資源簡介

第二課時　函數的表示方法
1.已知函數f（x－1）＝x2＋2x－3，則f（x）＝（　　）
A.x2＋4x B.x2＋4
C.x2＋4x－6 D.x2－4x－1
2.下表表示y是x的函數，則函數的值域是（　　）
x x＜2 2≤x≤3 x＞3
y 1 0 1
A.{y｜0≤y≤1} B.R
C.{0，1，1} D.{0，1}
3.已知函數f（x）滿足2f（x）＋f＝x，則f（2）＝（　　）
A. B.1
C. D.2
4.在△ABC中，AB＝BC＝x，周長為20，將△ABC的面積表示成x的函數S（x），則（　　）
A.S（x）＝x（20－2x），5＜x＜10
B.S（x）＝x（20－2x），0＜x＜10
C.S（x）＝（10－x），0＜x＜10
D.S（x）＝（10－x），5＜x＜10
5.（多選）下列函數中，滿足f（3x）＝3f（x）的是（　　）
A.f（x）＝2｜x｜ B.f（x）＝x－｜x｜
C.f（x）＝－x D.f（x）＝x＋2
6.若函數f＝x，則f（x）＝　　　　.
7.將函數y＝x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得圖象對應的函數解析式是　　　 　.
8.一個彈簧不掛物體時長12 cm，掛上物體后會伸長，伸長的長度與所掛物體的質量成正比.如果掛上3 kg物體后彈簧總長是13.5 cm，則彈簧總長y（cm）與所掛物體質量x（kg）之間的函數解析式為　　　　.
9.已知f（x）是二次函數.且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x.求f（x）的解析式.
10.若函數f（x）＝x2－2x＋3－c的最小值為2 024，則f（x＋2 025）的最小值是　　　　.
11.已知函數y＝f（x）（x∈R）的圖象如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集為　　　.
12.已知函數f（x＋1）＝.
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若x＞0時，不等式f（x）＜t無解，求t的取值范圍.
13.函數f（x）的定義域為[－1，1]，圖象如圖①所示，函數g（x）的定義域為[－1，2]，圖象如圖②所示.若集合A＝{x｜f（g（x））＝0}，B＝{x｜g（f（x））＝0}，則A∪B中有　　　　個元素.
14.某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的年收益f（x）與投資額x成正比，其關系如圖①；投資股票等風險型產品的年收益g（x）與投資額x的算術平方根成正比，其關系如圖②.
（1）分別寫出兩種產品的年收益f（x）和g（x）的函數關系式；
（2）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？
第二課時　函數的表示方法
1.A　f（x－1）＝x2＋2x－3＝（x－1）2＋4（x－1），所以f（x）＝x2＋4x.故選A.
2.D　由題意，該函數的值域是{0，1}.故選D.
3.C　由已知可得解得f（x）＝，其中x≠0，因此，f（2）＝.故選C.
4.D　由題知△ABC是等腰三角形，S（x）＝×（20－2x）×＝（10－x），
又解得5＜x＜10.故選D.
5.ABC　對于A：f（x）＝2｜x｜，因為f（3x）＝2｜3x｜，3f（x）＝2｜3x｜，所以f（3x）＝3f（x），故A正確；對于B：f（x）＝x－｜x｜，因為f（3x）＝3x－｜3x｜＝3（x－｜x｜）＝3f（x），所以滿足f（3x）＝3f（x），故B正確；對于C：f（x）＝－x，因為f（3x）＝－3x＝3f（x），所以滿足f（3x）＝3f（x），故C正確；對于D：f（x）＝x＋2，因為f（3x）＝3x＋2，而3f（x）＝3x＋6，所以f（3x）≠3f（x），故D不正確.故選A、B、C.
6.（x≠－1）　解析：令t＝＝－1，則t≠－1，∴x＝－1，故f（t）＝－1＝，∴f（x）＝（x≠－1）.
7.y＝（x＋1）2－2　解析：函數y＝x2的圖象向左平移1個單位長度，得到y＝（x＋1）2，再向下平移2個單位長度，得到y＝（x＋1）2－2.
8.y＝x＋12（x≥0）　解析：設所求函數解析式為y＝kx＋12（k≠0），把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝，所以所求的函數解析式為y＝x＋12（x≥0）.
9.解：設f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
則f（x＋1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c，
f（x－1）＝a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝ax2＋（－2a＋b）x＋a－b＋c，
所以f（x＋1）＋f（x－1）＝2ax2＋2bx＋2a＋2c，又f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x，
因此解得所以f（x）＝x2－2x－1.
10.2 024　解析：函數f（x＋2 025）的圖象可由函數f（x）的圖象向左平移2 025個單位長度得到，因此兩函數的最小值相同，均為2 024，故f（x＋2 025）的最小值是2 024.
11.（－1，0）∪（1，3）　解析：不等式xf（x）＜0等價為或
解得1＜x＜3，或－1＜x＜0，
故不等式xf（x）＜0的解集為（－1，0）∪（1，3）.
12.解：（1）函數f（x＋1）＝，設u＝x＋1，則x＝u－1，
則f（u）＝＝＝u＋＋3，則f（x）＝x＋＋3，
所以函數f（x）的解析式f（x）＝x＋＋3.
（2）由（1）知，f（x）＝x＋＋3，當x＞0時，f（x）＝x＋＋3≥2＋3＝7，當且僅當x＝2時取“＝”，因此，當x＝2時，f（x）min＝7，
若x＞0時，不等式f（x）＜t無解，即t≤f（x）恒成立，則有t≤f（x）min＝7，
所以t的取值范圍為（－∞，7].
13.4　解析：由圖象可得，若f（g（x））＝0，則g（x）＝－1或g（x）＝0或g（x）＝1，
由g（x）＝－1知x不存在；由g（x）＝0得x＝0或x＝2，由g（x）＝1得x＝－1或x＝1，
所以x＝－1或x＝0或x＝1或x＝2，
所以A＝{x｜f（g（x））＝0}＝{－1，0，1，2}；
若g（f（x））＝0，則f（x）＝0或f（x）＝2，
所以x＝－1或x＝0或x＝1，
所以B＝{x｜g（f（x））＝0}＝{－1，0，1}，
所以A∪B＝{－1，0，1，2}，共4個元素.
14.解：（1）依題意：可設f（x）＝k1x（x≥0），
g（x）＝k2（x≥0），
由題意知f（1）＝k1＝，g（1）＝k2＝，所以f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）.
