資源簡介

第二課時　均值不等式的應(yīng)用
1.若x＞－1，則x＋的最小值是（　　 ）
A.6 B.5
C.4 D.3
2.已知a＞0，b＞0，a＋b＝4，則下列各式中正確的是（　　 ）
A.＋≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
3.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b（a＜b），其全程的平均時速為v，則（　　 ）
A.a＜v＜ B.v＝
C.＜v＜ D.v＝
4.若關(guān)于x的不等式－x2＋ax－2≤0在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　　 ）
A.[－2，＋∞） B.（－∞，－2]
C. D.（－∞，－3]
5.（多選）下列說法正確的是（　　 ）
A.x＋的最小值為2
B.x2＋1的最小值為1
C.3x（2－x）的最大值為2
D.x2＋最小值為2－2
6.已知正實數(shù)x，y滿足（x＋1）（y＋2）＝16，則x＋y的最小值為　　　　.
7.為凈化水質(zhì)，向一個游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度c（單位：mg·L－1）隨時間t（單位：h）的變化關(guān)系為c＝，則經(jīng)過　　 　h后池水中該藥品的濃度達(dá)到最大.
8.若兩個正實數(shù)x，y滿足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　 .
9.已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20.
（1）求xy的最大值；
（2）求＋的最小值.
10.已知關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0（a＜0）的解集為（x1，x2），則x1＋x2＋的最大值是（　　 ）
A. B.－
C. D.－
11.若實數(shù)a，b滿足a2＋b2＋ab＝4，則a＋b的最大值是（　　 ）
A.12 B.
C.8 D.
12.關(guān)于x的不等式－x2＋ax＋b≥0的解集為[－1，2].
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x＞0，y＞0，且滿足＋＝1時，有2x＋y≥k2＋k＋6恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.
13.設(shè)自變量x對應(yīng)的因變量為y，在滿足對任意的x，不等式y(tǒng)≤M都成立的所有常數(shù)M中，將M的最小值叫做y的上確界.若a，b為正實數(shù)，且a＋b＝1，則－－的上確界為（　　 ）
A.－ B.
C. D.－4
14.2021年8月3日，旅居法國的中國大熊貓歡歡，在法國博瓦勒動物園順利地產(chǎn)下了一對雙胞胎，暫時取名為“棉花”和“小雪”.為了讓媽媽更好地喂養(yǎng)兩個小幼崽，動物園決定在原來的矩形居室ABCD的基礎(chǔ)上，拓展建成一個更大的矩形居室AMPN，使活動的空間更大.為不影響現(xiàn)有的生活環(huán)境，建造時要求點B在AM上，點D在AN上，且對角線MN過點C，如圖所示.已知AB＝6 m，AD＝4 m.設(shè)DN＝x m，矩形AMPN的面積為y m2.
（1）寫出y關(guān)于x的表達(dá)式，并求出x為多少米時，y有最小值；
（2）要使矩形AMPN的面積大于128 m2，則DN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
第二課時　均值不等式的應(yīng)用
1.B　由題意得x＋＝x＋1＋－1，因為x＞－1，所以x＋1＞0，故x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝2時，等號成立.故選B.
2.B　因為a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以＋＝＝≥（2＋2）＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，B正確，A錯誤；
由基本不等式可知ab≤＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，故≤2，C錯誤；≥，D錯誤.故選B.
3.A　設(shè)小王從甲地到乙地行駛的路程為s，
∵b＞a＞0，則v＝＝＜＝，
又＞＝a，故選A.
4.A　由題設(shè)，ax≤x2＋2，又x∈[－3，－1]，則a≥x＋恒成立，由x＋＝－≤－2＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－∈[－3，－1]時等號成立，∴a≥－2.故選A.
5.BD　當(dāng)x＜0時，x＋＜0，故選項A錯誤；
∵x2＋1≥1，∴選項B正確；
∵3x（2－x）＝－3（x－1）2＋3，故3x（2－x）的最大值為3，
∴選項C錯誤；
∵x2＋＝（x2＋2）＋－2≥2－2＝2－2，選項D正確.故選B、D.
6.5　解析：由（x＋1）（y＋2）＝16≤，則（x＋y＋3）2≥64，又x，y＞0，
∴x＋y＋3≥8，即x＋y≥5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3，y＝2時等號成立.
∴x＋y的最小值為5.
7.2　解析：c＝＝.
因為t＞0，所以t＋≥2＝4（當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2時等號成立）.
所以c＝≤＝5，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2時，c取得最大值.
8.[－2，8]　解析：因為正實數(shù)x，y滿足4x＋y－xy＝0，所以xy＝4x＋y≥2＝4，即≥4 xy≥16，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝4x＝8時等號成立，由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，
解得－2≤m≤8.
