資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2025-2026學年直線和圓的方程單元測試卷（培優卷）
試卷分析部分
1、試卷總體分布分析
總分：150分
分值分布 客觀題（占比） 58.0(38.7%)
主觀題（占比） 92.0(61.3%)
題量分布 客觀題（占比） 11(57.9%)
主觀題（占比） 8(42.1%)
2、試卷題量分布分析
大題題型 題目量（占比） 分值（占比）
選擇題 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空題 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答題 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多項選擇題 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、試卷難度結構分析
序號 難易度 占比
1 普通 (36.8%)
2 容易 (52.6%)
3 困難 (10.5%)
4、試卷知識點分析
序號 知識點（認知水平） 分值（占比） 對應題號
1 直線與圓的位置關系 27.0(18.0%) 7,8,10,11,12
2 關于點、直線對稱的圓的方程 5.0(3.3%) 13
3 平面向量的數量積運算 6.0(4.0%) 11
4 相交弦所在直線的方程 17.0(11.3%) 19
5 直線與圓相交的性質 36.0(24.0%) 11,15,18
6 平面內點到直線的距離公式 35.0(23.3%) 8,15,19
7 直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關系 5.0(3.3%) 1
8 基本不等式在最值問題中的應用 5.0(3.3%) 7
9 用斜率判定兩直線垂直 15.0(10.0%) 16
10 恒過定點的直線 15.0(10.0%) 17
11 圓的標準方程 28.0(18.7%) 2,4,14,15
12 與直線關于點、直線對稱的直線方程 5.0(3.3%) 6
13 兩圓的公切線條數及方程的確定 5.0(3.3%) 3
14 斜率的計算公式 17.0(11.3%) 19
15 點與圓的位置關系 5.0(3.3%) 6
16 直線的點斜式方程 11.0(7.3%) 10,13
17 平面內中點坐標公式 15.0(10.0%) 16
18 方程組解的個數與兩直線的位置關系 6.0(4.0%) 9
19 軌跡方程 17.0(11.3%) 18
20 兩條直線垂直的判定 5.0(3.3%) 5
21 直線的斜截式方程 15.0(10.0%) 16
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2025-2026學年直線和圓的方程單元測試卷（培優卷）
一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。)
1．若直線的傾斜角的大小為，則實數（　　）
A． B． C． D．
2．已知圓M：，則圓心坐標和半徑分別為（　　）
A．，4 B．，4 C．，2 D．，2
3．圓與的公共弦長為（　　）
A． B． C． D．4
4．圓心為且與軸相切的圓的方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．“ ”是“直線 與直線 互相垂直”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．已知點關于直線對稱的點在圓上，則（　　）
A．4 B．5 C．-4 D．-5
7．若直線是圓的一條對稱軸，則的最小值是（　　）
A． B． C． D．1
8．若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（　　）
A．（0，1） B．（1，3） C． D．
二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。)
9．設直線：，：，下列說法正確的是（　　）
A．當時，直線與不重合
B．當時，直線與相交
C．當時，
D．當時，
10．已知點在圓上，點，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與圓相離
B．當最大時，
C．點到直線的距離最大值為
D．點到直線的距離最小值為
11．已知O為坐標原點，過點的直線l與圓交于A，B兩點，M為A，B的中點，下列選項正確的有（　　）
A．直線l的斜率k的取值范圍是
B．點M的軌跡為圓的一部分
C．為定值
D．為定值
三、填空題(本題共3小題；每小題5分，共15分)
12．已知直線與圓有且僅有一個公共點，則　 　.
13．在平面直角坐標系中，圓關于直線對稱的圓為，則的方程為　 　．
14．已知，，，若過點A的直線l、直線BC及x軸正半軸y軸正半軸圍成的四邊形有外接圓，則該圓的一個標準方程為　 　．
四、解答題(本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)
15．（13分）已知圓，直線：.
（1）當為何值時，直線與圓相切；
（2）當直線與圓相交于兩點，且時，求直線的方程.