（2）設投資債券類產品x萬元，則股票類投資為（20－x）萬元，年收益為y萬元，
依題意得：y＝f（x）＋g（20－x），
即y＝＋（0≤x≤20），令t＝，
則x＝20－t2，t∈[0，2]，
則y＝＋＝－（t－2）2＋3，t∈[0，2]，
所以當t＝2，即x＝16時， y取最大值，為3.
故應投資債券類產品16萬元，股票類產品4萬元年收益最大，最大年收益為3萬元.
2 / 2第二課時　函數的表示方法
新課程標準解讀 核心素養
在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數，理解函數圖象的作用 數學抽象、直觀想象
　（1）已建成的京滬高速鐵路總長約1 318 km，設計速度目標值為380 km/h.若京滬高速鐵路時速按300 km/h計算，火車行駛x h后，路程為y km，則y是x的函數，可以用y＝300x來表示，其中y＝300x叫做該函數的解析式.
（2）如圖是我國近五年出生人口變化曲線：
（3）下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關系表：
污染源距離 50 100 200 300 500
氰化物濃度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
【問題】　根據初中所學知識，說出上述分別是用什么法表示函數的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的表示方法
1.函數的圖象
（1）定義：將函數y＝f（x），x∈A中的自變量x和對應的函數值y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點（x，y）組成的集合F稱為函數的圖象，即F＝{（x，y）｜y＝f（x），x∈A}；
（2）F是函數y＝f（x）的圖象，必須滿足下列條件：
①圖象上　　　　　　的坐標（x，y）都滿足函數關系y＝f（x）；
②滿足函數關系y＝f（x）的點（x，y）都在函數圖象F上.
2.函數的表示法
【想一想】
所有的函數都能用解析法、列表法和圖象法表示嗎？為什么？
1.已知函數y＝f（x），用列表法表示如下：
x －2 －1 0 2 3
y 5 2 1 3 4
則f（－1）＋f（2）＝（　　）
A.4　　　　　　　　　　 B.5
C.6 D.9
2.某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示該人離單位的距離，x表示出發后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（　　）
3.一個面積為100 cm2的等腰梯形，上底長為x cm，下底長為上底長的3倍，則它的高y與x的函數關系為　　　 　.
題型一 函數的表示法
【例1】　某商場新進了10臺彩電，每臺售價3 000元，試求售出臺數x與收款數y之間的函數關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.
嘗試解答
通性通法
函數的三種表示法的選擇和應用的注意點
　　解析法、圖象法和列表法分別從三個不同的角度刻畫了自變量與函數值的對應關系.采用解析法的前提是變量間的對應關系明確，采用圖象法的前提是函數的變化規律清晰，采用列表法的前提是定義域內自變量的個數較少.
在應用三種方法表示函數時要注意：
（1）解析法必須注明函數的定義域；
（2）列表法必須羅列出所有的自變量與函數值的對應關系；
（3）圖象法必須清楚函數圖象是“點”還是“線”.
【跟蹤訓練】
已知函數f（x）的對應關系如下表，函數y＝g（x）的圖象為如圖所示的曲線ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），則f（g（2））＝（　　）
x 1 2 3
f（x） 2 3 0
A.3　　　B.2　　　C.1　　　D.0
題型二 函數圖象的作法及應用
【例2】　作出下列函數的圖象并求出其值域：
（1）y＝2x＋1，x∈[0，2]；
（2）y＝，x∈[2，＋∞）；
（3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2].
嘗試解答
通性通法
描點法作函數圖象的步驟
（1）列表：先找出一些有代表性的自變量x的值，再計算出與這些自變量x相對應的函數值f（x），并用表格的形式表示出來；
（2）描點：把第（1）步表格中的點（x，f（x））一一在平面直角坐標系中描出來；
（3）連線：用光滑的曲線把這些點按自變量由小到大（或由大到小）的順序連接起來.
提醒　（1）畫函數的圖象時要注意函數的定義域；（2）要作出更精確的圖象，常常需要描出更多的點.
【跟蹤訓練】
1.直角梯形ABCD，如圖①，動點P從B點出發，沿B→C→D→A運動，設點P運動的路程為x，△ABP的面積為f（x）.如果函數y＝f（x）的圖象如圖②所示，則△ABC的面積為　　　　.
2.作出下列函數的圖象，并根據圖象求其值域：
（1）
x －4 －2 2 4
y 1 －3 2 3
（2）y＝－，x∈[－3，0）∪（0，1]；
（3）y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0].
題型三 函數解析式的求法
角度1　已知函數的類型，求函數的解析式
【例3】　（1）已知一次函數f（x）滿足f（f（x））＝4x＋6，則f（x）的解析式為　　　　；
（2）已知二次函數f（x）滿足f（0）＝1，f（1）＝2，f（2）＝5，則該二次函數的解析式為　　　　.
嘗試解答
通性通法
　　待定系數法求函數解析式
　　已知函數的類型求函數解析式，常采用待定系數法，由題設條件求待定系數.待定系數法求函數解析式的步驟如下：
（1）設出所求函數含有待定系數的解析式.如一次函數的解析式設為f（x）＝ax＋b（a≠0），反比例函數的解析式設為f（x）＝（k≠0），二次函數的解析式設為f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
（2）把已知條件代入解析式，列出關于待定系數的方程或方程組；
（3）解方程或方程組，得到待定系數的值；
（4）將所求待定系數的值代回所設解析式.
【跟蹤訓練】
1.已知f（x）是反比例函數，且f（－3）＝－1，則f（x）的解析式為（　　）
A.f（x）＝－　　　　 B.f（x）＝
C.f（x）＝3x D.f（x）＝－3x
2.已知f（x）為二次函數，且滿足f（0）＝1，f（x－1）－f（x）＝4x，則f（x）的解析式為（　　）
A.f（x）＝－2x2－2x＋1
B.f（x）＝－2x2＋2x＋1
C.f（x）＝－2x2－2x－1
D.f（x）＝2x2－2x＋1
角度2　已知f（g（x））的解析式，求f（x）的解析式
【例4】　（1）已知函數f（x＋1）＝x2＋2x，則f（x）的解析式為（　　）
A.f（x）＝x2＋1
B.f（x）＝x2＋2x－1
C.f（x）＝x2－1
D.f（x）＝x2＋2x＋1
（2）已知f（＋1）＝x＋2，則f（x）的解析式為　　　　.
嘗試解答
通性通法
換元法、配湊法求函數解析式
　　已知f（g（x））＝h（x），求f（x）的兩種方法：
（1）換元法：即令t＝g（x），解出x，代入h（x）中，得到一個含t的解析式，再用x替換t，便得到f（x）的解析式.利用換元法解題時，換元后要確定新元t的取值范圍，即函數f（x）的定義域；
（2）配湊法：即從f（g（x））的解析式中配湊出“g（x）”，即用g（x）來表示h（x），然后將解析式中的g（x）用x代替即可.
