資源簡介

2.2.3　一元二次不等式的解法
1.下列四個不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋＞0；③x2＋6x＋10＞0；④2x2－3x＋4＜1.其中解集為R的是（　　）
A.① B.②
C.③ D.④
2.不等式（5－x）（x＋4）≥18的解集是（　　 ）
A.[－1，2]
B.[－2，1]
C.（－∞，－1]∪[2，＋∞）
D.（－∞，－2]∪[1，＋∞）
3.設x∈R，則“x2－2x＜0”是“1＜x＜2”的（　　 ）
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
4.若不等式ax2＋（a－1）x＋a＞0對任意x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是（　　 ）
A.a＜－1或a＞ B.a＞1
C.a＞ D.－1＜a＜
5.（多選）若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是，則以下正確的有（　　 ）
A.a＜0
B.＝－1
C.a＋2b＋3c＞0
D.cx2＋bx＋a＞0的解集為
6.不等式≤1的解集是　　　　.
7.已知P＝（1－，1＋），寫出解集為P的一個一元二次不等式　　　　　.
8.若a＜0，則關于x的不等式a（x＋1）·＜0的解集為　　　　　　　.
9.解關于x的不等式x2＋x－a（a－1）＞0（a∈R）.
10.關于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），且x2－x1＝15，則a＝（　　）
A. B.
C. D.
11.設命題p：對任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立.若p為真命題，則實數m的取值范圍是　　　　 　.
12.已知條件p：2x2－3x＋1≤0，條件q：x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.
13.在R上定義運算：＝ad－bc，若不等式≥1對任意實數x恒成立，則實數a的最大值為（　　）
A.－ B.－
C. D.
14.某摩托車生產企業，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1 000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤＝（出廠價－投入成本）×年銷售量.
（1）寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；
（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？
2.2.3　一元二次不等式的解法
1.C　①顯然不可能；②中Δ＝（－2）2－4×＞0，解集不為R；③中Δ＝62－4×10＜0.滿足條件；④中不等式可化為2x2－3x＋3＜0，所對應的二次函數開口向上，顯然不可能.故選C.
2.A　原不等式可化為x2－x－2≤0，即（x－2）·（x＋1）≤0，解得－1≤x≤2.所以不等式的解集為[－1，2].故選A.
3.C　x2－2x＜0 0＜x＜2，則0＜x＜2不能推出1＜x＜2，但1＜x＜2可以推出0＜x＜2，故“x2－2x＜0”是“1＜x＜2”的必要不充分條件.故選C.
4.C　當a＝0時，0＋（0－1）×x＋0＞0，∴x＜0，不符合題意，舍去；
當a≠0時，由題得a＞0且Δ＝（a－1）2－4a2＜0，所以a＞.綜上：a＞.故選C.
5.ABC　不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是，開口向下，故A正確；
－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，＝2×＝－1，故B正確；
根據對稱軸－＝和4a＋2b＋c＝0可推出帶入選項中的式子可得a＋2b＋3c＝a＋2×－3a＝－5a＞0，故C正確；
－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，－＝2－＝，＝2×＝－1，
當x＝0，c＞0，故cx2＋bx＋a＝cx2＋cx－c＞0，其解集為（－∞，－2）∪，D錯誤；故選A、B、C.
6.（1，6]　解析：由不等式≤1得≤0，故 1＜x≤6.
7.x2－2x－2＜0（答案不唯一）　解析：對于不等式ax2＋bx＋c＜0（a＞0）而言，若解集為P＝（1－，1＋），
則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根為1－和1＋，
那么－＝1＋＋（1－）＝2，＝（1－）（1＋）＝－2，
設a＝1，則b＝－2，c＝－2，所以不等式為x2－2x－2＜0.
8.　解析：因為a＜0，所以解關于x的不等式a（x＋1）·＜0得：x＜－1或x＞－，
所以原不等式的解集為.
9.解：因為關于x的不等式x2＋x－a（a－1）＞0，
所以（x＋a）（x＋1－a）＞0，
當－a＞a－1，即a＜時，x＜a－1或x＞－a，
當a－1＞－a，即a＞時，x＜－a或x＞a－1，
當a－1＝－a，即a＝時，x≠－，
所以當a＜時，原不等式的解集為{x｜x＜a－1，或x＞－a}，
當a＞時，原不等式的解集為{x｜x＜－a，或x＞a－1}，
當a＝時，原不等式的解集為.
10.A　法一　x2－2ax－8a2＜0可化為（x＋2a）·（x－4a）＜0.
∵a＞0且解集為（x1，x2），則x1＝－2a，x2＝4a，
∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝.
法二　由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2）＝36a2＝152，結合a＞0得a＝.