9.解：（1）∵2x＋5y＝20，x＞0，y＞0，∴2x＋5y≥2，
∴2≤20，即xy≤10，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝5，y＝2時，等號成立，
∴xy的最大值為10.
（2）＋＝·（2x＋5y）＝（2＋5＋＋）＝≥（7＋2），
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立.
∴＋的最小值為（7＋2）.
10.D　x2－4ax＋3a2＜0（a＜0）的解集為（x1，x2），則x1，x2是方程x2－4ax＋3a2＝0的兩個根，故x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，故x1＋x2＋＝4a＋，因為a＜0，所以由基本不等式得：4a＋＝－≤－2＝－，當(dāng)且僅當(dāng)－4a＝－即a＝－時，等號成立，所以x1＋x2＋的最大值為－.故選D.
11.B　a2＋b2＋ab＝4 （a＋b）2＝ab＋4，而ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”，
于是得（a＋b）2≤＋4，即（a＋b）2≤4，解得－≤a＋b≤，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，（a＋b）max＝，
所以a＋b的最大值是.故選B.
12.解：（1）因為關(guān)于x的不等式－x2＋ax＋b≥0的解集為[－1，2]，
所以－1和2是方程－x2＋ax＋b＝0的兩個實數(shù)根，可得解得
經(jīng)檢驗滿足條件，所以a＝1，b＝2.
（2）由（1）知可得＋＝1，
則2x＋y＝（2x＋y）＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因為2x＋y≥k2＋k＋6恒成立，所以（2x＋y）min≥k2＋k＋6，即8≥k2＋k＋6，
可得k2＋k－2≤0，解得－2≤k≤1，所以k的取值范圍為[－2，1].
13.A　因為a，b為正實數(shù)，且a＋b＝1，
所以＋＝×（a＋b）＝＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即a＝，b＝時等號成立，因此有－－≤－，即－－的上確界為－.
14.解：（1）由題圖知CD∥AM，∴＝，∴AM＝ ，∴y＝·（x＋4）＝＝6（x＞0），由基本不等式可知x＞0時，x＋≥2＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝即x＝4時，ymin＝96.
（2）∵要使矩形AMPN的面積大于128 m2，
∴＞128，
∴3x2－40x＋48＞0，∴0＜x＜或x＞12，
∴DN的長應(yīng)在∪（12，＋∞）.
2 / 2第二課時　均值不等式的應(yīng)用
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.熟練掌握利用均值不等式求函數(shù)的最值問題 數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理
2.會用均值不等式求解實際應(yīng)用問題 數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算
某養(yǎng)殖場要用100米的籬笆圍成一個矩形的雞舍.
【問題】　怎樣設(shè)計才能使雞舍面積最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　均值不等式與最值
已知x＞0，y＞0，則
（1）若x＋y＝s（和為定值），則當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值；
（2）若xy＝p（積為定值），則當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值2.
即：當(dāng)兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；
當(dāng)兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值.
提醒　在應(yīng)用均值不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件：一正、二定、三相等，這三個條件缺一不可.
①一正：符合均值不等式≥成立的前提條件，a＞0，b＞0；
②二定：化不等式的一邊為定值；
③三相等：必須存在取“＝”的條件，即“＝”成立.
1.已知x＞0，則x＋的最小值為（　　 ）
A.　　　　　　　　 B.2
C.2 D.4
2.已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2＝2，那么xy的最大值為（　　 ）
A. B.
C.1 D.2
3.已知0＜x＜1，則x（1－x）的最大值為　　　，此時x＝　　　　.
題型一 利用均值不等式求最值
【例1】　（鏈接教科書第78頁例4）（1）若x＞0，則12x＋的最小值為　　　　；
（2）已知x＞2，則x＋的最小值為　　　　；
（3）若0＜x＜，則x（1－2x）的最大值是　　　　.
嘗試解答
通性通法
　　利用均值不等式求最值的方法
　　利用均值不等式，通過恒等變形及配湊，使“和”或“積”為定值.常見的變形方法有拆、并、配.
（1）拆——裂項拆項：對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進(jìn)行拆項，為應(yīng)用均值不等式湊定值創(chuàng)造條件；
（2）并——分組并項：目的是分組后各組可以單獨應(yīng)用均值不等式，或分組后先對一組應(yīng)用均值不等式，再在組與組之間應(yīng)用均值不等式得出最值；
（3）配——配式配系數(shù)：有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用均值不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的兩因式之和為定值.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.下列函數(shù)中，最小值是2的是（　　 ）
A.y＝x＋　　　　 B.y＝＋
C.y＝x2＋ D.y＝x3＋
2.已知0＜x＜4，則x（4－x）的最大值為　　　　，此時x＝　　　　.
