資源簡介

2.2.2　不等式的解集
1.已知關(guān)于x的不等式ax＜1的解集為R，則（　　 ）
A.a＞0 B.a＝0
C.a＜0 D.a不存在
2.不等式組的解集為（　　）
A.（－2，1]
B.（－∞，－2）∪[1，＋∞）
C.[1，＋∞）
D.（－∞，－2）
3.在數(shù)軸上，已知A（a－1），B（1－a），原點(diǎn)為O，則（　　 ）
A.a＜1 B.a≥1
C.AB＝0 D.OA＝OB
4.不等式｜x－1｜＋｜x－2｜≤3的最小整數(shù)解是（　　 ）
A.0 B.－1
C.1 D.2
5.（多選）如果關(guān)于x的不等式組的解集為{x｜x＜1}，且關(guān)于x的分式方程＋＝3有非負(fù)數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m可以是（　　）
A.－2 B.0
C.1 D.2
6.若1是關(guān)于x的不等式ax＋1＞2a－x的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　.
7.不等式＜的解集為　　　　.
8.不等式組的解集為　　　　.
9.已知關(guān)于x的不等式組
（1）當(dāng)m＝－11時，求不等式組的解集；
（2）當(dāng)m取何值時，該不等式組的解集是 ？
10.已知條件p：｜x＋1｜＞2，條件q：x＞a，且 p是 q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值范圍為（　　 ）
A.[1，＋∞） B.[－1，＋∞）
C.（－∞，1] D.（－∞，3]
11.對于任意實(shí)數(shù)x，不等式｜x＋7｜≥m＋2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　.
12.已知集合A＝{x∈R｜｜x－1｜＜a，a∈R}，B＝{x∈R｜｜x－1｜＞2}.
（1）若A∩B＝ ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∩B＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
13.設(shè)a為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集中有且僅有4個整數(shù)，則a的取值范圍是　　　　　　.
14.已知不等式｜x＋2｜－｜x＋3｜＞m.
（1）若不等式有解；
（2）若不等式解集為R；
（3）若不等式解集為 .
分別求出m的范圍.
2.2.2　不等式的解集
1.B　當(dāng)a＝0時，0＜1恒成立，∴不等式的解集為R，故選B.
2.C　由得∴x≥1.
3.D　∵a－1與1－a互為相反數(shù)，∴OA＝OB，故選D.
4.A　原不等式可化為或或
解得0≤x≤3，所以最小整數(shù)解是0，故選A.
5.ABC　解不等式≤1，得x≤m＋3，解不等式x－4＞3（x－2），得x＜1，
∵不等式組的解集為{x｜x＜1}，∴m＋3≥1，解得m≥－2.
解分式方程＋＝3得x＝，
∵分式方程有非負(fù)數(shù)解，∴≥0且≠1，解得m＜3且m≠2，
∴－2≤m＜3且m≠2，
則符合條件的整數(shù)m的值是－2，－1，0，1.
故選A、B、C.
6.（－∞，2）　解析：因?yàn)?是關(guān)于x的不等式ax＋1＞2a－x的解，所以a＋1＞2a－1，解得a＜2，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，2）.
7.（－∞，－1）∪（3，＋∞）　解析：因?yàn)椋迹裕黿－1｜＞2，所以x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1，
因此，原不等式的解集為（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
8.[－4，1]　解析：記原不等式組為
解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x≥－4.
故原不等式組的解集為[－4，1].
9.解：（1）當(dāng)m＝－11時，
解不等式①得x＞－4，解不等式②得x＜－，
∴不等式組的解集為.
（2）解不等式m－2x＜x－1，得x＞.
∵不等式組的解集為 ，
∴≥－，∴m≥－.
10.A　由條件p：｜x＋1｜＞2，解得x＞1或x＜－3，故 p：－3≤x≤1，由條件q：x＞a得 q：x≤a，
∵ p是 q的充分不必要條件，∴a≥1，故選A.
11.（－∞，－2]　解析：令y＝｜x＋7｜，要使任意x∈R，｜x＋7｜≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin，
因?yàn)閥min＝0，所以m＋2≤0，
所以m≤－2，所以m的取值范圍是（－∞，－2].
12.解：（1）由｜x－1｜＞2得x＜－1或x＞3，所以B＝（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
當(dāng)a≤0時，A＝ ，符合題意；
當(dāng)a＞0時，A＝（1－a，1＋a），由題知所以0＜a≤2.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，2].
（2）當(dāng)a≤0時，A＝ ，符合題意；
當(dāng)a＞0時，A＝（1－a，1＋a），由于1－a＜1＜3，1＋a＞0＞－1，不滿足A B.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，0].
13.　解析：關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，則a＞0，
故0一定為不等式組的一個整數(shù)解，
若不等式的4個整數(shù)解為0，1，2，3時，
則解得＜a≤2；當(dāng)不等式的4個整數(shù)解為－1，0，1，2時，則不等式組無解，綜上所述，a的取值范圍是.