11.1≤m≤3　解析：對于p：因為對任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立，所以對任意x∈[0，1]，（2x－3）min≥m2－4m成立，又因為（2x－3）min＝－3，所以－3≥m2－4m，即1≤m≤3.若p為真命題，則1≤m≤3.
12.解：由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1.
所以條件p對應的集合P＝.
由x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，得a≤x≤a＋1，
所以條件q對應的集合為Q＝{x｜a≤x≤a＋1}.
因為p是q的充分不必要條件.
所以p q，即P Q 或
解得0≤a≤.
所以實數a的取值范圍為.
13.D　由定義知，不等式≥1等價于x2－x－（a2－a－2）≥1，∴x2－x＋1≥a2－a對任意實數x恒成立.∵x2－x＋1＝＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，則實數a的最大值為.
14.解：（1）由題意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）.
（2）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當
即
解不等式組，得0＜x＜，
所以為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范圍為.
2 / 22.2.3　一元二次不等式的解法
新課程標準解讀 核心素養
1.會借助因式分解或配方法求解一元二次不等式 數學運算
2.理解一元二次方程與一元二次不等式的關系 數學抽象、數學運算
城市人口的急劇增加使車輛日益增多，需要通過修建立交橋和高架道路以提高車速和通過能力.城市環線和高速公路網的連結也必須通過大型互通式立交橋進行分流和引導，保證交通的暢通.城市立交橋已成為現代化城市的重要標志.為了保證安全，交通部門規定，在立交橋的某地段的運行汽車的車距d正比于速度v的平方與車身長（單位：m）的積，且車距不得少于半個車身，假定車身長均為l（單位：m），當車速為60（單位：km/h）時，車距為1.44個車身長.
【問題】　在交通繁忙時，應規定怎樣的車速，才能使此處的車流量最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的概念
一般地，形如　　　　　　的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c為常數，而且a≠0.
提醒　判斷一個不等式是一元二次不等式的關鍵：①只含有一個未知數；②未知數的最高次數為2；③特別要注意二次項的系數不為0.
2.用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x1＜x2，則不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是　　　　　　，不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是　　　　　　.
3.用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通過配方總是可以變為　　　　　　　或　　　　　　的形式，然后根據k的正負等知識，就可以得到原不等式的解集.
【想一想】
　mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式嗎？
1.不等式x2－4x＜0的解集是（　　 ）
A.（0，4）　　　　　B.（－4，0）
C.（－∞，4） D.（－∞，0）∪（4，＋∞）
2.已知不等式－x2－x＋6＞0，則該不等式的解集是（　　 ）
A.{x｜－2＜x＜3}
B.{x｜－3＜x＜2}
C.{x｜x＜－3或x＞2}
D.{x｜x＜－2或x＞3}
3.不等式＜0的解集為　　　　.
題型一 不含參數的一元二次不等式的解法
【例1】　（鏈接教科書第73頁例1）解下列不等式：
（1）2x2＋7x＋3＞0；
（2）－4x2＋18x－≥0；
（3）－2x2＋5x－2＜0；
（4）－x2＋3x－5＞0.
嘗試解答
通性通法
解不含參數的一元二次不等式的方法
（1）若不等式對應的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉化為兩個一次因式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集；
（2）若不等式對應的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，不等式的解集易得；
（3）若上述兩種方法均不能解決，則應采用求一元二次不等式的解集的通法，即判別式法.
【跟蹤訓練】
不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（　　）
A.{x｜x＜－1}
B.
C.
D.
題型二 含參數的一元二次不等式的解法
【例2】　解關于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a≠0）.
嘗試解答
通性通法
含參一元二次不等式的解法
【跟蹤訓練】
1.若0＜a＜1，則不等式（x－a）＜0的解集是（　　）
A.
B.（－∞，a）∪
C.
D.∪（a，＋∞）
2.不等式kx2－kx－1＜0恒成立，則實數k的范圍為　　　　　 　.
題型三 兩個“二次”間的關系
【例3】　（鏈接教科書第81頁習題B組7題）（1）若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，則a＋b的值為（　　）
A.14　　　　　　　 B.－10
C.10 D.－14
（2）已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集為，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集.
嘗試解答
通性通法
一元二次不等式解集逆向應用問題的解法及步驟
（1）求解方法：由已知不等式的解可轉化為一元二次方程的兩根，從而由根與系數的關系，找出系數a，b，c之間的關系，寫出不等式的解集；
（2）求解步驟：第一步：審結論——明確解題方向
如要解cx2＋bx＋a＜0，首先確定c的符號，最好能確定a，b，c的值.
