資源簡介

第三課時　分段函數
1.已知函數y＝f（x）表示為
x [－2，0） 0 （0，2]
y 1 0 －2
設f（1）＝m，f（x）的值域為M，則（　　）
A.m＝－2，M＝{－2，0，1}
B.m＝－2，M＝{y｜－2≤y≤1}
C.m＝1，M＝{－2，0，1}
D.m＝1，M＝{y｜－2≤y≤1}
2.已知函數f（x）＝則f（f（3））＝（　　）
A.1 B.3
C.－1 D.－3
3.函數f（x）＝x2－2｜x｜的圖象是（　　）
4.已知函數f（x）＝若f（a）＋f（1）＝0，則實數a的值等于（　　）
A.－1 B.－2
C.1 D.3
5.（多選）已知函數f（x）＝關于函數f（x）的結論正確的是（　　）
A.f（x）的最大值為3
B.f（0）＝2
C.若f（x）＝－1，則x＝2
D.f（x）＜2的解集為（－∞，0）∪（1，＋∞）
6.已知函數f（x）＝則f（－1）＝　　　　.
7.已知函數f（x）的圖象是兩條線段（如圖所示，不含端點），則f＝　　　　.
8.某公司招聘員工，面試人數按擬錄用人數分段計算，計算公式為y＝其中x代表擬錄用人數，y代表面試人數.若面試人數為60，則該公司擬錄用人數為　　　　.
9.已知f（x）＝
（1）畫出f（x）的圖象；
（2）若f（x）≥，求x的取值范圍；
（3）求f（x）的值域.
10.已知f（x）＝則不等式xf（x）＋x≤2的解集是（　　）
A.{x｜x≤1} B.{x｜x≤2}
C.{x｜0≤x≤1} D.{x｜x＜0}
11.若定義運算a☉b＝則函數f（x）＝x☉（2－x）的值域是　　　　.
12.對定義域分別是Df，Dg的函數y＝f（x），y＝g（x），規定：函數h（x）＝
（1）若函數f（x）＝－2x＋3，x≥1；g（x）＝x－2，x∈R，寫出函數h（x）的解析式；
（2）求（1）中函數h（x）的最大值.
13.2024年3月，某人的工資應納稅所得額是11 000元，納稅標準按如下表格，則他應該納稅　　　　元.
納稅 級數 應納稅所得額 稅率 （％）
1 不超過3 000元的部分 3％
2 超過3 000元至12 000元的部分 10％
14.如圖，在同一平面上，已知等腰直角三角形紙片ABC的腰長為3，正方形紙片CDEF的邊長為1，其中B、C、D三點在同一水平線上依次排列.把正方形紙片向左平移a個單位，0＜a≤3.設兩張紙片重疊部分的面積為S.
（1）求S關于a的函數解析式；
（2）若S＝，求a的值.
第三課時　分段函數
1.A　根據題意得f（1）＝－2＝m，f（x）的值域為M＝{－2，0，1}.故選A.
2.D　因為f（x）＝則f（3）＝－＝－1，故f（f（3））＝f（－1）＝－1－2＝－3.故選D.
3.C　f（x）＝分段畫出，應選C.
4.B　當a＞0時，由f（a）＋f（1）＝0 a2＋1＝0，該方程無實根；當a≤0時，f（a）＋f（1）＝0 a＋1＋1＝0 a＝－2，顯然符合a≤0，故選B.
5.BD　畫出函數f（x）＝的圖象如圖，
可知f（x）≠3，A選項錯誤；f（0）＝0＋2＝2，B選項正確；當x＜1時，f（x）＝x＋2＝－1，解得x＝－3，當x＞1時，f（x）＝－x2＋3＝－1，解得x＝2，C選項錯誤；當x＜1時，f（x）＝x＋2＜2，解得x＜0，當x＞1時，f（x）＝－x2＋3＜2，解得x＞1，D選項正確；故選B、D.
6.－1　解析：由題意可知f（－1）＝f（－1＋2）＝f（1）＝2－3＝－1.
7.　解析：由題圖可知，函數f（x）的解析式為f（x）＝所以f＝－1＝－，所以f＝f＝－＋1＝.
8.25　解析：令y＝60，若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40＜100，不合題意.故該公司擬錄用25人.
9.解：（1）利用描點法，作出f（x）的圖象，如圖所示.
（2）由于f＝，結合此函數圖象可知，使f（x）≥的x的取值范圍是∪.