14.解：法一　因｜x＋2｜－｜x＋3｜的幾何意義為數(shù)軸上任意一點(diǎn)P（x）與兩定點(diǎn)A（－2），B（－3）距離的差.
即｜x＋2｜－｜x＋3｜＝PA－PB.
由圖（圖略）知（PA－PB）max＝1，
（PA－PB）min＝－1.即－1≤｜x＋2｜－｜x＋3｜≤1.
（1）若不等式有解，m只要比｜x＋2｜－｜x＋3｜的最大值小即可，即m＜1，m的范圍為（－∞，1）.
（2）若不等式的解集為R，即不等式恒成立，m只要比｜x＋2｜－｜x＋3｜的最小值還小，即m＜－1，m的范圍為（－∞，－1）.
（3）若不等式的解集為 ，m只要不小于｜x＋2｜－｜x＋3｜的最大值即可，即m≥1，m的范圍為[1，＋∞）.
法二　由｜x＋2｜－｜x＋3｜≤｜（x＋2）－（x＋3）｜＝1，｜x＋3｜－｜x＋2｜≤｜（x＋3）－（x＋2）｜＝1，
可得－1≤｜x＋2｜－｜x＋3｜≤1.
（1）若不等式有解，則m∈（－∞，1）.
（2）若不等式解集為R，則m∈（－∞，－1）.
（3）若不等式解集為 ，則m∈[1，＋∞）.
2 / 22.2.2　不等式的解集
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.會求一元一次不等式（組）的解集 數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.能借助絕對值的幾何意義求解絕對值不等式的解 直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算
　　運(yùn)行程序如圖所示，從“輸入實(shí)數(shù)x”到“結(jié)果是否小于18”為一次程序操作， 輸入x后程序操作僅進(jìn)行了一次就停止.
【問題】　（1）情境中的運(yùn)算程序涉及何不等式？
（2）如何解此不等式？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點(diǎn)一　不等式的解集與不等式組的解集
1.不等式的解集
一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.
2.不等式組的解集
對于由若干個不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集.
【想一想】
1.不等式ax＋b＞0的解集是嗎？
2.不等式的解集是否一定為無限集？
知識點(diǎn)二　絕對值不等式
1.絕對值的定義
數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與　　　　的距離稱為數(shù)a的絕對值，記作｜a｜.而且一個正數(shù)的絕對值是　　　　，一個負(fù)數(shù)的絕對值是　　　　　，0的絕對值是　　　.
2.絕對值不等式
一般地，含有　　　　的不等式稱為絕對值不等式.
3.絕對值不等式的解集
當(dāng)m＞0時，關(guān)于x的不等式｜x｜＞m的解集為　　　　　　　　；關(guān)于x的不等式｜x｜≤m的解集為　　　　.
提醒　｜ax＋b｜≤m，｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：只需將ax＋b看成一個整體，即化成｜x｜≤m，｜x｜≥m（m＞0）型不等式求解.①｜ax＋b｜≤m（m＞0）型不等式的解法：先化為－m≤ax＋b≤m，再由不等式的性質(zhì)求出該不等式的解集；②｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：先化為ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再進(jìn)一步利用不等式性質(zhì)求出該不等式的解集.
知識點(diǎn)三　數(shù)軸上的坐標(biāo)與距離
1.兩點(diǎn)間的距離公式
一般地，如果實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，即A（a），B（b），則線段AB的長為AB＝　　　　，這就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式.
2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式
若線段AB的中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為x，則x＝　　　　就是數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
【想一想】
不等式｜x＋1｜≤3的解集的幾何意義是什么？
1.不等式－3x＋2＞0的解集為（　　 ）
A.{x｜x＜1或x＞2}　　 B.{x｜x＞0}
C. D.{x｜x＜7}
2.已知數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)A（a），B（b），則數(shù)軸上滿足條件PA＝PB的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）
A. B.
C. D.b－a
3.不等式｜x－1｜≤2的解集為　　　　.
題型一 不等式組的解法
【例1】　（鏈接教科書第68頁例1）解下列不等式組：
（1）
（2）
嘗試解答
通性通法
不等式組的求解步驟
（1）求出不等式組中每個不等式的解集；
（2）借助數(shù)軸求出各解集的公共部分（交集）；
（3）寫出不等式組的解集.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.若不等式組有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　 ）
A.a＜－36　　　　　 B.a≤－36
C.a＞－36 D.a≥－36
2.在一元一次不等式組的解集中，整數(shù)解的個數(shù)是（　　 ）
A.4 B.5
C.6 D.7
題型二 解含絕對值的不等式
角度1　｜ax＋b｜≤c與｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法
【例2】　不等式｜5－4x｜＞9的解集為　　　　.
嘗試解答
【母題探究】
（變設(shè)問）若不等式｜kx－5｜≤9的解集為，則實(shí)數(shù)k＝　　　　.
