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函數(shù)的概念及其表示
環(huán)節(jié)一 函數(shù)的概念（一）
引入新課
問題1 在初中我們已經接觸過函數(shù)的概念，知道函數(shù)是刻畫變量之間對應關系的數(shù)學模型和工具．例如，正方形周長l與邊長x的對應關系是l＝4x．
（1）l是x的函數(shù)嗎？
（2）這個函數(shù)與正比例函數(shù)y＝4x是同一個函數(shù)嗎？
是
不是
追問：針對一個概念要研究哪些內容？
答案：實際問題→下定義→表示→應用
探究新知
（1）S＝350t是函數(shù)嗎？為什么？
（2）有人說：“根據對應關系S＝350t，這趟列車加速到350 km/h后，運行1 h就前進了350 km．”你認為這個說法正確嗎？
答案：（1）是．因為t和S是兩個變量，而且對于t的每一個確定的值，
S都有唯一確定的值與之對應，所以S是t的函數(shù)．
（2）錯誤．
問題2　閱讀材料，回答問題：
某“復興號”高速列車加速到350 km/h后保持勻速運行半小時．這段時間內，列車行進的路程S（單位：h）的關系可以表示為S＝350t．
不能，因為半小時之后列車的運行狀況未知．
追問2　這個說法犯了什么錯誤？
忽略了時間t的變化范圍．
追問3　你認為如何描述才能準確反映實際問題？
在S＝350t的基礎上，給時間t備注上范圍．
追問1　能否根據現(xiàn)有條件回答“24 h時對應的距離是多少？”為什么？
探究新知
問題2中函數(shù)的精確描述：
列車行進的路程S與運行時間t的對應關系是
S＝350t．①
其中，t的變化范圍是數(shù)集A1＝{t|0≤t≤0.5}，
S的變化范圍是數(shù)集B1＝{S|0≤S≤175}．
對于數(shù)集A1中的任一時刻t，按照對應關系①，
在數(shù)集B1中都有唯一確定的路程S和它對應．
探究新知
（1）你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？
（2）問題3與問題4中函數(shù)有相同的對應關系，它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？
（3）請同學們模仿問題3給出的精確描述，準確地反映實際問題．
某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．
問題3　閱讀材料，回答問題：
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答案：（1）w＝350d，w是工作天數(shù)d的函數(shù)．
某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．
（1）你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？
問題3　閱讀材料，回答問題：
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答案：（2）不是同一個函數(shù)．
因為在函數(shù)S＝350t中，0≤t≤0.5；
在函數(shù)w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，
雖然兩個函數(shù)的對應關系相同，但是自變量的取值范圍不同．
某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．
（2）問題3與問題4中函數(shù)有相同的對應關系，它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？
問題3　閱讀材料，回答問題：
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答案：（3）工資w與一周工作天數(shù)d的對應關系：w＝350d． ②
其中，d的變化范圍是數(shù)集A2＝{1，2，3，4，5，6}，
w的變化范圍是數(shù)集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．
對于數(shù)集A2中的任一個工作天數(shù)d，按照對應關系②，
在數(shù)集B2中都有唯一確定的工資w與它對應．
某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．
（3）請同學們模仿問題3給出的精確描述，準確地反映實際問題．
問題3　閱讀材料，回答問題：
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問題4　閱讀材料，回答問題：
如圖是北京市2016年11月23日空氣質量指數(shù)（Air Quality Index，簡稱AQI）變化圖．
（1）I是t的函數(shù)嗎？為什么？
（2）模仿前兩個問題，用精確的集合語言和對應關系描述這個實際問題．
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追問2 ②從所給的圖中確定11月24日12：00的AQI的值嗎？為什么？
在橫軸上，過t0作垂線交曲線與點（t0，I0），
I0就是與t0對應的值．
不能，因為時間不在圖象覆蓋的范圍內．
追問1　①通過圖形能確定唯一的I與每個t值對應嗎，怎么找？
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答案：從圖中的曲線可知，t的變化范圍是數(shù)集A3＝{t|0≤t≤24}，
AQI的值都在數(shù)集B3＝{I|0＜I＜150}．
對于數(shù)集A3中的任一時刻t，
按照圖中曲線所給的對應關系，
在數(shù)集B3中都有唯一確定的AQI的值I與之對應．
因此，這里的I是t的函數(shù)．
