資源簡介

第二課時　函數的最值、平均變化率
1.已知函數f（x）＝2x2－4的圖象上一點（1，－2）及鄰近一點（1＋Δx，－2＋Δy），則等于（　　）
A.4 B.4Δx
C.4＋2Δx D.4＋2（Δx）2
2.已知函數f（x）＝，則f（x）在區間[2，6]上的最大值為（　　）
A. B.3
C.4 D.5
3.若函數f（x）＝在區間[2，4]上的最小值為5，則k的值為（　　）
A.10 B.10或20
C.20 D.無法確定
4.已知函數f（x）＝2－x，對于任意的x∈[－2，2]，f（x）≤m恒成立，則實數m的最小值是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.（多選）已知函數f（x）的定義域為[a，b]，且a＜c＜b.則下列說法中錯誤的是（　　）
A.若f（x）在[a，c]上是增函數，在[c，b]上是減函數，則f（x）max＝f（c）
B.若f（x）在[a，c）上是增函數，在[c，b]上是減函數，則f（x）max＝f（c）
C.若f（x）在（a，c]上是增函數，在[c，b]上是減函數，則f（x）max＝f（c）
D.若f（x）在[a，c]上是增函數，在（c，b]上是減函數，則f（x）max＝f（c）
6.已知三點A（－3，－1），B（0，2），C（m，4）在同一直線上，則實數m的值為　　　　.
7.若關于x的不等式｜x－2｜－｜x＋3｜＜a無解，則實數a的取值范圍是　　　　 　.
8.已知函數y＝－x2－2x＋3在[a，2]上的最大值為，則a＝　　　　　 　.
9.已知函數f（x）＝－（a＞0，x＞0）.
（1）求證：f（x）在（0，＋∞）上是增函數；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值.
10.已知函數f（x）＝有最小值，則a的取值范圍是（　　）
A. B.
C. D.
11.“ x∈[1，2]， t∈[1，2]，使得x＋2＞t＋m成立”為真命題，則實數m的范圍為　　　　.
12.已知f（x）＝（x≠a）.
（1）若a＝－2，試證f（x）在（－∞，－2）內單調遞增；
（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）內單調遞減，求a的取值范圍.
13.已知min{a，b}＝設f（x）＝min{x－2，－x2＋4x－2}，則函數f（x）的最大值是（　　）
A.－2 B.1
C.2 D.3
14.已知函數y＝x＋有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在（0， ]上是減函數，在[，＋∞）上是增函數.已知f（x）＝，x∈[0，1]，利用上述性質，求函數f（x）的單調區間和值域.
第二課時　函數的最值、平均變化率
1.C　∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝2（1＋Δx）2－4－（2－4）＝2（Δx）2＋4Δx，∴＝2Δx＋4，故選C.
2.C　∵f（x）＝＝2＋在[2，6]上單調遞減，∴f（x）max＝f（2）＝4.故選C.
3.C　當k＝0時，不符合題意；
當k＞0時，f（x）＝在區間[2，4]上是減函數，∴f（x）min＝f（4）＝＝5，∴k＝20，符合題意；
當k＜0時，f（x）＝在區間[2，4]上是增函數，f（x）min＝f（2）＝＝5，∴k＝10，
又∵k＜0，∴k＝10舍去.∴k的值為20.故選C.
4.D　對于任意的x∈[－2，2]使2－x≤m恒成立，令＝t（t∈[0，2]），則x＝t2－2，即2－x＝2t－t2＋2，設g（t）＝－t2＋2t＋2（t∈[0，2]），則g（t）∈[2，3]，即f（x）max＝3.故m≥3，即實數m的最小值是3.故選D.
5.BCD　若f（x）在[a，c]上是增函數，則f（c）≥f（x），x∈[a，c]；在[c，b]上是減函數，則f（c）≥f（x），x∈[c，b]，所以f（x）max＝f（c），故A正確；
若f（x）在[a，c）上是增函數，在[c，b]上是減函數，函數的最大值不一定為f（c），
如f（x）＝值域為[－1，2），沒有最大值，故B錯誤；
若f（x）在（a，c]上是增函數，在[c，b]上是減函數，函數的最大值不一定為f（c），例如函數f（x）＝其圖象如圖所示.
顯然f（x）在（1，2]上是增函數，在[2，3]上是減函數，但f（x）在[1，3]上的最大值是f（1）＝2，故C不正確.若f（x）在[a，c]上是增函數，在（c，b]上是減函數，函數的最大值不一定為f（c），故D錯誤.故選B、C、D.
6.2　解析：因為A，B，C三點在同一直線上，所以kAB＝kBC，即＝，故m＝2.
7.（－∞，－5]　解析：根據題意，設f（x）＝｜x－2｜－｜x＋3｜，則f（x）＝易得f（x）min＝－5.
因為關于x的不等式｜x－2｜－｜x＋3｜＜a無解，所以f（x）≥a恒成立，即f（x）min≥a，故a≤－5.
8.－　解析：y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，對稱軸方程為x＝－1，當a≤－1時，x＝－1，函數取得最大值為4，不合題意舍去，當a＞－1時，x＝a，函數取得最大值為－a2－2a＋3＝，即4a2＋8a＋3＝0，（2a＋3）（2a＋1）＝0，解得a＝－或a＝－（舍去）.
9.解：（1）證明：設x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，則
＝＝＝，
由x1，x2∈（0，＋∞）知，x1x2＞0，＞0，
∴＞0，故f（x）在（0，＋∞）上是增函數.
（2）由（1）可知，f（x）在上為增函數，
∴f＝－2＝，f（2）＝－＝2，
解得a＝.
10.C　當x≥0時，f（x）＝（x－1）2－1 ，此時f（x）min＝f（1）＝－1；
當x＜0時，f（x）＝（a－1）x＋2a.
①a＝1時，f（x）＝2為常函數，此時在R上滿足函數f（x）有最小值為－1.
②a≠1時，函數f（x）在（－∞，0）上為一次函數，若要滿足在R上有最小值，
需解得－≤a＜1，
綜上，滿足題意的實數a的取值范圍為 .
故選C.