（3）由圖象知，當－1≤x≤1時，f（x）＝x2的值域為[0，1]，
當x＞1或x＜－1時，f（x）＝1.
所以f（x）的值域為[0，1].
10.A　當x≥0時，f（x）＝1，
xf（x）＋x≤2 x≤1，
所以0≤x≤1；
當x＜0時，f（x）＝0，xf（x）＋x≤2 x≤2，
所以x＜0，綜上，x≤1.
11.（－∞，1]　解析：由題意知f（x）＝
畫出圖象，如圖所示.
由圖易得值域為（－∞，1].
12.解：（1）h（x）＝
（2）當x≥1時，h（x）＝－2x2＋7x－6
＝－2＋，
∴h（x）≤.
當x＜1時，h（x）＜－1，
∴當x＝時，h（x）取最大值且最大值是.
13.890　解析：由題得應納稅3 000×3％＋（11 000－3 000）×10％＝890（元）.
14.解：（1）如圖，延長EF交AB于點G，易得Rt△AFG∽Rt△ACB，又AC＝3FC＝3，
則＝＝，
所以FG＝2，
當0＜a≤1時，S＝a；
當1＜a≤2時，S＝1；
當2＜a≤3時，S＝1－（a－2）2＝－＋2a－1.
綜上，S＝
（2）由（1）知：在（0，1]上，S＝a＝；
在（2，3]上，S＝－＋2a－1＝，整理得4a2－16a＋15＝（2a－3）（2a－5）＝0，
解得a＝（舍）或a＝.
綜上，a＝或a＝.
1 / 2第三課時　分段函數
新課程標準解讀 核心素養
通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用 數學抽象、直觀想象、數學運算
　　某市空調公共汽車的票價按下列規則制定：
　　（1）5千米以內（含5千米），票價2元；
　　（2）5千米以上，每增加5千米，票價增加1元（不足5千米的按5千米計算）.
　　已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1千米，沿途（包括起點站和終點站）有11個汽車站.
【問題】　（1）從起點站出發，公共汽車的行程x（千米）與票價y（元）有函數關系嗎？
（2）函數的表達式是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　分段函數
1.分段函數的定義
如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同取值區間，有　　　　　　　　　，則稱其為分段函數.
2.分段函數的圖象
分段函數有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成.在同一直角坐標系中，根據每段的定義區間和表達式依次畫出圖象，要注意每段圖象的端點是空心點還是實心點，組合到一起就得到整個分段函數的圖象.
3.常數函數
值域　　　　　　元素的函數，通常稱為常數函數.
提醒　分段函數應注意4點：①分段函數是一個函數，而不是幾個函數.處理分段函數問題時，要先確定自變量的取值在哪個區間，從而選取相應的對應關系；
②分段函數在書寫時用大括號把各段函數合并寫成一個函數的形式，并且必須指明各段函數自變量的取值范圍；
③分段函數的定義域是所有自變量取值區間的并集.分段函數的定義域只能寫成一個集合的形式，不能分開寫成幾個集合的形式；
④分段函數的值域是各段函數在對應自變量的取值范圍內值域的并集.
1.已知函數f（x）＝則f（f（－1））的值為（　　）
A.3　　　　　　　 B.0
C.－1 D.－2
2.函數f（x）＝的值域是（　　）
A.R B.[－1，1]
C.{－1，1} D.{－1，0，1}
3.下列圖形是函數y＝x｜x｜的圖象的是　　　　（填序號）.
題型一 分段函數的定義域、值域
【例1】　（1）已知函數f（x）＝，則其定義域為（　　）
A.R
B.（0，＋∞）
C.（－∞，0）
D.（－∞，0）∪（0，＋∞）
（2）函數f（x）＝的定義域為　　　　，值域為　　　　.
嘗試解答
通性通法
1.分段函數定義域、值域的求法
（1）分段函數的定義域是各段函數定義域的并集；
（2）分段函數的值域是各段函數值域的并集.
2.絕對值函數的定義域、值域通常要轉化為分段函數來解決.
【跟蹤訓練】
函數f（x）＝的值域是（　　）
A.R　　　　　　　 B.[0，＋∞）
C.[0，3] D.[0，2]∪{3}
題型二 分段函數求值問題
【例2】　已知函數f（x）＝
（1）求f的值；
（2）若f（a）＝，求a的值.