通性通法
｜ax＋b｜≥c和｜ax＋b｜≤c型不等式的解法
（1）當(dāng)c＞0時，｜ax＋b｜≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c，｜ax＋b｜≤c －c≤ax＋b≤c；
（2）當(dāng)c＝0時，｜ax＋b｜≥c的解集為R，｜ax＋b｜＜c的解集為 ；
（3）當(dāng)c＜0時，｜ax＋b｜≥c的解集為R，｜ax＋b｜≤c的解集為 .
角度2　｜x－a｜＋｜x－b｜≥c和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c型不等式的解法
【例3】　（鏈接教科書第70頁探索與研究）解不等式｜x＋7｜－｜x－2｜≤3.
嘗試解答
通性通法
　　分段討論法是解絕對值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟練掌握，在解答過程中要注意以下幾點(diǎn)：
（1）分段要準(zhǔn)確，注意等號的分布，避免重復(fù)或遺漏；
（2）每一段都有一個前提，每一段解出的范圍都要和前提取“交集”，最后寫不等式的解集時要把每一段x的范圍取“并集”，即“先分后合”；
（3）不等式的解集有兩種書寫形式：一是用集合的描述法表示，特殊時用列舉法；二是用區(qū)間.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集為（　　 ）
A.
B.
C.
D.
2.關(guān)于x的不等式｜x｜＋｜x－1｜≥3的解集是（　　 ）
A.（－∞，－1]
B.[2，＋∞）
C.（－∞，－1]∪[2，＋∞）
D.[－1，2]
題型三 數(shù)軸上的距離問題
【例4】　（鏈接教科書第70頁例2）已知數(shù)軸上三點(diǎn)P（－8），Q（m），R（2）.
（1）若其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若線段PQ的中點(diǎn)到線段PR的中點(diǎn)的距離大于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
嘗試解答
通性通法
1.當(dāng)P（x）中x＞0時，點(diǎn)P位于原點(diǎn)右側(cè)，且點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離OP＝x；當(dāng)P（x）中x＜0時，點(diǎn)P位于原點(diǎn)左側(cè)，且點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離OP＝－x.
2.由數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可知，點(diǎn)越靠向右方，對應(yīng)的實(shí)數(shù)越大；點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)越大，點(diǎn)越靠向右方.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)A，B，若B點(diǎn)的坐標(biāo)為3，且AB＝5，則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（　　）
A. B.
C.4 D.或
1.數(shù)軸上點(diǎn)M，N，P的坐標(biāo)分別為3，－1，－5，則MP＋PN＝（　　）
A.－4 B.4
C.－12 D.12
2.不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（　　 ）
3.不等式｜x－2｜－｜x－1｜＞0的解集為（　　）
A. B.
C. D.
4.（多選）已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，則（　　）
A.A∩B＝ B.A∩B＝
C.A∪B＝{x｜x＜2} D.A∪B＝R
5.若m＜1，則關(guān)于x的不等式x＜mx－2的解集為　　 　.
2.2.2　不等式的解集
【基礎(chǔ)知識·重落實(shí)】
知識點(diǎn)一
想一想
1.提示：不一定.當(dāng)a＞0時，不等式ax＋b＞0的解集為；當(dāng)a＜0時，不等式ax＋b＞0的解集為.
2.提示：不一定.如不等式｜x｜＜0的解集是空集，不等式x2≤0的解集是{0}，為有限集.
知識點(diǎn)二
1.原點(diǎn)　它本身　它的相反數(shù)　0　2.絕對值
3.（－∞，－m）∪（m，＋∞）　[－m，m]
知識點(diǎn)三
1.｜a－b｜　2.
想一想
　提示：數(shù)軸上與表示－1的點(diǎn)的距離小于或等于3的點(diǎn)對應(yīng)的所有實(shí)數(shù)組成的集合.
自我診斷
1.C　－3x＋2＞0 3x－2＜0，得x＜，所以不等式的解集是.故選C.
2.C　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x.∵PA＝PB，∴｜a－x｜＝｜b－x｜，即a－x＝±（b－x），解得x＝，故選C.
3.[－1，3]　解析：｜x－1｜≤2 －2≤x－1≤2 －1≤x≤3，
∴不等式的解集為[－1，3].
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：
由圖可知，解集沒有公共部分，不等式組無解，即不等式組的解集為 .
（2）解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：
由圖可知不等式組的解集為.
跟蹤訓(xùn)練
1.C　解不等式1＋x＜a可得x＜a－1；解不等式＋1≥－1，即3x＋33≥2x－4，解得x≥－37.由于原不等式組有解，則a－1＞－37，解得a＞－36.故選C.
2.C　解不等式2x＋1＞0，得x＞－.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式組的解集為，整數(shù)解為0，1，2，3，4，5，共6個.故選C.
【例2】　　解析：∵｜5－4x｜＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.