11.（－∞，2）　解析：令f（x）＝x＋2，g（t）＝t＋m，要想 x∈[1，2]， t∈[1，2]，使得x＋2＞t＋m成立為真命題，只需f（x）min＞g（t）min，其中f（x）＝x＋2在[1，2]上單調遞增，f（x）min＝f（1）＝3，g（t）＝t＋m在[1，2]上單調遞增，g（t）min＝g（1）＝1＋m，故3＞1＋m，解得m＜2.所以實數m的范圍為（－∞，2）.
12.解：（1）證明：當a＝－2時，f（x）＝.
設x1，x2∈（－∞，－2），且x1≠x2，則
＝＝
＝.
由x1，x2∈（－∞，－2）知，x1＋2＜0，x2＋2＜0，
所以（x1＋2）（x2＋2）＞0，即＞0，
所以f（x）在（－∞，－2）內單調遞增.
（2）任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1≠x2，則
＝＝
＝.
由a＞0，x1，x2∈（1，＋∞），且＜0知（x1－a）（x2－a）＞0恒成立，所以a≤1，故0＜a≤1，
所以a的取值范圍為（0，1].
13.B　法一　當x－2≤－x2＋4x－2，即x∈[0，3]時，f（x）＝x－2在x∈[0，3]上單調遞增，所以f（x）max＝f（3）＝3－2＝1，當x－2＞－x2＋4x－2，即x∈（－∞，0）∪（3，＋∞）時，f（x）＝－x2＋4x－2＝－（x－2）2＋2在x∈（－∞，0）上單調遞增，在（3，＋∞）上單調遞減，因為f（0）＝－2，f（3）＝1，所以f（x）＜f（3）＝1.
綜上：函數f（x）的最大值為1.故選B.
法二　由x－2≤－x2＋4x－2得x2－3x≤0，∴0≤x≤3，
∴f（x）＝
其圖象如圖所示（實線部分）.
∵f（x）圖象的最高點是（3，1），
∴f（x）max＝f（3）＝1.
故選B.
14.解：f（x）＝＝2x＋1＋－8，設u＝2x＋1，x∈[0，1]，則1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1，3].由已知性質得，當1≤u≤2，即0≤x≤時，f（x）單調遞減，所以遞減區間為；當2≤u≤3，即≤x≤1時，f（x）單調遞增，所以遞增區間為.
由f（0）＝－3，f＝－4，f（1）＝－，得f（x）的值域為[－4，－3].
2 / 2第二課時　函數的最值、平均變化率
　　科考隊對“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候進行科學考察，如圖是某天氣溫隨時間的變化曲線.
【問題】　（1）在區間[6，17]對應的曲線上任取不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），＝一定大于零嗎？
（2）如果在區間[12，24]對應的曲線上任取不同兩點C（x3，y3），D（x4，y4），＝一定大于零嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　函數的最值
1.函數的最大值和最小值
一般地，設函數f（x）的定義域為D，且x0∈D：
（1）如果對任意x∈D，都有　　　　　　，則稱f（x）的最大值為f（x0）（記作f（x）max＝f（x0）），而x0稱為f（x）的　　　　　　；
（2）如果對任意x∈D，都有　　　　　　，則稱f（x）的最小值為f（x0）（記作f（x）min＝f（x0）），而x0稱為f（x）的　　　　　.
提醒　對函數最值的幾點說明：①最值首先是一個函數值，即存在一個自變量x0，使得f（x0）等于最值；②對于定義域內的任意元素x，都有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），“任意”兩個字不可省略；③函數f（x）在其定義域（某個區間）內不一定有最大（小）值，如果有，最大（小）值只能有一個.但最大（小）值點x0可能不止一個.這里的最大（小）值點不是點而是實數；④函數f（x）在其定義域（某個區間）內的最大值的幾何意義是其圖象上最高點的縱坐標；最小值的幾何意義是其圖象上最低點的縱坐標.
2.最值和最值點
　　　　值和　　　　值統稱為最值，最大值點和最小值點統稱為　　　　點.
【想一想】
如果函數f（x）對于定義域內的任意x都滿足f（x）≤M，那么M一定是函數f（x）的最大值嗎？
知識點二　函數的平均變化率
1.直線的斜率
（1）定義：給定平面直角坐標系中的任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當x1≠x2時，稱　　　　為直線AB的斜率（若記Δx＝x2－x1，相應的Δy＝y2－y1，當Δx≠0時，斜率記為）；當x1＝x2時，稱直線AB的斜率　　　　.
（2）作用：直線AB的斜率反映了直線相對于　　　　的傾斜程度.
2.平均變化率與函數的單調性
若區間I是函數y＝f（x）的定義域的子集，對任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1＝f（x1），y2＝f（x2），＝，則：
（1）y＝f（x）在區間I上是增函數的充要條件是　　＞　　在區間I上恒成立；
（2）y＝f（x）在區間I上是減函數的充要條件是　　＜　　在區間I上恒成立.
當x1≠x2時，稱＝為函數y＝f（x）在區間[x1，x2]（x1＜x2時）或[x2，x1]（x1＞x2時）上的平均變化率.通常稱Δx為自變量的改變量，Δy為因變量的改變量.
提醒　對函數平均變化率的幾點說明：①函數f（x）應在x1，x2處有定義；②x2在x1附近，Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可負；③注意變量的對應，若Δx＝x2－x1，則Δy＝f（x2）－f（x1），而不是Δy＝f（x1）－f（x2）；④平均變化率可正可負，也可為零.但是，若函數在某區間上的平均變化率為0，不能說明該函數在此區間上的函數值都相等.比如，f（x）＝x2在區間[－2，2]上的平均變化率為0，但f（x）＝x2在[－2，2]上的圖象先下降后上升，值域是[0，4]；⑤平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢和快慢程度，但效果是“粗糙不精確的”.只有當Δx＝x2－x1無限變小時，這種量化才由“粗糙”逼近“精確”.
【想一想】
1.函數的平均變化率是固定不變的嗎？
2.如果＝0在I上恒成立，那么函數f（x）有什么特點？
1.已知f（x）＝3x2＋5，則自變量x從0.1到0.2的平均變化率為（　　）
A.0.3 B.0.9
C.0.6 D.1.2
2.函數y＝f（x）在[－2，2]上的圖象如圖所示，則此函數的最小值、最大值分別是　　　　，　　　　.
3.已知過點P（－2，m）和Q（m，4）的直線的斜率等于1，求m的值.
