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2024-2025學(xué)年北京市清華大學(xué)附中學(xué)院路學(xué)校高一（下）期中
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.函數(shù)的周期，振幅分別是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.已知向量，，且，則實數(shù)( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，則( )
A. B. C. D.
4.四邊形為正方形，為邊的中點，且，則等于( )
A. B. C. D.
5.函數(shù)的定義域為( )
A. B.
C. D.
6.若角頂點在原點，始邊在的正半軸上，終邊上一點的坐標(biāo)為，則角為角．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象眼
7.下列選項正確的是( )
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 的圖象可由的圖像向左平移個單位長度得到
B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. 的一個零點為
D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
9.設(shè)，是平面內(nèi)一組基向量，且，，若，則( )
A. B. C. D.
10.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，且，則的值為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。
11.已知扇形的半徑是，圓心角是的扇形所對的弧長是______．
12.已知是第二象限角，則 ______．
13.已知，，則 ______．
14.函數(shù)的值域為______．
15.如圖所示，在中，，點在邊上，點在線段上，若，則 ______．
三、解答題：本題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
解決下列問題：
已知平行四邊形的三個頂點，，，而且，，，按逆時針方向排列，求點的坐標(biāo)；
已知，，三點共線，求的值．
17.本小題分
已知，若，求的值．
18.本小題分
已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中的圖象與軸的一個交點的橫坐標(biāo)為．
求這個函數(shù)的解析式，并寫出它的單調(diào)區(qū)間；
求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
19.本小題分
筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形圓，筒車半徑為，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動圈規(guī)定：盛水筒對應(yīng)的點從水中浮現(xiàn)即時的位置時開始計算時間，且以水輪的圓心為坐標(biāo)原點，過點的水平直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)盛水筒從點運動到點時所經(jīng)過的時間為單位：，且此時點距離水面的高度為單位：在水面下則為負(fù)數(shù)
求與時間之間的關(guān)系．
求點第一次到達最高點需要的時間為多少？在轉(zhuǎn)動的一個周期內(nèi)，點在水中的時間是多少？
參考答案
1.
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3.
4.
5.
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10.
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13.
14.
15.解：在中，，點在邊上，點在線段上，
因為點在邊上，所以可設(shè)，
所以，
利用，，三點共線，
所以，解得，
所以，．
16.設(shè)，因四邊形為平行四邊形，則，
，，，
則；
因，，三點共線，則，
又，，則．
17.解：已知，化簡得，
由．
18.解：由圖得，，
，
，
，，則，
，
由，解得，
故的遞增區(qū)間是，
由，解得，
故的遞減區(qū)間是．
當(dāng)時，，
當(dāng)，即時，取得最大值為，
當(dāng)，即時，取得最大值為，
在區(qū)間上的最大值是，最小值是．
19.解：設(shè)點離水面的高度為，盛水筒從點運動到點時所經(jīng)過的時間為，
依題意得，，
由，得，所以，
所以，
則點離水面的高度為．
令，得，
得，即，解得，
所以點第一次到達最高點需要的時間為；
令，得，
解得，得，
所以在轉(zhuǎn)動的一個周期內(nèi)，點在水中的時間是．
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