資源簡介

3.1.1　函數及其表示方法
第一課時　函數的概念
1.已知函數y＝f（x），則函數圖象與直線x＝a的交點（　　）
A.有1個 B.有2個
C.有無數個 D.至多有一個
2.f（x）＝（x－1）0＋ 的定義域是（　　）
A.（－1，＋∞） B.（－∞，－1）
C.R D.（－1，1）∪（1，＋∞）
3.函數y＝x2－4x＋6，x∈[1，5）的值域是（　　）
A.[2，11） B.[3，11）
C.[1，11） D.[2，11]
4.已知函數y＝f（x）的定義域為[－8，1]，則函數g（x）＝的定義域是（　　）
A.（－∞，－2）∪（－2，3]
B.[－8，－2）∪（－2，1]
C.
D.∪
5.（多選）如圖是函數f（x）的圖象，則下列說法正確的是（　　）
A.f（0）＝－2
B.f（x）的定義域為[－3，2]
C.f（x）的值域為[－2，2]
D.若f（x）＝0，則x＝或2
6.已知函數f（x）與g（x）的定義域相同，值域也相同，但不是同一個函數，則滿足上述條件的一組f（x）與g（x）的解析式可以為　　　　.
7.已知函數f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，則函數f（x）的值域為　　　　.
8.已知函數f（x＋1）的定義域為（－1，1），則f（｜x｜）的定義域為　　　　.
9.已知函數f（x）＝＋.
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求f（－2）＋f的值；
（3）當a＞6時，求f（a＋1）的值.
10.函數f（x）＝的定義域為R，則實數m的取值范圍是（　　）
A.（0，1） B.（－∞，－1]
C.[1，＋∞） D.（－∞，－1）
11.已知f（x）＝＋，則函數g（x）＝的定義域是（　　）
A.[－2，1）∪（1，2] B.[0，1）∪（1，4]
C.[0，1）∪（1，2] D.[－1，1）∪（1，3]
12.已知函數f（x）＝＋的定義域是A，函數g（x）＝x2＋2x在[m，1]上的值域是[－1，3]，且實數m的取值范圍所組成的集合是B.
（1）分別求出定義域A與集合B；
（2）設集合C＝{x｜x＜2a－6或x＞a}.若B∩C＝ ，求實數a的取值范圍.
13.已知函數f（x）＝，集合A為函數f（x）的定義域，集合B為函數f（x）的值域，若定義A－B＝{x｜x∈A，且x B}，A B＝（A－B）∪（B－A），則A B＝　　　　 　.
14.對于函數f（x）和g（x），記函數f（x）的定義域為A，函數g（x）的定義域為B，若B A，則稱函數g（x）是函數f（x）的好函數，否則，稱函數g（x）不是函數f（x）的好函數.現已知函數h（x）的定義域為（0，＋∞）.
（1）若函數φ（x）＝h（2x－1），判斷函數φ（x）是不是函數h（x）的好函數；
（2）若函數u（x）＝h（－x2－ax＋a＋1），且函數u（x）是函數h（x）的好函數，求實數a的取值范圍.
第一課時　函數的概念
1.D　根據函數的概念可知對于定義域中的任意一個自變量x都有唯一的函數值與之對應，故選D.
2.D　要使函數f（x）有意義，
需滿足且x≠1，
∴定義域為（－1，1）∪（1，＋∞）.
3.A　f（x）＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2，∵x∈[1，5），且函數f（x）的對稱軸是直線x＝2，∴函數f（x）的值域是[2，11）.故選A.
4.D　題意得：－8≤2x＋1≤1，解得－≤x≤0，由x＋2≠0，解得x≠－2，故函數的定義域是∪.故選D.
5.ABD　由圖象知f（0）＝－2正確，A對，函數f（x）的定義域為[－3，2]正確，B對，函數f（x）的最小值為－3，即函數f（x）的值域為[－3，2]，C錯，若f（x）＝0，則x＝或2，D對.故選A、B、D.
6.f（x）＝x，g（x）＝－x，x∈R（答案不唯一）
解析：結合一次函數的性質可知，f（x）＝x，g（x）＝－x，兩個函數的定義域和值域都是R，但是對應關系不同，所以兩個函數不是同一個函數.
7.{－1，1，3，5，7}　解析：∵x＝1，2，3，4，5，∴f（x）＝2x－3＝－1，1，3，5，7.
∴f（x）的值域為{－1，1，3，5，7}.
8.（－2，0）∪（0，2）　解析：依題意函數f（x＋1）的定義域為（－1，1），－1＜x＜1 0＜x＋1＜2，所以0＜｜x｜＜2，解得－2＜x＜0或0＜x＜2，所以f（｜x｜）的定義域為（－2，0）∪（0，2）.
9.解：（1）若使函數有意義，需解得x≤－2或x≥2且x≠7，
故函數f（x）的定義域為（－∞，－2]∪[2，7）∪（7，＋∞）.
（2）∵f（－2）＝－，f＝－＝，
∴f（－2）＋f＝－＋＝.
（3）∵a＞6，∴f（a＋1）有意義，
∴f（a＋1）＝＋.
10.B　f（x）的定義域是R，則－mx2－2x＋1≥0恒成立，即mx2＋2x－1≤0恒成立，則解得m≤－1，所以實數m的取值范圍為（－∞，－1].故選B.
11.A　∵f（x）＝＋，∴∴－1≤x≤3，∴f（x）的定義域為x∈[－1，3].又∵g（x）＝，∴∴－2≤x≤2且x≠1.∴g（x）＝的定義域是[－2，1）∪（1，2].故選A.
12.解：（1）由題意得∴－1≤x＜2，
∴A＝[－1，2），
∵g（x）＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，∴當x＝－1時，g（x）的最小值為－1，
∵函數g（x）在[m，1]的值域為[－1，3]，∴－3≤m≤－1，∴B＝[－3，－1].
（2）∵B∩C＝ ，∴∴－1≤a≤，
∴a的取值范圍為.
13.∪　解析：要使函數f（x）＝有意義，則1－4x2≥0，解得－≤x≤，
所以A＝，函數f（x）＝的值域B＝[0，1]，
A－B＝{x｜x∈A，且x B}＝，B－A＝{x｜x∈B，且x A}＝.
A B＝（A－B）∪（B－A）＝∪＝∪.