題型一 平均變化率
角度1　直線的斜率公式及應用
【例1】　（1）已知直線l過點M（m＋1，m－1），N（2m，1）.當m為何值時，直線l的斜率是1？
（2）已知三點A（a，2），B（3，7），C（－2，－9a）在同一條直線上，求實數a的值.
嘗試解答
通性通法
利用斜率公式求直線的斜率應注意的事項
（1）運用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因為當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的；
（2）斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關，也就是說公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置.
【跟蹤訓練】
1.已知經過兩點（5， m）和（2，8）的直線的斜率大于1，則m的取值范圍是（　　）
A.（2，8）　　　　　　B.（8，＋∞）
C.（11，＋∞） D.（－∞，11）
2.若A（3，1），B（－2，k），C（8，1）三點能構成三角形，則實數k的取值范圍為　　　　.
角度2　平均變化率的計算
【例2】　一正方形鐵板在0 ℃時邊長為10 cm，加熱后會膨脹，當溫度為t ℃時，邊長變為10（1＋at）cm，a為常數.試求鐵板面積對溫度的平均膨脹率.
嘗試解答
通性通法
　　求平均變化率可根據定義代入公式直接求解，解題的關鍵是弄清自變量的增量Δx與函數值的增量Δy，求平均變化率的主要步驟是：
【跟蹤訓練】
路燈距地面8 m，一個身高為1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點C處沿直線勻速離開路燈.
（1）求身影的長度y與人距路燈的射影點C的距離x之間的關系式；
（2）求人離開路燈10 s內身影長度y關于時間t的平均變化率.
題型二 利用平均變化率證明函數的單調性
【例3】　若函數y＝f（x）是其定義域的子集I上的增函數且f（x）＞0，求證：g（x）＝在I上為減函數.
嘗試解答
通性通法
1.y＝f（x）在I上是增函數的充要條件是＞0在I上恒成立.
2.y＝f（x）在I上是減函數的充要條件是＜0在I上恒成立.
【跟蹤訓練】
已知函數f（x）＝1－，x∈[3，5]，判斷函數f（x）的單調性，并證明.
題型三 求函數的最值
角度1　圖象法求函數的最值
【例4】　已知函數f（x）＝求函數f（x）的最大值和最小值.
嘗試解答
通性通法
用圖象法求最值的3個步驟
【跟蹤訓練】
函數y＝｜x＋1｜－｜2－x｜的最大值是（　　）
A.3　　　　　　　　 B.－3
C.5 D.－2
角度2　利用單調性求函數的最值
【例5】　已知函數f（x）＝x＋.
（1）證明：f（x）在（1，＋∞）內是增函數；
（2）求f（x）在[2，4]上的最值.
嘗試解答
通性通法
函數的最值與單調性的關系
（1）如果函數y＝f（x）在區間（a，b]上是增函數，在區間[b，c）上是減函數，則函數y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b處有最大值f（b）；
（2）如果函數y＝f（x）在區間（a，b]上是減函數，在區間[b，c）上是增函數，則函數y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b處有最小值f（b）；
（3）如果函數y＝f（x）在區間[a，b]上是增（減）函數，則在區間[a，b]的左、右端點處分別取得最小（大）值、最大（小）值.
【跟蹤訓練】
1.設定義在R上的函數f（x）＝x｜x｜，則f（x）（　　）
A.只有最大值
B.只有最小值
C.既有最大值，又有最小值
D.既無最大值，又無最小值
2.已知函數f（x）是定義在區間[－1，3]上的減函數，且函數f（x）的圖象經過點P（－1，2），Q（3，－4），則該函數的值域是　　　.
1.直線l經過原點和點（－1，1），則l的斜率為（　　）
A.0 B.1
C.－1 D.不存在
2.函數f（x）在[－2，＋∞）上的圖象如圖所示，則此函數的最大值、最小值分別為（　　）
A.3，0 B.3，1
C.3，無最小值 D.3，－2
3.若函數f（x）＝x2－2x，x∈[－1，4]，則f（x）的值域為（　　）
A.[－1，3] B.[－1，16]
C.[－1，8] D.[3，8]
4.（多選）下列關于函數y＝ax＋1，x∈[0，2]的說法正確的是（　　）
A.當a＜0時，此函數的最大值為1，最小值為2a＋1
B.當a＜0時，此函數的最大值為2a＋1，最小值為1
C.當a＞0時，此函數的最大值為1，最小值為2a＋1
D.當a＞0時，此函數的最大值為2a＋1，最小值為1
5.汽車行駛的路程s和時間t之間的變化規律如圖所示，在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]內的平均速度分別是，，，則三者由小到大的關系為　　　　.
第二課時　函數的最值、平均變化率
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.（1）f（x）≤f（x0）　最大值點　（2）f（x）≥f（x0）　最小值點
2.最大　最小　最值
想一想
　提示：不一定.如函數f（x）＝－x2≤1恒成立，但是1不是函數的最大值.
知識點二
1.（1）　不存在　（2）x軸　2.（1）　0　（2）　0
想一想
1.提示：不一定.當x1取定值后，Δx取不同的數值時，函數的平均變化率不一定相同；當Δx取定值后，x1取不同的數值時，函數的平均變化率也不一定相同.比如，f（x）＝x2在區間[0，2]和[2，4]上都有Δx＝2，但Δy分別為4－0＝4和16－4＝12.
事實上，根據下面將要學均變化率的幾何意義可知，曲線上任意不同兩點間連線的斜率一般不相等，即一般情況下函數的平均變化率是不相同的.
2.提示：函數f（x）是常數函數.
自我診斷
1.B　Δy＝f（0.2）－f（0.1）＝0.12＋5－0.03－5＝0.09，可得平均變化率＝＝0.9.
2.－1　2
3.解：由題意得＝1，解得m＝1.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）因為直線l的斜率是1，
所以＝1，即＝1，解得m＝.
（2）∵A，B，C三點共線，且3≠－2，
∴BC，AB的斜率都存在，且kAB＝kBC.
又∵kAB＝＝，kBC＝＝，
∴＝，解得a＝2或a＝.
跟蹤訓練
1.C　由題意得＞1，解得m＞11.故選C.
2.（－∞，1）∪（1，＋∞）　解析：因為A，B，C三點能構成三角形，所以A，B，C三點不共線，所以kAB≠kAC.
即≠，因此k－1≠0，解得k≠1.
故實數k的取值范圍為（－∞，1）∪（1，＋∞）.
