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高二暑假作業5：計數原理、隨機變量及其分布、成對數據的統計分析
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.(2025·河北省·期末考試)中國燈籠又統稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現有4名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
2.(2025·江蘇省鹽城市·期中考試)已知隨機變量X的分布規律為，則
A. B. C. D.
3.(2025·福建省·聯考題)下列等式中不成立的是( )
A. B.
C. D.
4.(2025·廣東省·單元測試)根據下表中的數據可以得到線性回歸方程，則實數m，n應滿足
x 3 m 5 6
y 3 4 n
A. B. C. D.
5.(2025·湖北省黃岡市·月考試卷)如圖所示，已知一質點在外力的作用下，從原點O出發，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為，若該質點每次移動一個單位長度，記經過5次移動后，該質點位于X的位置，則
A. B. C. D.
6.(2025·福建省·單元測試)長時間玩手機可能影響視力，據調查，某校學生大約的人近視，而該校大約有的學生每天玩手機超過1h，這些人的近視率約為現從每天玩手機不超過1h的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為( )
A. B. C. D.
7.(2025·安徽省·月考試卷)數學對于一個國家的發展至關重要，發達國家常常把保持數學領先地位作為他們的戰略需求.現某大學為提高數學系學生的數學素養，特開設了“古今數學思想”，“世界數學通史”，“幾何原本”，“什么是數學”四門選修課程，要求數學系每位同學每學年至多選3門，大一到大三三學年必須將四門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式有( )
A. 60種 B. 78種 C. 84種 D. 144種
8.(2025·廣東省·期末考試)已知隨機變量的分布列如下：
P
其中若，則
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.(2025·山東省·單元測試)從4名男生和4名女生中選出4人組成一支隊伍去參加一項辯論賽，下列說法正確的是
A. 如果參賽隊中男生女生各兩名，那么一共有36種選法
B. 如果男生甲和女生乙必須入選，那么一共有30種選法
C. 如果至少有一名女生入選，那么一共有140種選法
D. 如果4人中必須既有男生又有女生，那么一共有68種選法
10.(2025·安徽省蕪湖市·期中考試)已知二項展開式，則( )
A. B.
C. D.
11.(2025·湖北省·單元測試)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復N次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為，則下列結論正確的是
A. ，
B. 數列是等比數列
C. 的數學期望N
D. 數列的通項公式為N
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.(2025·上海市市轄區·模擬題)若隨機變量，，則 .
13.(2025·河南省·月考試卷)一位射擊運動員向一個目標射擊二次，記事件“第i次命中目標”，，，，則 .
14.(2025·安徽省合肥市·模擬題)如圖，在的方格中放入棋子，每個格子內至多放一枚棋子，若每行都放置兩枚棋子，則恰好每列都有兩枚棋子的概率為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(2025·河南省·月考試卷)本小題13分
從1、3、5、7、9這五個數字中任取兩個數字，從0、2、4、6這四個數字中任取兩個數字．
共可組成多少個沒有重復數字的四位數？
共可組成多少個沒有重復數字的四位偶數？
16.(2025·全國·歷年真題)本小題15分
為研究某疾病與超聲波檢查結果的關系，從做過超聲波檢查的人群中隨機調查了1000人，得到如下列聯表：
記超聲波檢查結果不正常者患該疾病的概率為p，求p的估計值;
根據小概率值的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結果是否與患該疾病有關.
附：
k
17.(2025·云南省·模擬題)本小題15分
盒中有標記數字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球.
求取出的3個小球上的數字兩兩不同的概率;
記取出的3個小球上的最小數字為X，求X的分布列及數學期望
18.(2025·江蘇省南京市·模擬題)本小題17分
13張大小質地完全相同的卡牌中有八張數字牌，正面標有，此外還有五張字母牌，正面標有，將這十三張牌隨機排成一行.
求五張字母牌互不相鄰的概率;
求在標有8的卡牌左側沒有數字牌的概率;
對于給定的整數，記“在標有k的數字牌左側，沒有標號比k小的數字牌”為事件，求發生的概率結果用含k的式子表示
19.(2025·安徽省合肥市·模擬題)本小題17分
當前，以大語言模型為代表的人工智能技術正蓬勃發展，而數學理論和方法在這些模型的研發中，發揮著重要作用.例如，當新聞中分別出現“7點鐘，一場大火在郊區燃起”和“7點鐘，太陽從東方升起”這兩個事件的描述時，它們提供的“信息量”是不一樣的，前者比后者要大，會吸引人們更多關注.假設通常情況下，它們發生的概率分別是和，用這個量來刻畫“信息量”的大小，計算可得前者約為9，后者接近于現在，假設離散型隨機變量X的分布列為，，，2，，則稱為X的信息熵，用來刻畫隨機變量X蘊含的信息量的大小.