16．（15分）的三個頂點是，，，求：
（1）邊BC上的中線所在直線的方程；
（2）邊BC上的高所在直線的方程；
（3）邊BC的垂直平分線的方程．
17．（15分）已知直線．
（1）為何值時，點到直線的距離最大 并求出最大值；
（2）若直線分別與軸，軸的負半軸交于A，B兩點，求（為坐標原點）面積的最小值及此時直線的方程．
18．（17分）已知圓分別與、軸正半軸交于、兩點，為圓上的動點．
（1）若線段上有一點，滿足，求點的軌跡方程；
（2）過點的直線截圓所得弦長為，求直線的方程；
（3）若為圓上異于的動點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值．
19．（17分）已知直線 和圓 ，過直線上的一點 作兩條直線 ， 與圓C相切于A，B兩點.
（1）當P點坐標為 時，求以 為直徑的圓的方程，并求直線 的方程；
（2）設切線 與 的斜率分別為 ， ，且 時，求點P的坐標.
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2025-2026學年直線和圓的方程單元測試卷（培優卷）答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關系
【解析】【解答】解：將直線方程變形為斜截式，所以直線的斜率，
已知傾斜角為，根據直線傾斜角與斜率的關系，斜率，
則，解得.
故答案為：D.
【分析】本題考查直線傾斜角與斜率的關系，先將直線方程化為斜截式求斜率，再結合傾斜角的正切值等于斜率來計算的值.
2．【答案】D
【知識點】圓的標準方程
【解析】【解答】解：因為圓M：，
所以，圓的圓心坐標為，半徑為.
故答案為：D.
【分析】利用已知圓的標準方程，從而求出圓心坐標和圓的半徑長.
3．【答案】A
【知識點】兩圓的公切線條數及方程的確定
【解析】【解答】解：圓：①，所以，.
圓：②，所以，.
因為，所以圓與圓相交.
因此公共弦所在直線的方程為①②：，
圓的圓心到公共弦的距離為，
即公共弦長為.
故答案為：A.
【分析】本題考查兩圓公共弦長的計算，先通過兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程，再利用圓的弦長公式（弦長 = ，為圓半徑，為圓心到弦的距離 ）求解.
4．【答案】D
【知識點】圓的標準方程
【解析】【解答】解：因為圓心為且與軸相切，
所以半徑，
則圓的方程為.
故答案為：D.
【分析】先利用圓心為且與軸相切得到圓的半徑，再利用圓的標準方程得到圓的方程.
5．【答案】A
【知識點】兩條直線垂直的判定
【解析】【解答】因為直線 與直線 互相垂直，
所以 ，
所以 或 .
因為“ ”可以推出“ 或 ”，“ 或 ”不能推出“ ”，
所以“ ”是“直線 與直線 互相垂直”的充分非必要條件.
故答案為：A
【分析】利用兩條直線相互垂直的條件求出 或 ，再根據充分條件、必要條件的定義，即可求出答案。
6．【答案】B
【知識點】與直線關于點、直線對稱的直線方程；點與圓的位置關系
【解析】【解答】解：設，則，解得，所以
代入圓C方程可得，解得，
故選：B.
【分析】設，利用直線 與PQ垂直，以及PQ的中點在直線 ，列式求得點的對稱點Q，再代入圓C的方程中進而求得m的值即可.
7．【答案】C
【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；直線與圓的位置關系
【解析】【解答】解：由題意，直線過圓心，
則，
由，當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：C.
【分析】由題意易知直線過圓心，從而得出，再利用基本不等式求最值的方法，從而得出的最小值.
8．【答案】B
【知識點】平面內點到直線的距離公式；直線與圓的位置關系
【解析】【解答】解：圓心到直線的距離，又 圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個， 滿足，即，解得.
故答案為：B.
【分析】本題考查直線與圓的位置關系，當圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個時，，通過計算求解即可.
9．【答案】B,D
【知識點】方程組解的個數與兩直線的位置關系
【解析】【解答】對于A，時，若，，且時，
兩直線：，：重合，A不符合題意；
對于B，聯立 ，可得，
當時，，此時方程組有唯一一組解，
故直線與相交，B符合題意；
對于C，時，若，則無解，
此時；
若，則有無數多組解，
此時重合，C不符合題意；
對于D，若，則由可得，
即兩直線斜率之積等于，故；
若，則可得，此時滿足，
直線：，：，
此時，
故當時，，D符合題意，
故答案為：
【分析】 舉出反例判斷A；聯立，結合是否為0，討論方程組解的情況，判斷直線的位置關系，判斷B， C；討論是否為0，結合可判斷兩直線是否垂直，判斷D.
