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蘇教版高一暑假作業4：三角函數（1）
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.(2025·廣東省·月考試卷)圓的一條弧的長度等于圓內接正六邊形的邊長，則這條弧所對的圓心角的弧度數為( )
A. B. C. D.
2.(2024·浙江省杭州市·期中考試)若點是角終邊上一點，始邊為軸的非負半軸，且，則的值為( )
A. B. C. D.
3.(2025·湖南省·單元測試)已知，則的值為( )
A. B. C. D.
4.(2024·山西省·其他類型)( )
A. B. C. D.
5.(2025·江蘇省蘇州市·月考試卷)已知角終邊上一點，則的值為( )
A. B. C. D.
6.(2024·湖南省·單元測試)函數的圖象大致形狀是( )
A. B.
C. D.
7.(2024·山東省·月考試卷)若，則( )
A. B. C. D.
8.(2024·遼寧省大連市·月考試卷)月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓的一部分和以為直徑的圓的一部分，若是的中點，，南北距離的長大約，則該月牙泉的面積約為 參考數據：
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.(2025·江蘇省·同步練習)在中，下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
10.(2024·河北省·單元測試)已知函數，則下列說法正確的是( )
A. 若的最小正周期是，則
B. 當時，的對稱中心的坐標為
C. 當時，
D. 若在區間上單調遞增，則
11.(2025·湖北省黃岡市·月考試卷)已知函數的部分圖象如圖所示，則下列選項正確的是( )
A.
B. 函數的單調增區間為
C. 函數的圖象關于中心對稱
D. 函數的圖象可由圖象向右平移個單位長度得到
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.(2024·北京市市轄區·模擬題)已知函數其中為實數，若對恒成立，則滿足條件的值為 寫出滿足條件的一個值即可
13.(2025·河南省·同步練習)如圖，邊長為的正六邊形木塊自圖中實線標記位置起在水平桌面上從左向右做無滑動翻滾，點為正六邊形的一個頂點，當點第一次落在桌面上時，點走過的路程為 ．
14.某地一天中時至時的溫度變化曲線近似滿足函數其中，時至時期間的溫度變化曲線如圖所示，它是上述函數的半個周期的圖象，那么這一天時至時溫差的最大值是 ；圖中曲線對應的函數解析式是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(2025·山東省東營市·月考試卷)本小題分
如圖，在平面坐標系中，第二象限角的終邊與單位圓交于點，且點的縱坐標為．
求的值；
求的值．
16.(2024·江西省·聯考題)本小題分
已知向量，，函數．
若，求函數的減區間；
若，方程有唯一解，求的取值范圍．
17.(2025·山東省·單元測試)本小題分
已知函數．
求的值；
求的最小正周期和對稱軸方程；
求在上的值域．
18.(2025·安徽省滁州市·其他類型)本小題分
已知函數的圖象如圖所示．
求函數的解析式；
首先將函數的圖象上每一點橫坐標縮短為原來的，然后將所得函數圖象向右平移個單位，最后再向上平移個單位得到函數的圖象，求函數在內的值域．
19.(2025·山東省濟南市·其他類型)本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，銳角的始邊與軸的非負半軸重合，頂點為坐標原點，終邊與單位圓圓心在原點，半徑為交于點過點作單位圓的切線，分別交軸、軸于點與
若的面積為，求的值；
求的最小值．
答案與解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本題考查弧長公式，屬于基礎題．
設圓的半徑為，得內接正六邊形的邊長為，由弧長公式可得答案．
【解答】
解：設圓的半徑為，則易得該圓的內接正六邊形邊長為，
這條弧所對的圓心角為．
故選A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本題考查任意角的三角函數的定義，誘導公式，屬于基礎題．
利用誘導公式和正弦函數的定義即可求解．
【解答】
解：由題意，得，
則，
因此點在第二象限，，
又因三角函數的定義得，
則，解得．
故選：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了誘導公式，考查學生的計算能力，屬于基礎題．
根據題意利用誘導公式化簡即可得解．
【解答】
解：，
，
，
故選C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本題考查同角三角關系、誘導公式以及二倍角公式的應用，屬于基礎題．
將所求平方，運用同角三角關系、誘導公式以及二倍角公式化簡，再開方，即可得到答案．
【解答】解：因為，所以，
，
故．
故選C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了任意角的三角函數，誘導公式，屬于一般題．
利用任意角的三角函數得，，再利用誘導公式和同角三角函數的基本關系得，代入從而得結論．
【解答】
解：因為點為角終邊上一點，
所以，，
又因為，
所以．
故選A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了函數的奇偶性，函數圖象的識別，屬于中檔題．
利用偶函數定義得為偶函數，排除與，再利用指數函數和正弦函數性質得當時，，排除，從而得結論．
【解答】
解：因為函數的定義域為，
且，
所以為偶函數，因此排除，
又因為當時，，所以，
而，因此，所以排除，
故選C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本題考查同角三角函數的基本關系的應用，屬于基礎題．
方法一：先解得，利用同角三角函數的基本關系將所求式子化為，可得結果；
方法二：由條件得，兩邊平方，即可求出結果．