題型二 利用均值不等式求條件最值
【例2】　已知x＞0，y＞0，且滿足＋＝1.求x＋2y的最小值.
嘗試解答
通性通法
常數(shù)代換法求最值的方法步驟
（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；
（2）把確定的定值（常數(shù)）變形為1；
（3）把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；
（4）利用均值不等式求最值.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.已知正實數(shù)a，b滿足4a＋b＝18，使得＋取最小值時，實數(shù)a，b的值為（　　 ）
A.a＝，b＝9 B.a＝2，b＝10
C.a＝3，b＝6 D.a＝，b＝
2.已知a＞0，b＞0，3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為（　　）
A.2 B.3
C.2＋ D.2＋
題型三 利用均值不等式解應(yīng)用題
【例3】　要在長為800 m，寬為600 m的一塊長方形地面上進(jìn)行綠化，要求四周種花卉（花卉的寬度相同），中間種草皮.要求草皮的面積不少于總面積的一半，則花卉寬度的范圍是　　　　 　.
嘗試解答
通性通法
利用均值不等式求實際問題中最值的4步驟
（1）閱讀理解材料：理解材料中的文字語言、圖形語言及符號語言，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型；
（2）建立數(shù)學(xué)模型：把實際問題用符號語言、圖形語言抽象成數(shù)學(xué)模型，并且建立所得數(shù)學(xué)模型和已知均值不等式數(shù)學(xué)模型的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造出符合題意的數(shù)學(xué)模型；
（3）解數(shù)學(xué)模型：按照數(shù)學(xué)知識（均值不等式求最值的方法）解均值不等式求最值；
（4）寫出問題結(jié)論：根據(jù)所求結(jié)果，結(jié)合題目要求，寫出問題的結(jié)論.
【跟蹤訓(xùn)練】
某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x的值是（　　 ）
A.20　 B.30
C.40 D.50
　均值不等式的拓廣應(yīng)用
二元均值不等式：設(shè)a，b為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等式成立.
證明：因為（a＋b）2－4ab＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab，從而得≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等式成立.
三元均值不等式：設(shè)a，b，c為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等式成立.
證明：設(shè)d為正數(shù)，由二元均值不等式，得＝≥≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d時，等式成立.令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，由此推出d3≥abc，因此≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等式成立.
【問題探究】
當(dāng)滿足什么條件時，可以利用三元均值不等式求的最小值？
提示：當(dāng)a，b，c均為正數(shù)，且a，b，c能取到相等的值時，可以利用三元均值不等式求的最小值.
【遷移應(yīng)用】
　已知a，b，c均為正實數(shù)，求證：（a＋b＋c）·≥9.
1.設(shè)x＞0，則3－3x－的最大值是（　　 ）
A.3　　　　　　　　　 B.3－2
C.－1 D.3－2
2.已知（x＞1）在x＝t時取得最小值，則t等于（　　 ）
A.1＋ B.2
C.3 D.4
3.將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2 m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理（夠用且浪費(fèi)最少）的是（　　 ）
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
4.（多選）設(shè)正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則下列結(jié)論正確的是（　　 ）
A.＋有最小值4
B.有最小值
C.＋有最大值
D.a2＋b2有最小值
5.已知正數(shù)a，b滿足a＋2b＝2，求＋的最小值.
第二課時　均值不等式的應(yīng)用
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點
自我診斷
1.C　因為x＞0，則x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝時取“＝”，所以x＋的最小值為2.故選C.
2.C　由x2＋y2＝2≥2xy，可得xy≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1或x＝y(tǒng)＝－1時等號成立.故選C.
3.　　解析：因為0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時“＝”成立，即當(dāng)x＝時，x（1－x）取得最大值.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）4　（2）6　（3）　解析：（1）因為x＞0，所以12x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)12x＝，即x＝時等號成立.
所以12x＋的最小值為4.
（2）因為x＞2，所以x－2＞0，
所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即x＝4時，等號成立.
所以x＋的最小值為6.
（3）因為0＜x＜，
所以1－2x＞0，
所以x（1－2x）＝×2x×（1－2x）≤＝×＝，
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2x，即當(dāng)x＝時等號成立，
所以x（1－2x）的最大值為.
跟蹤訓(xùn)練
1.B　A：當(dāng)x取負(fù)數(shù)，顯然函數(shù)值小于2，不符合；
B：由基本不等式得：＋≥2＝2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號），符合；
C：當(dāng)x＝0時，y＝＜2，不符合；
D：同A，當(dāng)x取負(fù)數(shù)，顯然函數(shù)值小于2，不符合；故選B.
