資源簡(jiǎn)介

10.1 二元一次方程組的概念 教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
（一）內(nèi)容
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第十章 “二元一次方程組” 10.1 二元一次方程組的概念，內(nèi)容包括：理解二元一次方程 (組) 及其解的概念；會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)值是不是某個(gè)二元一次方程 (組) 的解；能針對(duì)具體問題列出二元一次方程 (組)。
（二）內(nèi)容解析
本節(jié)課內(nèi)容是方程知識(shí)體系的拓展，它豐富了方程的類型，讓學(xué)生接觸到更具一般性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的方程模型，進(jìn)一步深化對(duì)方程概念的理解。二元一次方程 (組) 是進(jìn)一步學(xué)習(xí)多元方程 (組)、一次函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)。同時(shí)，二元一次方程 (組) 是解決實(shí)際問題的有力工具，通過學(xué)習(xí)二元一次方程 (組)，學(xué)生能夠更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性和趣味性。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：理解二元一次方程 (組) 及其解的概念。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
（一）目標(biāo)
理解二元一次方程 (組) 及其解的概念；會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)值是不是某個(gè)二元一次方程 (組) 的解；能針對(duì)具體問題列出二元一次方程 (組)。
體會(huì)從實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的建模思想，在探究二元一次方程 (組) 的概念過程中，體會(huì)類比思想。
在分析實(shí)際問題，列出二元一次方程 (組) 的過程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力。
（二）目標(biāo)解析
理解二元一次方程（組）及其解的概念是本節(jié)課的基礎(chǔ)，檢驗(yàn)解是對(duì)概念的具體應(yīng)用，能讓學(xué)生直觀感受方程（組）解的意義。而根據(jù)具體問題列出方程（組），則是將所學(xué)知識(shí)用于解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，是知識(shí)的深化與拓展。
建模思想幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型求解，提升學(xué)生分析和解決問題的能力。類比思想通過對(duì)比一元一次方程，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)二元一次方程（組）的特點(diǎn)和規(guī)律，有助于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和邏輯思維能力。
數(shù)學(xué)抽象能力使學(xué)生能夠從具體情境中提煉出數(shù)學(xué)要素，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來。邏輯推理能力則幫助學(xué)生依據(jù)已知條件和數(shù)學(xué)規(guī)則，推導(dǎo)出方程（組），培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ)。
三、教學(xué)問題診斷分析
概念理解偏差：容易混淆項(xiàng)的次數(shù)與未知數(shù)的次數(shù)，例如將 xy = 3 誤判為二元一次方程，對(duì) “含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1” 這一關(guān)鍵特征把握不準(zhǔn)。
模型建立困難：面對(duì)實(shí)際問題時(shí)難以準(zhǔn)確提取兩個(gè)獨(dú)立等量關(guān)系，如在行程問題中，不能清晰區(qū)分路程、速度、時(shí)間之間的不同關(guān)系，導(dǎo)致無法正確列出方程（組）。
解的判斷錯(cuò)誤：對(duì)公共解概念理解不透徹，忽略代入兩個(gè)方程驗(yàn)證的必要性，在判斷某組數(shù)值是否為二元一次方程組的解時(shí)，僅代入一個(gè)方程進(jìn)行檢驗(yàn)。
應(yīng)用意識(shí)薄弱：不理解建立二元方程組的優(yōu)越性，習(xí)慣用一元一次方程解決問題，缺乏多角度分析問題的意識(shí)，對(duì)實(shí)際問題中為何需要引入兩個(gè)未知數(shù)來構(gòu)建模型缺乏深入思考。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）情景引入
