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蘇教版高一暑假作業5：三角函數（2）
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.(2025·北京市·期中考試)( )
A. B. C. D.
2.(2025·江蘇省蘇州市·其他類型)結果為( )
A. B. C. D.
3.(2025·江蘇省連云港市·模擬題)化簡所得的結果是( )
A. B. C. D.
4.(2025·江蘇省連云港市·模擬題)已知，且，則 ．
A. B. C. D.
5.(2025·浙江省·單元測試)已知，，則( )
A. B. C. D.
6.(2025·全國·期中考試)若，，且，，則的值是
A. B. C. 或 D. 或
7.(2025·山東省煙臺市·月考試卷)已知，且，，則的值為
A. B. C. D.
8.(2024·江西省吉安市·月考試卷)已知函數，若函數的圖象與直線在上有個不同的交點，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.(2025·江蘇省南京市·其他類型)下列化簡結果正確的是( )
A. B.
C. D.
10.(2025·廣西壯族自治區·單元測試)關于函數，下列命題正確的是( )
A. 由可得是的整數倍
B. 的表達式可改寫成
C. 的圖像關于點對稱
D. 的圖像關于直線對稱
11.(2024·浙江省·其他類型)定義：為集合相對常數的“余弦方差”若，則集合相對的“余弦方差”的取值可能為 ．
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.(2025·上海市市轄區·期中考試)如果是方程兩根，則 ．
13.(2025·江蘇省南通市·月考試卷)已知，則 ．
14.(2024·廣東省·假期作業)如圖所示，圓與正半軸的交點為，點在圓上，且點位于第一象限，，．若，則 ；若，則的值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(2025·內蒙古自治區·期中考試)本小題分
已知，，，，求．
16.(2025·上海市·期中考試)本小題分
已知，，，．
求的值；
求 的 值，并確定的大小．
17.(2024·浙江省杭州市·其他類型)本小題分
已知函數
Ⅰ求的值
Ⅱ若，且，再從下面中選取一個作為條件，求的值．
函數的一個對稱中心為函數圖象過點兩條相鄰對稱軸間的距離為．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分
18.(2025·湖北省黃岡市·月考試卷)本小題分
設函數
Ⅰ求函數的最大值及取得最大值時的取值集合；
Ⅱ若，且，求．
19.(2024·江西省九江市·其他類型)本小題分
已知向量，，其中，，且函數周期為．
若，且，求的值；
方程在上有且僅有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍．
答案與解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了兩角和與差的三角函數公式，屬于基礎題．
熟練運用公式和特殊角的值即可求解．
【解答】
解：
，
故選B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本題考查兩角和的正切公式，屬于基礎題目．
根據 利用兩角和的正切公式化簡，從而可得出答案．
【解答】
解：因為
，
所以 ，
所以 ．
故選：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本題考查利用三角恒等變換求函數值，考查運算求解能力，屬于中檔題．
根據切化弦整理得，再根據化簡整理即可求解．
【解答】
解：
．
故本題選B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本題考查三角函數的化簡求值，考查三角恒等變換，考查學生的運算能力屬于中等題．
根據同角三角函數的平方關系，求出，再求出，由三角恒等變換化簡后代入求解即可．
【解答】
解：，，即，
由可知，，即
，，．
故選：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本題考查兩角和差的正切公式，屬于基礎題．
利用兩角和差的正切公式計算得出結論．
【解答】
解：因為，，
所以，，
所以．
6.【答案】
【解析】【分析】
本題考查給值求角問題，要注意角度的取值范圍．
利用復合角可得，再利用兩角和與差的正弦求值，最后得到的值
【解答】
解：
符號相同，
又
由可得，
又，，
，
，
由，得，
，
故選A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本題考查同角三角函數的基本關系、兩角和與差的三角函數公式．
化簡已知式子為，，再求出， ，利用，即可求出結果．
【解答】
解：因為，
所以，即，
因為，
所以，
因為，
所以，
