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高二暑假作業(yè)4：導數(shù)
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.(2025·河南省·期中考試)下列求導運算正確的是( )
A. B.
C. D.
2.(2025·湖北省孝感市·月考試卷)若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)a的值為
A. B. 3 C. D. 2
3.(2025·上海市·期末考試)已知函數(shù)在處取得極大值，則m的值為( )
A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或
4.(2025·遼寧省鞍山市·期中考試)已知函數(shù)滿足，則的單調(diào)遞增區(qū)間為
A. ， B. ，
C. D.
5.(2025·陜西省·期中考試)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為
A. B.
C. D.
6.(2025·江蘇省南京市·期末考試)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.(2025·安徽省淮北市·期中考試)已知，，，則a，b，c的大小為( )
A. B. C. D.
8.(2025·陜西省西安市·期末考試)已知函數(shù)，有且只有一個負整數(shù)，使成立，則k的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.(2025·江蘇省南通市·月考試卷)已知為函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則
A. 有3個極值點 B. 是的極大值點
C. 是的極大值點 D. 在上單調(diào)遞增
10.(2025·河南省·單元測試)已知函數(shù)的導函數(shù)為，若存在使得，則稱是的一個“N點”，下列函數(shù)中，具有“ N點”的是( )
A. B. C. D.
11.(2025·浙江省溫州市·期中考試)已知函數(shù)，則下列結論正確的是
A. 若，則有極大值，無極小值
B. 若，則有四個單調(diào)區(qū)間
C. 若，且有兩個零點，，則成立
D. 若，則對任意，，都有成立
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.(2025·湖南省·月考試卷)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
13.(2025·北京市市轄區(qū)·期中考試)如圖，將一張的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經(jīng)過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則小正方形的邊長為 cm時，這個紙盒的容積最大，且最大容積是
14.(2025·湖北省·期末考試)已知函數(shù)，若函數(shù)圖象上存在兩個不同的點與函數(shù)圖象上兩點關于y軸對稱，則b的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(2025·安徽省·模擬題)本小題13分
已知函數(shù)，
當時，求函數(shù)在點處的切線方程；
試判斷函數(shù)的單調(diào)性.
16.(2025·北京市·模擬題)本小題15分
已知函數(shù)在及處取得極值．
求a，b的值；
若關于x的方程有三個不同的實根，求c的取值范圍．
17.(2025·湖北省武漢市·月考試卷)本小題15分
已知為自然對數(shù)的底數(shù)
Ⅰ求函數(shù)的最大值；
Ⅱ設，若對任意總存在使得，求實數(shù)a的取值范圍．
18.(2025·江蘇·聯(lián)考題)本小題17分
已知函數(shù)
當時，求函數(shù)在上的最大值和最小值;
討論函數(shù)的單調(diào)性;
若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.
19.(2025·湖北省·聯(lián)考題)本小題17分
意大利畫家達芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么 這就是著名的“懸鏈線問題”其原理往往運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程。通過適當建立坐標系，懸鏈線可表示為雙曲余弦函數(shù)的圖象，現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)，它們之間具有類似于三角函數(shù)的性質。已知
證明：①倍元關系：②平方關系：
對任意，恒有成立，求實數(shù)a的取值范圍;
證明：
1.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查基本初等函數(shù)的求導公式，簡單復合函數(shù)的導數(shù)，屬于基礎題.
由基本初等函數(shù)求導法則，導數(shù)四則運算以及復合函數(shù)求導法則運算即可逐一判斷每個選項.
【解答】
解：，，
，
故選：
2.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查導數(shù)的幾何意義，已知切線方程求參，屬于基礎題.
設出切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到，求得，，代入直線l方程即可得結果.
