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2024-2025學年山東省濟寧市育才中學高一（下）期中數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.，，，則( )
A. B. C. D.
2.已知復數是關于的方程的一個根，則( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，則( )
A. B. C. D.
4.記的三個內角、、所對的邊分別為、、，已知，，，則的面積為( )
A. B. C. D.
5.已知，則( )
A. B. C. D.
6.底面半徑為的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個底面半徑為、高為的圓錐，所得圓臺的側面積為( )
A. B. C. D.
7.定義運算：，將函數的圖像向左平移個單位，所得圖像對應的函數為偶函數，則的可能取值是( )
A. B. C. D.
8.已知三棱錐底面是邊長為的正三角形，平面，且，則該三棱錐的外接球的體積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數，，，是的共軛復數，則下列說法正確的是( )
A. B. 若，則
C. D. 若，則的最小值為
10.已知函數，則下列說法正確的是( )
A. 的最小正周期為
B. 若在區間恰有兩個零點，則的取值范圍為
C. 若，且，則
D. 若在區間恰有兩個極值點，則的取值范圍為
11.已知點在所在的平面內，則下列命題正確的是( )
A. 若為的外心，，，則
B. 若為的垂心，，則
C. 若，則與的面積之比為：
D. 若，的面積為，則的面積為
三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。
12.已知一個利用斜二測畫法畫出直觀圖如圖所示，其中，，，則原的面積為______．
13.如圖，在直三棱柱中，是的三等分點靠近點，是的中點，則三棱錐的體積與三棱柱的體積之比是______．
四、解答題：本題共6小題，共82分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
14.本小題分
已知，與的夾角為，則在方向上的投影向量坐標為______．
15.本小題分
已知向量．
若，求實數；
若向量與所成角為銳角，求實數的范圍．
16.本小題分
如圖，半球內有一內接正四棱錐，該四棱錐的體積為．
求該半球的體積；
若從半球中把正四棱錐挖去，求所得幾何體的表面積．
17.本小題分
已知，函數．
求函數的解析式；
若，且，求的值；
在銳角中，角，，分別為，，三邊所對的角，若，求周長的取值范圍．
18.本小題分
如圖，在梯形中，已知，，，點、分別在直線和上，且，連接交于點．
設，用和表示，并求實數的值；
求的取值范圍．
19.本小題分
“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點試用以上知識解決下面問題：已知的內角，，所對的邊分別為，，，
若，
求；
若，設點為的費馬點，求；
若，設點為的費馬點，，求實數的最小值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.：
14.
15.解：已知向量．
，
，
，
解得；
由知，，
向量與所成角為銳角，
，
解得，
又當時，，
可得實數的范圍為．
16.解：連接，交點為，
設球的半徑為，由題意可知，則，
所以四棱錐的體積為，解得，
所以該半球的體積為；
由題意知，
所以所得幾何體的表面積為：
．
17.由，，
所以
，
即；
因為，
即，
化簡得，
因為，所以，
所以，
則
；
因為，即，
即，
又，則，
所以，所以，
由正弦定理有，
所以
，
因為為銳角三角形，所以，
解得，所以，
則
所以，則，
所以的周長的取值范圍為．
18.以為坐標原點，所在直線為軸，過點作的垂線為軸，建立平面直角坐標系，
則，，，，
可得，，，則，
根據平面向量的加法法則，可得，
設，可得，解得，所以；
若，
則根據、、三點共線，可知存在實數，使，
所以，解得．
因為，，
可得，
所以，
即，當且僅當時，等號成立，所以的取值范圍為．
19.解：由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
由，所以三角形的三個角都小于，
則由費馬點定義可知：，
設，由得：
，整理得，
則
；
因為，
所以，
所以，即，
所以或，
當時，，為直角三角形，
當，
則，
得，在三角形中不可能成立，
所以為的直角三角形，
因為點為的費馬點，則，
設，，，，，，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，，故，
當且僅當，結合，解得時，等號成立，
又，即有，解得或舍去，
故實數的最小值為．
第1頁，共1頁

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