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蘇教版高一暑假作業1：集合與常用邏輯用語、不等式、復數
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.(2025·山東省濟南市·月考試卷)設集合，則，則等于( )
A. B. C. D.
2.(2024·浙江省·單元測試)設，若復數是純虛數為虛數單位，則( )
A. B. C. D.
3.(2025·湖北省宜昌市·其他類型)已知集合，則集合的所有非空子集的個數為 ．
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
4.(2024·河北省承德市·月考試卷)已知，，則的取值范圍是 ．
A. B. C. D.
5.(2025·江蘇省·同步練習)已知復數，在復平面內對應的點分別為，，則的共軛復數為( )
A. B. C. D.
6.(2025·山東省菏澤市·其他類型)若，，，且，則下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.(2025·黑龍江省·月考試卷)若，則的最小值是( )
A. B. C. D.
8.(2025·遼寧省·其他類型)十六世紀中葉，英國數學家雷科德在礪智石一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐步被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠已知為非零實數，且，則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.(2025·廣東省潮州市·月考試卷)已知集合，，，則可能是( )
A. B. C. D.
10.(2024·福建省·單元測試)下列說法中正確的是( )
A. “，都是偶數”是“是偶數”的充要條件
B. “兩個三角形全等”是“兩個三角形的面積相等”的充分不必要條件
C. “”是“關于的方程有兩個實數解”的必要不充分條件
D. “”是“”的既不充分也不必要條件
11.(2025·江蘇省南通市·其他類型)已知復數，，均不為，則下列說法正確的是( )
A. 若復數滿足，且，則
B. 若復數滿足，則
C. 若，則
D. 若復數，滿足，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.(2025·廣東省·期中考試)不等式的解集為 ．
13.(2025·湖北省襄陽市·月考試卷)若，，，則的最小值為 ．
14.(2025·河北省邢臺市·月考試卷)某班舉行數學、物理、化學三科競賽，每人至少參加一科，已知參加數學競賽的有人，參加物理競賽的有人，參加化學競賽的有人，其中同時只參加數學、物理兩科的有人，同時只參加物理、化學兩科的有人，同時只參加數學、化學兩科的有人，而參加數學、物理、化學三科的有人，則全班共有 人
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(2024·廣東省·單元測試)本小題分
已知集合，．
若，，求；
集合，能否相等？若能，求出，的值；若不能，請說明理由．
16.(2025·河北省·期中考試)本小題分
已知復數，，其中為虛數單位．
若是純虛數，求實數的值
若，設，試求的值．
17.(2025·吉林省·期中考試)本小題分
已知集合，．
求集合；
若是成立的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
18.(2025·山東省·月考)本小題分
已知不等式．
若不等式對任意實數恒成立，求實數的取值范圍；
若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．
19.(2024·廣東省·期末考試)本小題分
如圖所示，設矩形的周長為，把它沿翻折，翻折后交于點，設．
用表示，并求出的取值范圍
求面積的最大值及此時的值．
答案與解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本題考查交集運算，屬于基礎題．
根據交集運算即可求出結果．
【解答】
解：根據交集運算可知，故選B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義，屬于基礎題．
利用復數的運算法則、純虛數的定義即可得出．
【解答】
解：復數是純虛數為虛數單位，
，
，解得，
故選A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本題考查的是集合的子集個數，屬于容易題．
根據題意化簡集合，即可得出答案．
【解答】解：，
集合的非空子集的個數是．
故選：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本題考查不等式的性質，屬于基礎題．
根據題意，求出的取值范圍，進而由不等式的性質可得答案．
【解答】解：已知，，
得，所以．
故選A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，考查復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題．
由已知求得，，代入，再由復數代數形式的乘除運算化簡，利用共軛復數的概念得答案．
【解答】
解：由題意，復數，，
則，
的共軛復數為．
故選：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本題考查利用不等式的基本性質判斷不等關系，屬于基礎題．
【解答】