【解答】
解：設直線l與曲線C的切點為，由于直線斜率為，
又，所以，得，所以，
則切點為，代入直線l方程，可得，
所以
3.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
函數(shù)，，根據(jù)函數(shù)在處取得極大值，可得，解得m，并且驗證即可得出．
【解答】
解：函數(shù)，，
函數(shù)在處取得極大值，
，解得或3，
時，，可得是函數(shù)的極小值點，舍去；
時，，可得是函數(shù)的極大值點．
則
故答案選：
4.【答案】B
【解析】解：因為，所以 ，
令，則，移項可得①，
令，則，
因為，所以②，
將②代入①可得：，解得，
將代入②可得，
把，，代入，可得，
，，
令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故選：
5.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查不等式求解，涉及導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象的應用，屬于基礎題.
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和的正負關系即可求解.
【解答】
解：由圖象單調(diào)性可得，當x 時，，
當x ，時，，等價于 或 ，
的解集為 ，
故選
6.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了利用導數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性求參，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題.
由求導公式和法則求出，由條件和導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，分離常數(shù)在上恒成立，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值，即可得a的取值范圍．
【解答】
解：由題意知在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，所以，
所以當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，解得，
即a的取值范圍是
故選：
7.【答案】D
【解析】【分析】
本題主要考查函數(shù)值比較大小的問題，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性解決問題，屬于中檔題.
根據(jù)題意構造函數(shù)，然后求導數(shù)得到函數(shù)的增減區(qū)間，從而比較a，b，c的大小.
【解答】
解：由題可知：，
構造函數(shù)，
，
令，即，解得：，
令，即，解得：，
即函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，
又，
由函數(shù)單調(diào)性可得，即，即.
故選：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查利用導數(shù)解函數(shù)不等式問題，屬于較難題.
【解答】
解：已知函數(shù)，則有且只有一個負整數(shù)解.
令，則，當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，當時，取得最小值
設，則恒過點
在同一坐標系中分別作出和的簡圖，顯然，
依題意得且，解得
故選
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本題考查導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關系.
根據(jù)圖象判斷出的符號，由此確定原函數(shù)單調(diào)性，進而得正確答案.
【解答】
解：根據(jù)函數(shù)的圖象可知，
在區(qū)間，，單調(diào)遞增；
在區(qū)間，，單調(diào)遞減.
所以有3個極值點， 和是的極大值點，
是的極小值點，在上單調(diào)遞增，
所以ABD選項正確，C選項錯誤.
故選
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本題考查導數(shù)的運算，導數(shù)的新定義問題，屬于中檔題．
根據(jù)“N點”的定義，轉化為判斷方程是否有解，逐項分析即可判斷.
【解答】
解：對于A，，，
令，此方程有解，故A正確；
對于B，，，
令，此方程有解，故B正確；
對于C，，，
令，由圖象知，有一個根，故C正確；
對于D，，，
令，得，此方程無解，故D錯誤.
故選
11.【答案】ACD
【解析】解：對于A，若，則，其定義域為，
則
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以得極大值為，無極小值，故A正確；
對于B，若，則，定義域為，
，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
故有三個單調(diào)區(qū)間，故B錯誤；
對于C，若，則，
已知有兩個零點，，
若，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，所以
不妨設，即，，
兩式相減得，即
兩式相加得
要證，即證，
即證，即證明，
即證，
即證
設，即證，
即證，即證
設，
則
設，則，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以成立，故C正確；
對于D，若，則，，
，
記的導數(shù)為，
則
設，
則，且對稱軸，
所以，
所以是上的凹函數(shù)，
根據(jù)凹函數(shù)的性質可得對任意，，都有成立，故D正確.
故選
12.【答案】，
【解析】【分析】
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.
對求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系求出單調(diào)減區(qū)間.
【解答】解：由于分母，故的定義域為，
對求導，得：
，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間需滿足，
即，
所以或
所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間有，
故答案為，
13.【答案】2 ； 144
【解析】【分析】
本題考查導數(shù)在實際生活中的應用，屬于中檔題.
設剪下的四個小正方形的邊長為x cm，利用長方體的體積公式得到體積V關于x的函數(shù)，再應用導數(shù)研究其單調(diào)性并求出最值作答.