第二步：審條件——挖掘題目信息
利用一元二次方程的根與一元二次不等式的解集的關系列出關于a，b，c的方程組，用a表示b，c；
第三步：建聯系——找解題突破口
由給定不等式的解集形式→確定關于a，b，c的方程組→用a表示b，c→代入所求不等式→求解.
【跟蹤訓練】
1.已知不等式x2－7x－a＜0的解集是{x｜2＜x＜b}，則實數a等于（　　 ）
A.－10 B.－5
C.5 D.10
2.關于x的不等式ax2－x＋b＞0的解集為{x｜－2＜x＜1}，則不等式bx2＋ax－1≤0的解集為　　　　 　.
題型四 分式不等式的解法
【例4】　（鏈接教科書第75頁例3）解下列不等式：
（1）≥0；
（2）＞1.
嘗試解答
通性通法
分式不等式的解法
（1）形如＞a（a≠0）的分式不等式可同解變形為＞0，故可轉化為解g（x）[f（x）－ag（x）]＞0；
（2）解≥0（≤0）型的分式不等式，轉化為整式不等式后，應注意分子可取0，而分母不能取0.（f（x），g（x）為關于x的表達式）
【跟蹤訓練】
1.不等式≤0的解集為（　　 ）
A.（－∞，1）∪[3，＋∞）　　B.[1，3]
C.（1，3] D.（1，3）
2.不等式≥1的解集為　　　　 　.
1.下列不等式：①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中一定是一元二次不等式的有（　　）
A.5個　　　　　　　　　　B.4個
C.3個 D.2個
2.設m＋n＞0，則關于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（　　）
A.（－∞，－n）∪（m，＋∞）
B.（－n，m）
C.（－∞，－m）∪（n，＋∞）
D.（－m，n）
3.不等式＞0的解集是（　　）
A.
B.（4，＋∞）
C.（－∞，－3）∪（4，＋∞）
D.（－∞，－3）∪
4.（多選）已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＞0，對于此不等式的解集有下列結論，其中正確的是（　　 ）
A.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集不可能是{x｜x≠2}
B.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集可以是R
C.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集可以是
D.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集可以是{x｜2＜x＜3}
5.不等式ax2＋5x＋c＞0的解集為，則a，c的值分別為　　　　.
2.2.3　一元二次不等式的解法
【基礎知識·重落實】
知識點
1.ax2＋bx＋c＞0　2.（x1，x2）　（－∞，x1）∪（x2，＋∞）
3.（x－h）2＞k　（x－h）2＜k
想一想
　提示：不一定.當m≠0時，mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式.
自我診斷
1.A　x2－4x＜0 x（x－4）＜0，解得0＜x＜4，所以解集為（0，4）.故選A.
2.B　不等式－x2－x＋6＞0等價于x2＋x－6＜0，也即（x＋3）（x－2）＜0，故x∈（－3，2）.
故不等式解集為{x｜－3＜x＜2}.故選B.
3.（0，2）　解析：原不等式可化為解得0＜x＜2，所以不等式＜0的解集為（0，2）.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）法一　因為2x2＋7x＋3＝2＝2（x＋3），
所以2（x＋3）＞0，即x＞－或x＜－3，
所以原不等式的解集為（－∞，－3）∪.
法二　因為2x2＋7x＋3＝2＋3
＝－，
所以2－＞0，即＞，
所以x＋＞或x＋＜－，
即x＞－或x＜－3，
所以原不等式的解集為（－∞，－3）∪.
（2）因為－4x2＋18x－＝－4
＝－4，
所以－4≥0，即≤0，x＝.
所以原不等式的解集為.
（3）因為－2x2＋5x－2＝－2＝－2＝－2＋，
所以－2＋＜0，
即＞.
所以x－＞或x－＜－，
解得x＞2或x＜.
所以原不等式的解集為∪（2，＋∞）.
（4）因為－x2＋3x－5＞0，
所以x2－6x＋10＜0，
又因為x2－6x＋10＝（x－3）2＋1＜0無解，
所以原不等式的解集為 .
跟蹤訓練
　D　因為－2x2＋x＋3＝－（2x2－x－3）＝－（x＋1）（2x－3），
所以－（x＋1）（2x－3）＜0，即（x＋1）（2x－3）＞0，
所以x＞或x＜－1，
所以不等式的解集為.
【例2】　解：①當a＜0時，原不等式化為（x－1）＞0，解得x＜或x＞1.
②當a＞0時，原不等式化為（x－1）＜0.
若a＝1，即＝1時，不等式無解；
若a＞1，即＜1時，解得＜x＜1；
若0＜a＜1，即＞1時，解得1＜x＜.
綜上可知，當a＜0時，不等式的解集為{x｜x＜，或x＞1}；
當0＜a＜1時，不等式的解集為；
當a＝1時，不等式的解集為 ；
當a＞1時，不等式的解集為.
