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蘇教版高一暑假作業(yè)3：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.(2025·浙江省溫州市·期中考試)的值為( )
A. B. C. D.
2.(2025·浙江省·單元測試)已知，則等于 ( )
A. B. C. D.
3.(2024·北京市市轄區(qū)·月考試卷)已知，，，則，，的大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.
4.(2025·廣東省湛江市·其他類型)已知函數(shù)其中且的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，則的值為( )
A. B. C. D.
5.(2025·湖南省·模擬題)若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的最小值為( )
A. B. C. D.
6.(2025·湖北省·單元測試)已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.(2025·貴州省貴陽市·月考試卷)某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有名教師用戶，發(fā)布天后有名教師用戶如果教師用戶人數(shù)與天數(shù)之間滿足關(guān)系式：，其中為常數(shù)，是剛發(fā)布時(shí)的教師用戶人數(shù)，則教師用戶超過名至少經(jīng)過的天數(shù)為 參考數(shù)據(jù)：
A. B. C. D.
8.(2025·廣東省廣州市·模擬題)已知函數(shù)若關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.(2025·山東省德州市·期末考試)下列計(jì)算正確的有( )
A.
B.
C. 若，，則
D. 若，則
10.(2024·江蘇省蘇州市·其他類型)若函數(shù)，則下述正確的是( )
A. 在單調(diào)遞增 B. 的值域?yàn)?br/>C. 的圖象關(guān)于直線對稱 D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
11.(2024·廣東省東莞市·其他類型)已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，，則( )
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.(2025·山東省東營市·其他類型)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù) ．
對，，有；
當(dāng)時(shí)，恒成立．
13.(2025·浙江省溫州市·其他類型)函數(shù)的值域?yàn)? ．
14.(2024·江蘇省鹽城市·期末考試)已知函數(shù)，該函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為 ；使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(2025·廣東省·期中考試)本小題分
．
已知，，計(jì)算的值．
16.(2025·河南省鄭州市·其他類型)本小題分
已知函數(shù)
判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
若為奇函數(shù)，求滿足的的取值范圍．
17.(2025·湖北省黃岡市·月考試卷)本小題分
已知函數(shù)．
解關(guān)于的不等式；求函數(shù)，的最小值．
18.(2025·山東省·單元測試)本小題分
已知函數(shù)且的圖象過點(diǎn)．
求的值及的定義域；
求在上的最大值；
若，比較與的大小．
19.(2024·遼寧省本溪市·期末考試)本小題分
有一種候鳥每年都按一定的路線遷徒，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，代表測量過程中某類候鳥每分鐘的耗氧量偏差參考數(shù)據(jù)：，，．
當(dāng)，候鳥每分鐘的耗氧量為個(gè)單位時(shí)，候鳥的飛行速度是多少？
當(dāng)，候鳥停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為多少單位？
若雄鳥的飛行速度為，同類雌鳥的飛行速度為，則此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？
答案與解析
1.【答案】
【解析】解：．
故選：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本題考查分段函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題．
將自變量代入相應(yīng)的解析式求值即可．
【解答】
解：已知
則，
所以．
故選C．
3.【答案】
【解析】【分析】
利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．
本題考查三個(gè)數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．
【解答】
解：，，
，
又，
，
故選：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
先利用函數(shù)的解析式得出其圖象必過哪一個(gè)定點(diǎn)，再將該定點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)函數(shù)式中求出，最后即可求出相應(yīng)的函數(shù)值．
【解答】
解：函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，
將，代入得：，
，
，
則
．
故選A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了對數(shù)方程，基本不等式的應(yīng)用．
利用指對互化公式得出關(guān)于的等式，利用基本不等式得出的最小值．
【解答】
解：，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．
故選B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于簡單題．
若函數(shù)在上是增函數(shù)，則在恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，得的不等式求解即可．
【解答】
解：若函數(shù)在上是增函數(shù)，
則函數(shù)在上為增函數(shù)，
且上，恒成立，
所以，，
解得．
故選C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查利用指數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)已知條件求得，結(jié)合及指對數(shù)關(guān)系、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解集，即可得結(jié)果．
【解答】
解：由題設(shè)，可得
所以，則，
故，
所以教師用戶超過名至少經(jīng)過天．
故選：
8.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了分段函數(shù)的圖象，函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)和二次方程根的分布，屬于中檔題．
利用分段函數(shù)的圖象，結(jié)合指、對數(shù)函數(shù)的圖象作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用二次方程根的分布，計(jì)算得結(jié)論．
解：作函數(shù)的圖象如下：
由圖象知：要關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
設(shè)，則關(guān)于的方程在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
9.【答案】
【解析】解：，選項(xiàng)錯誤；
，選項(xiàng)正確；
若，，則，選項(xiàng)正確；
若，則，所以，選項(xiàng)正確．
故選：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性、對稱性以及值域問題，屬于中檔題．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判定；通過舉反例可以判定，根據(jù)，可以判定選項(xiàng)D．