∴4x＜－4或4x＞14，∴x＜－1或x＞.
∴原不等式的解集為.
母題探究
　4　解析：由｜kx－5｜≤9 －4≤kx≤14.
∵不等式的解集為，
∴k＝4.
【例3】　解：法一　｜x＋7｜－｜x－2｜
可以看成數(shù)軸上的動點(diǎn)（坐標(biāo)為x）到－7對應(yīng)點(diǎn)的距離與到2對應(yīng)點(diǎn)的距離的差，先找到這個差等于3的點(diǎn)，即x＝－1.由圖易知不等式｜x＋7｜－｜x－2｜≤3的解為x≤－1，即x∈（－∞，－1].
法二　令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①當(dāng)x＜－7時，不等式變?yōu)椋瓁－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，∴x＜－7.
②當(dāng)－7≤x≤2時，不等式變?yōu)閤＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，
∴－7≤x≤－1.
③當(dāng)x＞2時，不等式變?yōu)閤＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，
∴x∈ .
∴原不等式的解集為（－∞，－1].
跟蹤訓(xùn)練
1.D　當(dāng)2x－1≥0時，即x≥時，有1≤2x－1＜2，解得1≤x＜；當(dāng)2x－1＜0時，即x＜時，有1≤1－2x＜2，解得－＜x≤0；
綜上不等式的解集為.故選D.
2.C　當(dāng)x≥1時，x＋x－1≥3，解得x≥2，
當(dāng)0＜x＜1時，x＋1－x≥3，不成立，
當(dāng)x≤0時，－x＋1－x≥3，解得x≤－1，
綜上，不等式的解集是（－∞，－1]∪[2，＋∞），故選C.
【例4】　解：（1）若P是線段QR的中點(diǎn)，則－8＝，
∴m＝－18；
若Q是線段PR的中點(diǎn)，則m＝＝－3；
若R是線段PQ的中點(diǎn)，則2＝，∴m＝12.
（2）由題意，知＞1，
即＞1，
∴－1＞1或－1＜－1，解得m＞4或m＜0，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－∞，0）∪（4，＋∞）.
跟蹤訓(xùn)練
　D　記點(diǎn)A（x1），B（x2），則x2＝3.AB＝｜x2－x1｜＝5，即｜3－x1｜＝5，解得x1＝－2或x1＝8.當(dāng)x1＝－2時，M的坐標(biāo)為＝；當(dāng)x1＝8時，M的坐標(biāo)為＝.故選D.
隨堂檢測
1.D　MP＋PN＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12.
2.C　
解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，[3，＋∞）∩（2，＋∞）＝[3，＋∞），故不等式組的解集為[3，＋∞）.在數(shù)軸上表示如圖所示.故選C.
3.A　∵｜x－2｜－｜x－1｜＞0，∴｜x－2｜＞｜x－1｜，
∴（x－2）2＞（x－1）2，可得－4x＋4＞－2x＋1，∴x＜.
∴不等式｜x－2｜－｜x－1｜＞0的解集為.故選A.
4.AC　由3－2x＞0得x＜，A∩B＝{x｜x＜2}∩＝，A正確，B錯誤.A∪B＝{x｜x＜2}∪＝{x｜x＜2}，C正確，D錯誤.故選A、C.
5.　解析：因m＜1，則1－m＞0，不等式x＜mx－2變形為不等式（1－m）x＜－2，解得x＜－，即x＜，所以不等式x＜mx－2的解集為.
4 / 4(共64張PPT)
2.2.2　不等式的解集
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.會求一元一次不等式（組）的解集 數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.能借助絕對值的幾何意義求解絕對值不等式的解 直觀想象、數(shù)學(xué)
運(yùn)算
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　運(yùn)行程序如圖所示，從“輸入實(shí)數(shù) x ”到“結(jié)果是否小于18”為
一次程序操作， 輸入 x 后程序操作僅進(jìn)行了一次就停止.
【問題】　（1）情境中的運(yùn)算程序涉及何不等式？
（2）如何解此不等式？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點(diǎn)一　不等式的解集與不等式組的解集
1. 不等式的解集
一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.
2. 不等式組的解集
對于由若干個不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集
的交集稱為不等式組的解集.
【想一想】
1. 不等式 ax ＋ b ＞0的解集是 嗎？
提示：不一定.當(dāng) a ＞0時，不等式 ax ＋ b ＞0的解集為
；當(dāng) a ＜0時，不等式 ax ＋ b ＞0的解集為 .
2. 不等式的解集是否一定為無限集？
提示：不一定.如不等式｜ x ｜＜0的解集是空集，不等式 x2≤0的解
集是{0}，為有限集.
知識點(diǎn)二　絕對值不等式
1. 絕對值的定義
數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)與 的距離稱為數(shù) a 的絕對值，記作｜
a ｜.而且一個正數(shù)的絕對值是 ，一個負(fù)數(shù)的絕對值
是 ，0的絕對值是 .
