資源簡(jiǎn)介

石家莊市 2025 屆普通高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（三） 5. 將函數(shù) f x sin 2x
π
π 3的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) g x 的圖象，則函數(shù) g x 圖象的一
3 12
數(shù)學(xué)試卷
個(gè)對(duì)稱中心是（ ）
（本試卷滿分 150分，考試時(shí)間 120 分鐘）
π ,3 π ,0 π ,3 π 注意事項(xiàng)： A. B. C. D. , 0 12 12 6 6
1.答卷前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū). 1
6. 已知平面向量a，b是兩個(gè)單位向量，a在b上的投影向量為 b，則2 a 2b a b （ ）2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆.
1
3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效：在草稿紙、試 A. -1 B. C. 0 D. 12
卷上答題無(wú)效. x
f x R x 0, x x 2
f x1 x1 f x2
7. 已知 是定義在 上的奇函數(shù)，當(dāng)x1、 2 且 1 2 時(shí)，都有 0成立，
4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑. x1x2 x1 x2
5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀. f 2025 2025，則不等式 f x x 0的解集為（ ）
一、選擇題：本題共 8小題，每小題 5 分，共 40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題
A. , 2025 2025, B. 2025,0 2025,
目要求的．
1. 設(shè)復(fù)數(shù) z 4 3i的共軛復(fù)數(shù)為 z，則 z z （ ） C. 2025,2025
1 , 1 D. 2025 2025
A. 25 B. 10 C. 13 D. 25
3
2. 已知 a 20.6 0.8 c log 0.9
8. 在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，正方形框架 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2，長(zhǎng)方形框架 ABEF 的長(zhǎng) BE AB，且它們所在平面形
，b 0.5 ， 2 ，則 a，b，c 的大小關(guān)系為（ ） 2
A. a b c B. b a c C. b c a D. c b a π成的二面角C AB E 的大小為 ，活動(dòng)彈子 M，N 分別在對(duì)角線 AC和 BF 上移動(dòng)，且始終保持
3
x2 y2 AM BN
3. 已知橢圓C : 1 a b 0 的左、右焦點(diǎn)為 F1 3,0 ，F(xiàn)2 3,0 ，且過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線 l 交橢圓于 A、B a 0 a 1 ，則MN的長(zhǎng)度最小時(shí) a的取值為（ ）a2 b2 AC BF
兩點(diǎn)，△AF1B的周長(zhǎng)為 20，則橢圓 C 的離心率為（ ）
3 3 4
A. B. C. D. 3
10 5 5 2
4. 已知隨機(jī)事件 A、B， B表示事件 B 的對(duì)立事件， P A 0.4， P B 0.6，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A. 事件 A 與 B 一定是對(duì)立事件 8 6 6 2A. B. C. D.
23 23 15 15
B. P A B 1
二、選擇題：本題共 3小題，每小題 6 分，共 18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全
C. P AB 0.24 部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．
D. 若事件 A、B 相互獨(dú)立，則 P AB 0.16 9. 已知數(shù)列 a 2n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn n 11n，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
Sn 15. 設(shè)VABC 的內(nèi)角A、 B、C 的對(duì)邊分別為a、b、c，已知A. b sinC 3c cosB 3a．?dāng)?shù)列 為遞減數(shù)列
n