嘗試解答
通性通法
分段函數問題的常見解法
（1）求分段函數的函數值的方法：先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值.當出現f（f（a））的形式時，應從內到外依次求值；
（2）已知分段函數的函數值，求自變量的值的方法：先假設自變量的值在分段函數定義域的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要檢驗；
（3）在分段函數的前提下，求某條件下自變量的取值范圍的方法：先假設自變量的值在分段函數定義域的各段上，然后求出在相應各段定義域上自變量的取值范圍，再求它們的并集即可.
【跟蹤訓練】
1.已知函數f（x）＝則f（6）＝（　　）
A.－2　　　　　　　　 B.0
C.1 D.2
2.設f（x）＝若f（x）＝3，則x＝（　　）
A.1 B.±
C. D.
3.設f（x）＝若f（x）＞－1，則實數x的取值范圍為（　　）
A.（－∞，－1）
B.（0，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（0，＋∞）
D.（－1，0）
題型三 分段函數的圖象及應用
【例3】　分別作出下列分段函數的圖象，并寫出定義域及值域.
（1）y＝
（2）y＝
嘗試解答
通性通法
分段函數圖象的畫法
（1）對含有絕對值的函數，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數轉化為分段函數，然后分段作出函數圖象；也可以利用翻折變換作出圖象；
（2）作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.
【跟蹤訓練】
1.函數f（x）＝x＋的圖象是（　　）
2.設x∈R，則函數y＝2｜x－1｜－3｜x｜的值域為　　　　.
1.19世紀德國數學家狄利克雷提出一個運用廣泛的狄利克雷函數D（x）＝，則D{D[D（π）]}＝（　　）
A.0　　　　　　　 B.1
C.π D.π2
2.函數y＝的圖象的大致形狀是（　　）
3.若函數f（x）＝則f（2）＝（　　）
A.2　 B.3　
C.4　 D.5
4.（多選）已知函數f（x）＝若f（a）＝10，則a的值可以是 （　　）
A.－3 B.3
C.0 D.5
5.已知函數f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式是　　　　.
第三課時　分段函數
【基礎知識·重落實】
知識點
1.不同的對應方式　3.只有一個
自我診斷
1.D　由題意得，f（－1）＝（－1）2－2×（－1）＝3，則f（f（－1））＝f（3）＝－3＋1＝－2.故選D.
2.D　∵函數f（x）＝∴函數值只有三個數：－1，0，1.∴函數f（x）的值域為{－1，0，1}，故選D.
3.④　解析：y＝故只有④符合.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）D　（2）（－1，1）　（－1，1）
解析：（1）要使f（x）有意義，需x≠0，
故定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）由已知定義域為{x｜0＜x＜1}∪{0}∪{x｜－1＜x＜0}＝{x｜－1＜x＜1}，即（－1，1）.又0＜x＜1時，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0時，－1＜x2－1＜0，x＝0時，f（x）＝0，故值域為（－1，0）∪{0}∪（0，1）＝（－1，1）.
跟蹤訓練
　D　當x∈[0，1]時，f（x）＝2x2∈[0，2]，所以函數f（x）的值域為[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}.
【例2】　解：（1）因為f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
（2）f（a）＝，若｜a｜≤1，則｜a－1｜－2＝，
得a＝或a＝－.
因為｜a｜≤1，所以a的值不存在；
若｜a｜＞1，則＝，得a＝±，符合｜a｜＞1.
所以若f（a）＝，a的值為±.
跟蹤訓練
1.A　根據分段函數可知：f（6）＝f（5）＝f（4）＝f（3）＝f（2）＝f（1）＝－2.故選A.
2.D　若即無解；
若即所以x＝；
若即無解.綜上x＝.故選D.
3.C　當x≥0時，f（x）＝x－1＞－1，解得x＞0；當x＜0時，f（x）＝＞－1，解得x＜－1.綜上，實數x的取值范圍為x＜－1或x＞0.故選C.
【例3】　解：各函數對應圖象如圖所示：
由圖象知，（1）的定義域是（0，＋∞），值域是[1，＋∞）.
（2）的定義域是（－∞，＋∞），值域是（－6，6].
跟蹤訓練
1.C　依題意，知f（x）＝x＋＝所以函數f（x）的圖象為選項C中的圖象.故選C.
2.（－∞，2]　解析：當x≥1時，y＝2（x－1）－3x＝－x－2；
當0≤x＜1時，y＝－2（x－1）－3x＝－5x＋2；
當x＜0時，y＝－2（x－1）＋3x＝x＋2.