2. 絕對值不等式
一般地，含有 的不等式稱為絕對值不等式.
原點(diǎn)　
它本身　
它的相反數(shù)　
0　
絕對值　
3. 絕對值不等式的解集
當(dāng) m ＞0時，關(guān)于 x 的不等式｜ x ｜＞ m 的解集為
；關(guān)于 x 的不等式｜ x ｜≤ m 的解集為
.
（－∞，－ m ）
∪（ m ，＋∞）　
[－ m ，
m ]　
提醒　｜ ax ＋ b ｜≤ m ，｜ ax ＋ b ｜≥ m （ m ＞0）型不等式
的解法：只需將 ax ＋ b 看成一個整體，即化成｜ x ｜≤ m ，｜
x ｜≥ m （ m ＞0）型不等式求解.①｜ ax ＋ b ｜≤ m （ m ＞0）
型不等式的解法：先化為－ m ≤ ax ＋ b ≤ m ，再由不等式的性
質(zhì)求出該不等式的解集；②｜ ax ＋ b ｜≥ m （ m ＞0）型不等式
的解法：先化為 ax ＋ b ≥ m 或 ax ＋ b ≤－ m ，再進(jìn)一步利用不
等式性質(zhì)求出該不等式的解集.
知識點(diǎn)三　數(shù)軸上的坐標(biāo)與距離
1. 兩點(diǎn)間的距離公式
一般地，如果實(shí)數(shù) a ， b 在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為 A ， B ，即 A
（ a ）， B （ b ），則線段 AB 的長為 AB ＝ ，這就是
數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式.
2. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式

｜ a － b ｜　
　
【想一想】
不等式｜ x ＋1｜≤3的解集的幾何意義是什么？
提示：數(shù)軸上與表示－1的點(diǎn)的距離小于或等于3的點(diǎn)對應(yīng)的所有實(shí)數(shù)
組成的集合.
1. 不等式－3 x ＋2＞0的解集為（　　）
A. { x ｜ x ＜1或 x ＞2} B. { x ｜ x ＞0}
D. { x ｜ x ＜7}
解析：　－3 x ＋2＞0 3 x －2＜0，得 x ＜
.故選C.
2. 已知數(shù)軸上不同的兩點(diǎn) A （ a ）， B （ b ），則數(shù)軸上滿足條件 PA
＝ PB 的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（　　）
D. b － a
解析：　設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x .∵ PA ＝ PB ，
∴｜ a － x ｜＝｜ b － x ｜，即 a － x ＝±（ b － x ），
解得 x ＝ ，故選C.
3. 不等式｜ x －1｜≤2的解集為 .
解析：｜ x －1｜≤2 －2≤ x －1≤2 －1≤ x ≤3，
∴不等式的解集為[－1，3].
[－1，3]
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 不等式組的解法
【例1】　（鏈接教科書第68頁例1）解下列不等式組：
（1）
解：解不等式①，得 x ＜－6，解
不等式②，得 x ≥2，把不等式①和②的
解集在數(shù)軸上表示出來：
由圖可知，解集沒有公共部分，不等式
組無解，即不等式組的解集為 .
（2）
解：解不等式①，得 x ＞－ ，解不
等式②，得 x ≤ ，把不等式①和②的解
集在數(shù)軸上表示出來：
由圖可知不等式組的解集為 .
通性通法
不等式組的求解步驟
（1）求出不等式組中每個不等式的解集；
（2）借助數(shù)軸求出各解集的公共部分（交集）；
（3）寫出不等式組的解集.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 若不等式組有解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（　　）
A. a ＜－36 B. a ≤－36
C. a ＞－36 D. a ≥－36
解析：　解不等式1＋ x ＜ a 可得 x ＜ a －1；解不等式 ＋1≥
－1，即3 x ＋33≥2 x －4，解得 x ≥－37.由于原不等式組有解，則 a
－1＞－37，解得 a ＞－36.故選C.
2. 在一元一次不等式組的解集中，整數(shù)解的個數(shù)是
（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析：　解不等式2 x ＋1＞0，得 x ＞－ .解不等式 x －5≤0，得 x
≤5，所以不等式組的解集為 ，整數(shù)解為0，1，2，3，4，
5，共6個.故選C.
題型二 解含絕對值的不等式

解析：∵｜5－4 x ｜＞9，∴5－4 x ＞9或5－4 x ＜－9.
∴4 x ＜－4或4 x ＞14，∴ x ＜－1或 x ＞ .
∴原不等式的解集為 .
　
【母題探究】
（變設(shè)問）若不等式｜ kx －5｜≤9的解集為 ，則實(shí)數(shù)
k ＝ .
解析：由｜ kx －5｜≤9 －4≤ kx ≤14.
∵不等式的解集為 ，∴ k ＝4.
