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高二暑假作業3：數列
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.(2025·山東省·單元測試)若數列的前四項依次為2，12，112，1112，則的一個通項公式為
A. B.
C. D.
2.(2025·全國·歷年真題)記為等差數列的前n項和，若，，則
A. B. C. D.
3.(2025·河南省開封市·模擬題)已知等差數列的首項為，若從第11項起比1大，則其公差d的取值范圍是( )
A. B. C. D.
4.(2025·四川省眉山市·期中考試)已知等差數列，的前n項和分別為，，且，則
A. B. C. D.
5.(2025·河南省·聯考題)將數列和中所有的元素按從小到大的順序排列構成數列若有相同元素，按重復方式計入排列，則數列的前50項和為( )
A. 2160 B. 2240 C. 2236 D. 2490
6.(2025·河南省濮陽市·模擬題)我國古代《洛書》中記載著一種三階幻方：將九個數字填入一個的正方形方格，滿足每行、每列、每條對角線上的三個數字之和相同如圖已知數列的通項公式為，現將該數列的前16項填入一個的正方形方格，使其滿足四階幻方，則此四階幻方中每一行的數字之和為( )
4 3 8
9 5 1
2 7 6
三階幻方
A. 60 B. 72 C. 76 D. 80
7.(2025·江蘇省無錫市·期中考試)已知等比數列的公比，前n項和為，則對于，下列結論一定正確的是
A. B.
C. D.
8.(2025·山西省太原市·模擬題)數學家楊輝在其專著中提出了一些新的高階等差數列，其中二階等差數列是一個常見的高階等差數列，如數列1，2，4，7，11從第二項起，每一項與前一項的差組成的新數列1，2，3，4為等差數列，則稱數列1，2，4，7，11為二階等差數列．現有二階等差數列，其中前幾項分別為5，8，13，20，記該數列從第二項起，每一項與前一項之差組成新數列，則( )
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.(2025·全國·歷年真題)記為等比數列的前n項和，q為的公比，且，若，，則
A. B. C. D.
10.(2025·湖南省·期末考試)記等比數列的公比為q，前n項積為，已知，，，則
A. B. C. 的最大值為 D.
11.(2025·湖北省·期末考試)已知數列的前n項和為，為數列的前n項積，滿足，給出下列四個結論，正確的是
A. B. 為等比數列
C. D. 數列的最大項的值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.(2025·歷年真題)若一個正項等比數列的前4項和為4，前8項和為68，則該等比數列的公比為 .
13.(2025·湖南省常德市·期中考試)已知等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項和為290，所有偶數項和為261，則該數列的項數為 .
14.(2025·河北省石家莊市·期末考試)已知數列滿足，設，為數列的前n項和.若對任意恒成立，則實數t的取值范圍為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(2025·山東省·單元測試)本小題13分
已知數列的前n項和為，且
求的最小值；
求數列的前20項和．
(2025·吉林省長春市·期末考試)本小題15分
已知等差數列的前n項和為，且，
求數列的通項公式;
若，令，求數列的前n項和
17.(2025·遼寧省鞍山市·期中考試)本小題15分
記為數列的前n項和，已知，是等差數列，，，
求，的通項公式;
設，求
18.(2025·云南省臨滄市·期中考試)本小題17分
已知等差數列為遞增數列，且，都在的圖象上.
求數列的通項公式和前n項和
設，求數列的前n項和，且，求取值范圍.
19.(2025·北京市·模擬題)本小題17分
無窮整數數列滿足，對任意的，記為數列中小于k的項的個數，稱數列是數列的“聯盟數列”.
若數列有前9項分別為1，1，2，4，5，7，7，9，9，寫出數列的“聯盟數列”的前七項;
若數列的“聯盟數列”為，數列的“聯盟數列”為，
ⅰ證明：
ⅱ記，，證明：
1.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查數列的通項公式，屬于基礎題.
通過觀察前幾項的規律即可求解.
【解答】
解：由，，，，
可得的一個通項公式為
故選：
2.【答案】B
【解析】解：由已知條件可知，和，
可列出以下方程組：，
解得：，
根據等差數列前n項和的公式，
可得
故選
3.【答案】C
【解析】解：依題意可知， ，因為 ，
所以 ，即其公差d的取值范圍是
故選：
4.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查了等差數列的前n項和，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題．
由題意，設，，則，用，分別表示出，，代入即可得到的值．
【解答】
解：依題意，數列、是等差數列，且，
設，，則，所以
故選：
5.【答案】C
【解析】解：因為，，，，，
由題知：中第50個數為，
第41個數為，
因為，，
所以數列的前50項中，數列中有46個，中有4個，
所以數列的前50項和為
故選：
6.【答案】C
【解析】【分析】
本題主要考查的是等差數列的前n項和，等差數列的實際應用，屬于基礎題.