故y＝
根據函數解析式作出函數圖象，如圖所示.
由圖象可以看出，函數的值域為（－∞，2].
隨堂檢測
1.B　因為π Q，所以D（π）＝0，則D{D[D（π）]}＝D[D（0）]＝D（1）＝1，故選B.
2.A　因為y＝＝所以函數的圖象為A.
3.B　∵f（x）＝∴f（2）＝f（2＋2）＝f（4）＝f（4＋2）＝f（6）＝6－3＝3.故選B.
4.AD　當a≤0時，f（a）＝a2＋1＝10，解得a＝3（舍去）或a＝－3，當a＞0時，f（a）＝2a＝10，解得a＝5，符合，綜上，a＝－3或5.故選A、D.
5.f（x）＝　解析：由題圖可知，f（x）的圖象是由兩條線段組成的.當－1≤x＜0時，設f（x）＝ax＋b，將（－1，0），（0，1）代入解析式，得解得
當0≤x≤1時，設f（x）＝kx，將（1，－1）代入，得k＝－1.
所以f（x）的解析式為f（x）＝
5 / 5(共59張PPT)
第三課時　分段函數
新課程標準解讀 核心素養
通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能
簡單應用 數學抽象、直觀想
象、數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　（2）5千米以上，每增加5千米，票價增加1元（不足5千米的按5千米計算）.
　　已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1千米，沿途（包括起點站和終點站）有11個汽車站.
　　某市空調公共汽車的票價按下列規則制定：
　　（1）5千米以內（含5千米），票價2元；
（2）函數的表達式是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【問題】　（1）從起點站出發，公共汽車的行程 x （千米）與票價 y
（元）有函數關系嗎？
知識點　分段函數
1. 分段函數的定義
如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同取值區間，有
，則稱其為分段函數.
不同的對應方式　
2. 分段函數的圖象
分段函數有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成.在同一直角坐標
系中，根據每段的定義區間和表達式依次畫出圖象，要注意每段
圖象的端點是空心點還是實心點，組合到一起就得到整個分段函
數的圖象.
3. 常數函數
值域 元素的函數，通常稱為常數函數.
提醒　分段函數應注意4點：①分段函數是一個函數，而不是幾個
函數.處理分段函數問題時，要先確定自變量的取值在哪個區間，從
而選取相應的對應關系；
只有一個　
②分段函數在書寫時用大括號把各段函數合并寫成一個函數的形
式，并且必須指明各段函數自變量的取值范圍；
③分段函數的定義域是所有自變量取值區間的并集.分段函數的定義
域只能寫成一個集合的形式，不能分開寫成幾個集合的形式；
④分段函數的值域是各段函數在對應自變量的取值范圍內值域的
并集.
1. 已知函數 f （ x ）＝則 f （ f （－1））的值為
（　　）
A. 3 B. 0
C. －1 D. －2
解析：　由題意得， f （－1）＝（－1）2－2×（－1）＝3，則 f
（ f （－1））＝ f （3）＝－3＋1＝－2.故選D.
2. 函數 f （ x ）＝的值域是（　　）
A. R B. [－1，1]
C. {－1，1} D. {－1，0，1}
解析：　∵函數 f （ x ）＝∴函數值只有三個數：－
1，0，1.∴函數 f （ x ）的值域為{－1，0，1}，故選D.
3. 下列圖形是函數 y ＝ x ｜ x ｜的圖象的是 （填序號）.
解析： y ＝故只有④符合.
④
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 分段函數的定義域、值域
【例1】　（1）已知函數 f （ x ）＝ ，則其定義域為（　D　）
A. R B. （0，＋∞）
C. （－∞，0） D. （－∞，0）∪（0，＋∞）
解析：要使 f （ x ）有意義，需 x ≠0，
故定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）函數 f （ x ）＝的定義域為
，值域為 .
解析：由已知定義域為{ x ｜0＜ x ＜1}∪{0}∪{ x ｜－1＜ x ＜0}
＝{ x ｜－1＜ x ＜1}，即（－1，1）.又0＜ x ＜1時，0＜－ x2＋1
＜1，－1＜ x ＜0時，－1＜ x2－1＜0， x ＝0時， f （ x ）＝0，故
值域為（－1，0）∪{0}∪（0，1）＝（－1，1）.