【跟蹤訓練】
1.設函數f（x）＝4x－5，g（2x＋1）＝f（x），則函數g（x）的解析式是（　　）
A.g（x）＝2x＋1 B.g（x）＝2x－1
C.g（x）＝2x＋5 D.g（x）＝2x－7
2.設函數f（x）滿足f（）＝x＋1，則f（4）＝　　　　 　.
角度3　消元（方程組）法求函數解析式
【例5】　（1）已知函數f（x）滿足f（x）＋2f＝x，則函數f（x）的解析式為　　　　；
（2）已知af（x）＋f（－x）＝bx，其中a≠±1，則函數f（x）的解析式為　　　　.
嘗試解答
通性通法
消元法（或解方程組法）求函數解析式
　　在已知式子中，含有關于兩個不同變量的函數，而這兩個變量有著某種關系，這時就要依據兩個變量的關系，建立一個新的關于這兩個變量的式子，由兩個式子建立方程組，通過解方程組消去一個變量，得到目標變量的解析式，這種方法稱為消元法（或解方程組法）.即已知f（x）與f（φ（x））滿足的關系式，要求f（x）時，可用φ（x）代替兩邊的所有的x，得到關于f（x）及f（φ（x））的方程組，解之即可求出f（x）.
【跟蹤訓練】
已知函數f（x）滿足f（x）＋2f（3－x）＝x2，則f（x）的解析式為（　　）
A.f（x）＝x2－12x＋18
B.f（x）＝x2－4x＋6
C.f（x）＝6x＋9
D.f（x）＝2x＋3
　函數圖象的三種變換
1.函數圖象的平移變換
左加右減：函數y＝f（x）的圖象沿x軸方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜個單位長度得到函數y＝f（x＋a）的圖象.
上加下減：函數y＝f（x）的圖象沿y軸方向向上（b＞0）或向下（b＜0）平移｜b｜個單位長度得到函數y＝f（x）＋b的圖象.
例如：函數f（x）＝x2，分別作出y＝f（x＋1），y＝f（x－1），y＝f（x）＋1，y＝f（x）－1的圖象如圖所示.
圖象向左平移
一個單位長度　　　圖象向右平移
一個單位長度
圖象向上平移
一個單位長度　　　圖象向下平移
一個單位長度
2.函數圖象的對稱變換
（1）y＝f（x）y＝－f（x）；
（2）y＝f（x）y＝f（－x）；
（3）y＝f（x）y＝－f（－x）.
例如：f（x）＝（x＞0），分別作出y＝－f（x），y＝f（－x），y＝－f（－x）的圖象如圖所示.
3.函數圖象的翻折變換
（1）y＝f（x）y＝｜f（x）｜；
（2）y＝f（x）
y＝f（｜x｜）.
例如：已知函數y＝f（x）＝x2－2x－3，分別作出函數y＝｜f（x）｜與y＝f（｜x｜）的圖象如圖所示.
y＝｜f（x）｜的圖象為保留y＝f（x）圖象在x軸上方的部分，把x軸下方的部分沿x軸翻折上去.
y＝f（｜x｜）的圖象為保留y＝f（x）圖象在y軸右側的部分，把y軸右側的圖象翻折到y軸左側.
【遷移應用】
畫出下列函數的大致圖象：
（1）y＝；
（2）y＝｜x2－1｜.
1.若f（x）是一次函數，2f（2）－3f（1）＝5，2f（0）－f（－1）＝1，則f（x）＝（　　）
A.3x＋2　　　　　　 B.3x－2
C.2x＋3 D.2x－3
2.函數y＝－的大致圖象是（　　）
3.定義域為R的函數f（x）滿足f（x）＋2f（－x）＝2x＋1，則f（x）＝（　　）
A.－2x＋1 B.2x－
C.2x－1 D.－2x＋
4.（多選）已知f（x＋2）＝x2＋6x＋8且f（a）＝3，則實數a的值可能是（　　）
A.－3　 　B.0　　　C.1　　　D.2
5.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2}，試寫出從A到B的一個函數h（x）＝　　　　 　.
第二課時　函數的表示方法
【基礎知識·重落實】
知識點
1.（2）①任意一點　2.數學表達式　圖象　表格
想一想
　提示：并不是所有的函數都能用解析式表示；事實上，圖象法也不適用于所有函數，如D（x）＝列表法雖在理論上適用于所有函數，但對于自變量有無數個取值的情況，列表法只能表示函數的一個概況或片段.
自我診斷
1.B　由列表可知f（－1）＋f（2）＝2＋3＝5.故選B.
2.D　由題意可知：x＝0時所走的路程為0，離單位的距離為最大值，排除A、C，隨著時間的增加，先跑步，開始時y隨x的變化快，后步行，則y隨x的變化慢，所以適合的圖象為D.故選D.
3.y＝（x＞0）　解析：如圖等腰梯形ABCD，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，
由題意知，AD＝x，BC＝3x，AE＝y，則等腰梯形ABCD的面積為（AD＋BC）×AE＝（x＋3x）·y＝100，
即y與x的函數關系為y＝（x＞0）.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）列表法：
x/臺 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/臺 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）圖象法：
（3）解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.
跟蹤訓練
　B　觀察函數y＝g（x）的圖象得：g（2）＝1，由表格知：f（1）＝2，所以f（g（2））＝2.故選B.
【例2】　解：（1）當x∈[0，2]時，圖象是直線y＝2x＋1的一部分圖（如圖①），觀察圖象可知，其值域為[1，5].
（2）當x∈[2，＋∞）時，圖象是反比例函數y＝的一部分（如圖②），觀察圖象可知其值域為（0，1].
（3）當－2≤x≤2時，圖象是拋物線y＝x2＋2x的一部分（如圖③）.
由圖象可得函數的值域為[－1，8].
跟蹤訓練
1.16　解析：由題意結合題圖②可知：BC＝4，CD＝9－4＝5，AD＝14－9＝5，
如圖，過D作DG⊥AB于點G，∴AG＝3，由此可求出AB＝3＋5＝8.
S△ABC＝AB·BC＝×8×4＝16.
2.解：（1）該函數的圖象如圖①所示，由圖象可知值域為{－3，1，2，3}.
（2）作出函數y＝－，x∈[－3，0）∪（0，1]的圖象，如圖②所示，由圖象可知值域為（－∞，－4]∪.
（3）作出函數y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的圖象，如圖③所示，由圖象可知值域為[－3，1].