問題呈現(xiàn)：某果園需要采收 800kg 蘋果，現(xiàn)有兩種采收方案。方案 A：全部用大型采收機(jī)，每臺(tái)每小時(shí)采收 50kg；方案 B：混合使用大、小型采收機(jī)，其中小型機(jī)每臺(tái)每小時(shí)采收 30kg。若同時(shí)租用兩種機(jī)器共 15 臺(tái)，1 小時(shí)完成任務(wù)，每種機(jī)器各需多少臺(tái)？
引導(dǎo)思考：如果只設(shè)一個(gè)未知數(shù)（如大型機(jī)臺(tái)數(shù) x），如何列方程？學(xué)生嘗試：設(shè)大型機(jī) x 臺(tái)，則小型機(jī) (15 - x) 臺(tái)，方程為 50x + 30 (15 - x)=800。接著提問：若直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)（大型機(jī) x 臺(tái)，小型機(jī) y 臺(tái)），如何列方程？學(xué)生得出：x + y = 15，50x + 30y = 800。
設(shè)計(jì)意圖：通過產(chǎn)生矛盾的問題情境，引發(fā)認(rèn)知沖突，直觀體會(huì)引入兩個(gè)未知數(shù)的必要性。對(duì)比一元與二元方程組的差異，滲透建模思想，對(duì)應(yīng)目標(biāo) (2)。
（二）合作探究 1：二元一次方程的特征
展示方程：呈現(xiàn)方程①x + y = 15，②50x + 30y = 800，③2x - 3y = 1，④x/2 + y = 5 等，讓學(xué)生觀察這些方程的特點(diǎn)。
小組討論：組織學(xué)生分組討論，每個(gè)方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)、未知數(shù)的次數(shù)、式子是否為整式等方面的特征。
歸納總結(jié)：小組代表發(fā)言后，教師總結(jié)歸納二元一次方程的定義：每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù) (x 和 y)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1，像這樣的方程叫作二元一次方程。
針對(duì)練習(xí)：給出一些方程，如 3x + 2y = 7，xy - 2 = 0，x + 1/y = 3，2x - y = 5 等，讓學(xué)生判斷是否為二元一次方程，并說明理由，強(qiáng)化對(duì)二元一次方程概念的理解。
（三）合作探究 2：二元一次方程組的特征
回歸情境方程：回到果園采收問題列出的兩個(gè)方程 x + y = 15 與 50x + 30y = 800，將它們組合在一起。
觀察分析：引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個(gè)方程組合后的特點(diǎn)，思考它與單個(gè)二元一次方程以及之前學(xué)過的方程形式的不同之處。
得出定義：教師給出二元一次方程組的定義：這個(gè)方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1，一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組。
舉例鞏固：再列舉一些二元一次方程組，如 {x - y = 2, 3x + y = 10}，{2x + 3y = 5, x = 2y} 等，讓學(xué)生加深對(duì)二元一次方程組形式的認(rèn)識(shí)。
（四）合作探究 3：二元一次方程（組）的解
二元一次方程的解：以方程 x + y = 15 為例，探究滿足方程且符合實(shí)際意義的 x，y 的值，如 x = 1，y = 14；x = 2，y = 13 等，將這些值填入表格。讓學(xué)生明白使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解，且二元一次方程有無數(shù)個(gè)解。
二元一次方程組的解：對(duì)于方程組 {x + y = 15, 50x + 30y = 800}，讓學(xué)生嘗試找出既滿足 x + y = 15，又滿足 50x + 30y = 800 的 x，y 的值。通過計(jì)算或嘗試，學(xué)生發(fā)現(xiàn) x = 5，y = 10 是該方程組的解，從而得出二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫作二元一次方程組的解，且二元一次方程組一般有唯一解（特殊情況除外）。
檢驗(yàn)練習(xí)：給出幾組數(shù)值，如對(duì)于方程組 {2x + y = 5, x - y = 1}，判斷 {x = 2, y = 1}，{x = 1, y = 3} 是否為該方程組的解，讓學(xué)生通過代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)，鞏固對(duì)二元一次方程組解的概念的理解。
（五）建立方程（組）模型解決實(shí)際問題
例題講解：在籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝 1 場(chǎng)得 2 分，負(fù) 1 場(chǎng)得 1 分。某隊(duì)在 10 場(chǎng)比賽中得到 16 分，這個(gè)隊(duì)的勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？請(qǐng)列出符合題意的二元一次方程組。設(shè)這個(gè)隊(duì)的勝場(chǎng)數(shù)是 x，負(fù)場(chǎng)數(shù)是 y。根據(jù)問題中的相等關(guān)系 “勝場(chǎng)數(shù) + 負(fù)場(chǎng)數(shù) = 總場(chǎng)數(shù)” 以及 “勝場(chǎng)得分 + 負(fù)場(chǎng)得分 = 總得分”，列得方程組 {x + y = 10, 2x + y = 16}。
