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高二暑假作業1：空間向量與立體幾何
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.(2025·江蘇省連云港市·月考試卷)給出下列命題：
①零向量的方向是任意的;
②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同;
③若空間向量，滿足，則
④空間中任意兩個單位向量必相等.
其中正確命題的個數為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2.(2025·安徽省六安市·期中考試)空間向量在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
3.(2025·江蘇省揚州市·月考試卷)已知，，，若P，A，B，C四點共面，則( )
A. 3 B. C. 7 D.
4.(2025·湖北省荊州市·期中考試)如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，若，且，則的長為( )
A. B. C. D.
5.(2025·江西省宜春市·期中考試)已知，，，O為坐標原點，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為( )
A. B. C. D.
6.(2025·河北省秦皇島市·模擬題)如圖所示，在正方體中，E是棱的中點，點F在棱上，且，若平面，則
A. B. C. D.
7.(2025·河南省·期中考試)在正四棱柱中，，，點O，分別為正方形ABCD與正方形的中心，E為的中點，點M為線段上的動點，則當點M到平面的距離最大時，直線CM與平面夾角的正弦值為( )
A. B. C. D.
8.(2025·福建省·單元測試)如圖是一個棱數為24，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點E為線段BC上的動點，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.(2024·安徽省六安市·期末考試)下面四個結論正確的是( )
A. 空間向量，，若，則
B. 若對空間中任意一點O，有，則P、A、B、C四點共面
C. 已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底
D. 任意向量，，滿足
10.(2025·河南省·期中考試)已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則
A. 若，，則
B. 若，則
C. 若，，則
D. 若，，則在上的投影向量的坐標為
11.(2025·廣西壯族自治區·期末考試)在長方體中，，，E為的中點，動點P在長方體內含表面，且滿足，記動點P的軌跡為，則
A. 的面積為
B. 平面與所在平面平行
C. 當時，存在點P，使得
D. 當時，三棱錐的體積為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.(2025·四川省眉山市·模擬題)已知點關于坐標平面Oxy的對稱點為，點關于坐標平面Oyz的對稱點為，點關于z軸的對稱點為，則 .
13.(2025·福建省·單元測試)如圖，長方體中，、與底面所成的角分別為和，，點P為線段上一點，則最小值為 .
14.(2025·江蘇省揚州市·期中考試)如圖，在長方體中，E是的中點，點F是AD上一點，，，，動點P在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線CP與所成角的正切值的最小值為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(2025·江西省景德鎮市·期末考試)本小題13分
已知
求向量的坐標；
設向量，求；
若，求k的值.
16.(2025·江蘇省揚州市·月考試卷)本小題15分
如圖，在三棱柱中，，，，點D滿足
用表示；
若三棱錐的所有棱長均為2，求及
17.(2025·安徽省·聯考題)本小題15分
如圖，在四棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，，，，E為PD的中點．
求證：平面PAB；
當平面平面ABCD時，求直線BE與平面PCD所成角的正弦值．
18.(2025·廣西壯族自治區·期末考試)本小題17分
如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，
證明：平面平面
若平面PBC與平面ABCD的夾角為，求點C到平面PAB的距離.
19.(2025·湖北省·模擬題)本小題17分
如圖，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的對角線交于點F，G為SB的中點，，
求證：平面AEG；
求二面角的余弦值；
在線段EG上是否存在一點H，使得BH與平面SCD所成角的大小為？若存在，求出GH的長；若不存在，說明理由.
1.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了空間向量的概念及性質，屬于基礎題．
①，零向量有方向，是任意的；
②，向量相等，方向相同，大小相等即可；
③，若，則、的方向沒定；
④，空間中任意兩個單位向量的模相等．方向沒定，向量不一定相等.
【解答】
解：對于①，零向量方向是任意的，故正確；
對于②，若兩個空間向量相等，則它們方向相同，模長相等即可，故錯；
對于③，若空間向量，滿足，則、的方向沒定，故錯；
對于④，空間中任意兩個單位向量的模相等．方向沒定，向量不一定相等，故錯，
故選：
2.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查投影向量，屬于基礎題.
利用投影向量的定義即可求解.