2.4　2　解析：因0＜x＜4，則4－x＞0，于是得x（4－x）≤＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4－x，即x＝2時取“＝”，所以x（4－x）的最大值為4.
【例2】　解：∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝（x＋2y）＝10＋＋≥
10＋2＝18，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
故當(dāng)x＝12，y＝3時，（x＋2y）min＝18.
跟蹤訓(xùn)練
1.C　∵4a＋b＝18，∴＋＝1，∴＋＝＝＋＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即即時等號成立.故當(dāng)a＝3，b＝6時，＋取最小值.故選C.
2.D　根據(jù)題意，3a＋b＝2ab ＋＝1，
∴a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a且3a＋b＝2ab時等號成立，∴a＋b的最小為2＋，故選D.
【例3】　（0，100]　解析：設(shè)花卉寬度為x m，顯然0＜x＜300，則草皮面積為S＝（800－2x）（600－2x），
由（800－2x）（600－2x）≥×800×600，（x－100）（x－600）≥0，
又0＜x＜300，故解得0＜x≤100.
跟蹤訓(xùn)練
　B　由題意可得，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和y＝×6＋4x＝4≥4×2＝240，當(dāng)且僅當(dāng)＝x即x＝30時取等號，∴要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和y最小，則x的值是30.故選B.
拓視野　均值不等式的拓廣應(yīng)用
遷移應(yīng)用
　證明：∵a，b，c均為正實數(shù)，∴a＋b＋c≥3＞0，＋＋≥3＞0，
∴（a＋b＋c）·≥3·3＝9.
隨堂檢測
1.D　∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號，∴－≤－2，則3－3x－≤3－2，故選D.
2.B　＝＝x＋
＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝2時，等號成立.
3.C　設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828（m）.∵要求夠用且浪費(fèi)最少，故選C.
4.ACD　A：由題設(shè)，＋＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立，正確；
B：由a，b＞0，則a＋b＝1≥2，即≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立，故的最大值為，錯誤；
C：由a，b＞0，則a＋b＝1≥，即＋≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立，正確；
D：a2＋b2≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立，正確.故選A、C、D.
5.解：＋＝×（a＋2b）
＝≥（4＋2）＝4.
當(dāng)且僅當(dāng)即a＝1，b＝時等號成立，
∴＋的最小值為4.
3 / 4(共69張PPT)
第二課時　
均值不等式的應(yīng)用
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.熟練掌握利用均值不等式求函數(shù)的最值問題 數(shù)學(xué)抽象、邏輯
推理
2.會用均值不等式求解實際應(yīng)用問題 數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)
運(yùn)算
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　某養(yǎng)殖場要用100米的籬笆圍成一個矩形的雞舍.
【問題】　怎樣設(shè)計才能使雞舍面積最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　均值不等式與最值
已知 x ＞0， y ＞0，則
（1）若 x ＋ y ＝ s （和為定值），則當(dāng) x ＝ y 時，積 xy 取得最大值 ；
（2）若 xy ＝ p （積為定值），則當(dāng) x ＝ y 時，和 x ＋ y 取得最小值2
.
即：當(dāng)兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；
當(dāng)兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值.
提醒　在應(yīng)用均值不等式求最值時，要把握不等式成立的三個
條件：一正、二定、三相等，這三個條件缺一不可.
①一正：符合均值不等式 ≥ 成立的前提條件， a ＞0，
b ＞0；
②二定：化不等式的一邊為定值；
③三相等：必須存在取“＝”的條件，即“＝”成立.
1. 已知 x ＞0，則 x ＋ 的最小值為（　　）
B. 2
D. 4
解析：　因為 x ＞0，則 x ＋ ≥2 ＝2 ，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ ，
即 x ＝ 時取“＝”，所以 x ＋ 的最小值為2 .故選C.
2. 已知實數(shù) x ， y 滿足 x2＋ y2＝2，那么 xy 的最大值為（　　）
C. 1 D. 2
解析：　由 x2＋ y2＝2≥2 xy ，可得 xy ≤1，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ y ＝1或 x
＝ y ＝－1時等號成立.故選C.
3. 已知0＜ x ＜1，則 x （1－ x ）的最大值為 　 　，此時 x ＝ 　 　.
解析：因為0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤
＝ ＝ ，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝1－ x ，即 x ＝ 時“＝”成
立，即當(dāng) x ＝ 時， x （1－ x ）取得最大值 .


典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 利用均值不等式求最值
【例1】　（鏈接教科書第78頁例4）（1）若 x ＞0，則12 x ＋ 的最
小值為 ；
4
解析：因為 x ＞0，所以12 x ＋ ≥2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)12 x ＝
，即 x ＝ 時等號成立.
所以12 x ＋ 的最小值為4.