練習(xí)鞏固：加工某種產(chǎn)品需經(jīng)兩道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件。現(xiàn)有 7 位工人參加這兩道工序，應(yīng)怎樣安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件數(shù)相等？請(qǐng)列出符合題意的二元一次方程組。設(shè)安排第一道工序?yàn)?x 人，第二道工序?yàn)?y 人。根據(jù) “總?cè)藬?shù)為 7 人” 以及 “兩道工序完成件數(shù)相等” 這兩個(gè)等量關(guān)系，學(xué)生列出方程組 {x + y = 7, 900x = 1200y}，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)。
（六）課堂小結(jié)
知識(shí)回顧：與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括二元一次方程的定義、二元一次方程組的定義、二元一次方程（組）解的定義，強(qiáng)化重點(diǎn)知識(shí)。
方法總結(jié)：總結(jié)從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程（組）模型的方法，以及檢驗(yàn)二元一次方程（組）解的方法，提升學(xué)生解決問題的能力。
思想提升：強(qiáng)調(diào)建模思想和類比思想在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想探索新知識(shí)。
（七）課堂訓(xùn)練
下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. 3x - 2y = 4z B. 6xy + 9 = 0 C. 1/x + 4y = 6 D. 4x = y - 2/4
若 2x^(2m + 3)+3y^(3n - 7)=0 是關(guān)于 x，y 的二元一次方程，則 m = ，n = 。
寫出方程 x + 2y = 5 在自然數(shù)范圍內(nèi)的所有解。
已知 {x = 2, y = 1} 是二元一次方程組 {mx + ny = 8, nx - my = 1} 的解，則 2m - n 的算術(shù)平方根為（ ）
A. ±2 B. √2 C. 2 D. 4
教師對(duì)學(xué)生的課堂訓(xùn)練進(jìn)行批改和講解，針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行分析和糾正，確保學(xué)生掌握本節(jié)課的知識(shí)。
（八）布置作業(yè)
基礎(chǔ)作業(yè)：課本課后練習(xí)題，包括判斷二元一次方程（組）、求二元一次方程的解、根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程（組）等基礎(chǔ)題型，鞏固課堂所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和技能。
拓展作業(yè)：某商店購進(jìn)甲、乙兩種商品，甲商品每件進(jìn)價(jià) 20 元，乙商品每件進(jìn)價(jià) 30 元。若購進(jìn)兩種商品共 100 件，總進(jìn)價(jià)為 2600 元，求購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？請(qǐng)用二元一次方程組和一元一次方程兩種方法求解，并對(duì)比兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力以及分析比較能力。
五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A. {x + y = 4, 2x + 3y = 7} B. {2a - 3b = 11, 5b - 4c = 6} C. {x = 9, y = 2x} D. {x + y = 8, x - y = 4}
方程 3x - 2y = 1 的解有（ ）
A. 一組 B. 兩組 C. 三組 D. 無數(shù)組
已知 {x = 1, y = -2} 是關(guān)于 x，y 的方程 2x - ay = 3 的一個(gè)解，則 a 的值為（ ）
A. -1/2 B. -2 C. -1/2 D. 1/2
為了保護(hù)環(huán)境，某校環(huán)保小組成員收集廢電池。第一天收集 1 號(hào)電池 4 節(jié)，5 號(hào)電池 5 節(jié)，總重量為 460 克；第二天收集 1 號(hào)電池 2 節(jié)，5 號(hào)電池 3 節(jié)，總重量為 240 克。設(shè) 1 號(hào)電池每節(jié)重 x 克，5 號(hào)電池每節(jié)重 y 克，可列方程組為 。
通過這些目標(biāo)檢測(cè)題，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)二元一次方程組的概念、解等知識(shí)的掌握程度。

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