【例2】　解：設溫度的增量為Δt，則鐵板面積S的增量為：
ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2，所以平均膨脹率＝200（a＋a2t）＋100a2Δt.
跟蹤訓練
　解：（1）如圖所示，由題意知人從C點運動到B點的距離為x m，AB為身影長度，AB的長度為y m，由于CD∥BE，則＝，即＝，所以y＝0.25x.
（2）84 m/min＝1.4 m/s，則y關于t的函數關系式為y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10 s內平均變化率＝＝0.35（m/s），
即此人離開路燈10 s內身影長度y關于時間t的平均變化率為0.35 m/s.
【例3】　證明：任取x1，x2∈I且x2＞x1，
則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1），
∵函數y＝f（x）是其定義域的子集I上的增函數，
∴Δy＞0，＞0，
∴Δg＝g（x2）－g（x1）＝－＝.
又∵f（x）＞0，∴f（x1）f（x2）＞0且f（x1）－f（x2）＜0，
∴Δg＜0，∴＜0，故g（x）＝在I上為減函數.
跟蹤訓練
　解：由于y＝x＋2在[3，5]上是增函數，且恒大于零，因此，f（x）＝1－在[3，5]上為增函數.
證明過程如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，
則Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－－＝－＝.
∵（x1＋2）（x2＋2）＞0，
∴Δy＞0，∴＞0，故函數f（x）在[3，5]上是增函數.
【例4】　解：作出f（x）的圖象如圖.由圖象可知，當x＝2時，f（x）取最大值為2；
當x＝時，f（x）取最小值為－.
所以f（x）的最大值為2，最小值為－.
跟蹤訓練
　A　由題意可知y＝｜x＋1｜－｜2－x｜＝畫出函數圖象即可得最大值為3.故選A.
【例5】　解：（1）證明：任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1≠x2，則
＝＝＝1－.
由x1，x2∈（1，＋∞）知x1x2＞1，＜1，1－＞0，
∴＞0，故f（x）在（1，＋∞）內是增函數.
（2）由（1）可知f（x）在[2，4]上是增函數，
∴當x∈[2，4]時，f（2）≤f（x）≤f（4）.
又f（2）＝2＋＝，f（4）＝4＋＝，
∴f（x）在[2，4]上的最大值為，最小值為.
跟蹤訓練
1.D　f（x）＝x｜x｜＝作出f（x）的圖象如圖所示，可知f（x）既無最大值又無最小值.故選D.
2.[－4，2]　解析：∵f（x）的圖象經過點P（－1，2），Q（3，－4），
∴f（－1）＝2，f（3）＝－4.
又∵f（x）在定義域[－1，3]上為減函數，∴該函數的值域是[－4，2].
隨堂檢測
1.C　因為直線l經過原點和點（－1，1），所以l的斜率是＝－1.故選C.
2.C　觀察題中圖象可知，圖象的最高點坐標是（0，3），從而其最大值是3；圖象無最低點，即該函數不存在最小值.故選C.
3.C　∵f（x）＝（x－1）2－1，∴函數y＝f（x）在區間[－1，1）上單調遞減，在區間（1，4]上單調遞增，∴f（x）min＝f（1）＝－1，∵f（－1）＝3，f（4）＝8，∴f（x）max＝f（4）＝8.因此，函數y＝f（x）在區間[－1，4]上的值域為[－1，8].故選C.
4.AD　當a＜0時，函數y＝ax＋1在區間[0，2]上單調遞減，當x＝0時，函數取得最大值為1；當x＝2時，函數取得最小值為2a＋1.當a＞0時，函數y＝ax＋1在區間[0，2]上單調遞增，當x＝0時，函數取得最小值為1，當x＝2時，函數取得最大值為2a＋1.故選A、D.
5.＜＜　解析：∵＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，由題圖得kOA＜kAB＜kBC，
∴＜＜.
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第二課時　
函數的最值、平均變化率
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　科考隊對“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠
氣候進行科學考察，如圖是某天氣溫隨時間的變化曲線.
【問題】　（1）在區間[6，17]對應的曲線上任取不同兩點 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2）， ＝ 一定大于零嗎？
（2）如果在區間[12，24]對應的曲線上任取不同兩點 C （ x3， y3），
D （ x4， y4）， ＝ 一定大于零嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　函數的最值
1. 函數的最大值和最小值
一般地，設函數 f （ x ）的定義域為 D ，且 x0∈ D ：
（1）如果對任意 x ∈ D ，都有 ，則稱 f （ x ）
的最大值為 f （ x0）（記作 f （ x ）max＝ f （ x0）），而 x0稱為 f
（ x ）的 ；
f （ x ）≤ f （ x0）　
最大值點　
（2）如果對任意 x ∈ D ，都有 ，則稱 f （ x ）
的最小值為 f （ x0）（記作 f （ x ）min＝ f （ x0）），而 x0稱為 f
（ x ）的 .
f （ x ）≥ f （ x0）　
最小值點　
提醒　對函數最值的幾點說明：①最值首先是一個函數值，
即存在一個自變量 x0，使得 f （ x0）等于最值；②對于定義域
內的任意元素 x ，都有 f （ x ）≤ f （ x0）（或 f （ x ）≥ f
（ x0）），“任意”兩個字不可省略；③函數 f （ x ）在其定
義域（某個區間）內不一定有最大（小）值，如果有，最大
（小）值只能有一個.但最大（小）值點 x0可能不止一個.這里
的最大（小）值點不是點而是實數；④函數 f （ x ）在其定義
域（某個區間）內的最大值的幾何意義是其圖象上最高點的
縱坐標；最小值的幾何意義是其圖象上最低點的縱坐標.
2. 最值和最值點
值和 值統稱為最值，最大值點和最小值點統稱
為 點.
最大　
最小　
最值　
【想一想】
如果函數 f （ x ）對于定義域內的任意 x 都滿足 f （ x ）≤ M ，那么 M
一定是函數 f （ x ）的最大值嗎？
提示：不一定.如函數 f （ x ）＝－ x2≤1恒成立，但是1不是函數的
最大值.
知識點二　函數的平均變化率
1. 直線的斜率
（1）定義：給定平面直角坐標系中的任意兩點 A （ x1， y1）， B
（ x2， y2），當 x1≠ x2時，稱 為直線 AB 的斜率（若
記Δ x ＝ x2－ x1，相應的Δ y ＝ y2－ y1，當Δ x ≠0時，斜率記為
）；當 x1＝ x2時，稱直線 AB 的斜率 .