跟蹤訓練
1.A　因為0＜a＜1，所以a＜，則不等式解集為.故選A.
2.（－4，0]　解析：當k＝0時，－1＜0恒成立，所以k＝0符合題意；
當k≠0時，由題得∴－4＜k＜0.綜合得－4＜k≤0.
【例3】　（1）D　由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解為－，，且a＜0.
所以解得
所以a＋b＝－14.
（2）解：因為x2＋px＋q＜0的解集為{x｜－＜x＜}，
所以x1＝－與x2＝是方程x2＋px＋q＝0的兩個實數根，
由根與系數的關系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即為－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x｜－2＜x＜3}.
跟蹤訓練
1.A　由題設，有可得故選A.
2.　解析：由題意可知方程ax2－x＋b＝0的兩根為－2，1，
所以解得則不等式bx2＋ax－1≤0即為2x2－x－1≤0，
其解集為.
【例4】　解：（1）原不等式可化為解得
∴原不等式的解集為.
（2）法一　原不等式可化為或
解得或∴－3＜x＜－，
∴原不等式的解集為.
法二　原不等式可化為＞0，化簡得＞0，即＜0，
∴（2x＋1）（x＋3）＜0，解得－3＜x＜－.
∴原不等式的解集為.
跟蹤訓練
1.C　≤0的解集等價于
解得x∈（1，3].故選C.
2.　解析：根據題意，由≥1，得≥0，即解得≤x＜2，
因此不等式≥1的解集為.
隨堂檢測
1.D　根據一元二次不等式的定義知①②一定是一元二次不等式.
2.B　不等式等價于（x－m）（x＋n）＜0.∵m＋n＞0，∴m＞－n.故原不等式的解集是（－n，m）.故選B.
3.D　＞0 （2x－1）（x＋3）＞0 x＜－3或x＞.故選D.
4.BCD　對于A選項，不等式x2－4x＋4＝（x－2）2＞0的解集為{x｜x≠2}，A錯；
對于B選項，不等式x2＋2x＋2＞0的解集為R，B對；
對于C選項，不等式－x2－2x－2＞0的解集為 ，C對；
對于D選項，不等式－x2＋5x－6＝－（x－2）（x－3）＞0的解集為{x｜2＜x＜3}，D對.故選B、C、D.
5.－6，－1　解析：由題意知，方程ax2＋5x＋c＝0的兩根為x1＝，x2＝，由根與系數的關系得x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝，解得a＝－6，c＝－1.
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2.2.3　
一元二次不等式的解法
新課程標準解讀 核心素養
1.會借助因式分解或配方法求解一元二次不等式 數學運算
2.理解一元二次方程與一元二次不等式的關系 數學抽象、數學
運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
城市人口的急劇增加使車輛日益增多，需要通過修建立交橋和高
架道路以提高車速和通過能力.城市環線和高速公路網的連結也必須通
過大型互通式立交橋進行分流和引導，保證交通的暢通.城市立交橋已
成為現代化城市的重要標志.為了保證安全，交通部門規定，在立交橋
的某地段的運行汽車的車距 d 正比于速度 v 的平方與車身長（單位：
m）的積，且車距不得少于半個車身，假定車身長均為 l （單位：
m），當車速為60（單位：km/h）時，車距為1.44個車身長.
【問題】　在交通繁忙時，應規定怎樣的車速，才能使此處的車流量
最大？
知識點　一元二次不等式的解法
1. 一元二次不等式的概念
一般地，形如 的不等式稱為一元二次不等式，
其中 a ， b ， c 為常數，而且 a ≠0.
提醒　判斷一個不等式是一元二次不等式的關鍵：①只含有一個未
知數；②未知數的最高次數為2；③特別要注意二次項的系數不為0.
ax2＋ bx ＋ c ＞0　
2. 用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果 x1＜ x2，則不等式（ x － x1）（ x － x2）＜0的解集
是 ，不等式（ x － x1）（ x － x2）＞0的解集
是 .
3. 用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）通過配方總是可以變
為 或 的形式，然后根據 k 的
正負等知識，就可以得到原不等式的解集.
（ x1， x2）　
（－∞， x1）∪（ x2，＋∞）　
（ x － h ）2＞ k 　
（ x － h ）2＜ k 　
【想一想】
　 mx2－5 x ＋2＜0是一元二次不等式嗎？
提示：不一定.當 m ≠0時， mx2－5 x ＋2＜0是一元二次不等式.