【例3】　（1）f（x）＝2x＋2或f（x）＝－2x－6　（2）f（x）＝x2＋1
解析：（1）設f（x）＝ax＋b（a≠0），則f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有解得或所以f（x）＝2x＋2或f（x）＝－2x－6.
（2）設二次函數的解析式為f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由題意得解得故f（x）＝x2＋1.
跟蹤訓練
1.B　設f（x）＝（k≠0），∵f（－3）＝＝－1，∴k＝3，∴f（x）＝. 故選B.
2.A　設f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），因為f（0）＝1，所以c＝1.又f（x－1）－f（x）＝4x，所以有a（x－1）2＋b（x－1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝4x －2ax＋a－b＝4x 解得a＝b＝－2.故選A.
【例4】　（1）C　（2）f（x）＝x2－1（x≥1）
解析：（1）法一（換元法）　令x＋1＝t，則x＝t－1，t∈R，所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，即f（x）＝x2－1.
法二（配湊法）　因為x2＋2x＝（x2＋2x＋1）－1＝（x＋1）2－1，所以f（x＋1）＝（x＋1）2－1，即f（x）＝x2－1.
（2）法一（換元法）　令t＝＋1，
則x＝（t－1）2，t≥1，
所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1），
所以函數的解析式為f（x）＝x2－1（x≥1）.
法二（配湊法）　f（＋1）＝x＋2＝x＋2＋1－1＝（＋1）2－1.
因為＋1≥1，所以函數的解析式為f（x）＝x2－1（x≥1）.
跟蹤訓練
1.D　∵g（2x＋1）＝4x－5＝2（2x＋1）－7，∴g（x）＝2x－7.故選D.
2.17　解析：令＝t，t≥0，則x＝t2，因為函數f（x）滿足f（）＝x＋1，所以f（t）＝t2＋1，t≥0，所以f（x）＝x2＋1，x≥0所以f（4）＝17.
【例5】　（1）f（x）＝－＋　（2）f（x）＝x，a≠±1
解析：（1）在已知等式中，將x換成，得f＋2f（x）＝，與已知方程聯立，得
消去f，得f（x）＝－＋.
（2）在原式中以－x替換x，得af（－x）＋f（x）＝－bx，
于是得
消去f（－x），得f（x）＝.
故f（x）的解析式為f（x）＝x，a≠±1.
跟蹤訓練
　B　用3－x代替原方程中的x得：f（3－x）＋2f[3－（3－x）]＝f（3－x）＋2f（x）＝（3－x）2＝x2－6x＋9，∴
消去f（3－x）得：－3f（x）＝－x2＋12x－18，∴f（x）＝x2－4x＋6.故選B.
拓視野　函數圖象的三種變換
遷移應用
　解：（1）因為y＝＝2－，所以可先作出函數y＝－的大致圖象，把圖象向左平移1個單位長度得到y＝－的圖象，再把所得圖象向上平移2個單位長度就得到了函數y＝的圖象，如圖①所示.
（2）先作出y＝x2－1的大致圖象，保留它在x軸及其上方的部分，再把它在x軸下方的部分沿x軸對稱翻折到x軸上方，所得的圖象就是函數y＝｜x2－1｜的圖象，如圖②所示.
隨堂檢測
1.B　設f（x）＝ax＋b，由題設有
解得故選B.
2.B　函數y＝－的圖象是由函數y＝－的圖象向左平移1個單位長度得到的，而函數y＝－的圖象在第二、第四象限，結合所給的四個圖象只有B符合，故選B.
3.D　因為定義域為R的函數f（x）滿足f（x）＋2f（－x）＝2x＋1，
以－x替換x代入得f（－x）＋2f（x）＝－2x＋1，
聯立方程組
②×2－①消去f（－x）得3f（x）＝－6x＋1，
所以f（x）＝－2x＋.故選D.
4.AC　∵f（x＋2）＝x2＋6x＋8＝（x＋2）2＋2（x＋2），∴f（x）＝x2＋2x，∵f（a）＝a2＋2a＝3，∴a＝1或－3.故選A、C.
5.x＋1（答案不唯一）　解析：令h（x）＝x＋1，
則有h（－1）＝0，h（0）＝1，h（1）＝2，滿足題意.
6 / 7(共82張PPT)
第二課時　
函數的表示方法
新課程標準解讀 核心素養
在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法
（如圖象法、列表法、解析法）表示函數，理解函
數圖象的作用 數學抽象、直觀
想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　（1）已建成的京滬高速鐵路總長約1 318 km，設計速度目標值為
380 km/h.若京滬高速鐵路時速按300 km/h計算，火車行駛 x h后，路程
為 y km，則 y 是 x 的函數，可以用 y ＝300 x 來表示，其中 y ＝300 x 叫做
該函數的解析式.
（2）如圖是我國近五年出生人口變化曲線：
（3）下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關系表：
污染源距離 50 100 200 300 500
氰化物濃度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
【問題】　根據初中所學知識，說出上述分別是用什么法表示
函數的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的表示方法
1. 函數的圖象
（1）定義：將函數 y ＝ f （ x ）， x ∈ A 中的自變量 x 和對應的函數
值 y ，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿
足條件的點（ x ， y ）組成的集合 F 稱為函數的圖象，即 F ＝
{（ x ， y ）｜ y ＝ f （ x ）， x ∈ A }；
①圖象上 的坐標（ x ， y ）都滿足函數關系 y ＝ f
（ x ）；
②滿足函數關系 y ＝ f （ x ）的點（ x ， y ）都在函數圖象 F 上.
任意一點　
（2） F 是函數 y ＝ f （ x ）的圖象，必須滿足下列條件：
2. 函數的表示法
【想一想】
所有的函數都能用解析法、列表法和圖象法表示嗎？為什么？
提示：并不是所有的函數都能用解析式表示；事實上，圖象法也不適
用于所有函數，如 D （ x ）＝列表法雖在理論上適用于所
有函數，但對于自變量有無數個取值的情況，列表法只能表示函數的
一個概況或片段.
1. 已知函數 y ＝ f （ x ），用列表法表示如下：
x －2 －1 0 2 3
y 5 2 1 3 4
則 f （－1）＋ f （2）＝（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 9
解析：　由列表可知 f （－1）＋ f （2）＝2＋3＝5.故選B.
2. 某人去上班，先跑步，后步行.如果 y 表示該人離單位的距離， x 表
示出發后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（　　）
解析：　由題意可知： x ＝0時所走的路程為0，離單位的距離為
最大值，排除A、C，隨著時間的增加，先跑步，開始時 y 隨 x 的變
化快，后步行，則 y 隨 x 的變化慢，所以適合的圖象為D. 故選D.