（－1，
1）　
（－1，1）　
通性通法
1. 分段函數定義域、值域的求法
（1）分段函數的定義域是各段函數定義域的并集；
（2）分段函數的值域是各段函數值域的并集.
2. 絕對值函數的定義域、值域通常要轉化為分段函數來解決.
【跟蹤訓練】
函數 f （ x ）＝的值域是（　　）
A. R B. [0，＋∞）
C. [0，3] D. [0，2]∪{3}
解析：　當 x ∈[0，1]時， f （ x ）＝2 x2∈[0，2]，所以函數 f （ x ）
的值域為[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}.
題型二 分段函數求值問題
【例2】　已知函數 f （ x ）＝
（1）求 f 的值；
解：因為 f ＝ －2＝－ ，
所以 f ＝ f ＝ ＝ .
（2）若 f （ a ）＝ ，求 a 的值.
解：f （ a ）＝ ，若｜ a ｜≤1，則｜ a －1｜－2＝ ，
得 a ＝ 或 a ＝－ .
因為｜ a ｜≤1，所以 a 的值不存在；
若｜ a ｜＞1，則 ＝ ，得 a ＝± ，符合｜ a ｜＞1.
所以若 f （ a ）＝ ， a 的值為± .
通性通法
分段函數問題的常見解法
（1）求分段函數的函數值的方法：先確定要求值的自變量的取值屬
于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值.當出現 f （ f
（ a ））的形式時，應從內到外依次求值；
（2）已知分段函數的函數值，求自變量的值的方法：先假設自變量
的值在分段函數定義域的各段上，然后求出相應自變量的值，
切記要檢驗；
（3）在分段函數的前提下，求某條件下自變量的取值范圍的方法：
先假設自變量的值在分段函數定義域的各段上，然后求出在相
應各段定義域上自變量的取值范圍，再求它們的并集即可.
【跟蹤訓練】
1. 已知函數 f （ x ）＝則 f （6）＝（　　）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　根據分段函數可知： f （6）＝ f （5）＝ f （4）＝ f （3）
＝ f （2）＝ f （1）＝－2.故選A.
2. 設 f （ x ）＝若 f （ x ）＝3，則 x ＝（　　）
A. 1 B. ±
C. D.
解析：　若無解；
若所以 x ＝ ；
若無解.
綜上 x ＝ .故選D.
3. 設 f （ x ）＝若 f （ x ）＞－1，則實數 x 的取值范
圍為（　　）
A. （－∞，－1）
B. （0，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（0，＋∞）
D. （－1，0）
解析：　當 x ≥0時， f （ x ）＝ x －1＞－1，解得 x ＞0；當 x ＜0
時， f （ x ）＝ ＞－1，解得 x ＜－1.綜上，實數 x 的取值范圍為 x ＜
－1或 x ＞0.故選C.
題型三 分段函數的圖象及應用
【例3】　分別作出下列分段函數的圖象，并寫出定義域及值域.
（1） y ＝
解：各函數對應圖象如圖所示：
由圖象知，（1）的定義域是
（0，＋∞），值域是[1，＋
∞）.
（2） y ＝
解：的定義域是（－∞，＋∞），值域是（－6，6].
通性通法
分段函數圖象的畫法
（1）對含有絕對值的函數，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意
義去掉絕對值符號，將函數轉化為分段函數，然后分段作出函
數圖象；也可以利用翻折變換作出圖象；
（2）作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖
象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內
的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證
不重不漏.
【跟蹤訓練】
1. 函數 f （ x ）＝ x ＋ 的圖象是（　　）
解析：　依題意，知 f （ x ）＝ x ＋ ＝所以
函數 f （ x ）的圖象為選項C中的圖象.故選C.
2. 設 x ∈R，則函數 y ＝2｜ x －1｜－3｜ x ｜的值域為 .
解析：當 x ≥1時， y ＝2（ x －1）－3 x ＝－ x －2；
當0≤ x ＜1時， y ＝－2（ x －1）－3 x ＝－5 x ＋2；
當 x ＜0時， y ＝－2（ x －1）＋3 x ＝ x ＋2.
故 y ＝
根據函數解析式作出函數圖象，如圖所示.
由圖象可以看出，函數的值域為（－∞，2].
