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2024-2025學年福建省漳州一中高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.下列函數中，既是奇函數又是增函數的是( )
A. B.
C. D.
3.若，，，則的最小值為( )
A. B. C. D.
4.已知關于不等式的解集為，則關于不等式的解集為( )
A. B.
C. 或 D.
5.下列說法錯誤的是( )
A. 若隨機變量服從正態分布，且，則
B. 若事件，相互獨立，，則
C. 對具有線性相關關系的變量，，利用最小二乘法得到的經驗回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數的值是
D. 對樣本相關系數，越大，兩個變量之間的線性相關性越強
6.已知命題：曲線向右平移個單位長度得到曲線；命題：“，”的否定為“，”，則( )
A. 和都是真命題 B. 和都是真命題
C. 和都是真命題 D. 和都是真命題
7.在平行六面體中，，，，則直線，所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
8.已知，則( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數的導函數為，則( )
A. 一定是偶函數
B. 一定有極值
C. 一定存在遞增區間
D. 對任意確定的，恒存在，使得
10.在斜三角形中，角，，的對邊分別為，，若，則( )
A. 為銳角三角形 B.
C. 若，則 D.
11.若點在平面外，過點作面的垂線，則稱垂足為點在平面內的正投影，記為在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點與，不重合，，則下列結論中正確的是( )
A. 線段長度的取值范圍是
B. 存在點使得平面
C. 存在點使得
D. 存在點使得與平面所成角的正弦值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則 ______．
13.若函數的導函數為偶函數，且的圖象與直線相切，則可以是______寫出一個滿足條件的函數解析式即可
14.一個書包中有標號為“，，，，，，，，”的張卡片一個人每次從中拿出一張卡片，并且不放回；如果他拿出一張與已拿出的卡片中有相同標號的卡片，則他將兩張卡片都扔掉；如果他手中有張單張卡片或者書包中卡片全部被拿走，則操作結束，記書包中卡片全部被拿走的概率為，則 ______； ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關聯性，調查人購買情況，得到如下列聯表：
新能源汽車款 新能源汽車款 總計
男性
女性
總計
求，；
根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為選購該新能源汽車的款式與性別有關聯？
假設用樣本估計總體，用頻率估計概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨立若從購買者中隨機抽取人，設被抽取的人中購買了款車的人數為，求的數學期望．
附：，．
16.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點．
求證：平面；
求平面與平面所成角的正弦值．
17.本小題分
在統計學的實際應用中，除了中位數外，常用的分位數還有第百分位數即下四分位數與第百分位數即上四分位數四分位數常應用于繪制統計學中的箱型圖，即把所有數值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數值就是四分位數；箱型圖中“箱體”的下底邊對應的數據為下四分位數，上底邊對應的數據為上四分位數，中間的線對應的數據為中位數，如圖所示已知，兩個班級人數相同，在一次測試中兩個班級的成績箱型圖如圖所示．
求班成績的上四分位數和班成績的中位數；
據統計，兩個班級中高于分的共人，其中班人，班人，從中抽取人作學習經驗分享，設這人中來自班的人數為，求的分布列．
在兩個班級中隨機抽取一名學生，若該生的分數大于分，求該生來自班和班的概率分別是多少？
18.本小題分
在中，內角，，的對邊分別為，，，且點是線段上的一點已知．
求角的大小；
若，求的值；
若為的角平分線，且，求的最小值．
19.本小題分
已知函數．
若，求在的值域；
證明：存在唯一的極值點，且；
若恒成立，證明：，其中為的極值點．
參考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14. ；
15.解：由題意可知，，；
零假設：選購該新能源汽車的款式與性別無關聯，
則，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即可以認為選購該新能源汽車的款式與性別有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于；
隨機抽取人，購買款車的概率為，
則，
所以．
16.證明：因為底面，底面，因此，
又因為，，，平面，
因此平面，因此為平面的一個法向量，
如圖以點為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
可得，，，，，
因為為棱的中點，則得，
因，，由，可得，
又平面，因此平面；
，，
設平面的法向量為，
則，故可取，
又平面的法向量，，
因，
因此平面與平面所成角的正弦值為．
17.由圖可知，班的上四分位數與班的中位數均為．
易知隨機變量的可能取值為，，，，
，
，，
隨機變量的分布列：
設事件“該同學來自班”，事件“同學的分數高于分”，
易知：，，，
所以
，
故，
所以來自班和班的概率分別為和．
18.由正弦定理及得，，
因為，
所以，
因為，所以，所以，
又，所以．
因為點是線段上的一點，且，
所以，
在等腰中，，
因為，，所以，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，
所以，即，
所以．
因為是的一條角平分線，，
所以，
因為，且，
所以，
所以，
即，當且僅當時，等號成立，
所以
，
當且僅當，且，即，時取等號，經檢驗，符合題意，
故的最小值為．
19.當時，，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
又，因此在的值域為，；
證明：當時，由可知為函數的唯一極值點且為極小值點，
滿足；
下面討論的情形：
，
當時，，因此，
因此在單調遞增，無極值點．
當時，，
設，恒成立，因此在單調遞增，
令得因此，
則有，因此，
又設，易知在單調遞增，
，
令，設，，
當時，，單調遞減，因此，因此，
而，根據函數零點存在定理可知，存在唯一的，
使得，因此，
當時，，因此，當時，，因此，
故是函數唯一的極值點且為極小值點．
綜上所述，存在唯一的極小值點，且；
證明：由可知在單調遞減，在單調遞增，
因此的最小值為，
又因為，因此，因此，
從而有，若恒成立，則，
令，則，要證，由知，，
因此只需證，因此證，因此．
設在單調遞減，
因此，
令，則，令，
因為，僅當，時，“”成立，
因此在上單調遞增，
因此當時，，遞增，，因此，
因此，
因此，因此在單調遞增，因此，
因此，
因此成立．
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