4
通性通法
｜ ax ＋ b ｜≥ c 和｜ ax ＋ b ｜≤ c 型不等式的解法
（1）當(dāng) c ＞0時，｜ ax ＋ b ｜≥ c ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤－ c ，｜ ax
＋ b ｜≤ c － c ≤ ax ＋ b ≤ c ；
（2）當(dāng) c ＝0時，｜ ax ＋ b ｜≥ c 的解集為R，｜ ax ＋ b ｜＜ c 的解集
為 ；
（3）當(dāng) c ＜0時，｜ ax ＋ b ｜≥ c 的解集為R，｜ ax ＋ b ｜≤ c 的解集
為 .
角度2　｜ x － a ｜＋｜ x － b ｜≥ c 和｜ x － a ｜＋｜ x － b ｜≤ c 型不
等式的解法
【例3】　（鏈接教科書第70頁探索與研究）解不等式｜ x ＋7｜－｜ x
－2｜≤3.
解：法一　｜ x ＋7｜－｜ x －2｜可以看成數(shù)軸上的
動點(diǎn)（坐標(biāo)為 x ）到－7對應(yīng)點(diǎn)的距離與到2對應(yīng)點(diǎn)的
距離的差，先找到這個差等于3的點(diǎn)，即 x ＝－1.由
圖易知不等式｜ x ＋7｜－｜ x －2｜≤3的解為 x ≤－
1，即 x ∈（－∞，－1].
法二　令 x ＋7＝0， x －2＝0得 x ＝－7， x ＝2.
①當(dāng) x ＜－7時，不等式變?yōu)椋?x －7＋ x －2≤3，
∴－9≤3成立，∴ x ＜－7.
②當(dāng)－7≤ x ≤2時，不等式變?yōu)?x ＋7＋ x －2≤3，
即2 x ≤－2，∴ x ≤－1，∴－7≤ x ≤－1.
③當(dāng) x ＞2時，不等式變?yōu)?x ＋7－ x ＋2≤3，
即9≤3不成立，∴ x ∈ .
∴原不等式的解集為（－∞，－1].
通性通法
　　分段討論法是解絕對值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟
練掌握，在解答過程中要注意以下幾點(diǎn)：
（1）分段要準(zhǔn)確，注意等號的分布，避免重復(fù)或遺漏；
（2）每一段都有一個前提，每一段解出的范圍都要和前提取“交
集”，最后寫不等式的解集時要把每一段 x 的范圍取“并集”，
即“先分后合”；
（3）不等式的解集有兩種書寫形式：一是用集合的描述法表示，特
殊時用列舉法；二是用區(qū)間.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 不等式1≤｜2 x －1｜＜2的解集為（　　）
解析：　當(dāng)2 x －1≥0時，即 x ≥ 時，有1≤2 x －1＜2，解得1≤ x
＜ ；當(dāng)2 x －1＜0時，即 x ＜ 時，有1≤1－2 x ＜2，解得－ ＜ x
≤0；綜上不等式的解集為 .故選D.
2. 關(guān)于 x 的不等式｜ x ｜＋｜ x －1｜≥3的解集是（　　）
A. （－∞，－1] B. [2，＋∞）
C. （－∞，－1]∪[2，＋∞） D. [－1，2]
解析：　當(dāng) x ≥1時， x ＋ x －1≥3，解得 x ≥2，當(dāng)0＜ x ＜1時， x
＋1－ x ≥3，不成立，當(dāng) x ≤0時，－ x ＋1－ x ≥3，解得 x ≤－1，
綜上，不等式的解集是（－∞，－1]∪[2，＋∞），故選C.
題型三 數(shù)軸上的距離問題
【例4】　（鏈接教科書第70頁例2）已知數(shù)軸上三點(diǎn) P （－8）， Q
（ m ）， R （2）.
（1）若其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求實(shí)數(shù) m 的值；
解：若 P 是線段 QR 的中點(diǎn)，則－8＝ ，
∴ m ＝－18；若 Q 是線段 PR 的中點(diǎn)，則 m ＝ ＝－3；
若 R 是線段 PQ 的中點(diǎn)，則2＝ ，∴ m ＝12.
（2）若線段 PQ 的中點(diǎn)到線段 PR 的中點(diǎn)的距離大于1，求實(shí)數(shù) m 的取
值范圍.
解：由題意，知 ＞1，即 ＞1，
∴ －1＞1或 －1＜－1，解得 m ＞4或 m ＜0，
∴實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（－∞，0）∪（4，＋∞）.
通性通法
1. 當(dāng) P （ x ）中 x ＞0時，點(diǎn) P 位于原點(diǎn)右側(cè)，且點(diǎn) P 與原點(diǎn) O 的距離
OP ＝ x ；當(dāng) P （ x ）中 x ＜0時，點(diǎn) P 位于原點(diǎn)左側(cè)，且點(diǎn) P 與原點(diǎn)
O 的距離 OP ＝－ x .