3. 一個面積為100 cm2的等腰梯形，上底長為 x cm，下底長為上底長的
3倍，則它的高 y 與 x 的函數關系為 .
解析：如圖等腰梯形 ABCD ，過點 A 作 AE ⊥
BC ，垂足為點 E ，由題意知， AD ＝ x ， BC ＝3
x ， AE ＝ y ，則等腰梯形 ABCD 的面積為 （ AD
＋ BC ）× AE ＝ （ x ＋3 x ）· y ＝100，即 y 與 x 的
函數關系為 y ＝ （ x ＞0）.
y ＝ （ x ＞0）　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 函數的表示法
【例1】　某商場新進了10臺彩電，每臺售價3 000元，試求售出臺
數 x 與收款數 y 之間的函數關系，分別用列表法、圖象法、解析法
表示出來.
解：（1）列表法：
x/臺 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/臺 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）圖象法：
（3）解析法： y ＝3 000 x ， x ∈{1，2，3，…，10}.
通性通法
函數的三種表示法的選擇和應用的注意點
　　解析法、圖象法和列表法分別從三個不同的角度刻畫了自變量與
函數值的對應關系.采用解析法的前提是變量間的對應關系明確，采用
圖象法的前提是函數的變化規律清晰，采用列表法的前提是定義域內
自變量的個數較少.
在應用三種方法表示函數時要注意：
（1）解析法必須注明函數的定義域；
（2）列表法必須羅列出所有的自變量與函數值的對應關系；
（3）圖象法必須清楚函數圖象是“點”還是“線”.
【跟蹤訓練】
已知函數 f （ x ）的對應關系如下表，函數 y ＝ g （ x ）的圖象為如圖所
示的曲線 ABC ，其中 A （1，3）， B （2，1）， C （3，2），則 f （ g
（2））＝（　　）
x 1 2 3
f （ x ） 2 3 0
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析：　觀察函數 y ＝ g （ x ）的圖象得： g （2）＝1，由表格知： f （1）＝2，所以 f （ g （2））＝2.故選B.
題型二 函數圖象的作法及應用
【例2】　作出下列函數的圖象并求出其值域：
（1） y ＝2 x ＋1， x ∈[0，2]；
解：當 x ∈[0，2]時，圖象是直線 y ＝2 x ＋1
的一部分圖（如圖①），觀察圖象可知，其值域為
[1，5].
（2） y ＝ ， x ∈[2，＋∞）；
解：當 x ∈[2，＋∞）時，圖象是反比
例函數 y ＝ 的一部分（如圖②），觀察圖
象可知其值域為（0，1].
（3） y ＝ x2＋2 x ， x ∈[－2，2].
解：當－2≤ x ≤2時，圖象是拋物線 y ＝ x2＋2
x 的一部分（如圖③）.
由圖象可得函數的值域為[－1，8].
通性通法
描點法作函數圖象的步驟
（1）列表：先找出一些有代表性的自變量 x 的值，再計算出與這些自
變量 x 相對應的函數值 f （ x ），并用表格的形式表示出來；
（2）描點：把第（1）步表格中的點（ x ， f （ x ））一一在平面直角
坐標系中描出來；
（3）連線：用光滑的曲線把這些點按自變量由小到大（或由大到
小）的順序連接起來.
提醒　（1）畫函數的圖象時要注意函數的定義域；（2）要作
出更精確的圖象，常常需要描出更多的點.
【跟蹤訓練】
1. 直角梯形 ABCD ，如圖①，動點 P 從 B 點出發，沿 B → C → D → A 運
動，設點 P 運動的路程為 x ，△ ABP 的面積為 f （ x ）.如果函數 y ＝ f
（ x ）的圖象如圖②所示，則△ ABC 的面積為 .
16
解析：由題意結合題圖②可知： BC ＝4， CD ＝9－
4＝5， AD ＝14－9＝5，
如圖，過 D 作 DG ⊥ AB 于點 G ，∴ AG ＝3，由此可
求出 AB ＝3＋5＝8. S△ ABC ＝ AB · BC ＝ ×8×4＝16.
2. 作出下列函數的圖象，并根據圖象求其值域：
（1）
x －4 －2 2 4
y 1 －3 2 3
解：該函數的圖象如圖①所示，由
圖象可知值域為{－3，1，2，3}.
（2） y ＝－ ， x ∈[－3，0）∪（0，1]；
解：作出函數 y ＝－ ， x ∈[－3，0）∪（0，1]的圖象，如圖②所示，
由圖象可知值域為（－∞，－4]∪ .
（3） y ＝ x2＋4 x ＋1， x ∈[－3，0].
解：作出函數 y ＝ x2
＋4 x ＋1， x ∈[－3，0]
的圖象，如圖③所示，由
圖象可知值域為[－3，1].
題型三 函數解析式的求法
角度1　已知函數的類型，求函數的解析式
【例3】　（1）已知一次函數 f （ x ）滿足 f （ f （ x ））＝4 x ＋6，則 f
（ x ）的解析式為 ；
f （ x ）＝2 x ＋2或 f （ x ）＝－2 x －6　
解析：設 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），則 f （ f （ x ））＝ f （ ax ＋ b ）
＝ a （ ax ＋ b ）＋ b ＝ a2 x ＋ ab ＋ b ＝4 x ＋6，于是有
所以 f （ x ）＝2 x ＋2或 f （ x ）＝－2 x －6.
（2）已知二次函數 f （ x ）滿足 f （0）＝1， f （1）＝2， f （2）＝5，
則該二次函數的解析式為 .
解析：設二次函數的解析式為 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
由題意得故 f （ x ）＝ x2＋1.
f （ x ）＝ x2＋1　
通性通法
待定系數法求函數解析式
　　已知函數的類型求函數解析式，常采用待定系數法，由題設條件
求待定系數.待定系數法求函數解析式的步驟如下：
（1）設出所求函數含有待定系數的解析式.如一次函數的解析式設為 f
（ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），反比例函數的解析式設為 f （ x ）＝
（ k ≠0），二次函數的解析式設為 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a
≠0）；
（2）把已知條件代入解析式，列出關于待定系數的方程或方程組；
（3）解方程或方程組，得到待定系數的值；
（4）將所求待定系數的值代回所設解析式.
【跟蹤訓練】
1. 已知 f （ x ）是反比例函數，且 f （－3）＝－1，則 f （ x ）的解析式
為（　　）
A. f （ x ）＝－ B. f （ x ）＝
C. f （ x ）＝3 x D. f （ x ）＝－3 x
解析：　設 f （ x ）＝ （ k ≠0），∵ f （－3）＝ ＝－1，∴ k ＝
3，∴ f （ x ）＝ . 故選B.