（2）作用：直線 AB 的斜率反映了直線相對于 的傾斜程度.
　
不存在　
x 軸　
2. 平均變化率與函數的單調性
若區間 I 是函數 y ＝ f （ x ）的定義域的子集，對任意 x1， x2∈ I 且
x1≠ x2，記 y1＝ f （ x1）， y2＝ f （ x2）， ＝ ，則：
（1） y ＝ f （ x ）在區間 I 上是增函數的充要條件是 ＞
在區間 I 上恒成立；
　
0　
（2） y ＝ f （ x ）在區間 I 上是減函數的充要條件是 ＜
在區間 I 上恒成立.
當 x1≠ x2時，稱 ＝ 為函數 y ＝ f （ x ）在區間
[ x1， x2]（ x1＜ x2時）或[ x2， x1]（ x1＞ x2時）上的平均變化
率.通常稱Δ x 為自變量的改變量，Δ y 為因變量的改變量.
　
0　
提醒　對函數平均變化率的幾點說明：①函數 f （ x ）應在
x1， x2處有定義；② x2在 x1附近，Δ x ＝ x2－ x1≠0，但Δ x 可正
可負；③注意變量的對應，若Δ x ＝ x2－ x1，則Δ y ＝ f （ x2）
－ f （ x1），而不是Δ y ＝ f （ x1）－ f （ x2）；④平均變化率可
正可負，也可為零.但是，若函數在某區間上的平均變化率為
0，不能說明該函數在此區間上的函數值都相等.比如， f
（ x ）＝ x2在區間[－2，2]上的平均變化率為0，但 f （ x ）＝
x2在[－2，2]上的圖象先下降后上升，值域是[0，4]；⑤平均
變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，曲線陡峭程度是平均
變化率的“視覺化”.
利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢和快慢程度，但效果是
“粗糙不精確的”.只有當Δ x ＝ x2－ x1無限變小時，這種量化才由“粗
糙”逼近“精確”.
【想一想】
1. 函數的平均變化率是固定不變的嗎？
提示：不一定.當 x1取定值后，Δ x 取不同的數值時，函數的平均變
化率不一定相同；當Δ x 取定值后， x1取不同的數值時，函數的平均
變化率也不一定相同.比如， f （ x ）＝ x2在區間[0，2]和[2，4]上都
有Δ x ＝2，但Δ y 分別為4－0＝4和16－4＝12.
事實上，根據下面將要學均變化率的幾何意義可知，曲線上
任意不同兩點間連線的斜率一般不相等，即一般情況下函數的平均
變化率是不相同的.
2. 如果 ＝0在 I 上恒成立，那么函數 f （ x ）有什么特點？
提示：函數 f （ x ）是常數函數.
1. 已知 f （ x ）＝3 x2＋5，則自變量 x 從0.1到0.2的平均變化率為
（　　）
A. 0.3 B. 0.9
C. 0.6 D. 1.2
解析：　Δ y ＝ f （0.2）－ f （0.1）＝0.12＋5－0.03－5＝0.09，可
得平均變化率 ＝ ＝0.9.
2. 函數 y ＝ f （ x ）在[－2，2]上的圖象如圖所示，則此函數的最小
值、最大值分別是 ， .
3. 已知過點 P （－2， m ）和 Q （ m ，4）的直線的斜率等于1，求
m 的值.
解：由題意得 ＝1，解得 m ＝1.
－1　
2　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 平均變化率
角度1　直線的斜率公式及應用
【例1】　（1）已知直線 l 過點 M （ m ＋1， m －1）， N （2 m ，1）.
當 m 為何值時，直線 l 的斜率是1？
解：因為直線 l 的斜率是1，
所以 ＝1，即 ＝1，
解得 m ＝ .
（2）已知三點 A （ a ，2）， B （3，7）， C （－2，－9 a ）在同一條
直線上，求實數 a 的值.
解：∵ A ， B ， C 三點共線，且3≠－2，
∴ BC ， AB 的斜率都存在，且 kAB ＝ kBC .
又∵ kAB ＝ ＝ ， kBC ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得 a ＝2或 a ＝ .
通性通法
利用斜率公式求直線的斜率應注意的事項
（1）運用公式的前提條件是“ x1≠ x2”，即直線不與 x 軸垂直，因為
當直線與 x 軸垂直時，斜率是不存在的；
（2）斜率公式與兩點 P1， P2的先后順序無關，也就是說公式中的 x1
與 x2， y1與 y2可以同時交換位置.
【跟蹤訓練】
1. 已知經過兩點（5， m ）和（2，8）的直線的斜率大于1，則 m 的取
值范圍是（　　）
A. （2，8） B. （8，＋∞）
C. （11，＋∞） D. （－∞，11）
解析：　由題意得 ＞1，解得 m ＞11.故選C.
2. 若 A （3，1）， B （－2， k ）， C （8，1）三點能構成三角形，則
實數 k 的取值范圍為 　　 　　.
（－∞，1）∪（1，＋∞）
解析：因為 A ， B ， C 三點能構成三角形，所以 A ， B ， C 三點不共
線，所以 kAB ≠ kAC .
即 ≠ ，因此 k －1≠0，解得 k ≠1.
故實數 k 的取值范圍為（－∞，1）∪（1，＋∞）.
角度2　平均變化率的計算
【例2】　一正方形鐵板在0 ℃時邊長為10 cm，加熱后會膨脹，當溫
度為 t ℃時，邊長變為10（1＋ at ）cm， a 為常數.試求鐵板面積對溫度
的平均膨脹率.
解：設溫度的增量為Δ t ，則鐵板面積 S 的增量為：
Δ S ＝102[1＋ a （ t ＋Δ t ）]2－102（1＋ at ）2＝200（ a ＋ a2 t ）Δ t ＋
100 a2（Δ t ）2，所以平均膨脹率 ＝200（ a ＋ a2 t ）＋100 a2Δ t .
通性通法
　　求平均變化率可根據定義代入公式直接求解，解題的關鍵是弄清
自變量的增量Δ x 與函數值的增量Δ y ，求平均變化率的主要步驟是：
【跟蹤訓練】
路燈距地面8 m，一個身高為1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上從
路燈在地面上的射影點 C 處沿直線勻速離開路燈.
