資源簡介

廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題
一、單選題（每題3分，共24分）
1．（2024九上·深圳開學(xué)考）一元二次方程的解完全正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2024九上·深圳開學(xué)考）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是(　　)
A． B．
C．， D．，
3．（2024九上·深圳開學(xué)考）在一次兌換盲盒的游戲中，規(guī)定：在不透明的袋子中，放置個黃球，個紅球，這些小球除顏色以外其他完全相同，攪勻后隨機(jī)摸出兩個球，若摸到的兩個球顏色相同，便能得到一次兌換盲盒的機(jī)會，則參與者每次摸球得到兌換盲盒機(jī)會的概率是(　　)
A． B． C． D．
4．（2024九上·深圳開學(xué)考）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則代數(shù)式的值為（　　）
A． B．2018 C． D．2024
5．（2024九上·深圳開學(xué)考）下列命題中正確的是(　　)
A．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
6．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖，在矩形中，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E，再分別以點C，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，，則的長為（　　）
A．5 B． C． D．
7．（2024九上·深圳開學(xué)考）某中學(xué)有一塊長，寬的矩形空地．計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花．小禹同學(xué)設(shè)計方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖①，在矩形中（），動點從點出發(fā)，沿勻速運動，運動到點處停止．設(shè)點的運動路程為，的周長為，與的函數(shù)圖象如圖②所示，則的長為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空題（每題3分，共15分）
9．（2024九上·深圳開學(xué)考）關(guān)于的一元二次方程的一個根是1，則常數(shù)　 　．
10．（2024九上·深圳開學(xué)考）若a，b是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為　 　．
11．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖，在四邊形中，，為中點，連接交于點，若為中點，，，則　 　．
12．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖所示，某農(nóng)戶用長的籬笆圍成一個一邊靠住房墻（墻長），且面積為的長方形花園，垂直于住房墻的一條邊留有一個寬的門，設(shè)垂直于住房墻的另一條邊的邊長為，若可列方程為，則★表示的代數(shù)式為　 　．
13．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處（不與、重合），折痕為，若，，則的長為　 ?。?br/>三、解答題（共7題，共61分）
14．（2024九上·深圳開學(xué)考）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
15．（2024九上·深圳開學(xué)考）先化簡，再求值：．其中是方程的根．
16．（2024九上·深圳開學(xué)考）2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為A，B，C，D，體育老師把這四個項目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．
（1）體育老師想從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，去了解該項目在奧運會中的得分標(biāo)準(zhǔn)，恰好抽到是（滑板）的概率是_____；
（2）體育老師想從中選出兩個項目，然后做成手抄報給同學(xué)們普及一下，他先從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機(jī)抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．
17．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖，在四邊形中，，連接，，且經(jīng)過的中點，點在上，且，連接，．
（1）求證：四邊形是菱形
（2）若，且，求菱形的面積．
18．（2024九上·深圳開學(xué)考）棲霞某旅游景點的超市以每件元的價格購進(jìn)某款果都吉祥物擺件，以每件元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，月份的銷售量為件，月份的銷售量為件．
（1）求該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率；
（2）從月份起，超市決定采用降價促銷的方式回饋游客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物擺件每降價元，月銷售量就會增加件．當(dāng)該吉祥物擺件售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)元？
19．（2024九上·深圳開學(xué)考）請認(rèn)真閱讀，并根據(jù)理解，完成相應(yīng)任務(wù)：
閱讀材料：
定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”，例如：和有且只有一個相同的實數(shù)根，所以這兩個方程為“同伴方程”．
任務(wù)一：
（1）根據(jù)所學(xué)定義，下列方程屬于“同伴方程”的有______；（只填寫序號即可）
①；②；③．
任務(wù)二：
（2）關(guān)于的一元二次方程與為“同伴方程”，求的值；
任務(wù)三：
（3）若關(guān)于的一元二次方程（）同時滿足和，且與互為“同伴方程”，求的值．
20．（2024九上·深圳開學(xué)考）我們定義：有一組鄰邊相等的四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）如圖1、點A，B，C在網(wǎng)格格點上，請你在網(wǎng)格圖甲和乙中畫出2個不同形狀的等鄰邊四邊形，要求頂點D在網(wǎng)格格點上；
（2）如圖2，矩形中，，，點E在邊上，連接
，作于點F，若，找出圖中的等鄰邊四邊形，并說明理由；
（3）如圖3，在中，，，，D是的中點，點M是邊上一點（不與A，B重合），當(dāng)四邊形是等鄰邊四邊形且為相等的鄰邊之一時，的長為 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
∴，
故選：B．
【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求出答案.