（－∞，2]　
1.19世紀德國數學家狄利克雷提出一個運用廣泛的狄利克雷函數 D
（ x ）＝，則 D { D [ D （π）]}＝（　　）
A. 0 B. 1
C. π D. π2
解析：　因為π Q，所以 D （π）＝0，則 D { D [ D （π）]}＝ D [ D
（0）]＝ D （1）＝1，故選B.
2. 函數 y ＝ 的圖象的大致形狀是（　　）
解析：　因為 y ＝ ＝所以函數的圖象為A.
3. 若函數 f （ x ）＝則 f （2）＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析：　∵ f （ x ）＝∴ f （2）＝ f （2＋2）＝ f
（4）＝ f （4＋2）＝ f （6）＝6－3＝3.故選B.
4. （多選）已知函數 f （ x ）＝若 f （ a ）＝10，則 a
的值可以是（　　）
A. －3 B. 3
C. 0 D. 5
解析：　當 a ≤0時， f （ a ）＝ a2＋1＝10，解得 a ＝3（舍去）
或 a ＝－3，當 a ＞0時， f （ a ）＝2 a ＝10，解得 a ＝5，符合，綜
上， a ＝－3或5.故選A、D.
5. 已知函數 f （ x ）的圖象如圖所示，則 f （ x ）的解析式是
.
f （ x ）＝
　
解析：由題圖可知， f （ x ）的圖象是由兩條線段組成的.當－
1≤ x ＜0時，設 f （ x ）＝ ax ＋ b ，將（－1，0），（0，1）代
入解析式，
得
解得
當0≤ x ≤1時，設 f （ x ）＝ kx ，將（1，－1）代入，得 k ＝－1.
所以 f （ x ）的解析式為 f （ x ）＝
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知函數 y ＝ f （ x ）表示為
x [－2，0） 0 （0，2]
y 1 0 －2
設 f （1）＝ m ， f （ x ）的值域為 M ，則（　　）
A. m ＝－2， M ＝{－2，0，1}
B. m ＝－2， M ＝{ y ｜－2≤ y ≤1}
C. m ＝1， M ＝{－2，0，1}
D. m ＝1， M ＝{ y ｜－2≤ y ≤1}
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解析：　根據題意得 f （1）＝－2＝ m ， f （ x ）的值域為 M ＝{－2，0，1}.故選A.
2. 已知函數 f （ x ）＝則 f （ f （3））＝（　　）
A. 1 B. 3
C. －1 D. －3
解析：　因為 f （ x ）＝則 f （3）＝－ ＝－1，故
f （ f （3））＝ f （－1）＝－1－2＝－3.故選D.
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3. 函數 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜的圖象是（　　）
解析：　 f （ x ）＝分段畫出，應選C.
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4. 已知函數 f （ x ）＝若 f （ a ）＋ f （1）＝0，則實數
a 的值等于（　　）
A. －1 B. －2
C. 1 D. 3
解析：　當 a ＞0時，由 f （ a ）＋ f （1）＝0 a2＋1＝0，該方程
無實根；當 a ≤0時， f （ a ）＋ f （1）＝0 a ＋1＋1＝0 a ＝－2，
顯然符合 a ≤0，故選B.
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5. （多選）已知函數 f （ x ）＝關于函數 f （ x ）的
結論正確的是（　　）
A. f （ x ）的最大值為3
B. f （0）＝2
C. 若 f （ x ）＝－1，則 x ＝2
D. f （ x ）＜2的解集為（－∞，0）∪（1，＋∞）
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解析：　畫出函數 f （ x ）＝
的圖象如圖，
可知 f （ x ）≠3，A選項錯誤； f （0）＝0＋2
＝2，B選項正確；當 x ＜1時， f （ x ）＝ x ＋2
＝－1，解得 x ＝－3，當 x ＞1時， f （ x ）＝－
x2＋3＝－1，解得 x ＝2，C選項錯誤；當 x ＜1
時， f （ x ）＝ x ＋2＜2，解得 x ＜0，當 x ＞1
時， f （ x ）＝－ x2＋3＜2，解得 x ＞1，D選項
正確；故選B、D.
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6. 已知函數 f （ x ）＝則 f （－1）＝ .
解析：由題意可知 f （－1）＝ f （－1＋2）＝ f （1）＝2－3＝－1.
－1
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7. 已知函數 f （ x ）的圖象是兩條線段（如圖所示，不含端點），則 f
＝ 　 　.