（1）求身影的長度 y 與人距路燈的射影點 C 的距離 x 之間的關系式；
解：如圖所示，由題意知人從 C 點運動到
B 點的距離為 x m， AB 為身影長度， AB 的長度
為 y m，由于 CD ∥ BE ，則 ＝ ＝
，所以 y ＝0.25 x .
（2）求人離開路燈10 s內身影長度 y 關于時間 t 的平均變化率.
解：84 m/min＝1.4 m/s，則 y 關于 t 的函數關系式為 y ＝
0.25×1.4 t ＝0.35 t ，所以10 s內平均變化率 ＝ ＝0.35
（m/s），
即此人離開路燈10 s內身影長度 y 關于時間 t 的平均變化率為0.35
m/s.
題型二 利用平均變化率證明函數的單調性
【例3】　若函數 y ＝ f （ x ）是其定義域的子集 I 上的增函數且 f （ x ）
＞0，求證： g （ x ）＝ 在 I 上為減函數.
證明：任取 x1， x2∈ I 且 x2＞ x1，
則Δ x ＝ x2－ x1＞0，Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1），
∵函數 y ＝ f （ x ）是其定義域的子集 I 上的增函數，
∴Δ y ＞0， ＞0，
∴Δ g ＝ g （ x2）－ g （ x1）＝ － ＝ .
又∵ f （ x ）＞0，∴ f （ x1） f （ x2）＞0且 f （ x1）－ f （ x2）＜0，
∴Δ g ＜0，∴ ＜0，故 g （ x ）＝ 在 I 上為減函數.
通性通法
1. y ＝ f （ x ）在 I 上是增函數的充要條件是 ＞0在 I 上恒成立.
2. y ＝ f （ x ）在 I 上是減函數的充要條件是 ＜0在 I 上恒成立.
【跟蹤訓練】
已知函數 f （ x ）＝1－ ， x ∈[3，5]，判斷函數 f （ x ）的單調性，
并證明.
解：由于 y ＝ x ＋2在[3，5]上是增函數，且恒大于零，因此， f （ x ）
＝1－ 在[3，5]上為增函數.
證明過程如下：
任取 x1， x2∈[3，5]且 x1＜ x2，
即Δ x ＝ x2－ x1＞0，
則Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1）＝1－ － ＝ － ＝
.
∵（ x1＋2）（ x2＋2）＞0，
∴Δ y ＞0，∴ ＞0，
故函數 f （ x ）在[3，5]上是增函數.
題型三 求函數的最值
角度1　圖象法求函數的最值
【例4】　已知函數 f （ x ）＝求函數 f （ x ）的
最大值和最小值.
解：作出 f （ x ）的圖象如圖.由圖象可知，當 x ＝2
時， f （ x ）取最大值為2；
當 x ＝ 時， f （ x ）取最小值為－ .
所以 f （ x ）的最大值為2，最小值為－ .
通性通法
用圖象法求最值的3個步驟
【跟蹤訓練】
函數 y ＝｜ x ＋1｜－｜2－ x ｜的最大值是（　　）
A. 3 B. －3
C. 5 D. －2
解析：A　由題意可知 y ＝｜ x ＋1｜－｜2－ x ｜＝
畫出函數圖象即可得最大值為3.故選A.
角度2　利用單調性求函數的最值
【例5】　已知函數 f （ x ）＝ x ＋ .
（1）證明： f （ x ）在（1，＋∞）內是增函數；
解：證明：任取 x1， x2∈（1，＋∞），且 x1≠ x2，
則 ＝
＝
＝1－ .
由 x1， x2∈（1，＋∞）知 x1 x2＞1， ＜1，1－ ＞0，
∴ ＞0，故 f （ x ）在（1，＋∞）內是增函數.
（2）求 f （ x ）在[2，4]上的最值.
解：由（1）可知 f （ x ）在[2，4]上是增函數，
∴當 x ∈[2，4]時， f （2）≤ f （ x ）≤ f （4）.
又 f （2）＝2＋ ＝ ， f （4）＝4＋ ＝ ，
∴ f （ x ）在[2，4]上的最大值為 .
通性通法
函數的最值與單調性的關系
（1）如果函數 y ＝ f （ x ）在區間（ a ， b ]上是增函數，在區間[ b ，
c ）上是減函數，則函數 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， c ）在 x ＝ b 處
有最大值 f （ b ）；
（2）如果函數 y ＝ f （ x ）在區間（ a ， b ]上是減函數，在區間[ b ，
c ）上是增函數，則函數 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， c ）在 x ＝ b 處
有最小值 f （ b ）；
（3）如果函數 y ＝ f （ x ）在區間[ a ， b ]上是增（減）函數，則
在區間[ a ， b ]的左、右端點處分別取得最小（大）值、最
大（小）值.
【跟蹤訓練】
1. 設定義在R上的函數 f （ x ）＝ x ｜ x ｜，則 f （ x ）（　　）
A. 只有最大值
B. 只有最小值
C. 既有最大值，又有最小值
D. 既無最大值，又無最小值
解析：　 f （ x ）＝ x ｜ x ｜＝作出 f
（ x ）的圖象如圖所示，可知 f （ x ）既無最大值又無
最小值.故選D.
2. 已知函數 f （ x ）是定義在區間[－1，3]上的減函數，且函數 f
（ x ）的圖象經過點 P （－1，2）， Q （3，－4），則該函數的值
域是 .
解析：∵ f （ x ）的圖象經過點 P （－1，2）， Q （3，－4），
∴ f （－1）＝2， f （3）＝－4.
又∵ f （ x ）在定義域[－1，3]上為減函數，∴該函數的值域是[－
4，2].
[－4，2]　
1. 直線 l 經過原點和點（－1，1），則 l 的斜率為（　　）
A. 0 B. 1
C. －1 D. 不存在
解析：　因為直線 l 經過原點和點（－1，1），所以 l 的斜率是
＝－1.故選C.
2. 函數 f （ x ）在[－2，＋∞）上的圖象如圖所示，則此函數的最大
值、最小值分別為（　　）
A. 3，0 B. 3，1
C. 3，無最小值 D. 3，－2
解析：　觀察題中圖象可知，圖象的最高點坐標是（0，3），從
而其最大值是3；圖象無最低點，即該函數不存在最小值.故選C.