2．【答案】C
【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根
∴，解得：，
故答案為：C
【分析】根據(jù)二次方程有實數(shù)根，則判別式，解不等式，結(jié)合二次方程的定義即可求出答案.
3．【答案】C
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：由題意可得：
參與者每次摸球得到兌換盲盒機(jī)會的概率是
故答案為：C
【分析】根據(jù)概率公式即可求出答案.
4．【答案】D
【知識點】一元二次方程的根；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個根是，
∴，即，
∴，
故選：D．
【分析】將x=1代入方程可得，即，化簡代數(shù)式，再整體代入即可求出答案.
5．【答案】A
【知識點】平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，正確，符合題意；
B：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，錯誤，不符合題意；
C：對角線相等的平行四邊形是矩形，錯誤，不符合題意；
D：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形或梯形，錯誤，不符合題意；
故答案為：A【分析】根據(jù)正方形，菱形，矩形，平行四邊形的判定定理逐項進(jìn)行判斷即可求出答案.
6．【答案】B
【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：如圖，連接，
根據(jù)作圖過程可知：是的平分線，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，，
，
解得：．
故選：B．
【分析】連接，根據(jù)作圖過程可知：是的平分線，根據(jù)角平分線定義可得，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，再根據(jù)勾股定理可得AE，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得DE，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設(shè)花帶的寬度為，
則可列方程為，
故答案為：
【分析】根據(jù)“計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花”，可知，空白區(qū)域的面積等于矩形空地的面積，設(shè)花帶的寬度為xm，根據(jù)長方形的面積公式，代入數(shù)據(jù)即可求解。
8．【答案】B
【知識點】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性質(zhì)；動點問題的函數(shù)圖象
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴．
設(shè)的長為a，
由函數(shù)圖象可知，當(dāng)周長第一次為12時，點P運動到點D，當(dāng)周長第二次為12時，點P運動到點C，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
故選B．
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)可得，設(shè)的長為a，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)周長第一次為12時，點P運動到點D，當(dāng)周長第二次為12時，點P運動到點C，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程可得，，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
9．【答案】3
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個根是1，
∴把代入方程，
得，
解得：．
故答案為：．
【分析】根據(jù)方程的根的意義，只需x=1代入原方程，得出關(guān)于m的方程，解方程即可得出m的值。
10．【答案】3
【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以．
故答案為：3
【分析】根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，化簡代數(shù)式，再整體代入即可求出答案.
11．【答案】6
【知識點】三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：∵分別為、的中點，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：6．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得CF=3，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可求出答案.
12．【答案】
【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題
【解析】【解答】解：由題意可得：平行于墻的一邊為：，
由可得，★表示的為平行于墻的一邊的長度，
即為：★表示的代數(shù)式為，
故答案為．
【分析】由題意可得：平行于墻的一邊為：，根據(jù)題意可得★表示的代數(shù)式為，即可求出答案.
13．【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：作于，
由折疊的性質(zhì)可知，，
四邊形是菱形，
，，
為等邊三角形，
，
設(shè)，則，
在中，，，
在中，，，即，
解得，，
，
故答案為：．
【分析】作于，由折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)菱形性質(zhì)可得，，再根據(jù)等邊三角形判定定理可得為等邊三角形，則，設(shè)，則，根據(jù)函30°角的直角三角形性質(zhì)可得，，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】（1）解：，
，
，
，
則，
所以．
（2）解：，
，
，
，
則或，
所以．
【知識點】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根據(jù)配方法解方程即可求出答案.
（2）根據(jù)因式分解法解方程即可求出答案.
15．【答案】解：
．
∵是方程的根，
∴，
∴原式．
【知識點】分式的混合運算；一元二次方程的根；分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】根據(jù)分式的混合運算化簡，求出二次方程的根，再代入代數(shù)式即可求出答案.