2. 已知 f （ x ）為二次函數，且滿足 f （0）＝1， f （ x －1）－ f （ x ）
＝4 x ，則 f （ x ）的解析式為（　　）
A. f （ x ）＝－2 x2－2 x ＋1
B. f （ x ）＝－2 x2＋2 x ＋1
C. f （ x ）＝－2 x2－2 x －1
D. f （ x ）＝2 x2－2 x ＋1
解析：　設 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），因為 f （0）＝1，所
以 c ＝1.又 f （ x －1）－ f （ x ）＝4 x ，所以有 a （ x －1）2＋ b （ x －
1）＋1－（ ax2＋ bx ＋1）＝4 x －2 ax ＋ a － b ＝4 x
解得 a ＝ b ＝－2.故選A.
角度2　已知 f （ g （ x ））的解析式，求 f （ x ）的解析式
【例4】　（1）已知函數 f （ x ＋1）＝ x2＋2 x ，則 f （ x ）的解析式為
（　C　）
A. f （ x ）＝ x2＋1 B. f （ x ）＝ x2＋2 x －1
C. f （ x ）＝ x2－1 D. f （ x ）＝ x2＋2 x ＋1
解析：法一（換元法）　令 x ＋1＝ t ，則 x ＝ t －1， t ∈R，所以 f
（ t ）＝（ t －1）2＋2（ t －1）＝ t2－1，即 f （ x ）＝ x2－1.
法二（配湊法）　因為 x2＋2 x ＝（ x2＋2 x ＋1）－1＝（ x ＋1）2－1，
所以 f （ x ＋1）＝（ x ＋1）2－1，即 f （ x ）＝ x2－1.
（2）已知 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，則 f （ x ）的解析式為
.
解析：法一（換元法）　令 t ＝ ＋1，則 x ＝（ t －1）2， t
≥1，
所以 f （ t ）＝（ t －1）2＋2（ t －1）＝ t2－1（ t ≥1），
所以函數的解析式為 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
法二（配湊法）　 f （ ＋1）＝ x ＋2 ＝ x ＋2 ＋1－1＝
（ ＋1）2－1.
因為 ＋1≥1，所以函數的解析式為 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
f （ x ）＝ x2
－1（ x ≥1）　
通性通法
換元法、配湊法求函數解析式
　　已知 f （ g （ x ））＝ h （ x ），求 f （ x ）的兩種方法：
（1）換元法：即令 t ＝ g （ x ），解出 x ，代入 h （ x ）中，得到一個
含 t 的解析式，再用 x 替換 t ，便得到 f （ x ）的解析式.利用換元
法解題時，換元后要確定新元 t 的取值范圍，即函數 f （ x ）的定
義域；
（2）配湊法：即從 f （ g （ x ））的解析式中配湊出“ g （ x ）”，即
用 g （ x ）來表示 h （ x ），然后將解析式中的 g （ x ）用 x 代替
即可.
【跟蹤訓練】
1. 設函數 f （ x ）＝4 x －5， g （2 x ＋1）＝ f （ x ），則函數 g （ x ）的
解析式是（　　）
A. g （ x ）＝2 x ＋1 B. g （ x ）＝2 x －1
C. g （ x ）＝2 x ＋5 D. g （ x ）＝2 x －7
解析：　∵ g （2 x ＋1）＝4 x －5＝2（2 x ＋1）－7，∴ g （ x ）＝
2 x －7.故選D.
2. 設函數 f （ x ）滿足 f （ ）＝ x ＋1，則 f （4）＝ .
解析：令 ＝ t ， t ≥0，則 x ＝ t2，因為函數 f （ x ）滿足 f （ ）
＝ x ＋1，所以 f （ t ）＝ t2＋1， t ≥0，所以 f （ x ）＝ x2＋1， x ≥0所
以 f （4）＝17.
17
角度3　消元（方程組）法求函數解析式
【例5】　（1）已知函數 f （ x ）滿足 f （ x ）＋2 f ＝ x ，則函數 f
（ x ）的解析式為 ；
解析：在已知等式中，將 x 換成 ，得 f ＋2 f （ x ）＝
消去 f ，得 f （ x ）＝－ ＋ .
f （ x ）＝－ ＋ 　
（2）已知 af （ x ）＋ f （－ x ）＝ bx ，其中 a ≠±1，則函數 f （ x ）的
解析式為 .
解析：在原式中以－ x 替換 x ，得 af （－ x ）＋ f （ x ）＝－ bx ，
于是得
消去 f （－ x ），得 f （ x ）＝ .
故 f （ x ）的解析式為 f （ x ）＝ x ， a ≠±1.
f （ x ）＝ x ， a ≠±1　
通性通法
消元法（或解方程組法）求函數解析式
　　在已知式子中，含有關于兩個不同變量的函數，而這兩個變量有
著某種關系，這時就要依據兩個變量的關系，建立一個新的關于這兩
個變量的式子，由兩個式子建立方程組，通過解方程組消去一個變
量，得到目標變量的解析式，這種方法稱為消元法（或解方程組法）.
即已知 f （ x ）與 f （φ（ x ））滿足的關系式，要求 f （ x ）時，可用φ
（ x ）代替兩邊的所有的 x ，得到關于 f （ x ）及 f （φ（ x ））的方程
組，解之即可求出 f （ x ）.
【跟蹤訓練】
已知函數 f （ x ）滿足 f （ x ）＋2 f （3－ x ）＝ x2，則 f （ x ）的解析式
為（　　）
A. f （ x ）＝ x2－12 x ＋18 B. f （ x ）＝ x2－4 x ＋6
C. f （ x ）＝6 x ＋9 D. f （ x ）＝2 x ＋3
解析：　用3－ x 代替原方程中的 x 得： f （3－ x ）＋2 f [3－（3－
x ）]＝ f （3－ x ）＋2 f （ x ）＝（3－ x ）2＝ x2－6 x ＋9，
∴
消去 f （3－ x ）得：－3 f （ x ）＝－ x2＋12 x －18，∴ f （ x ）＝ x2－4
x ＋6.故選B.
　函數圖象的三種變換
1. 函數圖象的平移變換
左加右減：函數 y ＝ f （ x ）的圖象沿 x 軸方向向左（ a ＞0）或向右
（ a ＜0）平移｜ a ｜個單位長度得到函數 y ＝ f （ x ＋ a ）的圖象.
上加下減：函數 y ＝ f （ x ）的圖象沿 y 軸方向向上（ b ＞0）或向下
（ b ＜0）平移｜ b ｜個單位長度得到函數 y ＝ f （ x ）＋ b 的圖象.