【解答】
解：由題意，得，
則向量在上的投影向量為
3.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查實數值的求法，考查共面向量定理等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．
由共面向量定理得 ，從而，由此能求出的值．
【解答】
解： ， ， ，
P，A，B，C四點共面，
存在實數x，y滿足 ，
，，解得
故選：
4.【答案】A
【解析】解：，，
即
，
故選
5.【答案】C
【解析】【分析】
本題主要考查了空間向量運算的坐標表示，考查空間向量共線定理的應用，二次函數的最值，屬于中檔題.
依題意，可知存在實數使得，則有，進而可得，，則有，根據二次函數的性質可求出取得最小值時的值，進而可求Q點的坐標.
【解答】
解：由點Q在直線OP上可得：存在實數使得，則有，
所以，，
則 ，
根據二次函數的性質可得：當時，取得最小值，此時Q點的坐標為 ，
故選
6.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查線面平行的向量表示，屬于中檔題.
先求平面 的法向量，根據線面平行可得 ，運算求解即可.
【解答】
解：如圖所示，以 A為原點， 所在直線分別為 x軸、 y軸、 z軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，
則 ，可得 ，
設 是平面 的法向量，則 ，
令 ，則 ，即 ，
由 ，且 ，可得 ，
又因為 ，則 ，
由 平面 ，可得 ，解得 .
故選：
7.【答案】D
【解析】解：以D為原點，分別以DA，DC，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
已知，，
則，，，，，
因為點O，分別為正方形ABCD與正方形的中心，所以，，
又因為E為的中點，根據中點坐標公式可得，
設平面的法向量為，，，
所以，即
令，則，
設，，則；所以，
點M到平面的距離；
因為，當時，d取得最大值，此時，
此時，
設直線CM與平面夾角為，
則
故選
8.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查正方體的結構特征、線面角的余弦值等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
在原正方體中建立空間直角坐標系，由空間向量求解．
【解答】
解：如圖是一個棱數為24，棱長為的半正多面體，
它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得，
點E為線段BC上的動點，
由題意得該幾何體有6個面為邊長為的正方形，8個面為邊長為的等邊三角形，
在原正方體中建立如圖所示的空間直角坐標系，原正方體棱長為2，
則，，，設，，
，，
則直線DE與直線AF所成角的余弦值為：
，
而，故，
故選：
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本題考查向量的線性運算和向量的共面的充要條件，向量的基底，向量的數量積，考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．
利用向量的線性運算和向量的共面的充要條件，向量的基底，向量的數量積判斷A、B、C、D的結論．
【解答】
解：對于A：空間向量，，若，則，故A正確；
對于B：若對空間中任意一點O，有，由于，則P、A、B、C四點共面，故B正確；
對于C：已知是空間的一組基底，若，則兩向量之間不共線，故也是空間的一組基底，故C正確；
對于D：任意向量，，滿足，由于是一個數值，也是一個數值，則說明ee9a0e3979b0bf614a8347fb8593125e存在倍數關系，由于，，是任意向量，不一定存在倍數關系，故D錯誤．
故本題選
10.【答案】BCD
【解析】解：對于A，當時，，顯然不共線，因此l與平面不垂直，A錯誤；
對于B，由，得，則，即，B正確；
對于C，當時，，則，C正確；
對于D，當時，，，
因此在上的投影向量為，D正確.
故選：
11.【答案】ACD
【解析】解：因為，所以P在確定的平面內，
又，取的中點F，連接，
則四邊形ACFE為動點P的軌跡，
因為長方體中，，，
所以，，
進而可求得等腰梯形ACFE的高為，
所以梯形的面積為，故A正確；
連接，因為且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面，
同理可證平面，又，平面，
所以平面平面，又平面平面，
所以平面與所在平面不平行，故B錯誤；
以D為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，
則，
所以，
當，則，
所以，
假設，則，
即，解得，
所以當時，存在點P，使得，故C正確；
當時，點P在EF上，則點P到平面ABC的距離為定值，
又三角形ABC的面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，故D正確.