16．【答案】（1）
（2）解：畫樹狀圖如下：
，
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的結(jié)果數(shù)為2，
體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．

【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：體育老師想從中隨機(jī)抽取一張，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案為：；
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）先畫出樹狀圖，由樹狀圖的信息可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是共C（沖浪）和D（運動攀巖）的結(jié)果有2種，然后由概率公式求解即可．
（1）解：體育老師想從中隨機(jī)抽取一張，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案為：；
（2）解：畫樹狀圖如下：
，
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的結(jié)果數(shù)為2，
體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．
17．【答案】（1）證明：∵點是的中點，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵是中的中線，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
故在中，用勾股定理可得，
代入數(shù)值為，
化簡得，
∴，
∴菱形的面積為．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)-三線合一
【解析】【分析】（1）根據(jù)線段中點可得，再根據(jù)平行四邊形判定定理可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形中線性質(zhì)可得，即，再根據(jù)菱形判定定理即可求出答案.
（2）根據(jù)等角對等邊可得，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程可得，再根據(jù)菱形面積即可求出答案.
（1）證明：∵點是的中點，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵是中的中線，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
故在中，用勾股定理可得，
代入數(shù)值為，
化簡得，
∴，
∴菱形的面積為．
18．【答案】（1）解：設(shè)該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為；
（2）解：設(shè)該吉祥物擺件售價為元，則每件的銷售利潤為元，
∴月銷售量為：，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：當(dāng)該吉祥物擺件售價為元時，月銷售利潤達(dá)元．
【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-百分率問題；一元二次方程的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設(shè)該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）設(shè)該吉祥物擺件售價為元，則每件的銷售利潤為元，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：設(shè)該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為；
（2）設(shè)該吉祥物擺件售價為元，則每件的銷售利潤為元，
∴月銷售量為：，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：當(dāng)該吉祥物擺件售價為元時，月銷售利潤達(dá)元．
19．【答案】解：（1）①②；
（2）一元二次方程的解為，
當(dāng)相同的根是時，則，解得；
當(dāng)相同的根是時，則，解得；
綜上，的值為1或；
（3）∵關(guān)于的一元二次方程（）
同時滿足和，
∴關(guān)于的一元二次方程的兩個根是，
∵的兩個根是，
∵關(guān)于的一元二次方程（）與互為“同伴方程”，
∴或．
【知識點】一元二次方程的根；直接開平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）①
解得：，，
②，
解得：，
③，
解得，
所以，屬于“同伴方程”的有①②
故答案為：①②
【分析】（1）根據(jù)題干中給出的新定義的運算法則，即可判斷。
（2）先求出一元二次方程 的解，然后再將求出的x的值分別代入 ，即可求出m的值；
（3）根據(jù)題意，可知一元二次方程的兩個根分別為，，然后再根據(jù) ，可知，該方程的兩個根為，，進(jìn)而即可求出n的值。
20．【答案】（1）解：等鄰邊四邊形如圖所示：
（2）解：四邊形，是等鄰邊四邊形，理由如下：
四邊形是矩形，
，，
四邊形，是等鄰邊四邊形
（3）3
【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；四邊形的綜合
【解析】【解答】解：（3），，，
，
D是的中點，
四邊形是等鄰邊四邊形且為相等的鄰邊之一，
如圖，四邊形是等鄰邊四邊形且
過點D作，垂足為N
在中，
故答案為：3
【分析】（1）根據(jù)等鄰邊四邊形的定義作圖即可.
（2）根據(jù)矩形性質(zhì)可得，，則，根據(jù)勾股定理可得CE，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（3）根據(jù)勾股定理可得BC，再根據(jù)線段中點可得，則，根據(jù)等鄰邊四邊形定義可得，則，過點D作，垂足為N，則，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理即可求出答案.
（1）等鄰邊四邊形如圖所示：
（2）四邊形，是等鄰邊四邊形，理由如下：
四邊形是矩形，
，，
四邊形，是等鄰邊四邊形
（3），，，
，
D是的中點，
四邊形是等鄰邊四邊形且為相等的鄰邊之一，
如圖，四邊形是等鄰邊四邊形且
過點D作，垂足為N
在中，
1 / 1廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題
一、單選題（每題3分，共24分）
1．（2024九上·深圳開學(xué)考）一元二次方程的解完全正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
∴，
故選：B．
【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求出答案.