（1）求角C 的大??；
B. 當(dāng)且僅當(dāng) n 5時(shí)， Sn取得最大值
C. an 2n 12
（2）若 AB 2 2 ，且 sin Asin B
3
，求 AB邊上中線CT 的長(zhǎng)．
8
D. 2an 是等比數(shù)列
10. 已知函數(shù) f x 是定義在 R 上的偶函數(shù)， f x 1 是定義在 R 上的奇函數(shù)，則（ ） 16. 某短視頻平臺(tái)在 2025 年上半年推出了新一代的“AI 推薦算法”，為了檢測(cè)受眾情況，該公司從點(diǎn)贊的用戶中隨
A. f x 的圖象關(guān)于點(diǎn) 1,0 中心對(duì)稱 機(jī)選取 100 名志愿者統(tǒng)計(jì)他們的年齡，并按年齡差異繪制如下頻率分布直方圖.
B. f x 是周期為 2 的函數(shù)
C. f 2027 0
19
D. f i 0
i 1
（1）估計(jì)這 100 名志愿者年齡的中位數(shù)（結(jié)果精確到 0.01）和平均數(shù)；
11. 已知四面體 ABCD中， AB BC ，BC CD，BC 2，O為四面體 ABCD外接球的球心，則下列說(shuō)法中正
確的是（ ）
（2）依據(jù)上述調(diào)研結(jié)果，按照各年齡段人數(shù)的比例，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這 100 名志愿者中隨機(jī)選取 20 名志
A. 若 AB CD，則 AB 平面 BCD
B. 若 AB CD 1，則 AD的取值范圍是 2,2 2 愿者參加座談會(huì)，為了更好地了解年輕人群體，需要從參加座談會(huì)的年齡在 25,45 的人中隨機(jī)選出 3 人作為代表發(fā)
2,2 言，設(shè)隨機(jī)變量 X表示代表年齡在 25,35CO CD BA 的志愿者人數(shù)，求 X 的分布列及期望.C. 若 AB CD 2，則 的取值范圍是
D. 若 AB CD 2，直線 AB與CD
28
所成的角為60o，則四面體 ABCD外接球的表面積為 π
3
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
x2 y2
2 17.x 0 已知雙曲線 ，左、右焦點(diǎn)分別為
F 、F ，兩條漸近線為
y 3x
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)
12. 若命題 p： ， x 7x 6 0，則命題 p 的否定為_(kāi)_______________ C : 1 a 0,b 0 1 2． a2 b2
13. 過(guò)點(diǎn) P 2,1 作直線與拋物線 y2 8x相交于 A，B 兩點(diǎn)，若點(diǎn) P 是線段 AB 的中點(diǎn)，則直線 AB 的斜率是 2, 3 ．
________________． （1）求雙曲線C 的方程；
14. 有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三類(lèi)競(jìng)賽名額各10個(gè)，將所有名額全部分給甲、乙兩所學(xué)校，每所學(xué)校每類(lèi)名額至少分得
一個(gè)，則甲學(xué)校所得到的三類(lèi)名額的個(gè)數(shù)的乘積與乙學(xué)校所得到的三類(lèi)名額的個(gè)數(shù)的乘積相等的分法有________種 （2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線 l與C 交于M 、N 兩點(diǎn)且點(diǎn)M 在第一象限，
（用數(shù)字作答）． ① 若以MN為直徑的圓恰好過(guò)右焦點(diǎn)F2，求點(diǎn)M 的坐標(biāo)．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
② 連接 NF2與雙曲線C 交于點(diǎn) E，若 EMN面積為 6 2，求直線 NF2的方程．
*
f x m x 1 ln x （3m 0 ）若輸入 (a , b )，其中1≤a b≤5n 1 n N ，通過(guò)上面三臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)運(yùn)算可以得到自然數(shù)對(duì)18. 已知函數(shù) x ，其中 ．
f x 1,1 5k k N
* 1的概率為 Pn，證明： P
（1）討論 的單調(diào)性； n
．
5
（2）若 f x 在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn) a，b，c（a b c）．
① 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
a c② 求證： 3b．
m
19. 有三臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)，分別對(duì)自然數(shù)對(duì)進(jìn)行運(yùn)算：
第Ⅰ臺(tái)：輸入 (a , b )，則輸出 a 1,b 1 ；
a b
第Ⅱ臺(tái)：輸入 (a , b )，則輸出 , ，僅當(dāng) a，b同為偶數(shù)時(shí)；
2 2
第Ⅲ臺(tái)：輸入 (a , b )， (b,c)，則輸出 (a,c)．
若輸入一組自然數(shù)對(duì)，運(yùn)算過(guò)程中不再輸入其它自然數(shù)對(duì)，但運(yùn)算中輸出的所有自然數(shù)對(duì)均可重復(fù)使用．例如：若輸
入 (2,5)，通過(guò)第Ⅰ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)依次可以得到 (3,6)， 4,7 ，(5,8)；通過(guò)第Ⅲ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入 (2,5)， (5,8)可
以得到 (2,8)；通過(guò)第Ⅱ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入 (2,8)可以得到 (1,4)．
運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單表示為：
2,5 3,6 4,7 5,8
2,8 1,4 2,5
通過(guò)上述運(yùn)算可以將自然數(shù)對(duì)中的第一個(gè)數(shù)字變?yōu)?1．
根據(jù)上述運(yùn)算回答下面問(wèn)題：
（1）若輸入 (3,17)，輸出 (1,8)，試列舉一個(gè)完整運(yùn)算過(guò)程；
（2）若輸入 (5,19)，能否得到 (1,100)，并說(shuō)明理由；
參考答案及解析
解析：由題知 g x f x
π
sin 2
x π π π
3 sin 2x 3 .
12 12 3