10．【答案】B,C
【知識點】直線的點斜式方程；直線與圓的位置關系
【解析】【解答】解：易知直線，即，
圓的圓心為，半徑為，
則圓心到的距離為，即直線與圓相交，故A錯誤；
要使最大，只需與圓相切，則，故B正確；
由A分析知，點到直線的距離，最大值為，最小值為，故C正確，D錯誤.
故答案為：BC.
【分析】由題意，寫出直線方程，根據圓心到該直線距離判定直線與圓位置，數形結合判斷最大時的位置，逐項判斷即可.
11．【答案】A,B,D
【知識點】平面向量的數量積運算；直線與圓相交的性質；直線與圓的位置關系
【解析】【解答】解：A、設，，直線l的方程為．
由得，
所以，
解得，故A正確；
B、由，可得，所以點的軌跡是以為直徑的圓的一部分，故B正確；
C、由，可得，
又，故C錯誤；
D、由，
得，，
，
又，，
所以
，故D正確．
故答案為：ABD．
【分析】由題意，利用直線和圓相交求斜率范圍，再利用平面向量的數量積和直線與圓的位置關系判斷即可.
12．【答案】
【知識點】直線與圓的位置關系
【解析】【解答】解：因為直線與圓有且僅有一個公共點，
所以，圓心為，半徑為，
則，
所以.
故答案為：.
【分析】先把直線與圓有且僅有一個公共點轉化為點到直線距離等于半徑，從而得出圓的半徑r的值.
13．【答案】
【知識點】直線的點斜式方程；關于點、直線對稱的圓的方程
【解析】【解答】解：易知圓的標準方程為，圓心，
圓的圓心，
由題意可知：直線為線段的垂直平分線，
因為，線段的中點，
所以直線的方程為，即.
故答案為：.
【分析】化圓的方程為標準方程，由題意可知直線為線段的垂直平分線，確定線段的中點和斜率，利用點斜式求直線的方程即可.
14．【答案】（答案不唯一）
【知識點】圓的標準方程
【解析】【解答】解：①、當過點A的直線與直線BC平行時，圍成的四邊形是等腰梯形，外接圓就是過，，的圓，
設該外接圓的圓心坐標為，則，，
所以半徑，
則圓的標準方程為；
②、當過點A的直線與BC垂直時，外接圓就是以線段AC的中點為圓心，AC為直徑的圓，
其圓心坐標為，半徑，
則圓的標準方程為．
故答案為：.（答案不唯一）
【分析】根據四邊形外接圓的幾何性質，分情況求解，當過點A的直線與直線BC平行時可滿足，當過點A的直線與BC垂直時，從而得對應的圓的方程.
15．【答案】（1）解：圓的標準方程為，易知圓心為，半徑，
若直線與圓相切，則，解得；
（2）解：設圓心到直線的距離為，則，即，解得
即，解得或，
則直線的方程為或.
【知識點】平面內點到直線的距離公式；圓的標準方程；直線與圓相交的性質
【解析】【分析】（1）化圓的一般方程為標準方程，求得圓心和半徑，根據圓心到直線的距離等于半徑列式求解即可；
（2）設圓心到直線的距離為，由弦長公式求解即可.
（1）根據題意，圓，
則圓的標準方程為，
其圓心為，半徑，
若直線與圓相切，則有
解得.
（2）設圓心到直線的距離為，
則，
即，解得
則有，
解得或，
則直線的方程為或.
16．【答案】解：（1）BC的中點坐標為
則邊BC上的中線所在直線的方程為.
（2）邊BC的斜率為，則其上的高的斜率為，且過，
則邊BC上的高所在直線的方程為.
（3）由（1）知BC的中點坐標，由（2）知高的斜率為，
則邊BC的垂直平分線的方程為.