2．（2024九上·深圳開學(xué)考）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是(　　)
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根
∴，解得：，
故答案為：C
【分析】根據(jù)二次方程有實數(shù)根，則判別式，解不等式，結(jié)合二次方程的定義即可求出答案.
3．（2024九上·深圳開學(xué)考）在一次兌換盲盒的游戲中，規(guī)定：在不透明的袋子中，放置個黃球，個紅球，這些小球除顏色以外其他完全相同，攪勻后隨機(jī)摸出兩個球，若摸到的兩個球顏色相同，便能得到一次兌換盲盒的機(jī)會，則參與者每次摸球得到兌換盲盒機(jī)會的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：由題意可得：
參與者每次摸球得到兌換盲盒機(jī)會的概率是
故答案為：C
【分析】根據(jù)概率公式即可求出答案.
4．（2024九上·深圳開學(xué)考）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則代數(shù)式的值為（　?。?br/>A． B．2018 C． D．2024
【答案】D
【知識點】一元二次方程的根；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個根是，
∴，即，
∴，
故選：D．
【分析】將x=1代入方程可得，即，化簡代數(shù)式，再整體代入即可求出答案.
5．（2024九上·深圳開學(xué)考）下列命題中正確的是(　　)
A．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
【答案】A
【知識點】平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，正確，符合題意；
B：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，錯誤，不符合題意；
C：對角線相等的平行四邊形是矩形，錯誤，不符合題意；
D：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形或梯形，錯誤，不符合題意；
故答案為：A【分析】根據(jù)正方形，菱形，矩形，平行四邊形的判定定理逐項進(jìn)行判斷即可求出答案.
6．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖，在矩形中，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E，再分別以點C，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，，則的長為（　?。?br/>A．5 B． C． D．
【答案】B
【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：如圖，連接，
根據(jù)作圖過程可知：是的平分線，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，，
，
解得：．
故選：B．
【分析】連接，根據(jù)作圖過程可知：是的平分線，根據(jù)角平分線定義可得，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，再根據(jù)勾股定理可得AE，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得DE，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．（2024九上·深圳開學(xué)考）某中學(xué)有一塊長，寬的矩形空地．計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花．小禹同學(xué)設(shè)計方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為，則可列方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設(shè)花帶的寬度為，
則可列方程為，
故答案為：
【分析】根據(jù)“計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花”，可知，空白區(qū)域的面積等于矩形空地的面積，設(shè)花帶的寬度為xm，根據(jù)長方形的面積公式，代入數(shù)據(jù)即可求解。
8．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖①，在矩形中（），動點從點出發(fā)，沿勻速運動，運動到點處停止．設(shè)點的運動路程為，的周長為，與的函數(shù)圖象如圖②所示，則的長為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知識點】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性質(zhì)；動點問題的函數(shù)圖象
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴．
設(shè)的長為a，
由函數(shù)圖象可知，當(dāng)周長第一次為12時，點P運動到點D，當(dāng)周長第二次為12時，點P運動到點C，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
故選B．
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)可得，設(shè)的長為a，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)周長第一次為12時，點P運動到點D，當(dāng)周長第二次為12時，點P運動到點C，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程可得，，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
二、填空題（每題3分，共15分）
9．（2024九上·深圳開學(xué)考）關(guān)于的一元二次方程的一個根是1，則常數(shù)　 　．
【答案】3
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個根是1，
∴把代入方程，
得，
解得：．
故答案為：．
【分析】根據(jù)方程的根的意義，只需x=1代入原方程，得出關(guān)于m的方程，解方程即可得出m的值。
10．（2024九上·深圳開學(xué)考）若a，b是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為　 ?。?br/>【答案】3
【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以．
故答案為：3
【分析】根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，化簡代數(shù)式，再整體代入即可求出答案.
11．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖，在四邊形中，，為中點，連接交于點，若為中點，，，則　 　．
【答案】6
【知識點】三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：∵分別為、的中點，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：6．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得CF=3，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可求出答案.