14.解：（1）由題設知：2x－1＞0，解得x＞，
∴函數φ（x）的定義域為，又 （0，＋∞），
∴函數φ（x）是函數h（x）的好函數.
（2）記函數u（x）的定義域為M，則M＝{x｜－x2－ax＋a＋1＞0}且M （0，＋∞），
由－x2－ax＋a＋1＞0得x2＋ax－a－1＜0，即（x－1）·（x＋a＋1）＜0，
由函數的定義知：M為非空數集，故a＋1≠－1，即a≠－2.
當a＜－2時，M＝（1，－a－1），顯然滿足M （0，＋∞）；
當a＞－2時，M＝（－a－1，1），又M （0，＋∞），則－a－1≥0，解得a≤－1，故－2＜a≤－1.
綜上，實數a的取值范圍為（－∞，－2）∪（－2，－1].
2 / 23.1.1　函數及其表示方法
第一課時　函數的概念
新課程標準解讀 核心素養
1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念 數學抽象
2.體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用 數學抽象
3.了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域 數學抽象、數學運算
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【問題】　你知道這種對應關系在數學中叫什么嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　函數的相關概念
定義 給定兩個　　　　　　A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的　　　　實數x，在集合B中都有　　　　確定的實數y與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個　　　　，記作y＝f（x），x∈A，其中x稱為自變量，y稱為因變量
三 要 素 對應關系 y＝f（x），x∈A
定義域 自變量x的取值的范圍（即數集A）
值域 所有函數值組成的集合{y｜y＝f（x），x∈A}
提醒　（1）給定函數時，要指明函數的定義域，對于用解析式表示的函數，如果沒有給出定義域，那么就認為函數的定義域是使函數的解析式有意義的自變量取值的集合；
（2）函數的定義中強調“三性”：任意性、存在性、唯一性.
【想一想】
1.有同學認為“y＝f（x）”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對嗎？
2.f（x）與f（a）（a為x定義域內的一個定值）有何區別與聯系？
知識點二　同一個函數
如果兩個函數表達式表示的函數　　　　相同，　　　　　　也相同（即對自變量的每一個值，兩個函數表達式得到的函數值都相等），則稱這兩個函數表達式表示的就是同一個函數.
【想一想】
定義域和值域分別相同的兩個函數是同一個函數嗎？
1.下圖中不能表示函數關系的是（　　）
2.已知函數f（x）＝，那么f（－1）＝（　　）
A.－2　　　　　　　　 B.－1
C.－ D.2
3.給出下列四組函數，其中表示同一個函數的是　　　　（填序號）.
①f（x）＝x，g（x）＝；
②f（x）＝2x＋1，g（x）＝2x－1；
③f（x）＝x，g（x）＝；
④f（x）＝x2，f（x－1）＝x2.
題型一 函數關系的判斷
【例1】　（1）下列圖形能表示函數y＝f（x）的圖象的是（　　）
（2）判斷下列對應f是否為定義在集合A上的函數：
①A＝R，B＝R，對應法則f：y＝；
②A＝{1，2，3}，B＝R，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，對應法則如圖所示：
嘗試解答
通性通法
1.判斷一個對應是否是函數的方法
2.根據圖形判斷對應是否為函數的步驟
（1）任取一條垂直于x軸的直線l；
（2）在定義域內平行移動直線l；
（3）若l與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數.
【跟蹤訓練】
1.設M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，給出下列四個圖形：
其中，能表示從集合M到集合N的函數關系的個數是（　　）
A.0　　　　　　　　　　 B.1
C.2 D.3
2.（多選）下列對應關系f是從集合A到集合B的函數的是（　　）
A.A＝B＝R，f為“加1”
B.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f為“求平方”
C.A＝B＝R，f為“求平方根”
D.A＝Z，B＝Q，f為“求倒數”
題型二 求函數的定義域
【例2】　（鏈接教科書第91頁例1）求下列函數的定義域：
（1）f（x）＝2＋；
（2）f（x）＝·；
（3）f（x）＝－.
嘗試解答
通性通法
求函數定義域的常用方法
（1）若f（x）是分式，則應考慮使分母不為零；
（2）若f（x）是偶次根式，則被開方數大于或等于零；
（3）若f（x）是指數冪，則函數的定義域是使冪運算有意義的實數集合；
（4）若f（x）是由幾個式子構成的，則函數的定義域是幾個部分定義域的交集；
（5）若f（x）是實際問題的解析式，則應符合實際問題，使實際問題有意義.
【跟蹤訓練】
1.函數f（x）＝＋的定義域為（　　）
A.（－∞，2）　　　　　B.（－∞，2]
C.（－∞，1）∪（1，2） D.（－∞，1）∪（1，2]
2.函數y＝的定義域是　　　　.
題型三 求函數值和值域
【例3】　（鏈接教科書第92頁例3）（1）已知f（x）＝（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R），則f（2）＝　　　　，f（g（2））＝　　　　.
（2）求下列函數的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3）；
③y＝；
④y＝2x－.
嘗試解答
通性通法
1.函數求值的方法
（1）已知f（x）的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f（a）的值；
（2）求f（g（a））的值時應遵循由里往外的原則.
2.求函數值域常用的4種方法
（1）觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到；
（2）配方法：當所給函數是二次函數或可化為二次函數處理的函數時，可利用配方法求其值域；
（3）分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域；
（4）換元法：即運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域.對于f（x）＝ax＋b＋（其中a，b，c，d為常數，且a≠0）型的函數常用換元法.
【跟蹤訓練】
1.已知函數f（x）＝2x－5，則f（f（1））＝（　　）
A.－11　　　　　　　 B.－3
C.11 D.3
2.函數y＝（x＞3）的值域是（　　）
A.（1，＋∞） B.（0，＋∞）
C.（3，＋∞） D.（4，＋∞）
3.函數g（x）＝x2－2x－3在區間[0，4]上的值域為（　　）
A.[－3，5] B.（－3，5）
C.[－4，5] D.（－4，5）
題型四 判斷兩個函數是否是同一個函數
【例4】　（多選）下列各選項給出的兩個函數中，表示同一個函數的有（　　）
A.f（x）＝x與g（x）＝
B.f（t）＝｜t－1｜與g（x）＝｜x－1｜
C.f（x）＝與g（x）＝－x
D.f（x）＝與g（x）＝x－1
嘗試解答
通性通法
判斷同一個函數的方法
　　判斷函數是否是同一個函數，關鍵是樹立定義域優先的原則：
（1）先看定義域，若定義域不同，則不是同一個函數；
（2）若定義域相同，再化簡函數的解析式，看對應關系是否相同.