所以，
，
所以
．
故選A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了三角函數的圖象和性質、二倍角公式、輔助角公式，是中檔題．
利用二倍角公式、輔助角公式進行化簡，利用數形結合法，并由正弦函數的圖像及性質進行求解即可．
【解答】
解：
，
由得，得，
當時，，，
由，得或，是整數，
則右側第一個根為，第二個根為，第三個為，第四個根為，
若與在上有個不同的交點，
則，得，得，
即的取值范圍是，
故選：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了三角恒等變換的綜合應用，屬于中檔題．
利用三角恒等變換對選項逐個判斷即可．
【解答】
解：對于選項A，，故選項A正確；
對于選項B，，故選項B正確；
對于選項C，，故選項C錯誤；
對于選項D，，故選項D錯誤．
故選：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查輔助角公式、誘導公式，正弦函數的圖象和性質應用，屬于中等題．
由條件先對降冪，輔助角公式化簡為，再利用誘導公式，正弦函數的圖象和性質，判斷各個選項是否正確，從而得出結論．
【解答】
解：
，
對于函數，
由可得 ，
是的整數，即是的整數倍，故A不正確．
函數
，故B正確．
對于函數，
令，可得，故C不正確．
令，求得函數，是函數的最值，故D正確，
故選BD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本題考查三角恒等變換的綜合應用，考查正弦型函數的值域，屬于中檔題．
根據所給定義及三角恒等變換公式將函數化簡，再根據的取值范圍，求出的取值范圍，再根據正弦函數的性質計算可得．
【解答】
解：依題意
，
因為，所以，所以，
所以．
故選ABC．
12.【答案】
【解析】【分析】
本題考查三角函數的化簡求值，“弦”化“切”是關鍵，是基礎題．
由題意，得，，原式“弦”化“切”，代入計算即可．
【解答】
解：是方程兩根，
，，
．
故答案為．
13.【答案】
【解析】解：由
．
故答案為：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查任意角的三角函數的定義，三角恒等變換，屬于中檔題．
設，由條件利用任意角的三角函數的定義求得，，由圖形將表示出來，再由兩角差的正切公式及三角恒等變換從而求得所給式子的值．
【解答】
解：點的坐標為，設，
，，
即，，則
，，，則，

．
故答案為 ．
15.【答案】解：，，
，
，，
，
．
【解析】本題考查同角三角函數之間的關系及兩角和與差的三角函數．
根據題意利用同角三角函數之間的關系可得及的值，進而利用兩角和與差的三角函數即可求得結果．
16.【答案】解：，由，解得，，
又，，
，
；
由可知，，，
，
，，
，解得．

【解析】本題考查兩角和與差公式，二倍角的正切公式，同角三角函數的基本關系，屬于中檔題．
由題意解得，由求出，再利用兩角差的余弦公式求解的值即可；
由，求出，再求出，利用兩角差的正切公式計算的值，并得到的大小即可．
17.【答案】解：Ⅰ
，
；
Ⅱ選，則，因為，則．
選，因為，則，
故，．
選，故，則．
綜上，不論選，均可得
因為，所以，
因為，所以，故，
．
【解析】本題主要考查三角恒等變換、正弦型函數的性質、由一個三角函數值求其它三角函數值，屬于中檔題．
Ⅰ利用倍角公式及輔助角公式將三角函數式化為最簡形式，再代值求解即可；
Ⅱ若選，由對稱中心結合的范圍可求得若選，由圖象過的點結合的范圍可得；若選，由對稱軸間距離可得周期，可得均可得解析式，代入可得，由同角三角函數關系結合的范圍可得，再由兩角和差公式求解即可．
18.【答案】解：Ⅰ
，
當時，即，
函數取得最大值，
綜上：函數最大值為，取得最大值時的取值集合為．
Ⅱ因為，所以，
又，所以，
所以，所以，
所以
．
【解析】本題考查求正弦型函數的值域或最值、兩角和與差的正弦公式、由一個三角函數值求其他三角函數值、兩角和與差的余弦公式、降冪公式、輔助角公式，屬于中檔題．
Ⅰ由題意結合兩角和與差的余弦公式、降冪公式、輔助角公式，化簡函數的解析式可得，利用正弦型函數性質即可求出函數最大值及取得最大值時的集合．
Ⅱ由題意求出的值，由此求出的取值范圍，利用同角三角函數基本關系求出的值，進而根據兩角差的正弦公式即可求得的值．
19.【答案】解：
，
因為，，
所以，
所以，
又因為，
所以，，
所以．
方程在上有且僅有兩個不同的實數解等價于函數與在有且僅有兩個不同的交點，
而，在上為增函數，在為減函數，
當時，，當時，，
所以．
即實數的取值范圍是．
【解析】本題主要考查平面向量數量積的坐標運算，兩角和差正余弦公式的應用，同角三角函數基本關系，屬于中檔題．
首先化簡所給的函數解析式，然后利用周期性確定的值，最后結合兩角和的正弦公式可得的值；
將原問題轉化為函數有個交點的問題，然后結合三角函數的性質即可求得實數的取值范圍．
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