若X的分布列為，，求的最大值;
證明：
若，且n為定值，設，證明：
1.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查了分步乘法計數原理，屬于基礎題.
每人都有3種選法，結合分步乘法計數原理即可求解.
【解答】
解：由題可知，每名同學都有3種選法，
故不同的選購方式有種，經檢驗只有A選項符合.
故選：A
2.【答案】A
【解析】解：因為隨機變量X的分布規律為，
所以，
解得，
所以
故選
3.【答案】B
【解析】【分析】
本題是一道關于排列的題目，熟練掌握排列數的計算公式是解答此題的關鍵，屬于中檔題.
根據排列數的計算公式即可得到答案.
【解答】
解：A中左邊，正確;
B中左邊
!，不正確;
C中左邊
成立，
正確;
D中左邊
成立，正確;
故選
4.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查了利用回歸方程必過樣本中心點這一特征求線性回歸直線方程，同時考查學生的計算能力，屬于基礎題．
分別求出x，y的平均數，代入回歸直線方程，從而得解．
【解答】
解：由題意得：
，
，
根據回歸直線恒過樣本中心點，
故，
化簡可得：，故選
5.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查n次獨立重復實驗及其概率計算，屬于基礎題．
滿足題意的移動情況有三種，根據n次獨立重復實驗的概率計算求解即可.
【解答】
解：依題意，該質點移動5次后位于X的位置，若，
則有①向右移動5次，②向右移動4次，向左移動1次，③向右移動3次，向左移動2次，三種情況，
則
故選
6.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查利用全概率公式求隨機事件的概率問題，屬于基礎題．
根據給定信息，結合全概率公式列式求解作答即可．
【解答】
解：令“玩手機時間超過1h的學生”，“玩手機時間不超過1h的學生”，“任意調查一人，此人近視”，
則，且，互斥，，，，，
依題意，，解得，
所以所求近視的概率為
故選
7.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查排列組合的應用，涉及分步分類計數原理的應用．
根據題意，分2步進行分析：第一步將四門選修課程分為3組，第二步將分好的三組安排在三年內選修，由分步乘法計數原理計算可得答案．
【解答】
解：根據題意，分2步進行分析：
第一步將四門選修課程分為3組，
若分為2、1、1的三組，有種分組方法；
若分為2、2、0的三組，有種分組方法；
若分為3、1、0的三組，有種分組方法，
則一共有種分組方法；
第二步將分好的三組安排在三年內選修，有種情況，
則每位同學的不同選修方式有種.
故選
8.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，屬于中檔題.
，，則，則，推得，即可得出結論.
【解答】
解：根據題意可得，
，則，
則，
由，，
則，
即，
即，
即，
則
故選
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本題主要考查組合和組合數公式，屬基礎題.
根據題意，直接計算判斷A，B，間接計算判斷C，D，即可得出答案.
【解答】
解：對于A，男生女生各選兩名，共有種，故A正確;
對于B，除甲乙，在剩下的3名男生和3名女生中共選2名，
共有種，故B錯誤;
對于C，用全部選法減去全是男生的選法即可，共有種，故C錯誤;
對于D，用全部選法減去全是男生和全是女生的選法即可，
共有種，故D正確.
故選：
10.【答案】ACD
【解析】解：對A，令得，A對；
對C，令得，B錯；
對C，由二項展開式的通項公式可得第2項為 ，
，
，C對；
對D，令得，
令得，
，D對.
故選：
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本題考查數列與概率相結合，期望的求法，數列的遞推關系式，等比數列的判斷，以及通項公式的求法，考查轉化首項以及計算能力，屬于難題.
利用已知條件求出，，推出，，可判斷A，推出，，得到，推出，說明數列是首項為，公比為的等比數列，可判斷B，求解的通項公式可判斷D，求出的分布列及期望，可判斷
【解答】
解：由題意可知：，，則
，故A錯誤；
由題意可知：當時，，①
，②
①②可得，
所以，
又因為，，即，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，故B正確；
所以，即，③
由②知，當時，有，
又，，
所以是首項為，公比為的等比數列，
所以，
由③，有，，故D錯誤；
的概率分布列：
0 1 2
P
則，，故C正確.
故選
12.【答案】
【解析】解：因為隨機變量，
所以正態分布圖象關于對稱，那么
又因為，在連續型隨機變量中，
所以
由正態分布圖象關于對稱可知
，
設，則，
所以，移項可得，即，解得
因為，，
所以故答案為：
13.【答案】
【解析】【分析】
本題考查全概率公式，屬于基礎題.
利用全概率公式計算即可.