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問題5　閱讀材料，回答問題：
國際上常用恩格爾系數(shù)r（ ×100% ）反應一個地區(qū)人民生活質量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質量越高．表1是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質量越來越高．
表1 我國某居民恩格爾系數(shù)變化情況
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（1）你認為按表1給出的對應關系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么？
（2）如果是，這個函數(shù)有解析式嗎？如何描述這個函數(shù)？
表1 我國某居民恩格爾系數(shù)變化情況
答案：（1）r是y的函數(shù)．因為對于2006到2015年中任一個年份y，根據表1，都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對應．
探究新知
（1）你認為按表1給出的對應關系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么？
（2）如果是，這個函數(shù)有解析式嗎？如何描述這個函數(shù)？
表1 我國某居民恩格爾系數(shù)變化情況
答案：（2）這個函數(shù)沒有解析式．從表格1可知，y的取值范圍是數(shù)集
A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，
恩格爾系數(shù)r的取值范圍是數(shù)集B4＝{r|0＜r≤1}．對于數(shù)集A4中的任一個年份y，根據表1所給的對應關系，在數(shù)集B4中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對應．
探究新知
對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應．
上述問題的共同特征有：
（1）都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；
（2）都有一個對應關系；
（3）盡管對應關系的表示方法不同，但它們都有如下特性：
問題6　上述問題3~問題6中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能抽象出函數(shù)概念的本質特征嗎？
探究新知
對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：
y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
函數(shù)的定義域，對應關系和值域也叫函數(shù)的三要素．
抽象函數(shù)概念
探究新知
答案：值域與集合B不一定相等，值域是集合B的子集．
具體例子見問題6．
追問　值域和集合B相等嗎？它們的關系是什么？
探究新知
函數(shù) 一次函數(shù) 二次函數(shù) 反比例函數(shù)
a＞0 a＜0 對應關系
定義域
值域
R
R
R
R
問題7　你能用新的定義描述一次函數(shù)y＝ax＋b（a≠0）、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函數(shù)y＝（k≠0）嗎？從哪幾個角度描述？
探究新知
知識應用
例 函數(shù)的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關系和規(guī)律．例如，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）可以用來刻畫勻速運動中路程與時間的關系、一定密度的物體的質量與體積的關系、圓的周長與半徑的關系等．
試構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y(tǒng)＝x（10－x）來描述．
解：把y＝x（10－x）看成二次函數(shù)，那么它的定義域是R，值域是B＝{y|y≤25}．
對應關系 f 把R中的任意一個數(shù)x，對應到B中唯一的數(shù)x（10－x）．
其中，x的取值范圍是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范圍是B＝{y|0＜y≤25}．
對應關系 f 把每一個長方形的周長x，對應到唯一確定的面積x（10－x）．
如果對x的取值范圍作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以構建如下情境：
長方形的周長為20，設其一邊長為x，面積為y，那么y＝x（10－x）．
答案：
知識應用
歸納總結
問題8
（1）本節(jié)課我們主要學習了函數(shù)的概念，為什么要重新學習函數(shù)的概念？
（2）用“集合—對應說”下的函數(shù)概念分析一個函數(shù)要關注哪幾個要素？這些要素的特點是什么？
（3）與初中的函數(shù)概念相比，要特別注意哪個要素？
（4）按照問題2的答案，下一課時應該研究什么？
答案：
（1）初中所學的函數(shù)概念主要關注的是變量之間的依賴關系，對自變量的變化范圍缺乏約束，在應用中容易產生誤判．
（2）采用“集合—對應說”之后，同時關注函數(shù)的定義域、對應關系和值域．其中對應關系是核心，有如下特征：對于定義域中任意實數(shù)在值域中都能找到唯一的實數(shù)與之對應．但對應關系的形式多樣，除了解析式，還可以是圖象，表格，文字語言等．
（3）與初中的函數(shù)概念相比，要特別注意定義域必須符合題目要求．
（4）研究函數(shù)的表示．
歸納總結
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