【跟蹤訓練】
下列各組函數中是同一個函數的是（　　）
A.y＝x＋1與y＝
B.y＝x2＋1與s＝t2＋1
C.y＝2x與y＝2x（x≥0）
D.y＝（x＋1）2與y＝x2
　抽象函數與復合函數
1.抽象函數的概念
沒有給出具體解析式的函數，稱為抽象函數.
2.復合函數的定義
如果函數y＝f（t）的定義域為A，函數t＝g（x）的定義域為D，值域為C，則當C A時，稱函數y＝f（g（x））為f與g在D上的復合函數.其中t叫做中間變量，t＝g（x）叫做內層函數，y＝f（t）叫做外層函數.
3.抽象函數與復合函數定義域的求法
復合函數f（g（x））的定義域是指x的取值范圍，而不是g（x）的范圍.
（1）已知f（x）的定義域為A，求f（g（x））的定義域，其實質是已知g（x）的取值范圍（值域）為A，求x的取值范圍；
（2）已知f（g（x））的定義域為B，求f（x）的定義域，其實質是已知f（g（x））中的x的取值范圍為B，求出g（x）的取值范圍（值域），即f（x）的定義域；
（3）已知f（g（x））的定義域，求f（h（x））的定義域，先由x的取值范圍，求出g（x）的取值范圍，即f（x）中的x的取值范圍，即h（x）的取值范圍，再根據h（x）的取值范圍求出x的取值范圍.
【典例】　（1）已知函數f（x）的定義域[0，2]，則g（x）＝f＋f的定義域為　　　　；
（2）若函數f（x＋3）的定義域為[－5，－2]，則函數F（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）的定義域為　　　　.
答案：（1）　（2）[－1，0]
解析：（1）∵f（x）的定義域是[0，2]，
且g（x）＝f＋f，
∴則
∴≤x≤，∴g（x）的定義域為.
（2）∵函數f（x＋3）的定義域為[－5，－2]，
∴－5≤x≤－2，∴－2≤x＋3≤1，
∴函數f（x）的定義域為[－2，1].
∴∴－1≤x≤0，
∴函數F（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）的定義域為[－1，0].
【遷移應用】
已知函數y＝f（2x－1）的定義域為（－1，1），則函數y＝f（3－x）的定義域為　　　　.
1.函數f（x）＝的定義域是（　　）
A.[3，＋∞）　　　　 B.[3，4）∪（4，＋∞）
C.（3，＋∞） D.[3，4）
2.已知f（x）＝，則f（5）＝（　　）
A.－8 B.－7
C.－6 D.－5
3.函數f（x）＝值域是（　　）
A.（－∞，1] B.[1，＋∞）
C.[0，＋∞） D.（0，1]
4.（多選）下列各圖中，可能是函數圖象的是（　　）
5.給出下列三個函數：①y＝；②y＝；③y＝.其中與函數f（x）＝x是同一個函數的序號是　　　 　.
第一課時　函數的概念
【基礎知識·重落實】
知識點一
非空實數集　每一個　唯一　函數
想一想
1.提示：這種看法不對.符號y＝f（x）是“y是x的函數”的數學表示，應理解為x是自變量；f是對應關系，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數，當x允許取某一具體值時，相應的y值為與該自變量值對應的函數值.y＝f（x）僅僅是函數符號，不表示“y等于f與x的乘積”.在研究函數時，除用符號f（x）外，還常用g（x），F（x），G（x）等來表示函數.
2.提示：f（a）表示當x＝a時，函數f（x）的值，是一個常量，而f（x）是自變量x的函數，一般情況下，它是一個變量，f（a）是f（x）的一個特殊值，如一次函數f（x）＝3x＋4，當x＝8時，f（8）＝3×8＋4＝28是一個常數.
知識點二
定義域　對應關系
想一想
　提示：不一定，如果對應關系不同，這兩個函數一定不是同一個函數.
自我診斷
1.C　由于C中的2與1和3同時對應，故C不是函數.
2.A　f（－1）＝＝－2.故選A.
3.③　解析：①中f（x）＝x與g（x）＝的定義域不同；②中f（x）＝2x＋1，g（x）＝2x－1的對應關系不同；④中，f（x）＝x2和f（x－1）＝x2由于對應關系f所施加的對象不同（前者為x，后者為x－1），因此兩者不是同一個函數.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）B　由函數的定義可知，只有B選項能表示函數y＝f（x）的圖象.故選B.
（2）解：①A＝R，B＝R，對于集合A中的元素x＝0，在對應法則f：y＝的作用下，在集合B中沒有元素與之對應，故所給對應不是定義在A上的函數.
②由f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4，知集合A中的每一個元素在對應法則f的作用下，在集合B中都有唯一的元素與之對應，故所給對應是定義在A上的函數.
③集合A中的元素3在集合B中沒有與之對應的元素，且集合A中的元素2在集合B中有兩個元素（5和6）與之對應，故所給對應不是定義在A上的函數.
跟蹤訓練
1.B　①中，因為在集合M中當1＜x≤2時，在N中無元素與之對應，所以①不是；②中，對于集合M中的任意一個數x，在N中都有唯一的數與之對應，所以②是；③中，x＝2對應元素y＝3 N，所以③不是；④中，當x＝1時，在N中有兩個元素與之對應，所以④不是.因此只有②是，故選B.
2.AB　A：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一對應，是函數，故A正確；B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一對應，是函數，故B正確；C：集合A中的負數在集合B中沒有元素和它對應，不是函數，故C錯誤；D：集合A中元素為0時，其倒數不存在，所以在集合B中無對應元素，不是函數，故D錯誤.
【例2】　解：（1）當且僅當x－2≠0，即x≠2時，
函數f（x）＝2＋有意義，
所以這個函數的定義域為{x｜x≠2}.
（2）當且僅當函數有意義，
解得1≤x≤3，
所以這個函數的定義域為{x｜1≤x≤3}.
（3）要使函數有意義，自變量x的取值必須滿足解得x≤1且x≠－1，
即函數定義域為{x｜x≤1且x≠－1}.