【解答】
解：方法一：，
，
，
．
方法二：，
故選B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本題考查弧長公式及扇形面積公式，屬于基礎題．
設扇形所在的圓的圓心為，根據為等邊三角形可求內弧的弧長，從而可求弓形的面積，故可求陰影部分的面積．
【解答】
解：設的外接圓的半徑為，圓心為，如圖：
因為，所以是等邊三角形，，
因為月牙內弧所對的圓心角為，所以內弧的弧長，
所以弓形的面積為，
以為直徑的半圓的面積為，
所以該月牙泉的面積為：
故選：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本題考查誘導公式的應用，屬于基礎題．
利用誘導公式以及三角形的內角和定理逐項判斷可得結果．
【解答】
解：在中，，
對于，，故A錯誤；
對于，，故B錯誤；
對于，，故C正確；
對于，，故D正確．
故選CD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查的是正切函數的圖像與性質，是中檔題．
依據周期公式，可直接解；中解析式確定后根據正切函數性質即可求得對稱中心坐標，判斷；中解析式是確定的，用誘導公式把兩個值變為內的兩個角的正切值，根據正切函數性質即可比出大小；中先直接求出的遞增區間，根據題意，列出不等式組即可求出范圍．
【解答】
解：函數的最小正周期為，
又因為中給出了最小正周期為的條件，
故 ，解得，A正確；
當時，函數解析式為
令，
故對稱中心為，B錯誤；
當時，函數解析式為
，
又，故，
所以，C錯誤；
中，
令，
解得：，
函數遞增區間為，
在上單調遞增，
則有，
，解得，故D正確．
故選AD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了三角函數的圖象和性質，考查數形結合思想，轉化思想，屬于基礎題．
根據三角函數的圖象及性質對各個選項進行判斷即可．
【解答】
解：，
由圖象得：，
故，故，故A正確；
令，，得：，，
故函數的單調遞增區間是，故B錯誤；
，故C正確；
的圖象可由圖象向左平移個單位長度得到，故D錯誤；
故選：．
12.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本題考查了三角形函數的性質的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．
根據，可得時，取得最大值或最小值，即寫出答案；
【解答】
解：由題意，對恒成立，可得時，取得最大值或最小值．
若時，取得最大值，即，可得，
若時，取得最小值，即可得，
故答案為：
13.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了弧長公式的應用，同時考查了分析問題的能力和運算求解的能力，屬于中檔題．
可以分為三步，每步走，每步以與桌面右側接觸點為圓心，到的距離為半徑，利用弧長公式分別求解，最后求和即可．
【解答】
解：可以分為三步，每步走，每步以與桌面右側接觸點為圓心，到的距離為半徑，
第一步：，，
第二步：，，
第三步：，，
所以當點第一次落在桌面上時，點走過的路程為
．
故答案為：．
14.【答案】，
【解析】【分析】
本題主要考查由函數的部分圖象確定其解析式的基本方法．
由圖象的最高點與最低點，易于求出這段時間的最大溫差；
、可由圖象直接得出，由周期求得，然后通過特殊點求，則問題解決．
【解答】
解：由圖示，這段時間的最大溫差是，
圖中從時到時的圖象是函數的半個周期，
，解得，
由圖示，，，
這時，，
將代入上式，可得，
其中，可取，
綜上，所求的解析式為，．
故答案為：；，．
15.【答案】解：由題知，，
因為，
所以，
又為第二象限角，
所以，
即．
．
【解析】本題考查了任意角的三角函數 、同角三角函數基本關系式，屬于基礎題．
由任意角的三角函數得出，再由同角三角函數基本關系式可得，的值．
直接代入數值計算得解．
16.【答案】解：．
令，，則，，
，或，
故函數的減區間為和．
，，，
方程有唯一解，
，對應的的值域為，
或．
故的取值范圍為．
【解析】結合平面向量數量積的坐標運算、二倍角公式和輔助角公式將函數化簡為．
令，，解得，，再結合的限定，即可得到函數的減區間；
由，可知，由于方程有唯一解，結合正弦型函數的圖象可推出，再求得與之對應的函數的值域，從而得的取值范圍．
本題考查平面向量數量積的運算、三角函數與三角恒等變換的綜合，熟練掌握二倍角公式、輔助角公式以及正弦函數的圖象與性質是解題的關鍵，考查學生的數形結合思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
17.【答案】解：由
，
的最小正周期
令，解得
故的對稱軸方程為
，，
．
由正弦函數性質知，
，在上的值域為．

【解析】本題考查兩角和與差的余弦函數公式、二倍角公式、正弦函數圖像性質、輔助角公式以及三角函數的定義域和值域，屬于一般題．
利用兩角和與差的余弦函數公式、二倍角公式以及輔助角公式化簡得到，然后將帶入求解即可
根據題結論，利用求解最小正周期，利用求解對稱軸即可
根據題給范圍求出，然后根據正弦函數性質求解值域即可．
18.【答案】解：由圖象得，，
由，
可得，
，
，
．
，
當時，，，
．
【解析】本題考查了函數的圖象變換以及由的部分圖象確定其解析式，考查數形結合思想和邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
由圖象可求的值，利用三角函數的周期公式可求的值，再代入點計算出的值即可得解；
由題意根據函數的圖象變換可求的解析式，進而根據正弦函數的圖象與性質即可得解．
19.【答案】解：由題意得，，，
因為角為銳角，則，，
由的面積為，得，
即，
所以，
又，故，
即，解得
，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為．
【解析】本題考查了利用同角三角函數基本關系化簡和由基本不等式求最值，是中檔題．
由題意得，，，由的面積為，得，可得，由正余弦齊次式的計算可得的值
易得，由乘“”法，利用基本不等式可得其最小值．
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