【解答】
解：設剪下的四個小正方形的邊長為x cm，
則經(jīng)過折疊以后，糊成的長方體紙盒的底面矩形長為，寬為，
則長方體紙盒的底面積為，而長方體紙盒的高為x cm，
于是長方體紙盒的體積，，
求導得，
當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，
所以當時，
故答案為：2；
14.【答案】
【解析】【分析】
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，屬于較難題.
求出關于y軸對稱的圖象對應的解析式，問題轉化為與的圖象在時有兩個交點，通過引入新函數(shù)，確定新函數(shù)的單調(diào)性與極值從而得出參數(shù)范圍．
【解答】
解：在中用替換得，
所以的圖象關于y軸對稱的圖象的函數(shù)解析式是，
由題意知，即在上有兩個不等實根，
方程化為，
令，則，
，得，
當時，， 單調(diào)遞減，
當時，， 單調(diào)遞增，
所以，
時，，時，，
實際上時，，所以
故答案為：
15.【答案】解：當時，，
則，所以，，
故當時，函數(shù)在點處的切線方程為，即
函數(shù)的定義域為，，
當時，，
所以的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當時，令，，
時，，單調(diào)遞減，
時，，單調(diào)遞增，
綜上所述，當時，在 上單調(diào)遞減，無增區(qū)間；
當時， 在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 .

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
16.【答案】解：由題意得，
由函數(shù)在及處取得極值，
得，
解得，此時，，
則由，得或，由，得，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則和分別為的極大值點和極小值點，
故；
由可知，在處取得極大值，在處取得極小值．
又有三個不同的實根，
所以
解得，所以實數(shù)c的取值范圍是
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
17.【答案】解：Ⅰ的導數(shù)為，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
故；
Ⅱ對任意總存在
使得等價于
由Ⅰ可知
問題轉化為在恒成立．
參變量分離得：，
令，
，由時，，得，
即在上單增．
故
綜上：，
即a的取值范圍為
【解析】本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和最值，屬于中檔題．
Ⅰ求得的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最大值；
Ⅱ由題意可得由Ⅰ可得問題轉化為在恒成立．運用參數(shù)分離得：，求得不等式右邊函數(shù)的最大值，即可得到所求a的范圍．
18.【答案】解：當時，，則，
令，解得 ，
當時，，當時，，
又因為，
所以，
又 ，
所以 ，
所以在上的最大值是，最小值是
，
當時，令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ，
當時，在恒成立，
所以在單調(diào)遞減.
，依題意：，解得，
所以，
又 對恒成立，
即對恒成立，
法一則在上恒成立，
令，則，
當時，；當時， ，
所以 ， 所以；
法二由，得在上恒成立，
設，則，
當時，，顯然不滿足條件；
當時，時，，當時，，
所以，
所以，解得，
綜上可得，實數(shù)b的取值范圍為
【解析】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，與最值，不等式恒成立.
當時，然后求導利用導數(shù)求函數(shù)的極值，然后與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，從而可求出函數(shù)的最大值和最小值；
求函數(shù)的導數(shù)，通過討論參數(shù)的取值，判斷導函數(shù)的正負，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
利用函數(shù)在處取得極值，建立方程求的a，然后把不等式轉化為最值恒成立，然后利用導數(shù)求最值．
19.【答案】解：①，
②
令，，
則
因為，當且僅當時等號成立，
所以
當時，，在上單調(diào)遞增，
所以，即恒成立.
當時，令，即，設，
則，即，解得因為，舍去，
所以，
當時，，單調(diào)遞減;
當時，，單調(diào)遞增，
則，不滿足恒成立.
綜上，實數(shù) a的取值范圍是
由知：當時，，，令，則，
令，，，單調(diào)遞增，
所以，即恒成立，
所以，則，
令，，，單調(diào)遞增，
所以，即恒成立，
令，，
所以

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
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