2. 由數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可知，點(diǎn)越靠向右方，對應(yīng)的實(shí)數(shù)
越大；點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)越大，點(diǎn)越靠向右方.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知數(shù)軸上不同的兩點(diǎn) A ， B ，若 B 點(diǎn)的坐標(biāo)為3，且 AB ＝5，則線段
AB 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（　　）
C. 4
解析：　記點(diǎn) A （ x1）， B （ x2），則 x2＝3. AB ＝｜ x2－ x1｜＝5，
即｜3－ x1｜＝5，解得 x1＝－2或 x1＝8.當(dāng) x1＝－2時， M 的坐標(biāo)為
＝ ；當(dāng) x1＝8時， M 的坐標(biāo)為 ＝ .故選D.
1. 數(shù)軸上點(diǎn) M ， N ， P 的坐標(biāo)分別為3，－1，－5，則 MP ＋ PN ＝
（　　）
A. －4 B. 4
C. －12 D. 12
解析：　 MP ＋ PN ＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12.
2. 不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（　　）
解析：　解不等式2 x －1≥5，得 x ≥3，解不等式8－
4 x ＜0，得 x ＞2，[3，＋∞）∩（2，＋∞）＝[3，＋
∞），故不等式組的解集為[3，＋∞）.在數(shù)軸上表示
如圖所示.故選C.
3. 不等式｜ x －2｜－｜ x －1｜＞0的解集為（　　）
解析：　∵｜ x －2｜－｜ x －1｜＞0，∴｜ x －2｜＞｜ x －1｜，
∴（ x －2）2＞（ x －1）2，可得－4 x ＋4＞－2 x ＋1，∴ x ＜ .∴不
等式｜ x －2｜－｜ x －1｜＞0的解集為 .故選A.
4. （多選）已知集合 A ＝{ x ｜ x ＜2}， B ＝{ x ｜3－2 x ＞0}，則
（　　）
B. A ∩ B ＝
C. A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2} D. A ∪ B ＝R
解析：　由3－2 x ＞0得 x ＜ ， A ∩ B ＝{ x ｜ x ＜2}∩
＝ ，A正確，B錯誤. A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2}∪ ＝
{ x ｜ x ＜2}，C正確，D錯誤.故選A、C.
5. 若 m ＜1，則關(guān)于 x 的不等式 x ＜ mx －2的解集為 .
解析：因 m ＜1，則1－ m ＞0，不等式 x ＜ mx －2變形為不等式（1
－ m ） x ＜－2，解得 x ＜－ ，即 x ＜ ，所以不等式 x ＜ mx
－2的解集為 .
　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 已知關(guān)于 x 的不等式 ax ＜1的解集為R，則（　　）
A. a ＞0 B. a ＝0
C. a ＜0 D. a 不存在
解析：　當(dāng) a ＝0時，0＜1恒成立，∴不等式的解集為R，故選B.
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2. 不等式組的解集為（　　）
A. （－2，1]
B. （－∞，－2）∪[1，＋∞）
C. [1，＋∞）
D. （－∞，－2）
解析：　由∴ x ≥1.
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3. 在數(shù)軸上，已知 A （ a －1）， B （1－ a ），原點(diǎn)為 O ，則（　　）
A. a ＜1 B. a ≥1
C. AB ＝0 D. OA ＝ OB
解析：　∵ a －1與1－ a 互為相反數(shù)，∴ OA ＝ OB ，故選D.
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4. 不等式｜ x －1｜＋｜ x －2｜≤3的最小整數(shù)解是（　　）
A. 0 B. －1
C. 1 D. 2
解析：　原不等式可化為
解得0≤ x ≤3，所以最小整數(shù)解是0，故選A.
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5. （多選）如果關(guān)于 x 的不等式組的解集為{ x ｜ x
＜1}，且關(guān)于 x 的分式方程 ＋ ＝3有非負(fù)數(shù)解，則符合條件
的整數(shù) m 可以是（　　）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
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解析：　解不等式 ≤1，得 x ≤ m ＋3，解不等式 x －4＞3
（ x －2），得 x ＜1，∵不等式組的解集為{ x ｜ x ＜1}，∴ m ＋
3≥1，解得 m ≥－2.解分式方程 ＋ ＝3得 x ＝ ，∵分式方
程有非負(fù)數(shù)解，∴ ≥0且 ≠1，解得 m ＜3且 m ≠2，∴－2≤
m ＜3且 m ≠2，則符合條件的整數(shù) m 的值是－2，－1，0，1.故選
A、B、C.
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6. 若1是關(guān)于 x 的不等式 ax ＋1＞2 a － x 的解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍
是 .
解析：因?yàn)?是關(guān)于 x 的不等式 ax ＋1＞2 a － x 的解，所以 a ＋1＞2 a
－1，解得 a ＜2，
所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（－∞，2）.
（－∞，2）　
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7. 不等式 ＜ 的解集為 .
