ＜ ＜0，所以 b ＜ a ＜0，所以 b2＞ a2， ab ＜
b2， a ＋ b ＜0，所以A、B、C均正確，因為 b ＜ a ＜0，所以｜ a ｜
＋｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜，故D錯誤.故選A、B、C.
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11. 已知三個不等式：① ab ＞0；② ＞ ；③ bc ＞ ad .則以其中兩個命
題為條件，剩下的一個命題為結(jié)論，能得到幾個正確的命題
（　　）
A. 0個 B. 1個
C. 2個 D. 3個
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解析：　由于 ab ＞0，在 bc ＞ ad 兩邊同除以 ab ，得 ＞ ，故①
③ ②成立；由于 ab ＞0，在 ＞ 的兩邊同乘以 ab ，得 bc ＞ ad ，
故①② ③成立；由 ＞ ＞0，結(jié)合 bc ＞
ad ，得分母 ab ＞0，故②③ ①成立.綜上所述，以其中兩個作條
件，余下的一個作結(jié)論，可組成3個真命題.故選D.
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12. （1）用反證法證明：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角大于或等
于60°；
證明：在△ ABC 中，由內(nèi)角和定理得 A ＋ B ＋ C ＝
180°，假設(shè)至少有一個內(nèi)角大于或等于60°不正確，則三個角
都小于60°，即 A ＜60°， B ＜60°， C ＜60°，
則 A ＋ B ＋ C ＜60°＋60°＋60°＝180°，這與三角形內(nèi)角和定
理相矛盾，
故假設(shè)不成立，所證結(jié)論正確.
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（2）證明：用分析法證明 ＋ ＞2 ＋2.
證明：要證 ＋ ＞2 ＋2，只要證（ ＋ ）2＞（2 ＋2）2，即證16＋2 ＞16＋8 ，即證2 ＞8 ，即證240＞192，因為240＞192顯然成立，
所以原不等式成立.
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13. 有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，
且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積（單位：m2）
分別為 x ， y ， z ，且 x ＜ y ＜ z ，三種顏色涂料的粉刷費用（單
位：元/m2）分別為 a ， b ， c ，且 a ＜ b ＜ c .在不同的方案中，最
低的總費用（單位：元）是（　　）
A. ax ＋ by ＋ cz B. az ＋ by ＋ cx
C. ay ＋ bz ＋ cx D. ay ＋ bx ＋ cz
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解析：　法一　∵ x ＜ y ＜ z 且 a ＜ b ＜ c ，
∴ ax ＋ by ＋ cz －（ az ＋ by ＋ cx ）
＝ a （ x － z ）＋ c （ z － x ）＝（ x － z ）（ a － c ）＞0，
∴ ax ＋ by ＋ cz ＞ az ＋ by ＋ cx ；
同理， ay ＋ bz ＋ cx －（ ay ＋ bx ＋ cz ）
＝ b （ z － x ）＋ c （ x － z ）
＝（ z － x ）（ b － c ）＜0，
∴ ay ＋ bz ＋ cx ＜ ay ＋ bx ＋ cz ；
同理， az ＋ by ＋ cx －（ ay ＋ bz ＋ cx ）
＝ a （ z － y ）＋ b （ y － z ）
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＝（ z － y ）（ a － b ）＜0，
∴ az ＋ by ＋ cx ＜ ay ＋ bz ＋ cx .
∴最低費用為 az ＋ by ＋ cx （元）.
故選B.
法二（特殊值法）　取 x ＝1， y ＝2， z ＝3， a ＝1， b ＝2， c ＝
3，則 ax ＋ by ＋ cz ＝1×1＋2×2＋3×3＝14； az ＋ by ＋ cx ＝1×3＋
2×2＋3×1＝10； ay ＋ bz ＋ cx ＝1×2＋2×3＋3×1＝11； ay ＋ bx ＋
cz ＝1×2＋2×1＋3×3＝13.故選B.
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14. 某單位計劃今、明兩年均購買某物品，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的購
買方案，甲方案：每年購買的數(shù)量相等；乙方案：每年購買的金
額相等.假設(shè)今、明兩年該物品的單價分別為 p1， p2（ p1≠ p2），
記甲、乙方案中的平均價格分別為 Q1， Q2，比較 Q1， Q2的大小，
并說明哪種方案比較劃算.
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解：對于甲方案，設(shè)每年購買的數(shù)量為 x ，則兩年購買的總金額為
p1 x ＋ p2 x ，
平均價格 Q1＝ ＝ .
對于乙方案，設(shè)每年購買的金額為 y ，則兩年購買的總數(shù)量為 ＋
，平均價格 Q2＝ ＝ .
因為 Q1－ Q2＝ － ＝ ＝
＞0，所以 Q1＞ Q2.
因此使用乙方案較劃算.
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謝 謝 觀 看！

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