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2024-2025學年福建省漳州市華安一中高二（下）期中數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.某物體沿直線運動，位移單位：與時間單位：的關系為，則該物體在時的瞬時速度是( )
A. B. C. D.
2.已知，，，若，，三點共線，則的值為( )
A. B. C. D.
3.已知，，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
4.某公司生產一種產品，固定成本為元，每生產一單位的產品，成本增加元，若總收入與年產量的關系是，則當總利潤最大時，每年生產產品的單位數是( )
A. B. C. D.
5.如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函數的定義域為，滿足為的導函數，設，，，則( )
A. B. C. D.
7.函數與函數公切線的斜率為( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知函數，在其圖象上任取兩個不同的點、，總能使得，則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.函數的導函數的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題( )
A. 是函數的極值
B. 函數有最小值無最大值
C. 在區間上單調遞增
D. 在處切線的斜率小于零
10.關于空間向量，以下說法正確的是( )
A. 若構成空間的一個基底，則，，必共面
B. 若空間中任意一點，有，則，，，四點共面
C. 若空間向量、滿足，則與夾角為鈍角
D. 點關于平面對稱的點的坐標是
11.已知函數，則( )
A. 只有個極小值點
B. 曲線在點處的切線斜率為
C. 當有個零點時，的取值范圍為
D. 當只有個零點時，的取值范圍為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，，若，則______．
13.若函數在處有極值，則______．
14.已知，恒成立，則正數的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數在及處取得極值．
求，的值；
求函數在處的切線方程．
16.本小題分
如圖，在直三棱柱中，，，，交于點，為的中點．
求證：平面；
求直線與平面所成角的正弦值．
17.本小題分
已知函數，．
當時，求的極值點；
討論的單調性；
若函數在上恒小于，求的取值范圍．
18.本小題分
圖是邊長為的正方形，將沿折起得到如圖所示的三棱錐，且．
證明：平面平面；
棱上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由．
19.本小題分
函數的單調性反映在圖象上，就是曲線的上升或下降，但曲線在上升或下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題，即函數的凹凸性，函數的凹凸性可以用連接曲線上任意兩點的弦的中點與曲線上相應點即具有相同橫坐標的點的位置關系來描述定義如下：
設在區間上連續，如果對上任意兩點，恒有，則稱在區間上的圖形是凹的圖，區間為凹的區間；
設在區間上連續，如果對上任意兩點，恒有，則稱在區間上的圖形是凸的圖，區間為凸的區間；
關于導數與函數的凹凸性的關系，有如下定理：
設在區間上連續，在區間上具有一階和二階導數，那么
如果在上恒有，則在區間上的圖象是凹的；如果在區間上的圖象是凹的，則在上恒有；
如果在上恒有，則在區間上的圖象是凸的；如果在區間上的圖象是凸的，則在上恒有；
其中是的導函數，為的一階導數；是的導函數，為的二階導數根據以上內容，完成如下問題：
試判斷函數，圖象是凹的還是凸的，用定理證明；
已知函數，求的凹的區間和凸的區間；
若時，恒成立，求實數的取值范圍．
參考答案
1.
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14.
15.由題意可得，
由在及處取得極值，可得的兩根為，，
所以，解得，
此時，
所以在區間，上，單調遞增，
在區間上，單調遞減，
所以及是極值點，符合題意．
所以，．
由得，，
，，則切線方程為，
化簡得，函數在處的切線方程為．
16.解：證明：因為三棱柱為直三棱柱，
所以平面，又平面，
所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因為平面，
所以，
又因為，，平面，平面，
所以平面；
由知，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，
則，，，，，
設，，，，
因為，
所以，即，則，
由平面的一個法向量為，
又，
設直線與平面所成角的大小為，
則，
因此直線與平面所成角的正弦值為．
17.解：當時，，定義域為．
，
令，得，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
在時取得極大值，無極小值．
所以的極大值點是，無極小值點．
，則，，
當時，，
，，函數單調遞增，
，函數單調遞減．
當時，恒成立，函數單調遞減．
綜上：當時，函數單調遞減；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減．
函數在上恒小于，等價于．
由知，當時，函數單調遞減，故恒成立，故符合題意；
當時，若，即，函數在上單調遞減，
故，成立，故符合題意；
若，即，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
故，即，解得，故；
若，即，函數在上單調遞增，
故，解得，故無解．
綜上所述：．
18.解：證明：取的中點，連接，，
在正方形中，，并且，
在中，，所以，
因為，，平面，
所以平面，而平面，
所以平面平面；
存在點，當時，滿足題意，理由如下：
因為，，兩兩垂直，
所以以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
因為平面，
所以平面的法向量為，
假設存在滿足題意的點，且，則，
，，
設平面的法向量為，
則有，即，
不妨設，則，，所以，
設平面與平面的夾角為，
則，
兩邊平方并整理得，
解得或舍，
經檢驗，滿足題意，
因此，存在點，只需即可．
19.的圖象是凸的．
因為，，
又，所以，所以圖象是凸的；
因為函數，所以的定義域為，
，，
令，則，令，則，
故的凸的區間為，的凹的區間為；
由題意可知，，
恒成立等價于恒成立，
令，，，，
則，，
時，，時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
則，
又，當時，，當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
則，
若恒成立，則，解得，即的取值范圍為．
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