跟蹤訓練
1.D　由題設得可得x∈（－∞，1）∪（1，2]，所以函數定義域為（－∞，1）∪（1，2].故選D.
2.[－1，7]　解析：要使函數有意義，需7＋6x－x2≥0，
即x2－6x－7≤0，即（x＋1）（x－7）≤0，解得－1≤x≤7.
故所求函數的定義域為[－1，7].
【例3】　　　（1）解析：∵f（x）＝，∴f（2）＝＝.
又∵g（x）＝x2＋2，∴g（2）＝22＋2＝6，
∴f（g（2））＝f（6）＝＝.
（2）解：①（觀察法）因為x∈R，所以x＋1∈R，即函數值域是R.
②（配方法）y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3），再結合函數的圖象（如圖（ⅰ）），可得函數的值域為[2，6）.
③（分離常數法）y＝＝＝3－.
因為≠0，所以y≠3，
所以y＝的值域為{y｜y≠3}.
④（換元法）設t＝，則t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2（t2＋1）－t＝2＋，由t≥0，再結合函數的圖象（如圖（ⅱ）），可得函數的值域為.
跟蹤訓練
1.A　因為函數f（x）＝2x－5，所以f（1）＝2×1－5＝－3，所以f（f（1））＝f（－3）＝2×（－3）－5＝－11，故選A.
2.A　∵y＝＝1＋，
又∵x＞3，∴＞0，∴y＞1，∴函數y＝（x＞3）的值域為（1，＋∞）.故選A.
3.C　g（x） ＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，因此該函數的對稱軸為直線x＝1，因為x∈[0，4]，所以當x＝1時，函數有最小值，最小值為－4，而g（0）＝－3，g（4）＝5，所以最大值為5，因此值域為[－4，5]， 故選C.
【例4】　BC　對于A：f（x）、g（x）定義域都為R，但f（x）＝x，g（x）＝｜x｜，對應關系不同，故不是同一個函數；對于B：f（t）＝｜t－1｜定義域為R，g（x）＝｜x－1｜定義域為R，定義域相同，對應關系也相同，故為同一個函數；對于C：f（x）＝定義域為x≤0，且可化簡為f（x）＝－x，函數g（x）＝－x定義域為x≤0，兩函數定義域相同，對應關系相同，故為同一個函數；對于D：f（x）＝定義域為x≠－1，g（x）＝x－1定義域為R，定義域不同，故不是同一個函數.故選B、C.
跟蹤訓練
　B　對于選項A，前者定義域為R，后者定義域為{x｜x≠1}，不是同一個函數；對于選項B，雖然變量不同，但定義域和對應關系均相同，是同一個函數；對于選項C，雖然對應關系相同，但定義域不同，不是同一個函數；對于選項D，雖然定義域相同，但對應關系不同，不是同一個函數.
拓視野　抽象函數與復合函數
遷移應用
　（2，6）　解析：∵函數y＝f（2x－1）的定義域為（－1，1），
∴－3＜2x－1＜1，∴－3＜3－x＜1，
即2＜x＜6，∴函數y＝f（3－x）的定義域為（2，6）.
隨堂檢測
1.B　要使有意義，只需解得x∈[3，4）∪（4，＋∞）.故選B.
2.B　f（x）＝，f（5）＝＝－7.故選B.
3.D　因為x2＋1≥1，所以0＜≤1，故選D.
4.ACD　B選項，當x＞0時有兩個y值與之對應，不是函數圖象，B錯誤；故選A、C、D.
5.②　解析：y＝的定義域為（－∞，2）∪（2，＋∞），與f（x）＝x定義域不同，y＝＝x與f（x）＝x定義域、對應關系均相同，y＝＝｜x｜，與f（x）＝x對應關系不同， 故填②.
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第一課時　函數的概念
新課程標準解讀 核心素養
1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎
上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的
函數概念 數學抽象
2.體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作
用 數學抽象
3.了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域 數學抽象、數學
運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　微信是即時聊天工具，通過微信，我們可以結交很多全國各地的
新朋友，可以與遠方的親朋好友面對面交流，省錢、快捷、方便，可
以傳送文件，還可以通過聊天練習打字、學會上網等，通過微信，我
們開心的時候可以找人分享，不開心的時候可以找人傾訴，所以說現
在微信成了我們生活不可缺少的一部分.大部分同學都有微信號，這樣
微信號與同學之間就有對應關系，即微信號（可能不止一個）對應唯
一一位同學.在數學領域也有類似的對應問題，即實數 x （可能不止一
個）對應實數 y （唯一一個）.
【問題】　你知道這種對應關系在數學中叫什么嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　函數的相關概念
定義 給定兩個 A 與 B ，以及對應關系 f ，如果對
于集合 A 中的 實數 x ，在集合 B 中都有
確定的實數 y 與 x 對應，則稱 f 為定義在集合 A 上的一個
，記作 y ＝ f （ x ）， x ∈ A ，其中 x 稱為自變量， y 稱
為因變量
非空實數集　
每一個　
唯一　
函
數　
三
要
素 對應關系 y ＝ f （ x ）， x ∈ A
定義域 自變量 x 的取值的范圍（即數集 A ）
值域 所有函數值組成的集合{ y ｜ y ＝ f （ x ）， x ∈ A }
提醒　（1）給定函數時，要指明函數的定義域，對于用解析式表示
的函數，如果沒有給出定義域，那么就認為函數的定義域是使函數的
解析式有意義的自變量取值的集合；
（2）函數的定義中強調“三性”：任意性、存在性、唯一性.
【想一想】
1. 有同學認為“ y ＝ f （ x ）”表示的是“ y 等于 f 與 x 的乘積”，這種
看法對嗎？
提示：這種看法不對.符號 y ＝ f （ x ）是“ y 是 x 的函數”的數學表
示，應理解為 x 是自變量； f 是對應關系，它可以是一個或幾個解析
式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述； y 是自變量的函數，
當 x 允許取某一具體值時，相應的 y 值為與該自變量值對應的函數
值. y ＝ f （ x ）僅僅是函數符號，不表示“ y 等于 f 與 x 的乘積”.在研
究函數時，除用符號 f （ x ）外，還常用 g （ x ）， F （ x ）， G
（ x ）等來表示函數.