解析：因?yàn)? ＜ ，所以｜ x －1｜＞2，所以 x －1＞2或 x －1
＜－2，即 x ＞3或 x ＜－1，
因此，原不等式的解集為（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
（－∞，－1）∪（3，＋∞）　
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8. 不等式組的解集為 .
解析：記原不等式組為
解不等式①，得 x ≤1.解不等式②，得 x ≥－4.
故原不等式組的解集為[－4，1].
[－4，1]　
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9. 已知關(guān)于 x 的不等式組
（1）當(dāng) m ＝－11時，求不等式組的解集；
解：當(dāng) m ＝－11時，
解不等式①得 x ＞－4，
解不等式②得 x ＜－ ，
∴不等式組的解集為 .
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（2）當(dāng) m 取何值時，該不等式組的解集是 ？
解：解不等式 m －2 x ＜ x －1，得 x ＞ .
∵不等式組的解集為 ，
∴ ≥－ ，
∴ m ≥－ .
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10. 已知條件 p ：｜ x ＋1｜＞2，條件 q ： x ＞ a ，且 p 是 q 的充
分不必要條件，則實(shí)數(shù) a 的值范圍為（　　）
A. [1，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. （－∞，1] D. （－∞，3]
解析：　由條件 p ：｜ x ＋1｜＞2，解得 x ＞1或 x ＜－3，故
p ：－3≤ x ≤1，由條件 q ： x ＞ a 得 q ： x ≤ a ，
∵ p 是 q 的充分不必要條件，∴ a ≥1，故選A.
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11. 對于任意實(shí)數(shù) x ，不等式｜ x ＋7｜≥ m ＋2恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取
值范圍是 .
解析：令 y ＝｜ x ＋7｜，要使任意 x ∈R，｜ x ＋7｜≥ m ＋2恒成
立，只需 m ＋2≤ ymin，
因?yàn)?ymin＝0，所以 m ＋2≤0，
所以 m ≤－2，所以 m 的取值范圍是（－∞，－2].
（－∞，－2]　
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12. 已知集合 A ＝{ x ∈R｜｜ x －1｜＜ a ， a ∈R}， B ＝{ x ∈R｜｜ x
－1｜＞2}.
（1）若 A ∩ B ＝ ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；
解：由｜ x －1｜＞2得 x ＜－1或 x ＞3，
所以 B ＝（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
當(dāng) a ≤0時， A ＝ ，符合題意；
當(dāng) a ＞0時， A ＝（1－ a ，1＋ a ），由題知
所以0＜ a ≤2.綜上所述，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（－∞，2].
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（2）若 A ∩ B ＝ A ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.
解：當(dāng) a ≤0時， A ＝ ，符合題意；
當(dāng) a ＞0時， A ＝（1－ a ，1＋ a ），由于1－ a ＜1＜3，1＋ a
＞0＞－1，不滿足 A B .
綜上所述，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（－∞，0].
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13. 設(shè) a 為實(shí)數(shù)，若關(guān)于 x 的一元一次不等式組的解集中
有且僅有4個整數(shù)，則 a 的取值范圍是 .
　
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解析：關(guān)于 x 的一元一次不等式組
，則 a ＞0，故0一定為不等式組的一個整數(shù)解，
若不等式的4個整數(shù)解為0，1，2，3時，
則＜ a ≤2；當(dāng)不等式的4個整數(shù)解為－1，
0，1，2時，則不等式組無解，綜上所述， a 的
取值范圍是 .
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14. 已知不等式｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜＞ m .
（1）若不等式有解；
若不等式有解， m 只要比｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜的最大
值小即可，
即 m ＜1， m 的范圍為（－∞，1）.
解：法一　因｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜的幾何意義為數(shù)軸上任意
一點(diǎn) P （ x ）與兩定點(diǎn) A （－2）， B （－3）距離的差.
即｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜＝ PA － PB .
由圖（圖略）知（ PA － PB ）max＝1，
（ PA － PB ）min＝－1.即－1≤｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜≤1.
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（2）若不等式解集為R；
解：若不等式的解集為R，即不等式恒成立， m 只要比｜ x
＋2｜－｜ x ＋3｜的最小值還小，
即 m ＜－1， m 的范圍為（－∞，－1）.
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（3）若不等式解集為 .
分別求出 m 的范圍.
解：若不等式的解集為 ， m 只要不小于｜ x ＋2｜－｜ x ＋
3｜的最大值即可，
即 m ≥1， m 的范圍為[1，＋∞）.
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法二　由｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜≤｜（ x ＋2）－（ x ＋3）｜＝1，｜ x
＋3｜－｜ x ＋2｜≤｜（ x ＋3）－（ x ＋2）｜＝1，
可得－1≤｜ x ＋2｜－｜ x ＋3｜≤1.
（1）若不等式有解，則 m ∈（－∞，1）.
（2）若不等式解集為R，則 m ∈（－∞，－1）.
（3）若不等式解集為 ，則 m ∈[1，＋∞）.
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