1. 不等式 x2－4 x ＜0的解集是（　　）
A. （0，4） B. （－4，0）
C. （－∞，4） D. （－∞，0）∪（4，＋∞）
解析：　 x2－4 x ＜0 x （ x －4）＜0，解得0＜ x ＜4，所以解集為
（0，4）.故選A.
2. 已知不等式－ x2－ x ＋6＞0，則該不等式的解集是（　　）
A. { x ｜－2＜ x ＜3} B. { x ｜－3＜ x ＜2}
C. { x ｜ x ＜－3或 x ＞2} D. { x ｜ x ＜－2或 x ＞3}
解析：　不等式－ x2－ x ＋6＞0等價于 x2＋ x －6＜0，也即（ x ＋
3）（ x －2）＜0，故 x ∈（－3，2）.
故不等式解集為{ x ｜－3＜ x ＜2}.故選B.
3. 不等式 ＜0的解集為 .
解析：原不等式可化為解得0＜ x ＜2，所以不等
式 ＜0的解集為（0，2）.
（0，2）　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 不含參數的一元二次不等式的解法
【例1】　（鏈接教科書第73頁例1）解下列不等式：
（1）2 x2＋7 x ＋3＞0；
解：法一　因為2 x2＋7 x ＋3＝2（ x2＋ x ＋ ）＝2
（ x ＋3），
所以2 （ x ＋3）＞0，即 x ＞－ 或 x ＜－3，
所以原不等式的解集為（－∞，－3）∪ .
法二　因為2 x2＋7 x ＋3＝2 ＋3
＝ － ，
所以2 － ＞0，即 ＞ ，
所以 x ＋ ＞ 或 x ＋ ＜－ ，
即 x ＞－ 或 x ＜－3，
所以原不等式的解集為（－∞，－3）∪ .
解：因為－4 x2＋18 x － ＝－4
＝－4 ，
所以－4 ≥0，即 ≤0， x ＝ .
所以原不等式的解集為 .
（2）－4 x2＋18 x － ≥0；
解：因為－2 x2＋5 x －2＝－2 ＝－2 ＝
－2 ＋ ，
所以－2 ＋ ＜0，即 ＞ .
所以 x － ＞ 或 x － ＜－ ，
解得 x ＞2或 x ＜ .
所以原不等式的解集為 ∪（2，＋∞）.
（3）－2 x2＋5 x －2＜0；
解：因為－ x2＋3 x －5＞0，
所以 x2－6 x ＋10＜0，
又因為 x2－6 x ＋10＝（ x －3）2＋1＜0無解，
所以原不等式的解集為 .
（4）－ x2＋3 x －5＞0.
通性通法
解不含參數的一元二次不等式的方法
（1）若不等式對應的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉化為兩
個一次因式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不
等號方向得到不等式的解集；
（2）若不等式對應的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何
值，完全平方式始終大于或等于零，不等式的解集易得；
（3）若上述兩種方法均不能解決，則應采用求一元二次不等式的解
集的通法，即判別式法.
【跟蹤訓練】
不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是（　　）
A. { x ｜ x ＜－1}
解析：　因為－2 x2＋ x ＋3＝－（2 x2－ x －3）＝－（ x ＋1）（2 x －
3），
所以－（ x ＋1）（2 x －3）＜0，即（ x ＋1）（2 x －3）＞0，
所以 x ＞ 或 x ＜－1，
所以不等式的解集為 .
題型二 含參數的一元二次不等式的解法
【例2】　解關于 x 的不等式 ax2－（ a ＋1） x ＋1＜0（ a ≠0）.
解：①當 a ＜0時，原不等式化為 （ x －1）＞0，解得 x ＜ 或 x
＞1.
②當 a ＞0時，原不等式化為 （ x －1）＜0.
若 a ＝1，即 ＝1時，不等式無解；
若 a ＞1，即 ＜1時，解得 ＜ x ＜1；
若0＜ a ＜1，即 ＞1時，解得1＜ x ＜ .綜上可知，當 a ＜0時，不等式
的解集為 ；
當0＜ a ＜1時，不等式的解集為 ；
當 a ＝1時，不等式的解集為 ；
當 a ＞1時，不等式的解集為 .
通性通法
含參一元二次不等式的解法
【跟蹤訓練】
1. 若0＜ a ＜1，則不等式（ x － a ） ＜0的解集是（　　）
解析：　因為0＜ a ＜1，所以 a ＜ .故
選A.
2. 不等式 kx2－ kx －1＜0恒成立，則實數 k 的范圍為 .
解析：當 k ＝0時，－1＜0恒成立，所以 k ＝0符合題意；
當 k ≠0時，由題得∴－4＜ k ＜0.綜合得－4＜ k
≤0.