例如：函數 f （ x ）＝ x2，分別作出 y ＝ f （ x ＋1）， y ＝ f （ x －
1）， y ＝ f （ x ）＋1， y ＝ f （ x ）－1的圖象如圖所示.
圖象向左平移
一個單位長度　　　
圖象向右平移
一個單位長度
圖象向上平移
一個單位長度　　 　
圖象向下平移
一個單位長度
2. 函數圖象的對稱變換
（1） y ＝ f （ x ） y ＝－ f （ x ）；
（2） y ＝ f （ x ） y ＝ f （－ x ）；
（3） y ＝ f （ x ） y ＝－ f （－ x ）.
例如： f （ x ）＝ （ x ＞0），分別作出 y ＝－ f （ x ）， y ＝ f
（－ x ）， y ＝－ f （－ x ）的圖象如圖所示.
3. 函數圖象的翻折變換
（1） y ＝ f （ x ） y ＝｜ f （ x ）｜；
（2） y ＝ f （ x ） y ＝ f （｜
x ｜）.
例如：已知函數 y ＝ f （ x ）＝ x2－2 x －3，分別作出函數 y
＝｜ f （ x ）｜與 y ＝ f （｜ x ｜）的圖象如圖所示.
y ＝｜ f （ x ）｜的圖象為保留 y ＝ f （ x ）圖象在 x 軸上方的部
分，把 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折上去.
y ＝ f （｜ x ｜）的圖象為保留 y ＝ f （ x ）圖象在 y 軸右側的部
分，把 y 軸右側的圖象翻折到 y 軸左側.
【遷移應用】
畫出下列函數的大致圖象：
（1） y ＝ ；
解：因為 y ＝ ＝2－ ，所以可先作出函數 y ＝－ 的大致圖象，把圖象向左平移1個單位長度得到 y ＝－ 的圖象，再把所得圖象向上平移2個單位長度就得到了函數 y ＝ 的圖象，如圖①所示.
解：先作出 y ＝ x2－1的大致圖象，保留它在 x 軸及其上方的部分，再把它在 x 軸下方的部分沿 x 軸對稱翻折到 x 軸上方，所得的圖象就是函數 y ＝｜ x2－1｜的圖象，如圖②所示.
（2） y ＝｜ x2－1｜.
1. 若 f （ x ）是一次函數，2 f （2）－3 f （1）＝5，2 f （0）－ f （－1）
＝1，則 f （ x ）＝（　　）
A. 3 x ＋2 B. 3 x －2
C. 2 x ＋3 D. 2 x －3
解析：B設 f （ x ）＝ ax ＋ b ，由題設有
故選B.
2. 函數 y ＝－ 的大致圖象是（　　）
解析：　函數 y ＝－ 的圖象是由函數 y ＝－ 的圖象向左平移1
個單位長度得到的，而函數 y ＝－ 的圖象在第二、第四象限，結合
所給的四個圖象只有B符合，故選B.
3. 定義域為R的函數 f （ x ）滿足 f （ x ）＋2 f （－ x ）＝2 x ＋1，則 f
（ x ）＝（　　）
A. －2 x ＋1 B. 2 x －
C. 2 x －1 D. －2 x ＋
解析：　因為定義域為R的函數 f （ x ）滿足 f （ x ）＋2 f （－ x ）
＝2 x ＋1，
以－ x 替換 x 代入得 f （－ x ）＋2 f （ x ）＝－2 x ＋1，
聯立方程組
②×2－①消去 f （－ x ）得3 f （ x ）＝－6 x ＋1，
所以 f （ x ）＝－2 x ＋ .故選D.
4. （多選）已知 f （ x ＋2）＝ x2＋6 x ＋8且 f （ a ）＝3，則實數 a 的值
可能是（　　）
A. －3 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　∵ f （ x ＋2）＝ x2＋6 x ＋8＝（ x ＋2）2＋2（ x ＋2），
∴ f （ x ）＝ x2＋2 x ，∵ f （ a ）＝ a2＋2 a ＝3，∴ a ＝1或－3.故選
A、C.
5. 已知集合 A ＝{－1，0，1}， B ＝{0，1，2}，試寫出從 A 到 B 的一
個函數 h （ x ）＝ .
解析：令 h （ x ）＝ x ＋1，
則有 h （－1）＝0， h （0）＝1， h （1）＝2，滿足題意.
x ＋1（答案不唯一）
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知函數 f （ x －1）＝ x2＋2 x －3，則 f （ x ）＝（　　）
A. x2＋4 x B. x2＋4
C. x2＋4 x －6 D. x2－4 x －1
解析：　 f （ x －1）＝ x2＋2 x －3＝（ x －1）2＋4（ x －1），所以
f （ x ）＝ x2＋4 x .故選A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 下表表示 y 是 x 的函數，則函數的值域是（　　）
x x ＜2 2≤ x ≤3 x ＞3
y 1 0 1
A. { y ｜0≤ y ≤1} B. R
C. {0，1，1} D. {0，1}
解析：　由題意，該函數的值域是{0，1}.故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 已知函數 f （ x ）滿足2 f （ x ）＋ f ＝ x ，則 f （2）＝（　　）
A. B. 1
C. D. 2
解析：　由已知可得解得 f （ x ）＝
，其中 x ≠0，因此， f （2）＝ .故選C.
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4. 在△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ x ，周長為20，將△ ABC 的面積表示成 x 的
函數 S （ x ），則（　　）
A. S （ x ）＝ x （20－2 x ），5＜ x ＜10
B. S （ x ）＝ x （20－2 x ），0＜ x ＜10
C. S （ x ）＝（10－ x ） ，0＜ x ＜10
D. S （ x ）＝（10－ x ） ，5＜ x ＜10
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解析：　由題知△ ABC 是等腰三角形， S （ x ）＝ ×（20－2 x ）
× ＝（10－ x ） ，
又解得5＜ x ＜10.故選D.
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5. （多選）下列函數中，滿足 f （3 x ）＝3 f （ x ）的是（　　）
A. f （ x ）＝2｜ x ｜ B. f （ x ）＝ x －｜ x ｜
C. f （ x ）＝－ x D. f （ x ）＝ x ＋2
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解析：　對于A： f （ x ）＝2｜ x ｜，因為 f （3 x ）＝2｜3
x ｜，3 f （ x ）＝2｜3 x ｜，所以 f （3 x ）＝3 f （ x ），故A正確；對
于B： f （ x ）＝ x －｜ x ｜，因為 f （3 x ）＝3 x －｜3 x ｜＝3（ x
－｜ x ｜）＝3 f （ x ），所以滿足 f （3 x ）＝3 f （ x ），故B正確；
對于C： f （ x ）＝－ x ，因為 f （3 x ）＝－3 x ＝3 f （ x ），所以滿足
f （3 x ）＝3 f （ x ），故C正確；對于D： f （ x ）＝ x ＋2，因為 f （3
x ）＝3 x ＋2，而3 f （ x ）＝3 x ＋6，所以 f （3 x ）≠3 f （ x ），故D
不正確.故選A、B、C.