故選：
12.【答案】
【解析】【分析】
本題考查空間直角坐標系中對稱的性質、空間兩點間距離公式，屬于基礎題．
依次寫出，，，利用空間兩點間距離公式求出答案．
【解答】
解：點關于坐標平面Oxy的對稱點為，
點關于坐標平面Oyz的對稱點為，點關于z軸的對稱點為，
由題意得，，，
故
故答案為：
13.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了長方體的結構特征，考查了直線與平面所成的角，考查了空間向量的數量積，屬于拔高題.
因為平面，所以，，根據，求出，，，又可化為，所以只需求出的最小值即可，即可得解.
【解析】
解：如圖：

因為平面，所以，，
設，則，，，，
因為，所以，
所以，即，解得，
所以，，，
所以，
當時，取最小值，最小值為，
所以的最小值為，即的最小值為
故答案為：
14.【答案】
【解析】【分析】
本題考查空間向量在解立體幾何問題中的應用，考查計算能力和推理能力，屬于拔高題.
根據題意建立空間直角坐標系，設，求出平面BFE的法向量，然后利用棱錐的體積公式和異面直線角的公式即可得.
【解答】
解：以D為坐標原點，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z 軸建立空間直角坐標系，
設，
則，，，，，
所以，，
設平面BFE的法向量為，
則，
令，則，，
所以平面BFE的一個法向量為，
因為，
所以點P到平面BFE的距離，
因為，，
所以，
因為
所以，
所以或舍，
設直線CP與所成的角為，則
所以
，
所以的最大值為，此時最小，所以
即直線CP與所成角的正切值的最小值為
故答案為
15.【答案】解：由，
得，
由得，而，因此，
所以；
由知，，
由，得
，所以
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
16.【答案】解：因為，
所以，
所以
因為三棱錐的所有棱長均為
所以，<，，，，
，
所以
，
【解析】本題考查空間向量的線性運算、模和數量積，屬于一般題.
利用空間向量的線性運算即可求解;
利用空間向量的模長公式和數量積即可求解.
17.【答案】解：證明：取PA的中點F，連接EF，BF，
為PD的中點，且，
又，，且，
四邊形BCEF是平行四邊形，，
平面PAB，平面PAB，
平面PAB；
取AD的中點為O，連接OC，
，，
又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
平面ABCD，
，，，，
，OD，OC兩兩垂直，
以O為坐標原點，分別以OC，OD，OP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由是邊長為4的等邊三角形，得，
，，，，，
，，，
設平面PCD的法向量為，
則，
令，得，，
故平面PCD的一個法向量為，
，
直線BE與平面PCD所成角的正弦值為
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
18.【答案】解：證明：因為平面平面ABCD，且相交于AD，，平面ABCD，
所以平面PAD，
因為平面PAB，
所以平面平面PAD；
取AD的中點O，連接PO，
因為，所以，
因為平面平面ABCD，且相交于AD，平面PAD，
所以平面ABCD，
以O為坐標原點，，的方向分別為x，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
設，平面PBC的法向量為，
因為，，
所以，令，得，
平面ABCD的一個法向量為，
因為平面PBC與平面ABCD的夾角為，
所以 ，所以，
設平面PAB的法向量為，
因為，，
所以，
令，得，
因為，
所以點C到平面PAB的距離
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
19.【答案】解：證明：連接 FG，在中， F， G分別為 SD， SB的中點，
所以，
又因為平面 AEG，平面 AEG，
所以平面
解：因為平面 ABCD， AB，平面 ABCD，
所以，，又，所以，
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
，，
設平面 SCD的法向量為，
則 ，即
令，得，，
所以平面 SCD的一個法向量為，
又平面 ESD的一個法向量為，
所以，
由圖形可知，二面角的余弦值為
存在，理由如下：
假設存在點 H，設，
則，
由知，平面 SCD的一個法向量為，
則 ，
即，所以，則，
故存在滿足題意的點 H，此時
【解析】本題考查線面平行判定，考查空間角的向量求法，屬較難題.
利用三角形中位線證明，即可根據線面平行的判定定理證明結論；
建立空間直角坐標系，求得相關點的坐標，求得平面 SCD的一個法向量，即可根據向量的夾角公式求得答案;
假設存在點 H，設，表示出的坐標，根據 BH與平面 SCD所成角的大小為，利用向量的夾角公式計算，可得答案.
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