（－4，0]
題型三 兩個“二次”間的關系
【例3】　（鏈接教科書第81頁習題B組7題）（1）若不等式 ax2＋ bx
＋2＞0的解集是 ，則 a ＋ b 的值為（　D　）
A. 14 B. －10 C. 10 D. －14
解析：　由已知得， ax2＋ bx ＋2＝0的解為－ ，且 a ＜0.所以
所以 a ＋ b ＝－14.
（2）已知一元二次不等式 x2＋ px ＋ q ＜0的解集為 ，
求不等式 qx2＋ px ＋1＞0的解集.
解：因為 x2＋ px ＋ q ＜0的解集為{ x ｜－ ＜ x ＜ }，所以 x1＝
－ 與 x2＝ 是方程 x2＋ px ＋ q ＝0的兩個實數根，
由根與系數的關系得
所以不等式 qx2＋ px ＋1＞0即為－ x2＋ x ＋1＞0，整理得 x2－ x
－6＜0，解得－2＜ x ＜3.
即不等式 qx2＋ px ＋1＞0的解集為{ x ｜－2＜ x ＜3}.
通性通法
一元二次不等式解集逆向應用問題的解法及步驟
（1）求解方法：由已知不等式的解可轉化為一元二次方程的兩根，
從而由根與系數的關系，找出系數 a ， b ， c 之間的關系，寫出
不等式的解集；
（2）求解步驟：第一步：審結論——明確解題方向
如要解 cx2＋ bx ＋ a ＜0，首先確定 c 的符號，最好能確定 a ，
b ， c 的值.
第二步：審條件——挖掘題目信息
利用一元二次方程的根與一元二次不等式的解集的關系列出關
于 a ， b ， c 的方程組，用 a 表示 b ， c ；
第三步：建聯系——找解題突破口
由給定不等式的解集形式→確定關于 a ， b ， c 的方程組→用 a
表示 b ， c →代入所求不等式→求解.
【跟蹤訓練】
1. 已知不等式 x2－7 x － a ＜0的解集是{ x ｜2＜ x ＜ b }，則實數 a 等于
（　　）
A. －10 B. －5
C. 5 D. 10
解析：　由題設，有故選A.

解析：由題意可知方程 ax2－ x ＋ b ＝0的兩根為－2，1，
所以則不等式 bx2＋ ax －1≤0即為2
x2－ x －1≤0，
其解集為 .

題型四 分式不等式的解法
【例4】　（鏈接教科書第75頁例3）解下列不等式：
（1） ≥0；
解：原不等式可化為
解得
∴原不等式的解集為 .
（2） ＞1.
解：法一　原不等式可化為

解得∴－3＜ x ＜－ ，
∴原不等式的解集為 .
法二　原不等式可化為 ＞0，化簡得 ＞0，即
＜0，
∴（2 x ＋1）（ x ＋3）＜0，解得－3＜ x ＜－ .
∴原不等式的解集為 .
通性通法
分式不等式的解法
（1）形如 ＞ a （ a ≠0）的分式不等式可同解變形為
＞0，故可轉化為解 g （ x ）[ f （ x ）－ ag （ x ）]
＞0；
（2）解 ≥0（≤0）型的分式不等式，轉化為整式不等式后，
應注意分子可取0，而分母不能取0.（ f （ x ）， g （ x ）為關于 x
的表達式）
【跟蹤訓練】
1. 不等式 ≤0的解集為（　　）
A. （－∞，1）∪[3，＋∞） B. [1，3]
C. （1，3] D. （1，3）
解析：　 ≤0的解集等價于
解得 x ∈（1，3].故選C.
2. 不等式 ≥1的解集為 　 　.
解析：根據題意，由 ≥1，得 ≥0，即
≤ x ＜2，
因此不等式 ≥1的解集為 .

1. 下列不等式：① x2＞0；②－ x2－ x ≤5；③ ax2＞2；④ x3＋5 x －6＞
0；⑤ mx2－5 y ＜0；⑥ ax2＋ bx ＋ c ＞0.其中一定是一元二次不等式
的有（　　）
A. 5個 B. 4個
C. 3個 D. 2個
解析：　根據一元二次不等式的定義知①②一定是一元二次不
等式.
2. 設 m ＋ n ＞0，則關于 x 的不等式（ m － x ）（ n ＋ x ）＞0的解集是
（　　）
A. （－∞，－ n ）∪（ m ，＋∞）
B. （－ n ， m ）
C. （－∞，－ m ）∪（ n ，＋∞）
D. （－ m ， n ）
解析：　不等式等價于（ x － m ）（ x ＋ n ）＜0.∵ m ＋ n ＞0，
∴ m ＞－ n .故原不等式的解集是（－ n ， m ）.故選B.
