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蘇教版高一暑假作業2：函數及其基本性質
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.(2024·山東省·單元測試)下列選項中是同一個函數的為 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.(2025·河北省·假期作業)已知函數，若，則實數( )
A. B. C. D.
3.(2025·河北省保定市·月考試卷)函數的大致圖象是( )
A. B.
C. D.
4.(2025·湖南省·單元測試)已知函數滿足，，則( )
A. B. C. D.
5.(2025·浙江省紹興市·模擬題)已知函數的定義域為，則函數的定義域為( )
A. B. C. D.
6.(2024·湖北省鄂州市·月考試卷)已知函數是奇函數，是偶函數，且，則( )
A. B. C. D.
7.(2024·湖北省武漢市·月考試卷)若函數在區間上不是單調函數，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.(2025·浙江省杭州市·期末考試)若函數的定義域為，值域為，則等于( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.(2024·福建省·月考試卷)已知定義在區間上的一個偶函數，它在上的圖象如圖，則下列說法正確的有( )
A. 這個函數有兩個單調遞增區間 B. 這個函數有三個單調遞減區間
C. 這個函數在其定義域內有最大值 D. 這個函數在其定義域內有最小值
10.(2024·湖南省·月考試卷)定義在上的奇函數滿足，且當時，，則( )
A. 滿足 B. 在上單調遞減
C. 的圖象關于直線對稱 D. 的圖像關于點對稱
11.(2025·浙江省·期末考試)中國傳統文化中很多內容體現了數學的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現了一種相互轉化，相對統一的和諧美，定義：圓的圓心在原點，若函數的圖像將圓的周長和面積同時等分成兩部分，則這個函數稱為圓的一個“太極函數”，則( )
A. 對于圓，其“太極函數”有個
B. 函數是圓的一個“太極函數”
C. 函數不是圓的“太極函數”
D. 函數是圓的一個“太極函數”
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.(2025·安徽省阜陽市·期末考試)函數的定義域是 ．
13.(2024·廣東省佛山市·其他類型)已知在上的奇函數，當時，，則當時，的解析式為 ．
14.(2024·福建省·單元測試)設是定義在上的函數，滿足，且對任意的，，都有，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(2025·山東省濟南市·其他類型)本小題分
已知函數，且．
求的值；
判斷在區間上的單調性，并用單調性的定義證明你的判斷．
16.(2025·福建省·期中考試)本小題分
已知是定義在上的偶函數，當時，．
求函數在上的解析式；
若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍．
17.(2024·福建省泉州市·期中考試)本小題分
已知函數．
畫出函數的圖象；
當時，求實數的取值范圍．
18.(2024·重慶市市轄區·月考試卷)本小題分
已知函數是定義在上的奇函數，當時，
求的解析式
當函數的自變量且時，函數值的取值區間恰為時，求實數的取值范圍．
19.(2025·浙江省紹興市·其他類型)本小題分
設，已知函數，．
Ⅰ若是奇函數，求的值；
Ⅱ當時，證明：；
Ⅲ設，，若實數滿足，證明：．
答案與解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了判斷兩個函數是否為同一函數的問題，屬于基礎題．
判斷兩個函數是否為同一函數，應判定它們的定義域、值域以及對應關系是否相同，由于值域由定義域和對應法則確定，所以對選項中各組函數的定義域和對應法則進行比較即可得解
【解答】
解：對于選項，的定義域為，的定義域為，不是同一個函數；
對于選項，，定義域、值域和對應關系均相同，是同一個函數；
對于選項，的定義域為，的定義域為，不是同一個函數；
對于選項，的定義域為，的定義域為，不是同一個函數．
故選B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本題考查求與分段函數有關的復合函數值問題，屬于基礎題．
利用分段函數，，解得即可．
【解答】
解：函數
，解得．
故選C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本題考查函數的圖象的識別，屬于基礎題．
【解答】
解：由于的定義域為，排除，；
當時，，排除．
故選A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本題考查抽象函數的函數值、等差數列的求和，屬于較難題．
賦值得到 ，利用累加法得到 ，令 得到 ，賦值得到 ，從而求出答案．
【解答】
解： 中，令 得，
，
故 ，
故 ，
其中 ，
，
，
，
，
上面個式子相加得，
，
令 得 ，
中，令 得 ，
故 ．
故選：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本題考查函數的定義域，屬于基礎題．
根據題意的定義域，再由分母根式內部的代數式大于求解．
【解答】
解：根據題意，，且得
故選：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了函數的奇偶性相關知識，屬于中檔題．
根據函數的奇偶性可得出關于、的方程組，由此可解得函數的解析式．
【解答】
解：因為是奇函數，是偶函數，所以，．
所以，即
因此，．