2. f （ x ）與 f （ a ）（ a 為 x 定義域內的一個定值）有何區別與聯系？
提示： f （ a ）表示當 x ＝ a 時，函數 f （ x ）的值，是一個常量，而 f
（ x ）是自變量 x 的函數，一般情況下，它是一個變量， f （ a ）是 f
（ x ）的一個特殊值，如一次函數 f （ x ）＝3 x ＋4，當 x ＝8時， f
（8）＝3×8＋4＝28是一個常數.
知識點二　同一個函數
如果兩個函數表達式表示的函數 相同， 也相
同（即對自變量的每一個值，兩個函數表達式得到的函數值都相
等），則稱這兩個函數表達式表示的就是同一個函數.
定義域　
對應關系　
【想一想】
定義域和值域分別相同的兩個函數是同一個函數嗎？
提示：不一定，如果對應關系不同，這兩個函數一定不是同一個函數.
1. 下圖中不能表示函數關系的是（　　）
解析：　由于C中的2與1和3同時對應，故C不是函數.
2. 已知函數 f （ x ）＝ ，那么 f （－1）＝（　　）
A. －2 B. －1
C. － D. 2
解析：　 f （－1）＝ ＝－2.故選A.
3. 給出下列四組函數，其中表示同一個函數的是 　　　　（填序號）.
① f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝ ；
② f （ x ）＝2 x ＋1， g （ x ）＝2 x －1；
③ f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝ ；
④ f （ x ）＝ x2， f （ x －1）＝ x2.
③
解析：①中 f （ x ）＝ x 與 g （ x ）＝ 的定義域不同；②中 f （ x ）
＝2 x ＋1， g （ x ）＝2 x －1的對應關系不同；④中， f （ x ）＝ x2和 f
（ x －1）＝ x2由于對應關系 f 所施加的對象不同（前者為 x ，后者為
x －1），因此兩者不是同一個函數.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 函數關系的判斷
【例1】　（1）下列圖形能表示函數 y ＝ f （ x ）的圖象的是（　B　）
解析：　由函數的定義可知，只有B選項能表示函數 y ＝ f （ x ）的圖象.故選B.
（2）判斷下列對應 f 是否為定義在集合 A 上的函數：
① A ＝R， B ＝R，對應法則 f ： y ＝ ；
② A ＝{1，2，3}， B ＝R， f （1）＝ f （2）＝3， f （3）＝4；
③ A ＝{1，2，3}， B ＝{4，5，6}，對應法則如圖所示：
解：① A ＝R， B ＝R，對于集合 A 中的元素 x ＝0，在對應法則
f ： y ＝ 的作用下，在集合 B 中沒有元素與之對應，故所給對
應不是定義在 A 上的函數.
②由 f （1）＝ f （2）＝3， f （3）＝4，知集合 A 中的每一個元
素在對應法則 f 的作用下，在集合 B 中都有唯一的元素與之對
應，故所給對應是定義在 A 上的函數.
③集合 A 中的元素3在集合 B 中沒有與之對應的元素，且集合 A
中的元素2在集合 B 中有兩個元素（5和6）與之對應，故所給對
應不是定義在 A 上的函數.
通性通法
1. 判斷一個對應是否是函數的方法
2. 根據圖形判斷對應是否為函數的步驟
（1）任取一條垂直于 x 軸的直線 l ；
（2）在定義域內平行移動直線 l ；
（3）若 l 與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有
交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數.
【跟蹤訓練】
1. 設 M ＝{ x ｜0≤ x ≤2}， N ＝{ y ｜0≤ y ≤2}，給出下列四個圖形：
其中，能表示從集合 M 到集合 N 的函數關系的個數是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　①中，因為在集合 M 中當1＜ x ≤2時，在 N 中無元素與之
對應，所以①不是；②中，對于集合 M 中的任意一個數 x ，在 N 中
都有唯一的數與之對應，所以②是；③中， x ＝2對應元素 y ＝3
N ，所以③不是；④中，當 x ＝1時，在 N 中有兩個元素與之對應，
所以④不是.因此只有②是，故選B.
2. （多選）下列對應關系 f 是從集合 A 到集合 B 的函數的是（　　）
A. A ＝ B ＝R， f 為“加1”
B. A ＝{－1，0，1}， B ＝{0，1}， f 為“求平方”
C. A ＝ B ＝R， f 為“求平方根”
D. A ＝Z， B ＝Q， f 為“求倒數”
解析：　A：集合 A 中的任意元素在集合 B 中都有元素和它一一
對應，是函數，故A正確；B：集合 A 中的任意元素在集合 B 中都有
元素和它一一對應，是函數，故B正確；C：集合 A 中的負數在集合
B 中沒有元素和它對應，不是函數，故C錯誤；D：集合 A 中元素為
0時，其倒數不存在，所以在集合 B 中無對應元素，不是函數，故D
錯誤.
題型二 求函數的定義域
【例2】　（鏈接教科書第91頁例1）求下列函數的定義域：
（1） f （ x ）＝2＋ ；
解：當且僅當 x －2≠0，即 x ≠2時，
函數 f （ x ）＝2＋ 有意義，
所以這個函數的定義域為{ x ｜ x ≠2}.
（2） f （ x ）＝ · ；
解：當且僅當函數有意義，
解得1≤ x ≤3，
所以這個函數的定義域為{ x ｜1≤ x ≤3}.
（3） f （ x ）＝ － .
解：要使函數有意義，自變量 x 的取值必須滿足
解得 x ≤1且 x ≠－1，
即函數定義域為{ x ｜ x ≤1且 x ≠－1}.
通性通法
求函數定義域的常用方法
（1）若 f （ x ）是分式，則應考慮使分母不為零；
（2）若 f （ x ）是偶次根式，則被開方數大于或等于零；
（3）若 f （ x ）是指數冪，則函數的定義域是使冪運算有意義的實數
集合；
（4）若 f （ x ）是由幾個式子構成的，則函數的定義域是幾個部分定
義域的交集；
（5）若 f （ x ）是實際問題的解析式，則應符合實際問題，使實際問
題有意義.
【跟蹤訓練】
1. 函數 f （ x ）＝ ＋ 的定義域為（　　）
A. （－∞，2） B. （－∞，2]
C. （－∞，1）∪（1，2） D. （－∞，1）∪（1，2]
解析：　由題設得可得 x ∈（－∞，1）∪（1，2]，
所以函數定義域為（－∞，1）∪（1，2].故選D.