（2）已知 x ＞2，則 x ＋ 的最小值為 ；
解析：因為 x ＞2，所以 x －2＞0，
所以 x ＋ ＝ x －2＋ ＋2≥2 ＋2＝6，
當(dāng)且僅當(dāng) x －2＝ ，即 x ＝4時，等號成立.
所以 x ＋ 的最小值為6.
6
（3）若0＜ x ＜ ，則 x （1－2 x ）的最大值是 　 　.
解析：因為0＜ x ＜ ，
所以1－2 x ＞0，
所以 x （1－2 x ）＝ ×2 x ×（1－2 x ）≤ ＝ × ＝
，
當(dāng)且僅當(dāng)2 x ＝1－2 x ，即當(dāng) x ＝ 時等號成立，
所以 x （1－2 x ）的最大值為 .

通性通法
利用均值不等式求最值的方法
　　利用均值不等式，通過恒等變形及配湊，使“和”或“積”為定
值.常見的變形方法有拆、并、配.
（1）拆——裂項拆項：對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整
式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母
的情況對整式進(jìn)行拆項，為應(yīng)用均值不等式湊定值創(chuàng)造條件；
（2）并——分組并項：目的是分組后各組可以單獨應(yīng)用均值不等
式，或分組后先對一組應(yīng)用均值不等式，再在組與組之間應(yīng)用
均值不等式得出最值；
（3）配——配式配系數(shù)：有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，
常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式
與待求式相乘后可以應(yīng)用均值不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)?br/>系數(shù)后，使積式中的兩因式之和為定值.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 下列函數(shù)中，最小值是2 的是（　　）
解析：　A：當(dāng) x 取負(fù)數(shù)，顯然函數(shù)值小于2 ，不符合；
B：由基本不等式得： ＋ ≥2 ＝2 （當(dāng)且僅當(dāng) x ＝2
時取等號），符合；C：當(dāng) x ＝0時， y ＝ ＜2 ，不符合；
D：同A，當(dāng) x 取負(fù)數(shù)，顯然函數(shù)值小于2 ，不符合；故選B.
2. 已知0＜ x ＜4，則 x （4－ x ）的最大值為 ，此時 x ＝ .
解析：因0＜ x ＜4，則4－ x ＞0，于是得 x （4－ x ）≤
＝4，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝4－ x ，即 x ＝2時取“＝”，所以 x
（4－ x ）的最大值為4.
4
2
題型二 利用均值不等式求條件最值
【例2】　已知 x ＞0， y ＞0，且滿足 ＋ ＝1.求 x ＋2 y 的最小值.
解：∵ x ＞0， y ＞0， ＋ ＝1，
∴ x ＋2 y ＝ （ x ＋2 y ）＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故當(dāng) x ＝12， y ＝3時，（ x ＋2 y ）min＝18.
通性通法
常數(shù)代換法求最值的方法步驟
（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；
（2）把確定的定值（常數(shù)）變形為1；
（3）把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和
或積的形式；
（4）利用均值不等式求最值.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 已知正實數(shù) a ， b 滿足4 a ＋ b ＝18，使得 ＋ 取最小值時，實數(shù)
a ， b 的值為（　　）
B. a ＝2， b ＝10
C. a ＝3， b ＝6
解析：　∵4 a ＋ b ＝18，∴ ＋ ＝1，
∴ ＋ ＝ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ，
當(dāng)且僅當(dāng) ＝時等號成立.
故當(dāng) a ＝3， b ＝6時， ＋ 取最小值.故選C.
2. 已知 a ＞0， b ＞0，3 a ＋ b ＝2 ab ，則 a ＋ b 的最小值為（　　）
A. 2 B. 3
解析：　根據(jù)題意，3 a ＋ b ＝2 ab ＋ ＝1，
∴ a ＋ b ＝ （ a ＋ b ）＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝2＋
，當(dāng)且僅當(dāng) b ＝ a 且3 a ＋ b ＝2 ab 時等號成立，∴ a ＋ b 的最
小為2＋ ，故選D.
題型三 利用均值不等式解應(yīng)用題
【例3】　要在長為800 m，寬為600 m的一塊長方形地面上進(jìn)行綠
化，要求四周種花卉（花卉的寬度相同），中間種草皮.要求草皮的面
積不少于總面積的一半，則花卉寬度的范圍是 .
（0，100]
解析：設(shè)花卉寬度為 x m，顯然0＜ x ＜300，則草皮面積為 S ＝（800
－2 x ）（600－2 x ），由（800－2 x ）（600－2 x ）≥ ×800×600，
（ x －100）·（ x －600）≥0，
又0＜ x ＜300，故解得0＜ x ≤100.