6
1. 答案：D
π π kπ π kπ
解析：由 z 4 3i可得 z 4 3i，則 z z 4 3i 4 3i 16 9i2 16 9 25 . 令 2x kπ,k Z，解得 x ,k Z，∴函數(shù) g x 圖象的對(duì)稱中心 ,3 ,k Z .
6 12 2 12 2
故選：D .
π
2. 答案：D ∴當(dāng) k 0時(shí)， ,3 為函數(shù) g x 圖象的一個(gè)對(duì)稱中心. 12
解析：因?yàn)?y log2 x單調(diào)遞增，所以 c log2 0.9 log21 0， 故選：A.
因?yàn)?y 2x單調(diào)遞增，所以 a 20.6 20 1， 6. 答案：B

因?yàn)?y 0.5x單調(diào)遞減，所以b 0.50.8
解析：因?yàn)槠矫嫦蛄?， 是兩個(gè)單位向量，
0.50 1 a b，且b 0

a b c 所以 ， 故a在b上的投影向量為 (| a | cos a,b )
b 1 b, cos a,b 1 ,
| b | 2 2
故選：D.
1
3. 答案：B 所以 a b ,2
2 2 1
解析：因?yàn)?AF1B的周長(zhǎng)為 20，所以 AB AF1 BF1 AF2 BF2 AF1 BF1 20， 所以 a 2b a b a a b 2b ,2
由橢圓定義可知： 4a 20，即 a 5， 故選：B.
c 3
又因?yàn)?c 3，所以橢圓 C 的離心率為 . 7. 答案：B
a 5
故選：B f x f x f x 解析：構(gòu)造函數(shù) g x ，其中 x 0，則 g x g x ，
x x x
4. 答案：D
解析：對(duì)于 AB，一個(gè)密封的盒子中有標(biāo)號(hào)為 1,2，3,4,5 的 5 個(gè)小球從中任取 1 球， 故函數(shù) g x 為偶函數(shù)，
記事件 A：從中取出球的標(biāo)號(hào)為 1,2，事件 B：從中取出球的標(biāo)號(hào)為 1,2,3， x f x x f x
當(dāng)x 、 x 2 1 1 21 2 0, 且 x1 x2 時(shí)，都有 0成立，
則 P A 0.4,P B 0.6，滿足P A P B 1 x x x，但 A,B不是對(duì)立事件，故 A 錯(cuò)誤； 1 2 1 x2
x f x x f x f x f xP A B P B 0.6 B x x 2 1 1 2 1 2 由上例可知 ，故 錯(cuò)誤； 不妨設(shè) 1 2，則 0，即 g x1 g xx x x x 2 ，1 2 1 2
對(duì)于 C，P AB P A P B 僅在事件 A、B 相互獨(dú)立時(shí)才成立，而不知道事件 A、B 的關(guān)系，故不確定 P AB 的
故函數(shù) g x 在 0, 上為增函數(shù)，即該函數(shù)在 ,0 上為減函數(shù)，
值，錯(cuò)誤.
f 2025
因?yàn)?f 2025 2025，則 g 2025 g 2025 1，
對(duì)于 D，若事件 A、B 相互獨(dú)立，則事件 A、 B也相互獨(dú)立， 2025
所以 P AB P A P B P A 1 P B 0.4 1 0.6 0.16，正確.
當(dāng) x 0時(shí)，由 f x x 0 f x 得 1，即 g x g 2025 ，解得 x 2025；
x
故選：D
5. 答案：A
f x 2
當(dāng) x 0時(shí)，由 f x x 0得 1，即 g x g 2025 ，解得 2025 x 0 . 23a2 16a 4 23 a
8 28
x 23
，
23
綜上所述，不等式 f x x 0的解集為 2025,0 2025, a 8. 當(dāng) 時(shí)， MN 2取到最小值，即MN取到最小值.
23
故選：B. 故選：A
8. 答案：A 9. 答案：ACD
Sn n 11 Sn 1 S解析：由題意可知， ，則 n n 10 n 11 1 0，
n n 1 n
解析： S
n