2. 函數 y ＝ 的定義域是 .
解析：要使函數有意義，需7＋6 x － x2≥0，
即 x2－6 x －7≤0，即（ x ＋1）（ x －7）≤0，解得－1≤ x ≤7.
故所求函數的定義域為[－1，7].
[－1，7]
題型三 求函數值和值域
【例3】　（鏈接教科書第92頁例3）（1）已知 f （ x ）＝ （ x
∈R，且 x ≠－1）， g （ x ）＝ x2＋2（ x ∈R），則 f （2）＝ ， f
（ g （2））＝ .
　

解析：∵ f （ x ）＝ ，∴ f （2）＝ ＝ .
又∵ g （ x ）＝ x2＋2，∴ g （2）＝22＋2＝6，
∴ f （ g （2））＝ f （6）＝ ＝ .
（2）求下列函數的值域：
① y ＝ x ＋1；
② y ＝ x2－2 x ＋3， x ∈[0，3）；
③ y ＝ ；
④ y ＝2 x － .
解：①（觀察法）因為 x ∈R，所以 x ＋1∈R，即函數值域是R.
②（配方法） y ＝ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2，
由 x ∈[0，3），再結合函數的圖象（如圖
（ⅰ）），可得函數的值域為[2，6）.
③（分離常數法） y ＝ ＝ ＝3－ .
因為 ≠0，所以 y ≠3，
所以 y ＝ 的值域為{ y ｜ y ≠3}.
④（換元法）設 t ＝ ，則 t ≥0且 x ＝ t2＋1，所以 y ＝2（ t2
＋1）－ t ＝2 ＋ ，由 t ≥0，再結合函數的圖象（如圖
（ⅱ）），可得函數的值域為 .
通性通法
1. 函數求值的方法
（1）已知 f （ x ）的表達式時，只需用 a 替換表達式中的 x 即得 f
（ a ）的值；
（2）求 f （ g （ a ））的值時應遵循由里往外的原則.
2. 求函數值域常用的4種方法
（1）觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得
到；
（2）配方法：當所給函數是二次函數或可化為二次函數處理的函
數時，可利用配方法求其值域；
（3）分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉
化為“反比例函數類”的形式，便于求值域；
（4）換元法：即運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函
數，從而求得原函數的值域.對于 f （ x ）＝ ax ＋ b ＋
（其中 a ， b ， c ， d 為常數，且 a ≠0）型的函數常用換元法.
【跟蹤訓練】
1. 已知函數 f （ x ）＝2 x －5，則 f （ f （1））＝（　　）
A. －11 B. －3
C. 11 D. 3
解析：　因為函數 f （ x ）＝2 x －5，所以 f （1）＝2×1－5＝－
3，所以 f （ f （1））＝ f （－3）＝2×（－3）－5＝－11，故選A.
2. 函數 y ＝ （ x ＞3）的值域是（　　）
A. （1，＋∞） B. （0，＋∞）
C. （3，＋∞） D. （4，＋∞）
解析：　∵ y ＝ ＝1＋ ，
又∵ x ＞3，∴ ＞0，∴ y ＞1，∴函數 y ＝ （ x ＞3）的值域為
（1，＋∞）.故選A.
3. 函數 g （ x ）＝ x2－2 x －3在區間[0，4]上的值域為（　　）
A. [－3，5] B. （－3，5）
C. [－4，5] D. （－4，5）
解析：　 g （ x ） ＝ x2－2 x －3＝（ x －1）2－4，因此該函數的對
稱軸為直線 x ＝1，因為 x ∈[0，4]，所以當 x ＝1時，函數有最小
值，最小值為－4，而 g （0）＝－3， g （4）＝5，所以最大值為
5，因此值域為[－4，5]， 故選C.
題型四 判斷兩個函數是否是同一個函數
【例4】　（多選）下列各選項給出的兩個函數中，表示同一個函數
的有（　　）
A. f （ x ）＝ x 與 g （ x ）＝
B. f （ t ）＝｜ t －1｜與 g （ x ）＝｜ x －1｜
C. f （ x ）＝ 與 g （ x ）＝－ x
D. f （ x ）＝ 與 g （ x ）＝ x －1
解析：　對于A： f （ x ）、 g （ x ）定義域都為R，但 f （ x ）＝ x ，
g （ x ）＝｜ x ｜，對應關系不同，故不是同一個函數；對于B： f
（ t ）＝｜ t －1｜定義域為R， g （ x ）＝｜ x －1｜定義域為R，定義
域相同，對應關系也相同，故為同一個函數；對于C： f （ x ）＝
定義域為 x ≤0，且可化簡為 f （ x ）＝－ x ，函數 g （ x ）＝
－ x 定義域為 x ≤0，兩函數定義域相同，對應關系相同，故為同
一個函數；對于D： f （ x ）＝ 定義域為 x ≠－1， g （ x ）＝ x －1
定義域為R，定義域不同，故不是同一個函數.故選B、C.
通性通法
判斷同一個函數的方法
　　判斷函數是否是同一個函數，關鍵是樹立定義域優先的原則：
（1）先看定義域，若定義域不同，則不是同一個函數；
（2）若定義域相同，再化簡函數的解析式，看對應關系是否相同.
【跟蹤訓練】
下列各組函數中是同一個函數的是（　　）
A. y ＝ x ＋1與 y ＝
B. y ＝ x2＋1與 s ＝ t2＋1
C. y ＝2 x 與 y ＝2 x （ x ≥0）
D. y ＝（ x ＋1）2與 y ＝ x2
解析：　對于選項A，前者定義域為R，后者定義域為{ x ｜ x ≠1}，
不是同一個函數；對于選項B，雖然變量不同，但定義域和對應關系
均相同，是同一個函數；對于選項C，雖然對應關系相同，但定義域
不同，不是同一個函數；對于選項D，雖然定義域相同，但對應關系
不同，不是同一個函數.
　抽象函數與復合函數
1. 抽象函數的概念
沒有給出具體解析式的函數，稱為抽象函數.
2. 復合函數的定義
如果函數 y ＝ f （ t ）的定義域為 A ，函數 t ＝ g （ x ）的定義域為
D ，值域為 C ，則當 C A 時，稱函數 y ＝ f （ g （ x ））為 f 與 g 在 D
上的復合函數.其中 t 叫做中間變量， t ＝ g （ x ）叫做內層函數， y
＝ f （ t ）叫做外層函數.