通性通法
利用均值不等式求實際問題中最值的4步驟
（1）閱讀理解材料：理解材料中的文字語言、圖形語言及符號語
言，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型；
（2）建立數(shù)學(xué)模型：把實際問題用符號語言、圖形語言抽象成數(shù)學(xué)
模型，并且建立所得數(shù)學(xué)模型和已知均值不等式數(shù)學(xué)模型的對
應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造出符合題意的數(shù)學(xué)模型；
（3）解數(shù)學(xué)模型：按照數(shù)學(xué)知識（均值不等式求最值的方法）解均
值不等式求最值；
（4）寫出問題結(jié)論：根據(jù)所求結(jié)果，結(jié)合題目要求，寫出問題的
結(jié)論.
【跟蹤訓(xùn)練】
某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買 x 噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一
年的總存儲費(fèi)用為4 x 萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最
小，則 x 的值是（　　）
A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
解析：　由題意可得，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和 y ＝ ×6＋
4 x ＝4 ≥4×2 ＝240，當(dāng)且僅當(dāng) ＝ x 即 x ＝30時取等
號，∴要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和 y 最小，則 x 的值是30.故
選B.
　均值不等式的拓廣應(yīng)用
二元均值不等式：設(shè) a ， b 為正數(shù)，則 ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b 時
等式成立.
證明：因為（ a ＋ b ）2－4 ab ＝（ a － b ）2≥0，所以（ a ＋ b ）2≥4
ab ，從而得 ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b 時等式成立.
三元均值不等式：設(shè) a ， b ， c 為正數(shù)，則 ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng)
a ＝ b ＝ c 時等式成立.
證明：設(shè) d 為正數(shù)，由二元均值不等式，得 ＝
≥ ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c ＝ d 時，等式成立.令
d ＝ ，即 a ＋ b ＋ c ＝3 d ，代入上述不等式，得 d ≥ ，
由此推出 d3≥ abc ，因此 ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時等式
成立.
【問題探究】
當(dāng)滿足什么條件時，可以利用三元均值不等式求 的最小值？
提示：當(dāng) a ， b ， c 均為正數(shù)，且 a ， b ， c 能取到相等的值時，可以利
用三元均值不等式求 的最小值.
證明：∵ a ， b ， c 均為正實數(shù)，∴ a ＋ b ＋ c ≥3 ＞0， ＋ ＋
≥3 ＞0，
∴（ a ＋ b ＋ c ）· ≥3 ·3 ＝9.
【遷移應(yīng)用】
　已知 a ， b ， c 均為正實數(shù)，求證：（ a ＋ b ＋ c ）· ≥9.
1. 設(shè) x ＞0，則3－3 x － 的最大值是（　　）
A. 3
C. －1
解析：　∵ x ＞0，∴3 x ＋ ≥2 ＝2 ，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ 時
取等號，∴－ ≤－2 ，則3－3 x － ≤3－2 ，故選D.
2. 已知 （ x ＞1）在 x ＝ t 時取得最小值，則 t 等于（　　）
B. 2 C. 3 D. 4
解析：　 ＝ ＝ x ＋
＝ x －1＋ ＋1≥2＋1＝3，
當(dāng)且僅當(dāng) x －1＝ ，即 x ＝2時，等號成立.
3. 將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2 m2、形狀為直角三角形的框
架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理（夠用且浪費(fèi)最少）的
是（　　）
A. 6.5 m B. 6.8 m
C. 7 m D. 7.2 m
解析：　設(shè)兩直角邊分別為 a ， b ，直角三角形的框架的周長為
l ，則 ab ＝2，∴ ab ＝4， l ＝ a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝4
＋2 ≈6.828（m）.∵要求夠用且浪費(fèi)最少，故選C.
4. （多選）設(shè)正實數(shù) a ， b 滿足 a ＋ b ＝1，則下列結(jié)論正確的是
（　　）
解析：　A：由題設(shè)， ＋ ＝ （ a ＋ b ）＝2＋ ＋
≥2＋2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ 時等號成立，正確；B：由
a ， b ＞0，則 a ＋ b ＝1≥2 ≤ ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ ，錯誤；C：由 a ， b ＞0，則 a ＋
b ＝1≥ ＋ ≤ ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ 時等號
成立，正確；D： a2＋ b2≥ ＝ ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ 時等號成立，正確.故選A、C、D.
5. 已知正數(shù) a ， b 滿足 a ＋2 b ＝2，求 ＋ 的最小值.
解： ＋ ＝ × （ a ＋2 b ）
＝ ≥ （4＋2 ）＝4.