解析：由題圖可知，函數 f （ x ）的解析式為 f （ x ）＝
所以 f ＝ －1＝－ ，
所以 f ＝ f ＝－ ＋1＝ .
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8. 某公司招聘員工，面試人數按擬錄用人數分段計算，計算公式為 y
＝其中 x 代表擬錄用人數， y 代
表面試人數.若面試人數為60，則該公司擬錄用人數為 .
解析：令 y ＝60，若4 x ＝60，則 x ＝15＞10，不合題意；若2 x ＋10
＝60，則 x ＝25，滿足題意；若1.5 x ＝60，則 x ＝40＜100，不合題
意.故該公司擬錄用25人.
25
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9. 已知 f （ x ）＝
（1）畫出 f （ x ）的圖象；
解：利用描點法，作出 f （ x ）的圖
象，如圖所示.
（2）若 f （ x ）≥ ，求 x 的取值范圍；
解：由于 f ＝ ，結合此函數圖象可知，使 f （ x ）
≥ 的 x 的取值范圍是 ∪ .
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（3）求 f （ x ）的值域.
解：由圖象知，當－1≤ x ≤1時， f （ x ）＝ x2的值域為
[0，1]，
當 x ＞1或 x ＜－1時， f （ x ）＝1.
所以 f （ x ）的值域為[0，1].
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10. 已知 f （ x ）＝則不等式 xf （ x ）＋ x ≤2的解集是
（　　）
A. { x ｜ x ≤1} B. { x ｜ x ≤2}
C. { x ｜0≤ x ≤1} D. { x ｜ x ＜0}
解析：　當 x ≥0時， f （ x ）＝1，
xf （ x ）＋ x ≤2 x ≤1，所以0≤ x ≤1；
當 x ＜0時， f （ x ）＝0， xf （ x ）＋ x ≤2 x ≤2，
所以 x ＜0，綜上， x ≤1.
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11. 若定義運算 a ☉ b ＝則函數 f （ x ）＝ x ☉（2－ x ）的值
域是 .
解析：由題意知 f （ x ）＝
畫出圖象，如圖所示.
由圖易得值域為（－∞，1].
（－∞，1]　
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12. 對定義域分別是 Df ， Dg 的函數 y ＝ f （ x ）， y ＝ g （ x ），規定：
函數 h （ x ）＝
（1）若函數 f （ x ）＝－2 x ＋3， x ≥1； g （ x ）＝ x －2， x ∈R，
寫出函數 h （ x ）的解析式；
解：h （ x ）＝
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（2）求（1）中函數 h （ x ）的最大值.
解：當 x ≥1時， h （ x ）＝－2 x2＋7 x －6
＝－2 ＋ ，∴ h （ x ）≤ .
當 x ＜1時， h （ x ）＜－1，
∴當 x ＝ 時， h （ x ）取最大值且最大值是 .
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13. 2024年3月，某人的工資應納稅所得額是11 000元，納稅標準按如
下表格，則他應該納稅 元.
納稅 級數 應納稅所得額 稅率（％）
1 不超過3 000元的部分 3％
2 超過3 000元至12 000元的部分 10％
解析：由題得應納稅3 000×3％＋（11 000－3 000）×10％＝890（元）.
890
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14. 如圖，在同一平面上，已知等腰直角三角形紙片 ABC 的腰長為3，
正方形紙片 CDEF 的邊長為1，其中 B 、 C 、 D 三點在同一水平線
上依次排列.把正方形紙片向左平移 a 個單位，0＜ a ≤3.設兩張紙
片重疊部分的面積為 S .
（1）求 S 關于 a 的函數解析式；
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解：如圖，延長 EF 交 AB 于點 G ，易得Rt△ AFG ∽Rt△ ACB ，又 AC ＝3 FC ＝3，
則 ＝ ＝ ，所以 FG ＝2，
當0＜ a ≤1時， S ＝ a ；
當1＜ a ≤2時， S ＝1；
當2＜ a ≤3時， S ＝1－ （ a －2）2＝－ ＋2 a －1.
綜上， S ＝
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（2）若 S ＝ ，求 a 的值.
解：由（1）知：在（0，1]上， S ＝a ＝ ；
在（2，3]上， S ＝－ ＋2 a －1＝ ，
整理得4 a2－16 a ＋15＝（2 a －3）（2 a －
5）＝0，
解得 a ＝ （舍）或 a ＝ .
綜上， a ＝ 或 a ＝ .
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謝 謝 觀 看！

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