【知識點】用斜率判定兩直線垂直；直線的斜截式方程；平面內中點坐標公式
【解析】【分析】（1）利用已知條件和中點坐標公式，從而求得BC的中點坐標，再結合點A的坐標，則由兩點求斜率公式和點斜式方程得出邊BC上的中線所在的直線的方程.
（2）利用兩點求斜率公式得出直線BC的斜率，再結合兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求得其上的高所在直線的斜率，再利用高線過點，再由兩點求斜率公式和點斜式方程得出邊BC上的高所在直線的方程.
（3）由（1）知邊BC的中點坐標為，由（2）知高的斜率為，再結合點斜式方程得出邊BC的垂直平分線的方程.
17．【答案】（1）解：已知直線，整理得，
由，故直線過定點，
點到直線的距離最大，即與定點的連線的距離就是所求最大值，
所以為最大值．
∵，
∴的斜率為，得，解得；
（2）解：若直線分別與軸，軸的負半軸交于A，B兩點，
則設直線為，，則，，
．
（當且僅當時，取“=”），
故面積的最小值為12，此時直線l的方程為3x+2y+12=0.
【知識點】恒過定點的直線
【解析】【分析】 (1)由題設求出直線l過定點P(-2，-3)，則Q與定點P的連線的距離就是所求最大值，根據垂直的關系及 ，求參數m，進而得最大值；
(2) 設直線為，，并求出A， B坐標，應用三角形面積公式，基本不等式求最小值，求出 面積的最小值及此時直線的方程 .
18．【答案】（1）解：根據題意，，．
設，，則，，
由于，所以，
得
將其代入，得，
故點的軌跡方程為．
（2）解：根據垂徑定理可得．
①當斜率不存在時，直線的方程為：，
直線截點軌跡所得弦長弦長為，符合題意；
②當斜率存在時，設直線，
圓心到直線的距離為，解得．
直線的方程為或．
（3）證明：設，則，
直線方程是，令，得，
直線方程是，令得，
所以
．
綜上為定值32．
【知識點】軌跡方程；直線與圓相交的性質
【解析】【分析】（1）先設，，再利用可得，把點的坐標代入圓的方程化簡即可得求解；
（2）分直線的斜率存在和不存兩種情況討論，求出，再結合圓的弦長公式即可求解；
（3）先設直線的方程得到點的坐標，代入計算化簡即可證明.
（1）根據題意，，．
設，，則，，
由于，所以，
得
將其代入，得，
故點的軌跡方程為．
（2）根據垂徑定理可得．
①當斜率不存在時，直線的方程為：，
直線截點軌跡所得弦長弦長為，符合題意；
②當斜率存在時，設直線，
圓心到直線的距離為，解得．
直線的方程為或．
（3）設，則，
直線方程是，令，得，
直線方程是，令得，
所以
．
即為定值．
19．【答案】（1）解：圓 ，可化為 ，
中點為 ， ，
∴以 為直徑的圓的方程為圓 ，
∵ ， ，
∴P，A，B，C四點共圓E，
∴直線 的方程是兩圓公共弦所在直線方程，
兩方程相減可得直線 的方程為 ；
（2）解：設過P的直線l方程為 ，
由于 與直線l相切，得到 ，
整理得到： ，
∴
，代入，可得 ，
∴ 或 ，∴點P坐標 或 .
【知識點】斜率的計算公式；平面內點到直線的距離公式；相交弦所在直線的方程
【解析】【分析】（1）將圓的一般方程轉化為標準方程，從而求出圓心C的坐標和半徑長，再利用已知的點P的坐標，結合中點坐標公式，從而求出PC的中點坐標，進而求出以 為直徑的圓的圓心坐標，再利用兩點距離公式求出以 為直徑的圓的直徑，進而求出圓的半徑，進而求出以 為直徑的圓的標準方程，∵ ， ，∴P，A，B，C四點共圓E，∴直線 的方程是兩圓公共弦所在直線方程，再將兩圓方程聯立作差，從而求出直線 的方程。
（2） 設過P的直線l的點斜式方程為 ， 再利用直線與圓相切的位置關系的判斷方法結合點到直線的距離公式，從而結合已知條件和代入法，從而解一元二次方程求出點P坐標。
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