當(dāng)且僅當(dāng)即 a ＝1， b ＝ 時等號成立，
∴ ＋ 的最小值為4.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 若 x ＞－1，則 x ＋ 的最小值是（　　）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析：　由題意得 x ＋ ＝ x ＋1＋ －1，因為 x ＞－1，所以 x
＋1＞0，故 x ＋ ＝ x ＋1＋ －1≥2 －1＝5，當(dāng)
且僅當(dāng) x ＋1＝ ，即 x ＝2時，等號成立.故選B.
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2. 已知 a ＞0， b ＞0， a ＋ b ＝4，則下列各式中正確的是（　　）
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解析：　因為 a ＞0， b ＞0， a ＋ b ＝4，所以 ＋ ＝
＝ ≥ （2＋2）＝1，
當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝2時取等號，B正確，A錯誤；由基本不等式可知
ab ≤ ＝4，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝2時取等號，故 ≤2，C錯
誤； ≥ ，D錯誤.故選B.
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3. 小王從甲地到乙地往返的時速分別為 a 和 b （ a ＜ b ），其全程的平
均時速為 v ，則（　　）
解析：　設(shè)小王從甲地到乙地行駛的路程為 s ，
∵ b ＞ a ＞0，則 v ＝ ＝ ＜ ＝ ，
又 ＞ ＝ a ，故選A.
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4. 若關(guān)于 x 的不等式－ x2＋ ax －2≤0在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則
實數(shù) a 的取值范圍為（　　）
D. （－∞，－3]
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解析：　由題設(shè)， ax ≤ x2＋2，又 x ∈[－3，－1]，則 a ≥ x ＋ 恒
成立，由 x ＋ ＝－ ≤－2 ＝－2
，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝－ ∈[－3，－1]時等號成立，∴ a ≥－2 .
故選A.
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5. （多選）下列說法正確的是（　　）
B. x2＋1的最小值為1
C. 3 x （2－ x ）的最大值為2
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解析：　當(dāng) x ＜0時， x ＋ ＜0，故選項A錯誤；∵ x2＋1≥1，
∴選項B正確；∵3 x （2－ x ）＝－3（ x －1）2＋3，故3 x （2－ x ）
的最大值為3，∴選項C錯誤；∵ x2＋ ＝（ x2＋2）＋ －
2≥2 －2＝2 －2（當(dāng)且僅當(dāng) x2＋2＝ 時取
“＝”），選項D正確.故選B、D.
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6. 已知正實數(shù) x ， y 滿足（ x ＋1）（ y ＋2）＝16，則 x ＋ y 的最小值為
.
解析：由（ x ＋1）（ y ＋2）＝16≤ ，則（ x ＋ y ＋3）
2≥64，又 x ， y ＞0，∴ x ＋ y ＋3≥8，即 x ＋ y ≥5，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝3， y
＝2時等號成立.∴ x ＋ y 的最小值為5.
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7. 為凈化水質(zhì)，向一個游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥
品的濃度 c （單位：mg·L－1）隨時間 t （單位：h）的變化關(guān)系為 c
＝ ，則經(jīng)過 h后池水中該藥品的濃度達(dá)到最大.
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解析： c ＝ ＝ .
因為 t ＞0，所以 t ＋ ≥2 ＝4（當(dāng)且僅當(dāng) t ＝ ，即 t ＝2時等號
成立）.所以 c ＝ ≤ ＝5，當(dāng)且僅當(dāng) t ＝ ，即 t ＝2時， c 取得最
大值.
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8. 若兩個正實數(shù) x ， y 滿足4 x ＋ y － xy ＝0，且不等式 xy ≥ m2－6 m 恒
成立，則實數(shù) m 的取值范圍是 .
解析：因為正實數(shù) x ， y 滿足4 x ＋ y － xy ＝0，
所以 xy ＝4 x ＋ y ≥2 ＝4 ，
即 ≥4 xy ≥16，
當(dāng)且僅當(dāng) y ＝4 x ＝8時等號成立，
由 xy ≥ m2－6 m 恒成立，
可得16≥ m2－6 m ，
解得－2≤ m ≤8.
[－2，8]　
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9. 已知 x ＞0， y ＞0且2 x ＋5 y ＝20.
（1）求 xy 的最大值；
解：∵2 x ＋5 y ＝20， x ＞0， y ＞0，
∴2 x ＋5 y ≥2 ，
∴2 ≤20，即 xy ≤10，
當(dāng)且僅當(dāng) x ＝5， y ＝2時，等號成立，
∴ xy 的最大值為10.
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（2）求 ＋ 的最小值.
解： ＋ ＝ · （2 x ＋5 y ）
＝ ＝ ≥ （7＋2 ），
當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ y 時，等號成立.
∴ ＋ （7＋2 ）.