12．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖所示，某農(nóng)戶用長的籬笆圍成一個一邊靠住房墻（墻長），且面積為的長方形花園，垂直于住房墻的一條邊留有一個寬的門，設(shè)垂直于住房墻的另一條邊的邊長為，若可列方程為，則★表示的代數(shù)式為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題
【解析】【解答】解：由題意可得：平行于墻的一邊為：，
由可得，★表示的為平行于墻的一邊的長度，
即為：★表示的代數(shù)式為，
故答案為．
【分析】由題意可得：平行于墻的一邊為：，根據(jù)題意可得★表示的代數(shù)式為，即可求出答案.
13．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處（不與、重合），折痕為，若，，則的長為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：作于，
由折疊的性質(zhì)可知，，
四邊形是菱形，
，，
為等邊三角形，
，
設(shè)，則，
在中，，，
在中，，，即，
解得，，
，
故答案為：．
【分析】作于，由折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)菱形性質(zhì)可得，，再根據(jù)等邊三角形判定定理可得為等邊三角形，則，設(shè)，則，根據(jù)函30°角的直角三角形性質(zhì)可得，，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答題（共7題，共61分）
14．（2024九上·深圳開學(xué)考）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
則，
所以．
（2）解：，
，
，
，
則或，
所以．
【知識點】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根據(jù)配方法解方程即可求出答案.
（2）根據(jù)因式分解法解方程即可求出答案.
15．（2024九上·深圳開學(xué)考）先化簡，再求值：．其中是方程的根．
【答案】解：
．
∵是方程的根，
∴，
∴原式．
【知識點】分式的混合運算；一元二次方程的根；分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】根據(jù)分式的混合運算化簡，求出二次方程的根，再代入代數(shù)式即可求出答案.
16．（2024九上·深圳開學(xué)考）2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為A，B，C，D，體育老師把這四個項目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．
（1）體育老師想從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，去了解該項目在奧運會中的得分標(biāo)準(zhǔn)，恰好抽到是（滑板）的概率是_____；
（2）體育老師想從中選出兩個項目，然后做成手抄報給同學(xué)們普及一下，他先從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機(jī)抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．
【答案】（1）
（2）解：畫樹狀圖如下：
，
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的結(jié)果數(shù)為2，
體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．

【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：體育老師想從中隨機(jī)抽取一張，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案為：；
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）先畫出樹狀圖，由樹狀圖的信息可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是共C（沖浪）和D（運動攀巖）的結(jié)果有2種，然后由概率公式求解即可．
（1）解：體育老師想從中隨機(jī)抽取一張，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案為：；
（2）解：畫樹狀圖如下：
，
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的結(jié)果數(shù)為2，
體育老師抽到的兩張卡片恰好是C（沖浪）和D（運動攀巖）的概率．
17．（2024九上·深圳開學(xué)考）如圖，在四邊形中，，連接，，且經(jīng)過的中點，點在上，且，連接，．
（1）求證：四邊形是菱形
（2）若，且，求菱形的面積．
【答案】（1）證明：∵點是的中點，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵是中的中線，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
故在中，用勾股定理可得，
代入數(shù)值為，
化簡得，
∴，
∴菱形的面積為．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)-三線合一
【解析】【分析】（1）根據(jù)線段中點可得，再根據(jù)平行四邊形判定定理可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形中線性質(zhì)可得，即，再根據(jù)菱形判定定理即可求出答案.
（2）根據(jù)等角對等邊可得，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得，，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程可得，再根據(jù)菱形面積即可求出答案.