根據條件求得等差數列的前n項和，再求每一行數字之和即可.
【解答】
解：由題，因為，則數列為等差數列，且，
故數列的前16項和為，
所以四階幻方中每一行的數字之和為
故選
7.【答案】D
【解析】解：當時，
B，C不符合，舍去；
當時，
A選項：等比數列的前n項和，
則，，
則
，
所以
，A選項錯誤；
D選項：
，
，
所以，D選項正確.
8.【答案】B
【解析】解：已知二階等差數列前幾項為5，8，13，20，根據定義，
數列是從第二項起每一項與前一項之差組成的數列，
那么，其中，，則，
，，，則，
，，，則，
因為是等差數列，其公差，
所以
故選：
9.【答案】AD
【解析】解：已知所以
將帶入得：
化簡得：
因為，解得舍去負根，故A正確；
選項B：；錯誤；
選項C：；C錯誤；
選項D：
因此，正確，故選
10.【答案】BD
【解析】解：依題意，，，則，若，則，
必有與矛盾，
因此，，，則，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，則，的最大值不為，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：
11.【答案】ACD
【解析】解：因為，所以，即，故A正確；
因為為數列的前n項積，故，
所以，
故，又，
故是以2為首項，1為公差的等差數列，
所以，易知不為等比數列，故B不正確；
，故C正確；
令，
解不等式組，得，
當時，，
當時，，
所以數列的最大項的值為，故D正確.
故選：
12.【答案】2
【解析】解：設等比數列的首項為，公比為
當時，不滿足條件，
當時，，
，即，
故，解得，又因是正項等比數列，可得公比
13.【答案】19
【解析】解：設等差數列的前n項和為，項數為，
則，
，
兩式相除得，解得，
則項數為
故答案為：19
14.【答案】
【解析】解：當時，，
因為，
當時，，
兩式相減可得，即，當時不適合此式，
所以，所以，
當時，，
當時，，
若對任意恒成立，
所以，即實數t的取值范圍為
故答案為：
15.【答案】解：數列的前n項和為，且，
，
又
當或時，取得最小值，且最小值為；
當時，，
所以，
當時，滿足上式，
所以，
由，解得，于是數列前9項為負，第10項為0，第11項到20項為正，
所以數列的前20項和為：
【解析】本題主要考查了數列前n項和的最值取得條件的應用，考查了數列的通項公式，屬于中檔題．
根據題意得到即可；
當時，，得到進而得到數列前9項為負，第10項為0，第11項到20項為正即可.
16.【答案】解：設等差數列的首項為，公差為d，
解得
，，
，①
，②
①-②，得，

【解析】本題考查等差數列通項公式，錯位相減法求前n項和，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．
利用等差數列前n項和構造方程，求解通項公式．
利用錯位相減法與等比數列的求和公式即可得出．
17.【答案】解：由題，當時，，
當時，，
a1也符合上式，
所以，
設等差數列的公差為d，
因為，
所以
，
解得，
所以有；
由題，
即，①
所以，②
①-②得
，
所以
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
18.【答案】解：由題意得，
即是方程的兩個根，
即是方程的兩個根，
又數列為遞增數列，解得，
所以等差數列的公差，
所以，
所以，
；
解：由得
，
當n為奇數時，
，
當n為偶數時，
，
所以
由 ，即，
得，
令，
當n為奇數時，，且，
當n為偶數時，，且，
又，，所以，
故取值范圍為
【解析】本題考查了數列的函數特性，考查了等差關系的確定，考查等差數列的通項公式和前n項和，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，是中等題．
由已知列式求出，，再由等差數列的通項公式求得公差，進一步求得首項，代入通項公式和前n項和得答案；
把等差數列的通項公式代入，然后分n為奇數和偶數利用裂項相消法求取值范圍.
19.【答案】解：因為數列有前9項分別為1，1，2，4，5，7，7，9，9，
設數列的“聯盟數列”為，
則，，，，，，；
ⅰ證明：表示數列中小于i的項的個數，表示數列中小于的項的個數，
顯然，因此，
設的聯盟數列中的任意一項，
則由“聯盟數列”的定義可知，，
這表明在數列中，，，
又因為，則，
所以；
ⅱ在數列中，有個0，個1，個2，，個，剩下的項為，
所以
，
當時，，
令，，則，
那么，則，
所以，
當時，，
此時由可知，的“聯盟數列”是，交換和的位置，重復上述討論即可.
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
第16頁，共16頁

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