【解答】
解：由題意，，，
由全概率公式得：
故答案為：
14.【答案】
【解析】解：因為每行都要放置兩枚棋子，第一行從4個格子中選2個放棋子，
則第一行的放法有種，
同理，第二行從4個格子中選2個放棋子，也有種放法，
第三行同樣有種放法，第四行還是有種放法，
根據分步乘法計數原理，可得“每行都放置兩枚棋子”的總放法數種；
不妨設第一行的兩枚棋子放在第1第2列，
①若第二行的兩枚棋子也放在第1第2列，
則第3和第4行的棋子只有1種放法，
②若第二行的兩枚棋子只有一枚和第一行的棋子同一列，則有4種放法，
對于第三行，其中的一枚棋子必然要放在沒有棋子的那一列，
剩下的一枚棋子有2種放法，第四行的棋子只有1種放法，
則一共有種放法，
③若第二行的兩枚棋子和第一行的兩枚棋子都不同列，則有1種放法，
對于第三列，兩枚棋子有種放法，
第四行的棋子只有1種放法，則一共有種放法，
故第一行的兩枚棋子放在第1第2列時，共有種放法，
因為第一行的棋子有種放法，
所以每行每列都有兩枚棋子共有種放法，
所以若每行都放置兩枚棋子，則恰好每列都有兩枚棋子的概率為
故答案為：
15.【答案】解：由題意，將組成的四位數分含有0和不含0兩種情況進行求解，當四位數中不含0時，組成四位數個數為，當四位數中含有0時，組成四位數個數為，所以一共可組成個沒有重復數字的四位數；
當四位數不含0時，如果是偶數，則組成偶數個數為中不含0時個數的一半，即有360種；當四位偶數含0時，且0在個位時，組成四位偶數個數為：，當四位偶數含0，而且2或4或6在個位，組成四位偶數個數為：，所以一共組成的沒有重復的四位偶數個數為所以一共可以組成個沒有重復的四位偶數.
【解析】本題考查排列組合的綜合運用，分析和運用能力，分類討論思想，屬于中檔題.
由題意，將組成的四位數分含有0和不含0兩種情況進行求解，當四位數中不含0時，可組成個，當四位數中含有0時，可組成，兩者相加即可求解；
當四位偶數中不含0時，有360個，當四位偶數含0時，且0在個位時，有個，當四位偶數含0，而且2或4或6在個位時，有，三者相加即可求解.
16.【答案】解：由題可知，超聲波檢查結果不正常者有200人，這200人中患該疾病的有180人，
則
零假設為超聲波檢查結果與是否患該疾病無關，
根據列聯表中的數據，經計算得到
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為超聲波檢查結果與是否患該疾病有關，此推斷犯錯誤的概率不大于
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
17.【答案】解：“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為A，
確定3個不同數字的小球，有種方法，
每種小球各取1個，有種取法，
則；
的所有可能取值為1，2，
當時，分為兩種情況：只有一個數字為1的小球、有兩個數字為1的小球，
，
當時，分為兩種情況：只有一個數字為2的小球、有兩個數字為2的小球，
，
當時，分為兩種情況：只有一個數字為3的小球、有兩個數字為3的小球，
X的分布列如下：
X 1 2 3
P
所以
【解析】本題考查了離散型隨機變量的分布列和數學期望應用問題，屬于中檔題.
先確定3個不同數字的小球，然后再從確定的每種小球中取1個，通過計算可求符合要求的取法數，再除以總的取法數可得結果;
先確定X的所有可能取值為1，2，3，然后計算出不同取值的概率，注意X的每種取值對應兩種情況，由此可求分布列和數學期望
18.【答案】解：13張牌全排列，共有種排法.
五張字母牌互不相鄰，先排八張數字牌，共有種排法.
將8張數字牌排好，形成個間隔.
從這9個間隔中選5個放置字母牌，共有種排法.
則五張字母牌互不相鄰的排法有種.
所以五張字母牌互不相鄰的概率為；
當標有8的卡牌在左端第一個時，剩下12張牌可以隨意排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第二個時，先從5個字母牌里選一個排在左端第一位，再將剩下11張牌全排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第三個時，先從5個字母牌里選兩個排在標有8的卡牌的左側，再將剩下10張牌全排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第四個時，先從5個字母牌里選三個排在標有8的卡牌左側，再將剩下9張牌全排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第五個時，先從5個字母牌里選四個排在標有8的卡牌左側，再將剩下8張牌全排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第六個時，將5個字母牌排在標有8的卡牌左側，再將剩下7張牌全排列，共有種排法.
所以在標有8的卡牌左側沒有數字牌的概率為
；
標號比k小的數字牌有張，比k大的數字牌有張，
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
19.【答案】解：由題意知，，其中，
令，則，
所以當時，，所以在上單調遞增，
當時，，所以在上單調遞減，
所以在時取得最大值，且最大值為；
證明：要證，即證，
因為
，
設，則，
令，，令，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以
等號僅在，即時成立
，所以；
證明：由題意知，
由易知，
所以關于直線對稱，所以，即得
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
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