3. 抽象函數與復合函數定義域的求法
復合函數 f （ g （ x ））的定義域是指 x 的取值范圍，而不是 g （ x ）
的范圍.
（1）已知 f （ x ）的定義域為 A ，求 f （ g （ x ））的定義域，
其實質是已知 g （ x ）的取值范圍（值域）為 A ，求 x 的取
值范圍；
（2）已知 f （ g （ x ））的定義域為 B ，求 f （ x ）的定義域，其實
質是已知 f （ g （ x ））中的 x 的取值范圍為 B ，求出 g （ x ）
的取值范圍（值域），即 f （ x ）的定義域；
（3）已知 f （ g （ x ））的定義域，求 f （ h （ x ））的定義域，先
由 x 的取值范圍，求出 g （ x ）的取值范圍，即 f （ x ）中的 x
的取值范圍，即 h （ x ）的取值范圍，再根據 h （ x ）的取值范
圍求出 x 的取值范圍.
【典例】　（1）已知函數 f （ x ）的定義域[0，2]，則 g
（ x ）＝ f ＋ f 的定義域為 　 　；
　
解析：∵ f （ x ）的定義域是[0，2]，
且 g （ x ）＝ f ＋ f ，
∴則
∴ ≤ x ≤ ，
∴ g （ x ）的定義域為 .
（2）若函數 f （ x ＋3）的定義域為[－5，－2]，則函數 F （ x ）＝ f
（ x ＋1）＋ f （ x －1）的定義域為 .
解析：∵函數 f （ x ＋3）的定義域為[－5，－2]，
∴－5≤ x ≤－2，∴－2≤ x ＋3≤1，
∴函數 f （ x ）的定義域為[－2，1].
∴∴－1≤ x ≤0，
∴函數 F （ x ）＝ f （ x ＋1）＋ f （ x －1）的定義域為[－1，0].
[－1，0]　
【遷移應用】
已知函數 y ＝ f （2 x －1）的定義域為（－1，1），則函數 y ＝ f （3－
x ）的定義域為 .
解析：∵函數 y ＝ f （2 x －1）的定義域為（－1，1），
∴－3＜2 x －1＜1，∴－3＜3－ x ＜1，
即2＜ x ＜6，∴函數 y ＝ f （3－ x ）的定義域為（2，6）.
（2，6）　
1. 函數 f （ x ）＝ 的定義域是（　　）
A. [3，＋∞） B. [3，4）∪（4，＋∞）
C. （3，＋∞） D. [3，4）
解析：　要使解得 x
∈[3，4）∪（4，＋∞）.故選B.
2. 已知 f （ x ）＝ ，則 f （5）＝（　　）
A. －8 B. －7
C. －6 D. －5
解析：　 f （ x ）＝ ， f （5）＝ ＝－7.故選B.
3. 函數 f （ x ）＝ 值域是（　　）
A. （－∞，1] B. [1，＋∞）
C. [0，＋∞） D. （0，1]
解析：　因為 x2＋1≥1，所以0＜ ≤1，故選D.
4. （多選）下列各圖中，可能是函數圖象的是（　　）
解析：　B選項，當 x ＞0時有兩個 y 值與之對應，不是函數圖
象，B錯誤；故選A、C、D.
5. 給出下列三個函數：① y ＝ ；② y ＝ ；③ y ＝ .其中與
函數 f （ x ）＝ x 是同一個函數的序號是 .
解析： y ＝ 的定義域為（－∞，2）∪（2，＋∞），與 f （ x ）＝ x 定義域不同， y ＝ ＝ x 與 f （ x ）＝ x 定義域、對應關系均相同， y ＝ ＝｜ x ｜，與 f （ x ）＝ x 對應關系不同， 故填②.
②
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知函數 y ＝ f （ x ），則函數圖象與直線 x ＝ a 的交點（　　）
A. 有1個 B. 有2個
C. 有無數個 D. 至多有一個
解析：　根據函數的概念可知對于定義域中的任意一個自變量 x
都有唯一的函數值與之對應，故選D.
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2
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14
2. f （ x ）＝（ x －1）0＋ 的定義域是（　　）
A. （－1，＋∞） B. （－∞，－1）
C. R D. （－1，1）∪（1，＋∞）
解析：　要使函數 f （ x ）有意義，
需滿足且 x ≠1，
∴定義域為（－1，1）∪（1，＋∞）.
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3. 函數 y ＝ x2－4 x ＋6， x ∈[1，5）的值域是（　　）
A. [2，11） B. [3，11）
C. [1，11） D. [2，11]
解析：　 f （ x ）＝ x2－4 x ＋6＝（ x －2）2＋2，∵ x ∈[1，5），
且函數 f （ x ）的對稱軸是直線 x ＝2，∴函數 f （ x ）的值域是[2，
11）.故選A.
1
2
3
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13
14
4. 已知函數 y ＝ f （ x ）的定義域為[－8，1]，則函數 g （ x ）＝
的定義域是（　　）
A. （－∞，－2）∪（－2，3]
B. [－8，－2）∪（－2，1]
C.
D. ∪
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14
解析：　題意得：－8≤2 x ＋1≤1，解得－ ≤ x ≤0，由 x ＋
2≠0，解得 x ≠－2，故函數的定義域是 ∪ .
故選D.
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11
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14
5. （多選）如圖是函數 f （ x ）的圖象，則下列說法正確的是（　　）
A. f （0）＝－2
B. f （ x ）的定義域為[－3，2]
C. f （ x ）的值域為[－2，2]
D. 若 f （ x ）＝0，則 x ＝ 或2
1
2
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14
解析：　由圖象知 f （0）＝－2正確，A對，函數 f （ x ）的定
義域為[－3，2]正確，B對，函數 f （ x ）的最小值為－3，即函數 f
（ x ）的值域為[－3，2]，C錯，若 f （ x ）＝0，則 x ＝ 或2，D對.
故選A、B、D.
1
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6. 已知函數 f （ x ）與 g （ x ）的定義域相同，值域也相同，但不是同
一個函數，則滿足上述條件的一組 f （ x ）與 g （ x ）的解析式可以
為 .