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6. 若函數 f ＝ x ，則 f （ x ）＝ 　 （ x ≠－1）　.
解析：令 t ＝ ＝ －1，則 t ≠－1，∴ x ＝ －1，故 f （ t ）＝
－1＝ ，∴ f （ x ）＝ （ x ≠－1）.
（ x ≠－1）　
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7. 將函數 y ＝ x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長
度，所得圖象對應的函數解析式是 .
解析：函數 y ＝ x2的圖象向左平移1個單位長度，得到 y ＝（ x ＋1）
2，再向下平移2個單位長度，得到 y ＝（ x ＋1）2－2.
y ＝（ x ＋1）2－2　
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8. 一個彈簧不掛物體時長12 cm，掛上物體后會伸長，伸長的長度與
所掛物體的質量成正比.如果掛上3 kg物體后彈簧總長是13.5 cm，則
彈簧總長 y （cm）與所掛物體質量 x （kg）之間的函數解析式為
.
解析：設所求函數解析式為 y ＝ kx ＋12（ k ≠0），把 x ＝3， y ＝
13.5代入，得13.5＝3 k ＋12，解得 k ＝ ，所以所求的函數解析式為
y ＝ x ＋12（ x ≥0）.
y ＝ x ＋12（ x ≥0）　
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9. 已知 f （ x ）是二次函數.且 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝2 x2－4 x .求 f
（ x ）的解析式.
解：設 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
則 f （ x ＋1）＝ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋ c ＝ ax2＋（2 a ＋ b ） x
＋ a ＋ b ＋ c ，
f （ x －1）＝ a （ x －1）2＋ b （ x －1）＋ c ＝ ax2＋（－2 a ＋ b ） x
＋ a － b ＋ c ，
所以 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝2 ax2＋2 bx ＋2 a ＋2 c ，又 f （ x ＋1）
＋ f （ x －1）＝2 x2－4 x ，
因此所以 f （ x ）＝ x2－2 x －1.
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10. 若函數 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3－ c 的最小值為2 024，則 f （ x ＋2
025）的最小值是 .
解析：函數 f （ x ＋2 025）的圖象可由函數 f （ x ）的圖象向左平移
2 025個單位長度得到，因此兩函數的最小值相同，均為2 024，故
f （ x ＋2 025）的最小值是2 024.
2 024
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11. 已知函數 y ＝ f （ x ）（ x ∈R）的圖象如圖所示，則不等式 xf
（ x ）＜0的解集為 .
解析：不等式 xf （ x ）＜0等價為
或
解得1＜ x ＜3，或－1＜ x ＜0，
故不等式 xf （ x ）＜0的解集為（－1，0）∪（1，3）.
（－1，0）∪（1，3）　
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12. 已知函數 f （ x ＋1）＝ .
（1）求函數 f （ x ）的解析式；
解：函數 f （ x ＋1）＝ ，設 u ＝ x ＋1，則 x ＝ u－1，
則 f （ u ）＝ ＝ ＝ u ＋ ＋3，則
f （ x ）＝ x ＋ ＋3，
所以函數 f （ x ）的解析式 f （ x ）＝ x ＋ ＋3.
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（2）若 x ＞0時，不等式 f （ x ）＜ t 無解，求 t 的取值范圍.
解：由（1）知， f （ x ）＝ x ＋ ＋3，當 x ＞0時， f
（ x ）＝ x ＋ ＋3≥2 ＋3＝7，當且僅當 x ＝2時取
“＝”，因此，當 x ＝2時， f （ x ）min＝7，
若 x ＞0時，不等式 f （ x ）＜ t 無解，即 t ≤ f （ x ）恒成立，
則有 t ≤ f （ x ）min＝7，
所以 t 的取值范圍為（－∞，7].
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13. 函數 f （ x ）的定義域為[－1，1]，圖象如圖①所示，函數 g （ x ）
的定義域為[－1，2]，圖象如圖②所示.若集合 A ＝{ x ｜ f （ g
（ x ））＝0}， B ＝{ x ｜ g （ f （ x ））＝0}，則 A ∪ B 中有
個元素.
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解析：由圖象可得，若 f （ g （ x ））＝0，則 g （ x ）＝－1或 g
（ x ）＝0或 g （ x ）＝1，
由 g （ x ）＝－1知 x 不存在；
由 g （ x ）＝0得 x ＝0或 x ＝2，
由 g （ x ）＝1得 x ＝－1或 x ＝1，
所以 x ＝－1或 x ＝0或 x ＝1或 x ＝2，
所以 A ＝{ x ｜ f （ g （ x ））＝0}＝{－1，0，1，2}；
若 g （ f （ x ））＝0，則 f （ x ）＝0或 f （ x ）＝2，
所以 x ＝－1或 x ＝0或 x ＝1，
所以 B ＝{ x ｜ g （ f （ x ））＝0}＝{－1，0，1}，
所以 A ∪ B ＝{－1，0，1，2}，共4個元素.
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14. 某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩
健型產品的年收益 f （ x ）與投資額 x 成正比，其關系如圖①；投
資股票等風險型產品的年收益 g （ x ）與投資額 x 的算術平方根成
正比，其關系如圖②.
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（1）分別寫出兩種產品的年收益 f （ x ）和 g （ x ）的函數關
系式；
解：依題意：可設 f （ x ）＝ k1 x （ x ≥0），
g （ x ）＝ k2 （ x ≥0），
由題意知 f （1）＝ k1＝ ， g （1）＝ k2＝ ，所以 f （ x ）＝
x （ x ≥0）， g （ x ）＝ （ x ≥0）.
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（2）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配
資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？
解：設投資債券類產品 x 萬元，則股票類投資為（20－
x ）萬元，年收益為 y 萬元，
依題意得： y ＝ f （ x ）＋ g （20－ x ），
即 y ＝ ＋ （0≤ x ≤20），令 t ＝ ，
則 x ＝20－ t2， t ∈[0，2 ]，
則 y ＝ ＋ ＝－ （ t －2）2＋3， t ∈[0，2 ]，
所以當 t ＝2，即 x ＝16時， y 取最大值，為3.
故應投資債券類產品16萬元，股票類產品4萬元年收益最
大，最大年收益為3萬元.
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