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10. 已知關(guān)于 x 的不等式 x2－4 ax ＋3 a2＜0（ a ＜0）的解集為（ x1，
x2），則 x1＋ x2＋ 的最大值是（　　）
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解析：　 x2－4 ax ＋3 a2＜0（ a ＜0）的解集為（ x1， x2），則
x1， x2是方程 x2－4 ax ＋3 a2＝0的兩個根，故 x1＋ x2＝4 a ， x1 x2＝3
a2，故 x1＋ x2＋ ＝4 a ＋ ，因為 a ＜0，所以由基本不等式
得：4 a ＋ ＝－ ≤－2 ＝－
，當(dāng)且僅當(dāng)－4 a ＝－ 即 a ＝－ 時，等號成立，所以 x1＋ x2
＋ 的最大值為－ .故選D.
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11. 若實數(shù) a ， b 滿足 a2＋ b2＋ ab ＝4，則 a ＋ b 的最大值是（　　）
A. 12
C. 8
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解析：　 a2＋ b2＋ ab ＝4 （ a ＋ b ）2＝ ab ＋4，而 ab ≤
，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b 時取“＝”，
于是得（ a ＋ b ）2≤ ＋4，即 （ a ＋ b ）2≤4，解得－
≤ a ＋ b ≤ ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ 時，（ a ＋ b ）max＝ ，
所以 a ＋ b 的最大值是 .故選B.
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12. 關(guān)于 x 的不等式－ x2＋ ax ＋ b ≥0的解集為[－1，2].
（1）求 a ， b 的值；
解：因為關(guān)于 x 的不等式－ x2＋ ax ＋ b ≥0的解集為[－1，2]，
所以－1和2是方程－ x2＋ ax ＋ b ＝0的兩個實數(shù)根，可得
經(jīng)檢驗滿足條件，
所以 a ＝1， b ＝2.
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（2）當(dāng) x ＞0， y ＞0，且滿足 ＋ ＝1時，有2 x ＋ y ≥ k2＋ k ＋6恒
成立，求實數(shù) k 的取值范圍.
解：知＋ ＝1，
則2 x ＋ y ＝（2 x ＋ y ） ＝4＋ ＋ ≥4＋2
＝8，
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當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因為2 x ＋ y ≥ k2＋ k ＋6恒成立，
所以（2 x ＋ y ）min≥ k2＋ k ＋6，
即8≥ k2＋ k ＋6，
可得 k2＋ k －2≤0，
解得－2≤ k ≤1，
所以 k 的取值范圍為[－2，1].
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13. 設(shè)自變量 x 對應(yīng)的因變量為 y ，在滿足對任意的 x ，不等式 y ≤ M 都
成立的所有常數(shù) M 中，將 M 的最小值叫做 y 的上確界.若 a ， b 為正
實數(shù)，且 a ＋ b ＝1，則－ － 的上確界為（　　）
D. －4
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解析：　因為 a ， b 為正實數(shù)，且 a ＋ b ＝1，
所以 ＋ ＝ ×（ a ＋ b ）＝ ＋ ≥ ＋2
＝ ，當(dāng)且僅當(dāng) b ＝2 a ，即 a ＝ ， b ＝ 時等號成立，因
此有－ － ≤－ ，即－ － 的上確界為－ .
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14. 2021年8月3日，旅居法國的中國大熊貓歡歡，在法國博瓦勒動物
園順利地產(chǎn)下了一對雙胞胎，暫時取名為“棉花”和“小雪”.為
了讓媽媽更好地喂養(yǎng)兩個小幼崽，動物園決定在原來的矩形居室
ABCD 的基礎(chǔ)上，拓展建成一個更大的矩形居室 AMPN ，使活動的
空間更大.為不影響現(xiàn)有的生活環(huán)境，建造時要求點 B 在 AM 上，點
D 在 AN 上，且對角線 MN 過點 C ，如圖所示.已知 AB ＝6 m， AD ＝
4 m.設(shè) DN ＝ x m，矩形 AMPN 的面積為 y m2.
（1）寫出 y 關(guān)于 x 的表達(dá)式，并求出 x 為多
少米時， y 有最小值；
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解：由題圖知 CD ∥ AM ，
∴ ＝ ，∴ AM ＝ ，
∴ y ＝ ·（ x ＋4）
＝ ＝6 （ x ＞0），
由基本不等式可知 x ＞0時，
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x ＋ ≥2 ＝8，
當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ 即 x ＝4時， ymin＝96.
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（2）要使矩形 AMPN 的面積大于128 m2，則 DN 的長應(yīng)在什么范
圍內(nèi)？
解：∵要使矩形 AMPN 的面積大于128 m2，
∴ ＞128，
∴3 x2－40 x ＋48＞0，
∴0＜ x ＜ 或 x ＞12，
∴ DN 的長應(yīng)在 ∪（12，＋∞）.
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