解析：結合一次函數的性質可知， f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝－ x ，兩
個函數的定義域和值域都是R，但是對應關系不同，所以兩個函數
不是同一個函數.
f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝－ x ， x ∈R（答案不唯一）　
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7. 已知函數 f （ x ）＝2 x －3， x ∈{ x ∈N｜1≤ x ≤5}，則函數 f （ x ）
的值域為 .
解析：∵ x ＝1，2，3，4，5，
∴ f （ x ）＝2 x －3＝－1，1，3，5，7.
∴ f （ x ）的值域為{－1，1，3，5，7}.
{－1，1，3，5，7}　
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8. 已知函數 f （ x ＋1）的定義域為（－1，1），則 f （｜ x ｜）的定義
域為 .
解析：依題意函數 f （ x ＋1）的定義域為（－1，1），－1＜ x ＜
1 0＜ x ＋1＜2，所以0＜｜ x ｜＜2，解得－2＜ x ＜0或0＜ x ＜2，
所以 f （｜ x ｜）的定義域為（－2，0）∪（0，2）.
（－2，0）∪（0，2）　
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9. 已知函數 f （ x ）＝ ＋ .
（1）求函數 f （ x ）的定義域；
解：若使函數有意義，需解得 x ≤－2或 x
≥2且 x ≠7，
故函數 f （ x ）的定義域為（－∞，－2]∪[2，7）∪（7，＋
∞）.
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（2）求 f （－2）＋ f 的值；
解：∵ f （－2）＝－ ， f ＝ － ＝ ，
∴ f （－2）＋ f ＝－ ＋ ＝ .
（3）當 a ＞6時，求 f （ a ＋1）的值.
解：∵ a ＞6，∴ f （ a ＋1）有意義，
∴ f （ a ＋1）＝ ＋ .
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10. 函數 f （ x ）＝ 的定義域為R，則實數 m 的取值范
圍是（　　）
A. （0，1） B. （－∞，－1]
C. [1，＋∞） D. （－∞，－1）
解析：　 f （ x ）的定義域是R，則－ mx2－2 x ＋1≥0恒成立，即
mx2＋2 x －1≤0恒成立，則解得 m ≤－1，所以實數 m 的
取值范圍為（－∞，－1].故選B.
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11. 已知 f （ x ）＝ ＋ ，則函數 g （ x ）＝ 的定
義域是（　　）
A. [－2，1）∪（1，2]
B. [0，1）∪（1，4]
C. [0，1）∪（1，2]
D. [－1，1）∪（1，3]
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解析：　∵ f （ x ）＝ ＋ ，∴∴－1≤
x ≤3，∴ f （ x ）的定義域為 x ∈[－1，3].又∵ g （ x ）＝
，∴∴－2≤ x ≤2且 x ≠1.∴ g （ x ）＝
的定義域是[－2，1）∪（1，2].故選A.
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12. 已知函數 f （ x ）＝ ＋ 的定義域是 A ，函數 g （ x ）＝ x2
＋2 x 在[ m ，1]上的值域是[－1，3]，且實數 m 的取值范圍所組成
的集合是 B .
（1）分別求出定義域 A 與集合 B ；
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解：由題意得∴－1≤ x ＜2，
∴ A ＝[－1，2），
∵ g （ x ）＝ x2＋2 x ＝（ x ＋1）2－1，∴當 x ＝－1時， g
（ x ）的最小值為－1，
∵函數 g （ x ）在[ m ，1]的值域為[－1，3]，
∴－3≤ m ≤－1，
∴ B ＝[－3，－1].
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（2）設集合 C ＝{ x ｜ x ＜2 a －6或 x ＞ a }.若 B ∩ C ＝ ，求實數 a
的取值范圍.
解：∵ B ∩ C ＝ ，
∴
∴－1≤ a ≤ ，
∴ a 的取值范圍為 .
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13. 已知函數 f （ x ）＝ ，集合 A 為函數 f （ x ）的定義域，集
合 B 為函數 f （ x ）的值域，若定義 A － B ＝{ x ｜ x ∈ A ，且 x
B }， A B ＝（ A － B ）∪（ B － A ），則 A B ＝
.
解析：要使函數 f （ x ）＝ 有意義，
則1－4 x2≥0，
∪
　
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解得－ ≤ x ≤ ，所以 A ＝ ，
函數 f （ x ）＝ 的值域 B ＝[0，1]，
A － B ＝{ x ｜ x ∈ A ，且 x B }＝ ， B － A ＝{ x ｜ x
∈ B ，且 x A }＝ .
A B ＝（ A － B ）∪（ B － A ）＝ ∪ ＝ ∪ .
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14. 對于函數 f （ x ）和 g （ x ），記函數 f （ x ）的定義域為 A ，函數 g
（ x ）的定義域為 B ，若 B A ，則稱函數 g （ x ）是函數 f （ x ）
的好函數，否則，稱函數 g （ x ）不是函數 f （ x ）的好函數.現已
知函數 h （ x ）的定義域為（0，＋∞）.
（1）若函數φ（ x ）＝ h （2 x －1），判斷函數φ（ x ）是不是函數
h （ x ）的好函數；
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解：由題設知：2 x －1＞0，解得 x ＞ ，
∴函數φ（ x ）的定義域為 （0，
＋∞），
∴函數φ（ x ）是函數 h （ x ）的好函數.
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（2）若函數 u （ x ）＝ h （－ x2－ ax ＋ a ＋1），且函數 u （ x ）是
函數 h （ x ）的好函數，求實數 a 的取值范圍.
解：記函數 u （ x ）的定義域為 M ，
則 M ＝{ x ｜－ x2－ ax ＋ a ＋1＞0}且 M （0，＋∞），
由－ x2－ ax ＋ a ＋1＞0得 x2＋ ax － a －1＜0，即（ x －
1）·（ x ＋ a ＋1）＜0，
由函數的定義知： M 為非空數集，
故 a ＋1≠－1，即 a ≠－2.
當 a ＜－2時， M ＝（1，－ a －1），顯然滿足 M （0，＋∞）；
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當 a ＞－2時， M ＝（－ a －1，1），
又 M （0，＋∞），則－ a －1≥0，
解得 a ≤－1，
故－2＜ a ≤－1.
綜上，實數 a 的取值范圍為（－∞，－2）∪（－2，－1].
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