3. 不等式 ＞0的解集是（　　）
B. （4，＋∞）
C. （－∞，－3）∪（4，＋∞）
解析：　 ＞0 （2 x －1）（ x ＋3）＞0 x ＜－3或 x ＞
.故選D.
4. （多選）已知關于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0，對于此不等式的解
集有下列結論，其中正確的是（　　）
A. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集不可能是{ x ｜ x ≠2}
B. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集可以是R
C. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集可以是
D. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集可以是{ x ｜2＜ x ＜3}
解析：　對于A選項，不等式 x2－4 x ＋4＝（ x －2）2＞0的解
集為{ x ｜ x ≠2}，A錯；
對于B選項，不等式 x2＋2 x ＋2＞0的解集為R，B對；
對于C選項，不等式－ x2－2 x －2＞0的解集為 ，C對；
對于D選項，不等式－ x2＋5 x －6＝－（ x －2）（ x －3）＞0的解集
為{ x ｜2＜ x ＜3}，D對.故選B、C、D.
5. 不等式 ax2＋5 x ＋ c ＞0的解集為 ，則 a ， c 的值分別
為 .
解析：由題意知，方程 ax2＋5 x ＋ c ＝0的兩根為 x1＝ ， x2＝ ，由
根與系數的關系得 x1＋ x2＝ ＋ ＝－ ， x1 x2＝ × ＝ ，解得 a ＝
－6， c ＝－1.
－6，－1
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 下列四個不等式：
①－ x2＋ x ＋1≥0；② x2－2 x ＋ ＞0；③ x2＋6 x ＋10＞0；④2
x2－3 x ＋4＜1.其中解集為R的是（　　）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
解析：　①顯然不可能；②中Δ＝（－2 ）2－4× ＞0，解集
不為R；③中Δ＝62－4×10＜0.滿足條件；④中不等式可化為2 x2－3
x ＋3＜0，所對應的二次函數開口向上，顯然不可能.故選C.
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2. 不等式（5－ x ）（ x ＋4）≥18的解集是（　　）
A. [－1，2]
B. [－2，1]
C. （－∞，－1]∪[2，＋∞）
D. （－∞，－2]∪[1，＋∞）
解析：　原不等式可化為 x2－ x －2≤0，即（ x －2）·（ x ＋1）
≤0，解得－1≤ x ≤2.所以不等式的解集為[－1，2].故選A.
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3. 設 x ∈R，則“ x2－2 x ＜0”是“1＜ x ＜2”的（　　）
A. 充要條件
B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：　 x2－2 x ＜0 0＜ x ＜2，則0＜ x ＜2不能推出1＜ x ＜2，但
1＜ x ＜2可以推出0＜ x ＜2，故“ x2－2 x ＜0”是“1＜ x ＜2”的必
要不充分條件.故選C.
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4. 若不等式 ax2＋（ a －1） x ＋ a ＞0對任意 x ∈R恒成立，則實數 a 的
取值范圍是（　　）
B. a ＞1
解析：　當 a ＝0時，0＋（0－1）× x ＋0＞0，∴ x ＜0，不符合題
意，舍去；當 a ≠0時，由題得 a ＞0且Δ＝（ a －1）2－4 a2＜0，所
以 a ＞ .綜上： a ＞ .故選C.
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5. （多選）若不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集是 ，則以下正確
的有（　　）
A. a ＜0
C. a ＋2 b ＋3 c ＞0
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解析：　不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集是 ，開口向
下，故A正確；－ ，2是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的兩個根， ＝2×
＝－1，故B正確；根據對稱軸－ ＝ 和4 a ＋2 b ＋ c ＝0可推
出帶入選項中的式子可得 a ＋2 b ＋3 c ＝ a ＋2×
－3 a ＝－5 a ＞0，故C正確；－ ，2是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的兩個
根，－ ＝2－ ＝ ＝2× ＝－1，當 x ＝0， c ＞0，故 cx2
＋ bx ＋ a ＝ cx2＋ cx － c ＞0，其解集為（－∞，－2）∪
，D錯誤；故選A、B、C.
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6. 不等式 ≤1的解集是 .
解析：由不等式 ≤1得 ≤0，故 1
＜ x ≤6.
（1，6]
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7. 已知 P ＝（1－ ，1＋ ），寫出解集為 P 的一個一元二次不等
式 .
解析：對于不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0（ a ＞0）而言，若解集為 P ＝
（1－ ，1＋ ），則一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的兩個根為1
－ 和1＋ ，那么－ ＝1＋ ＋（1－ ）＝2， ＝（1－
）（1＋ ）＝－2，
設 a ＝1，則 b ＝－2， c ＝－2，所以不等式為 x2－2 x －2＜0.
x2－2 x －2＜0（答案不唯一）
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8. 若 a ＜0，則關于 x 的不等式 a （ x ＋1） ＜0的解集為
.