3. 若函數 f （ x ）＝ x2－2 x ， x ∈[－1，4]，則 f （ x ）的值域為（　　）
A. [－1，3] B. [－1，16]
C. [－1，8] D. [3，8]
解析：　∵ f （ x ）＝（ x －1）2－1，∴函數 y ＝ f （ x ）在區間[－
1，1）上單調遞減，在區間（1，4]上單調遞增，∴ f （ x ）min＝ f
（1）＝－1，∵ f （－1）＝3， f （4）＝8，∴ f （ x ）max＝ f （4）
＝8.因此，函數 y ＝ f （ x ）在區間[－1，4]上的值域為[－1，8].故
選C.
4. （多選）下列關于函數 y ＝ ax ＋1， x ∈[0，2]的說法正確的是
（　　）
A. 當 a ＜0時，此函數的最大值為1，最小值為2 a ＋1
B. 當 a ＜0時，此函數的最大值為2 a ＋1，最小值為1
C. 當 a ＞0時，此函數的最大值為1，最小值為2 a ＋1
D. 當 a ＞0時，此函數的最大值為2 a ＋1，最小值為1
解析：　當 a ＜0時，函數 y ＝ ax ＋1在區間[0，2]上單調遞減，
當 x ＝0時，函數取得最大值為1；當 x ＝2時，函數取得最小值為2 a
＋1.當 a ＞0時，函數 y ＝ ax ＋1在區間[0，2]上單調遞增，當 x ＝0
時，函數取得最小值為1，當 x ＝2時，函數取得最大值為2 a ＋1.故
選A、D.
5. 汽車行駛的路程 s 和時間 t 之間的變化規律如圖所示，在時間段
[ t0， t1]，[ t1， t2]，[ t2， t3]內的平均速度分別是 ， ， ，則
三者由小到大的關系為 .
＜ ＜ 　
解析：∵ ＝ ＝ kOA ， ＝ ＝ kAB ，
＝ ＝ kBC ，由題圖得 kOA ＜ kAB ＜ kBC ，∴ ＜ ＜
.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知函數 f （ x ）＝2 x2－4的圖象上一點（1，－2）及鄰近一點（1
＋Δ x ，－2＋Δ y ），則 等于（　　）
A. 4 B. 4Δ x
C. 4＋2Δ x D. 4＋2（Δ x ）2
解析：　∵Δ y ＝ f （1＋Δ x ）－ f （1）＝2（1＋Δ x ）2－4－（2－
4）＝2（Δ x ）2＋4Δ x ，∴ ＝2Δ x ＋4，故選C.
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2. 已知函數 f （ x ）＝ ，則 f （ x ）在區間[2，6]上的最大值為
（　　）
A. B. 3
C. 4 D. 5
解析：　∵ f （ x ）＝ ＝2＋ 在[2，6]上單調遞減，∴ f
（ x ）max＝ f （2）＝4.故選C.
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3. 若函數 f （ x ）＝ 在區間[2，4]上的最小值為5，則 k 的值為
（　　）
A. 10 B. 10或20
C. 20 D. 無法確定
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解析：　當 k ＝0時，不符合題意；
當 k ＞0時， f （ x ）＝ 在區間[2，4]上是減函數，
∴ f （ x ）min＝ f （4）＝ ＝5，
∴ k ＝20，符合題意；
當 k ＜0時， f （ x ）＝ 在區間[2，4]上是增函數，
f （ x ）min＝ f （2）＝ ＝5，∴ k ＝10，
又∵ k ＜0，∴ k ＝10舍去.
∴ k 的值為20.故選C.
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4. 已知函數 f （ x ）＝2 － x ，對于任意的 x ∈[－2，2]， f
（ x ）≤ m 恒成立，則實數 m 的最小值是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　對于任意的 x ∈[－2，2]使2 － x ≤ m 恒成立，令
＝ t （ t ∈[0，2]），則 x ＝ t2－2，即2 － x ＝2 t － t2＋
2，設 g （ t ）＝－ t2＋2 t ＋2（ t ∈[0，2]），則 g （ t ）∈[2，3]，
即 f （ x ）max＝3.故 m ≥3，即實數 m 的最小值是3.故選D.
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5. （多選）已知函數 f （ x ）的定義域為[ a ， b ]，且 a ＜ c ＜ b .則下列
說法中錯誤的是（　　）
A. 若 f （ x ）在[ a ， c ]上是增函數，在[ c ， b ]上是減函數，則 f
（ x ）max＝ f （ c ）
B. 若 f （ x ）在[ a ， c ）上是增函數，在[ c ， b ]上是減函數，則 f
（ x ）max＝ f （ c ）
C. 若 f （ x ）在（ a ， c ]上是增函數，在[ c ， b ]上是減函數，則 f
（ x ）max＝ f （ c ）
D. 若 f （ x ）在[ a ， c ]上是增函數，在（ c ， b ]上是減函數，則 f
（ x ）max＝ f （ c ）
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解析：　若 f （ x ）在[ a ， c ]上是增函數，則 f （ c ）≥ f
（ x ）， x ∈[ a ， c ]；在[ c ， b ]上是減函數，則 f （ c ）≥ f
（ x ）， x ∈[ c ， b ]，所以 f （ x ）max＝ f （ c ），故A正確；
若 f （ x ）在[ a ， c ）上是增函數，在[ c ， b ]上是減函數，函數的
最大值不一定為 f （ c ），
如 f （ x ）＝值域為[－1，2），沒有最大
值，故B錯誤；
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若 f （ x ）在（ a ， c ]上是增函數，在[ c ， b ]上是減函數，函數的
最大值不一定為 f （ c ），例如函數 f （ x ）＝
其圖象如圖所示.
顯然 f （ x ）在（1，2]上是增函數，在[2，3]上是減函數，但 f
（ x ）在[1，3]上的最大值是 f （1）＝2，故C不正確.若 f （ x ）在
[ a ， c ]上是增函數，在（ c ， b ]上是減函數，函數的最大值不一定
為 f （ c ），故D錯誤.故選B、C、D.
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6. 已知三點 A （－3，－1）， B （0，2）， C （ m ，4）在同一直線
上，則實數 m 的值為 .
解析：因為 A ， B ， C 三點在同一直線上，所以 kAB ＝ kBC ，即
＝ ，故 m ＝2.
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7. 若關于 x 的不等式｜ x －2｜－｜ x ＋3｜＜ a 無解，則實數 a 的取值
范圍是 .