【解答】
解：因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，是上的減函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，故 A正確；
B.若，即時(shí)，則，故B錯誤；
C.對于函數(shù)，因?yàn)椋?br/>故的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；
D.因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，故D正確；
故選AD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查函數(shù)的對稱性、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于一般題．
利用對稱性求出，，進(jìn)而可得，結(jié)合的圖象與直線的交點(diǎn)為即可解答．
【解答】
解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
與的圖象關(guān)于直線對稱，
設(shè)與圖象的交點(diǎn)為，與圖象的交點(diǎn)為，
則與也關(guān)于直線對稱，則，．
因?yàn)椋裕瑒t，即．
因?yàn)榈膱D象與直線的交點(diǎn)為，則，
所以，等號取不到．
，，
令，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
則．
故選BC．
12.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
由滿足的兩個(gè)條件可以聯(lián)想到對數(shù)函數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得答案．
【解答】
解：因?yàn)橛蓾M足的兩個(gè)條件可以聯(lián)想到對數(shù)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
對，，，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，滿足條件．
故答案為：答案不唯一．
13.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用換元法求解．
設(shè)，得，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性求解．
【解答】
解：設(shè)，
，
函數(shù)，
，
根據(jù)單調(diào)性可知：，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>故答案為．
14.【答案】

【解析】【分析】
本題考查了函數(shù)的奇偶性及利用性質(zhì)解不等式和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
先設(shè)，則，根據(jù)關(guān)于對稱，且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則零點(diǎn)之和為；根據(jù)的單調(diào)性和對稱性化簡，然后解出不等式即可
【解答】
解：設(shè)函數(shù)，則為偶函數(shù)，
則有：在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
，，故，
可得在上有一個(gè)零點(diǎn)；在上有一個(gè)零點(diǎn)，
且兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
故有兩個(gè)零點(diǎn)，而且關(guān)于對稱，則兩個(gè)零點(diǎn)之和為：，
不等式等價(jià)為：，
即有：，
解得：，
故答案為：；．
15.【答案】解：原式
由得，而，
所以．

【解析】本題考查指數(shù)冪的化簡求值，對數(shù)式的化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算作答
利用指數(shù)式與對數(shù)式互化求出，代入并結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則求解作答．
16.【答案】解：函數(shù)為上的增函數(shù)，
證明如下：任取、且，
則，
所以，
即，
所以函數(shù)為上的增函數(shù)．
若函數(shù)為奇函數(shù)，則，
即，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，
由得，解得．
因此，滿足的的取值范圍是．
【解析】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的證明與應(yīng)用，屬于較難題．
根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷，可知函數(shù)的單調(diào)性；
根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出，再由函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可．
17.【答案】解：不等式可化為：
，即，
解得或，
所以不等式的解集為，；
，
當(dāng)時(shí)，，
令，
若時(shí)，則在上單調(diào)遞減，則的最小值為，；
若時(shí)，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則的最小值為，即，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則的最小值為 ，即，
綜上：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
【解析】本題考查不等式的求解，函數(shù)的最值，屬于中檔題．
由題意得，然后解不等式組即可；
，利用換元法，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果．
18.【答案】解：由已知，，
解得，
所以定義域?yàn)椋?br/>，
因?yàn)椋?br/>則，
所以，
故最大值為；
因?yàn)椋O(shè)，
所以，，
又，，
所以，
因?yàn)椋瑒t，，
因?yàn)椋裕矗?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以，，
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，又在時(shí)是減函數(shù)，
所以在上是減函數(shù)，
所以．
【解析】本題主要考查函數(shù)的最值，對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)，函數(shù)值的大小比較，屬于中檔題．
由求得，由對數(shù)函數(shù)的定義得定義域；
函數(shù)式化簡為只含有一個(gè)對數(shù)號，然后由二次函數(shù)性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得最大值；
指數(shù)式改寫為對數(shù)式，然后比較，的大小，并由已知得出，的范圍，在此范圍內(nèi)由的單調(diào)性得大小關(guān)系．
19.【答案】解：若，候鳥每分鐘的耗氧量為個(gè)單位時(shí)，
即，，
可得，
故此時(shí)候鳥的飛行速度為；
由題意得，當(dāng)候鳥停下休息時(shí)，它的速度是，
將和代入題目所給的公式，
可得，
即，解得：，
故候鳥停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為個(gè)單位；
設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘的耗氧量為，
由題意得：，
兩式相減可得，
解得：，
故此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的倍．
【解析】本題考查對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及對數(shù)運(yùn)算．
將，，將其代入解析式，求出的值即可；
和代入題目所給的公式，求出的值即可；
設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘的耗氧量為，得到關(guān)于，的方程組，解出即可．
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