解析：因為 a ＜0，所以解關于 x 的不等式 a （ x ＋1）· ＜0
得： x ＜－1或 x ＞－ ，
所以原不等式的解集為 .

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9. 解關于 x 的不等式 x2＋ x － a （ a －1）＞0（ a ∈R）.
解：因為關于 x 的不等式 x2＋ x － a （ a －1）＞0，
所以（ x ＋ a ）（ x ＋1－ a ）＞0，
當－ a ＞ a －1，即 a ＜ 時， x ＜ a －1或 x ＞－ a ，
當 a －1＞－ a ，即 a ＞ 時， x ＜－ a 或 x ＞ a －1，
當 a －1＝－ a ，即 a ＝ 時， x ≠－ ，
所以當 a ＜ 時，原不等式的解集為{ x ｜ x ＜ a －1，或 x ＞－ a }，
當 a ＞ 時，原不等式的解集為{ x ｜ x ＜－ a ，或 x ＞ a －1}，
當 a ＝ .
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10. 關于 x 的不等式 x2－2 ax －8 a2＜0（ a ＞0）的解集為（ x1， x2），
且 x2－ x1＝15，則 a ＝（　　）
解析：　法一　 x2－2 ax －8 a2＜0可化為（ x ＋2 a ）·（ x －4 a ）
＜0.∵ a ＞0且解集為（ x1， x2），則 x1＝－2 a ， x2＝4 a ，∴ x2－
x1＝6 a ＝15，解得 a ＝ .
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法二　由條件知 x1， x2為方程 x2－2 ax －8 a2＝0的兩根，則 x1＋ x2＝2
a ， x1 x2＝－8 a2，故（ x2－ x1）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝（2 a ）2－4×
（－8 a2）＝36 a2＝152，結合 a ＞0得 a ＝ .
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11. 設命題 p ：對任意 x ∈[0，1]，不等式2 x －3≥ m2－4 m 恒成立.若 p
為真命題，則實數 m 的取值范圍是 .
解析：對于 p ：因為對任意 x ∈[0，1]，不等式2 x －3≥ m2－4 m 恒
成立，所以對任意 x ∈[0，1]，（2 x －3）min≥ m2－4 m 成立，又
因為（2 x －3）min＝－3，所以－3≥ m2－4 m ，即1≤ m ≤3.若 p 為
真命題，則1≤ m ≤3.
1≤ m ≤3
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12. 已知條件 p ：2 x2－3 x ＋1≤0，條件 q ： x2－（2 a ＋1） x ＋ a （ a
＋1）≤0.若 p 是 q 的充分不必要條件，求實數 a 的取值范圍.
解：由2 x2－3 x ＋1≤0，得 ≤ x ≤1.
所以條件 p 對應的集合 P ＝ .
由 x2－（2 a ＋1） x ＋ a （ a ＋1）≤0，得 a ≤ x ≤ a ＋1，
所以條件 q 對應的集合為 Q ＝{ x ｜ a ≤ x ≤ a ＋1}.
因為 p 是 q 的充分不必要條件.
所以 p q ，即 P Q
解得0≤ a ≤ .所以實數 a 的取值范圍為 .
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13. 在R上定義運算： ＝ ad － bc ，若不等式 ≥1對
任意實數 x 恒成立，則實數 a 的最大值為（　　）
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解析：　由定義知，不等式 ≥1等價于 x2－ x －（ a2
－ a －2）≥1，∴ x2－ x ＋1≥ a2－ a 對任意實數 x 恒成立.∵ x2－ x
＋1＝ ＋ ≥ ，∴ a2－ a ≤ ，解得－ ≤ a ≤ ，則實數 a
的最大值為 .
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14. 某摩托車生產企業，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出
廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1 000輛.本年度為適應市場需求，
計劃提高產品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的
比例為 x （0＜ x ＜1），則出廠價相應的提高比例為0.75 x ，同時預
計年銷售量增加的比例為0.6 x .已知年利潤＝（出廠價－投入成
本）×年銷售量.
（1）寫出本年度預計的年利潤 y 與投入成本增加的比例 x 的關
系式；
解：由題意，得 y ＝[1.2×（1＋0.75 x ）－1×（1＋ x ）]×1 000×（1＋0.6 x ）（0＜ x ＜1），整理得 y ＝－60 x2＋20 x ＋200（0＜ x ＜1）.
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（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，問投入成本增加的
比例 x 應在什么范圍內？
解：要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當

解不等式組，得0＜ x ＜ ，
所以為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本
增加的比例 x 的范圍為 .
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