（1）證明：∵點是的中點，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵是中的中線，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
故在中，用勾股定理可得，
代入數(shù)值為，
化簡得，
∴，
∴菱形的面積為．
18．（2024九上·深圳開學(xué)考）棲霞某旅游景點的超市以每件元的價格購進(jìn)某款果都吉祥物擺件，以每件元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，月份的銷售量為件，月份的銷售量為件．
（1）求該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率；
（2）從月份起，超市決定采用降價促銷的方式回饋游客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物擺件每降價元，月銷售量就會增加件．當(dāng)該吉祥物擺件售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)元？
【答案】（1）解：設(shè)該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為；
（2）解：設(shè)該吉祥物擺件售價為元，則每件的銷售利潤為元，
∴月銷售量為：，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：當(dāng)該吉祥物擺件售價為元時，月銷售利潤達(dá)元．
【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-百分率問題；一元二次方程的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設(shè)該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）設(shè)該吉祥物擺件售價為元，則每件的銷售利潤為元，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：設(shè)該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為；
（2）設(shè)該吉祥物擺件售價為元，則每件的銷售利潤為元，
∴月銷售量為：，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：當(dāng)該吉祥物擺件售價為元時，月銷售利潤達(dá)元．
19．（2024九上·深圳開學(xué)考）請認(rèn)真閱讀，并根據(jù)理解，完成相應(yīng)任務(wù)：
閱讀材料：
定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”，例如：和有且只有一個相同的實數(shù)根，所以這兩個方程為“同伴方程”．
任務(wù)一：
（1）根據(jù)所學(xué)定義，下列方程屬于“同伴方程”的有______；（只填寫序號即可）
①；②；③．
任務(wù)二：
（2）關(guān)于的一元二次方程與為“同伴方程”，求的值；
任務(wù)三：
（3）若關(guān)于的一元二次方程（）同時滿足和，且與互為“同伴方程”，求的值．
【答案】解：（1）①②；
（2）一元二次方程的解為，
當(dāng)相同的根是時，則，解得；
當(dāng)相同的根是時，則，解得；
綜上，的值為1或；
（3）∵關(guān)于的一元二次方程（）
同時滿足和，
∴關(guān)于的一元二次方程的兩個根是，
∵的兩個根是，
∵關(guān)于的一元二次方程（）與互為“同伴方程”，
∴或．
【知識點】一元二次方程的根；直接開平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）①
解得：，，
②，
解得：，
③，
解得，
所以，屬于“同伴方程”的有①②
故答案為：①②
【分析】（1）根據(jù)題干中給出的新定義的運算法則，即可判斷。
（2）先求出一元二次方程 的解，然后再將求出的x的值分別代入 ，即可求出m的值；
（3）根據(jù)題意，可知一元二次方程的兩個根分別為，，然后再根據(jù) ，可知，該方程的兩個根為，，進(jìn)而即可求出n的值。
20．（2024九上·深圳開學(xué)考）我們定義：有一組鄰邊相等的四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）如圖1、點A，B，C在網(wǎng)格格點上，請你在網(wǎng)格圖甲和乙中畫出2個不同形狀的等鄰邊四邊形，要求頂點D在網(wǎng)格格點上；
（2）如圖2，矩形中，，，點E在邊上，連接
，作于點F，若，找出圖中的等鄰邊四邊形，并說明理由；
（3）如圖3，在中，，，，D是的中點，點M是邊上一點（不與A，B重合），當(dāng)四邊形是等鄰邊四邊形且為相等的鄰邊之一時，的長為 ．
【答案】（1）解：等鄰邊四邊形如圖所示：
（2）解：四邊形，是等鄰邊四邊形，理由如下：
四邊形是矩形，
，，
四邊形，是等鄰邊四邊形
（3）3
【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；四邊形的綜合
【解析】【解答】解：（3），，，
，
D是的中點，
四邊形是等鄰邊四邊形且為相等的鄰邊之一，
如圖，四邊形是等鄰邊四邊形且
過點D作，垂足為N
在中，
故答案為：3
【分析】（1）根據(jù)等鄰邊四邊形的定義作圖即可.
（2）根據(jù)矩形性質(zhì)可得，，則，根據(jù)勾股定理可得CE，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（3）根據(jù)勾股定理可得BC，再根據(jù)線段中點可得，則，根據(jù)等鄰邊四邊形定義可得，則，過點D作，垂足為N，則，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理即可求出答案.
（1）等鄰邊四邊形如圖所示：
（2）四邊形，是等鄰邊四邊形，理由如下：
四邊形是矩形，
，，
四邊形，是等鄰邊四邊形
（3），，，
，
D是的中點，
四邊形是等鄰邊四邊形且為相等的鄰邊之一，
如圖，四邊形是等鄰邊四邊形且
過點D作，垂足為N
在中，
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