故選：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了分段函數的單調性，二次函數的性質，考查分類討論思想，屬于中檔題．
化簡的解析式，利用二次函數的性質得出的單調性，從而得出單調區間端點與區間的關系，從而得出的范圍．
【解答】
解：．
若，在上單調遞減，不符合題意；
若，則在上單調遞減，在上單調遞增，
若在上不是單調函數，則，即；
若，則在上單調遞減，在上單調遞增，
若在上不是單調函數，則，即．
綜上，的取值范圍是．
故選：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本題考了函數的定義域與值域，函數的單調性，屬于基礎題．
由函數的單調性和定義域得到值域為，又值域為，進而得到關于，的方程組，求解即可．
【解答】
解：，，則函數為常數，且在單調遞增，
又函數的定義域為，
函數的值域為，
．
故選A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本題考查函數的單調性、奇偶性和最值，以及函數圖象的應用，屬于基礎題．
根據偶函數的性質畫出函數的完整圖象，由函數圖象可以直接得出單調區間以及最值．
【解答】
解：根據偶函數的對稱性畫出函數的完整圖象：
由圖象可知，這個函數有三個單調增區間，三個單調減區間，
這個函數在其定義域內有最大值，最小值不是；
故選BC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了函數周期性判定及其應用，也考查了函數單調性的判定及其應用，還考查了函數的對稱性判定及其應用，屬于基礎題．
根據題意，結合函數的奇偶性，周期性，對稱性，單調性依次分析選項是否正確，即可得答案．
【解答】
解：根據題意，依次分析選項：
對于，函數滿足，則，是周期為的周期函數，A正確；
對于，當，，，又由為奇函數，則，而，，故在上不具有單調性，B錯誤；
對于，是周期為的周期函數，則有，變形可得，的圖象關于直線對稱，C正確；
對于，奇函數是周期為的周期函數，則，變形可得，的圖象關于點對稱，D正確；
故選：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了函數的實際應用，考查了函數的奇偶性的判斷．
根據題意，只需判斷所給函數的奇偶性即可得到答案．
【解答】
解：對于選項A：圓，其“太極函數”不止一個，故選項A錯誤，
對于選項B：由于函數，當時，；當時，，
故為奇函數，
所以根據對稱性可知函數為圓的一個“太極函數”，故選項B正確，
對于選項C：函數的定義域為，，也是奇函數，
故函數是圓的“太極函數”，故選項C錯誤，
對于選項D：函數的定義域為，
，也是奇函數，
故函數是圓的“太極函數”，故選項D正確，
故選BD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本題考查函數的定義域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基礎題．
根據函數令即可得到定義域．
【解答】
解：函數，
要使其有意義，即，得，
解得：．
函數的定義域是．
故答案為．
13.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了函數奇偶性的應用，屬于基礎題．
先設，則，代入并進行化簡，再利用進行求解即可．
【解答】
解：設，則，
，
是奇函數，
，
即當時，的解析式為．
故答案為：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了抽象函數的解析式的求法，和函數值的求法，賦值是解題的關鍵，屬于中檔題．
賦值法求抽象函數解析式，利用，求出，再利用，求與有關的等式，化簡即可．
【解答】
解：，
令，得，
．
令，，
，
故答案為：．
15.【答案】解：因為，
所以，
所以；
在上單調遞減，證明如下：
設，
則
，
又，，
所以
所以，
所以在區間上單調遞減．
【解析】本題主要考查了求解函數解析式，還考查了函數單調性定義在單調性判斷中的應用，屬于基礎題．
由直接代入即可求解；
先設，然后利用作差法比較與的大小即可判斷．
16.【答案】解：由題意知是定義在上的偶函數，當時，，
故當時，，
故函數在上的解析式為；
作出函數的圖象如圖：
結合圖象可得，若函數在區間上單調遞增，
需滿足，即，
故實數的取值范圍為．
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
17.【答案】解：函數的圖象如圖所示：
由題可得，或，
解得或，
所以實數的取值范圍為．
【解析】根據一次函數和二次函數的圖象與性質，分段畫的圖象，即可；
分段解不等式，即可．
本題考查分段函數的圖象與性質，考查作圖能力和運算能力，屬于基礎題．
18.【答案】解：因為為上的奇函數，，
又當時，，所以當時，，
所以，
所以．
由題，當，在上單調遞減，
，即，是方程的兩個不等正根，
令，則，故方程有兩個不相等的正根，
故，解得
同理，當，在上單調遞減，
，即，是方程的兩個不等正根，
令，則，故方程有兩個不相等的正根，
故，解得；
滿足條件的實數的取值范圍是．
【解析】本題主要考查函數的奇偶性，是中檔題．
利用函數奇偶性可得函數解析式；
分類討論，將問題轉化為一元二次方程有兩個不相等的正根，求解即可．
19.【答案】解：由題意，對任意，都有，
即，即，
可得．
證明：因為，，
，
所以．
證明：設，則，
當時，；
當時，，
所以，
，
因為，
所以，
即，
當時，，，
所以；
當時，由知，
，等號不能同時成立．
綜上可知，．
【解析】本題主要考查函數的奇偶性，考查不等式的應用，屬于中檔題．
由，可求得的值；
作差化簡，利用題中條件即可證明；
利用換元法求出的最大值和最小值，根據，得出，分和兩種情況進行分類討論，即可證明．
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