選項A，，因為，大小無法確定，所以中不等式不一定成立選項B，當時，才能成立，故B中不等式不一定成立選項C，當時，不等式不成立，故C中不等式不一定成立選項D，因為所以，故D中不等式一定成立故選D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了由基本不等式求最值，屬于基礎題．
變形利用基本不等式即可得出．
【解答】
解：，，
，
當且僅當，即時取等號．
的最小值是．
故選：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本題考查利用不等式的基本性質判斷不等關系，是較易題．
根據不等式的性質，結合作差法即可求解．
【解答】
解：對于，當 時， ，故A錯誤；
對于， ，由于 ，所以 ，故B正確；
對于，若 則 ，此時 ，故C錯誤；
對于，取 ，則 ，不滿足 ，故D錯誤．
故選：
9.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了集合的列舉法的定義，并集及其運算，集合元素的互異性，考查了計算能力，屬于基礎題．
含個元素時可得出或或，然后根據集合元素的互異性求出，或或，然后即可求出，從而得出正確的選項．
【解答】
解：若含個元素，則或或，
時，不滿足集合元素的互異性，，或時滿足題意，
時，；時，；時，．
故選：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了簡易邏輯的判定方法、方程與不等式的解法、三角形全等性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
A.若“，都是偶數”“是偶數”，反之不成立，即可判斷出正誤；
B.“兩個三角形全等”“兩個三角形的面積相等”，反之不成立，即可判斷出正誤；
C.關于的方程有兩個實數解，可得：，，解得范圍，即可判斷出正誤；
D.“”“”，反之不成立，即可判斷出正誤．
【解答】
解：若“，都是偶數”“是偶數”，
反之不成立，例如，可以都是奇數，
因此“，都是偶數”是“是偶數”的充分不必要條件，不正確；
B.“兩個三角形全等”“兩個三角形的面積相等”，反之不成立，
因此“兩個三角形全等”是“兩個三角形的面積相等”的充分不必要條件，正確；
C.關于的方程有兩個實數解，可得：，且，解得，且，
“”是“關于的方程有兩個實數解”的必要不充分條件，正確；
D.“”“”，反之不成立，
因此“”是“”的必要不充分條件，錯誤．
故選：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本題考查復數的概念，共軛復數以及復數的運算，屬于中檔題．
根據復數的概念、共軛復數的概念及運算規則逐項運算即可．
【解答】
解：對于選項，令，，，則，
因為，且，所以則，故，故A正確
對于選項，令，則由，得，所以，故B正確
對于選項，令，，此時，，故C錯誤
對于選項，令，，
則，所以，
故，故D正確．
故選：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本題考查分式不等式和一元二次不等式的求解，屬于基礎題．
將不等式轉化成，再根據一元二次不等式的解法即可得答案．
【解答】
解：不等式可轉化成，
解得．
13.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了基本不等式的求最值問題，是中檔題．
兩次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等號成立的條件．
【解答】
解：，，，
，
當且僅當，
即，
即，或，時取“”；
上式的最小值為．
故答案為：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本題考查利用圖求集合之間的關系，設參加數學、物理、化學三科競賽的人分別組成集合，，，各集合中元素的個數如圖所示，接下來將各個部分的人數相加即可求解．
【解答】
解：設參加數學、物理、化學三科競賽的人分別組成集合，，，
各集合中元素的個數如圖所示，
則全班人數為．
故答案為．
15.【答案】解：當，時，．
因為或．
所以或．
因為，若，則可變成，
若，則解得
若，則可變成，不可能，
所以，．
【解析】本題考查集合的基本運算以及集合相等求參數，屬于基礎題．
當，時，結合集合補集，交集的定義即可求解；
根據集合中的范圍對分類討論即可求解．
16.【答案】解：由題意可得：，且，；
若，則，
，
，，
．
【解析】本題主要考查了復數的概念、復數的四則運算以及復數相等的充要條件，屬于基礎題．
由純虛數的定義可得方程組，解出可得；
，由復數的四則運算化簡可得，根據復數相等的充要條件可求和，從而得到答案．
17.【答案】解：由，得故集合
由，得，．
當時，，由得，
故集合．
是成立的充分不必要條件，
，
則，即
解得，
又當時，，不合題意，
所以實數的取值范圍為．

【解析】本題考查充分必要條件與集合的關系，屬于基礎題．
利用一元二次不等式的解法化簡求解集合即可．
根據是成立的充分不必要條件，由求解．
18.【答案】解：當時，不等式為，解得，顯然不符合題意；
當時，由已知，得，即
解得．
綜上，實數的取值范圍為
原不等式可化為，
設，
由題意，當，恒成立，
所以，即
解得，
所以實數的取值范圍為

【解析】本題考查一元二次不等式的知識，屬于較難題解答本題的關鍵是得出不等式解集為的條件，以及如何將問題進行轉化，另外在解答時要細心，減少出錯．
根據一元二次不等式的解集為全體實數的條件可得，，從而解出的范圍即可．
化簡整理為關于的一次函數再分析．構造函數利用解不等式組．
19.【答案】解：矩形的周長為，
，，
，得， ，
在中，，
所以，從而得，
，
在中，由勾股定理得，
．
在中， ，
， ，當且僅當，即時，等號成立
，
當時，的面積取最大值．

【解析】本題考查利用基本不等式解決實際問題，屬于中檔題．
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