解析：根據題意，設 f （ x ）＝｜ x －2｜－｜ x ＋3｜，則 f （ x ）＝
易得 f （ x ）min＝－5.
因為關于 x 的不等式｜ x －2｜－｜ x ＋3｜＜ a 無解，所以 f （ x ）≥
a 恒成立，即 f （ x ）min≥ a ，故 a ≤－5.
（－∞，－5]
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8. 已知函數 y ＝－ x2－2 x ＋3在[ a ，2]上的最大值為 ，則 a ＝ 　－ 　.
解析： y ＝－ x2－2 x ＋3＝－（ x ＋1）2＋4，對稱軸方程為 x ＝－
1，當 a ≤－1時， x ＝－1，函數取得最大值為4，不合題意舍去，
當 a ＞－1時， x ＝ a ，函數取得最大值為－ a2－2 a ＋3＝ ，即4 a2
＋8 a ＋3＝0，（2 a ＋3）（2 a ＋1）＝0，解得 a ＝－ 或 a ＝－
（舍去）.
－ 　
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9. 已知函數 f （ x ）＝ － （ a ＞0， x ＞0）.
（1）求證： f （ x ）在（0，＋∞）上是增函數；
解：證明：設 x1， x2∈（0，＋∞）且 x1≠ x2，則
＝
＝ ＝ ，
由 x1， x2∈（0，＋∞）知， x1 x2＞0， ＞0，
∴ ＞0，故 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函數.
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（2）若 f （ x ）在 上的值域是 ，求 a 的值.
解：由（1）可知， f （ x ）在 上為增函數，
∴ f ＝ －2＝ ， f （2）＝ － ＝2，
解得 a ＝ .
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10. 已知函數 f （ x ）＝有最小值，則 a 的
取值范圍是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　當 x ≥0時， f （ x ）＝（ x －1）2－1 ，此時 f （ x ）min＝
f （1）＝－1；當 x ＜0時， f （ x ）＝（ a －1） x ＋2 a .
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① a ＝1時， f （ x ）＝2為常函數，此時在R上滿足函數 f （ x ）有
最小值為－1.
② a ≠1時，函數 f （ x ）在（－∞，0）上為一次函數，若要滿足
在R上有最小值，
需
解得－ ≤ a ＜1，
綜上，滿足題意的實數 a 的取值范圍為 .
故選C.
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11. “ x ∈[1，2]， t ∈[1，2]，使得 x ＋2＞ t ＋ m 成立”為真命
題，則實數 m 的范圍為 .
解析：令 f （ x ）＝ x ＋2， g （ t ）＝ t ＋ m ，要想 x ∈[1，2]， t
∈[1，2]，使得 x ＋2＞ t ＋ m 成立為真命題，只需 f （ x ）min＞ g
（ t ）min，其中 f （ x ）＝ x ＋2在[1，2]上單調遞增， f （ x ）min＝ f
（1）＝3， g （ t ）＝ t ＋ m 在[1，2]上單調遞增， g （ t ）min＝ g
（1）＝1＋ m ，故3＞1＋ m ，解得 m ＜2.所以實數 m 的范圍為（－
∞，2）.
（－∞，2）　
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12. 已知 f （ x ）＝ （ x ≠ a ）.
（1）若 a ＝－2，試證 f （ x ）在（－∞，－2）內單調遞增；
解：證明：當 a ＝－2時， f （ x ）＝ .
設 x1， x2∈（－∞，－2），且 x1≠ x2，則
＝ ＝
＝ .
由 x1， x2∈（－∞，－2）知， x1＋2＜0， x2＋2＜0，
所以（ x1＋2）（ x2＋2）＞0，即 ＞0，
所以 f （ x ）在（－∞，－2）內單調遞增.
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（2）若 a ＞0且 f （ x ）在（1，＋∞）內單調遞減，求 a 的取
值范圍.
解：任取 x1， x2∈（1，＋∞），且 x1≠ x2，
則 ＝
＝
＝ .
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由 a ＞0， x1， x2∈（1，＋∞），且 ＜0知（ x1－ a ）·（ x2
－ a ）＞0恒成立，所以 a ≤1，
故0＜ a ≤1，
所以 a 的取值范圍為（0，1].
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13. 已知min{ a ， b }＝設 f （ x ）＝min{ x －2，－ x2＋4 x
－2}，則函數 f （ x ）的最大值是（　　）
A. －2 B. 1
C. 2 D. 3
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解析：　法一　當 x －2≤－ x2＋4 x －2，即 x ∈[0，3]時， f
（ x ）＝ x －2在 x ∈[0，3]上單調遞增，所以 f （ x ）max＝ f （3）
＝3－2＝1，當 x －2＞－ x2＋4 x －2，即 x ∈（－∞，0）∪（3，
＋∞）時， f （ x ）＝－ x2＋4 x －2＝－（ x －2）2＋2在 x ∈（－
∞，0）上單調遞增，在（3，＋∞）上單調遞減，因為 f （0）＝
－2， f （3）＝1，所以 f （ x ）＜ f （3）＝1.
綜上：函數 f （ x ）的最大值為1.故選B.
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法二　由 x －2≤－ x2＋4 x －2得 x2－3 x ≤0，
∴0≤ x ≤3，∴ f （ x ）＝
其圖象如圖所示（實線部分）.
∵ f （ x ）圖象的最高點是（3，1），
∴ f （ x ）max＝ f （3）＝1.
故選B.
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14. 已知函數 y ＝ x ＋ 有如下性質：如果常數 t ＞0，那么該函數在
（0， ]上是減函數，在[ ，＋∞）上是增函數.已知 f （ x ）＝
， x ∈[0，1]，利用上述性質，求函數 f （ x ）的單調區
間和值域.
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解： f （ x ）＝ ＝2 x ＋1＋ －8，
設 u ＝2 x ＋1， x ∈[0，1]，
則1≤ u ≤3，
故 y ＝ u ＋ －8， u ∈[1，3].
由已知性質得，當1≤ u ≤2，
即0≤ x ≤ 時， f （ x ）單調遞減，所以遞減區間為 ；
當2≤ u ≤3，即 ≤ x ≤1時， f （ x ）單調遞增，
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所以遞增區間為 .
由 f （0）＝－3， f ＝－4， f （1）＝－ ，
得 f （ x ）的值域為[－4，－3].
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