故數(shù)列 為遞減數(shù)列，故 A 正確；
n


11
因二次函數(shù) y x2 11x 的對(duì)稱軸為 x ，且開(kāi)口朝下，
2
由題意知， AB BC, AB BE，
則當(dāng) n 5或6時(shí)， Sπ n取得最大值，故 B 錯(cuò)誤；
CBE就是二面角C AB E 的平面角，即 CBE ，
3
當(dāng) n 2 2時(shí)， Sn 1 n 1 11 n 1 n2 13n 12，
以 B為原點(diǎn)，以 BA,BE所在直線分別為 x, y軸，過(guò) B點(diǎn)作 z軸 平面 ABEF，
則 an Sn S
2 2
n 1 n 11n n 13n 12 2n 12，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又 a1 S1 10，符合上式，故 a 2n 12,n N
*
，故 C 正確；
則 B 0,0,0 , A 2,0,0 ，C 0,1, 3 ,F 2,3,0 ， n
2n 10
AC 2,1, 3 b 2， BF 2,3,0 b an 2n 12 n 1 2 a， 令 nn 2 2 ，則 b 2 2n 12 2 ，則 2 是等比數(shù)列，故 D正確.n
設(shè)M x, y, z ,N m,n,0 ， 故選：ACD
AM BN
由 a 0 a 1 ，可知 AM aAC,BN aBF ， 10. 答案：AC
AC BF
x 2, y, z a 2,1, 3 m,n,0 a 2,3,0 解析：對(duì)于 A，因?yàn)?y f x 1 是 R 上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，， ，
x 2 2a 又 y f x 1 可看成是函數(shù) y f x 向左平移 1 個(gè)單位得到，所以 f x 的圖象關(guān)于點(diǎn) 1,0 中心對(duì)稱，故 A 正確；
m 2a
y a ， ，
n 3a 對(duì)于 B，由 y f x 1 是 R 上的奇函數(shù)，可得 f x 1 f x 1 ，即 f x f x 2 ，
z 3a
解得 x 2 2a， 又 f x f x ，則 f x 2 f x ，所以 f x 4 f x 2 f x ，故 f x 是周期為 4 的函數(shù)，故 B
M 2 2a,a, 3a ,N 2a,3a,0 ， 錯(cuò)誤；
2 2 2 f x f x 2 f 1 f 2 對(duì)于 C，由 ，令 x 1，得 1 ，則 f 1 0， MN 2 2a 2a a 3a 3a
f 2027 f 506 4 3 f 3 f 1 f 1 0，故 C 正確；
對(duì)于 D，由 f x 2 f x 0，則 f 2 f 4 0，又 f 1 f 3 0， f x 是周期為 4 的函數(shù)， 對(duì)于 D 選項(xiàng)，以 BC 、CD為鄰邊作平行四邊形 BCDF ，則 BCDF為矩形，
故 A BCDF的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，如下圖所示：
19
則 f i 4 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 2 f 3 f 2 ，
i 1
而 f 2 的值無(wú)法確定，故 D 錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 答案：ABC
解析：對(duì)于 A 選項(xiàng)，若 AB CD，又因?yàn)?AB BC ， BC CD C ，
則 BF BC，又因?yàn)?BC AB， AB BF B ，
BC CD AB、 BF 平面 ABF ，、 平面 BCD，故 AB 平面 BCD，A 對(duì)；
所以， BC 平面 ABF ，且 BF CD 2，
對(duì)于 B 選項(xiàng)， AD AB BC CD，由題意 AB BC BC CD 0，
如下圖所示：
2 2 2 2 2 所以 AD AB BC CD AB BC CD 2 AB BC BC CD AB CD

6 2AB CD 6 2 AB CD cos AB,CD 6 2cos AB,CD ，

因?yàn)?AB、CD互為異面直線，則 AB,CD 0, π ，
2
故 AD 6 2cos AB,CD 4,8 ，故 2 AD 2 2 ，B 對(duì)；
對(duì)于 C 選項(xiàng)，不妨取CD的中點(diǎn)E，連接OE、OD，則OE CD，
2CO CD CE EO CD CE CD EO 1 CD CD ， 圓柱O1O2的底面圓直徑為 2r，母線長(zhǎng)為 h，則O1O2的中點(diǎn)O到圓柱底面圓上每點(diǎn)的距離都相等，則O為圓柱O1O2 2
的外接球球心.
可將三棱錐C ABF 置于圓柱O1O2內(nèi)，使得△ABF的外接圓為圓O2，如下圖所示：
1 2 1 2
同理可得CO CA CA ，CO CB CB ，
2 2
所以，CO CD BA CO CD AB CO CD CB CA
1 2 2 2 CD CB CA 1 1 CD2 BC 2 AC 2 CD2 AB22 2 2 因?yàn)镃D //BF ，故異面直線 AB、CD所成的角為 ABF 或其補(bǔ)角，
1
CD AB CD AB CD AB CD 2 CD 2CD 2，
2 2r
2 4 3

當(dāng) ABF 60 時(shí)，△ABF為等邊三角形，則該三角形外接圓直徑為 π 3 ，
因?yàn)?AB CD 2，故0 CD 2，故CO CD BA 2CD 2 2,2 sin，C 對(duì)； 3
2 16 28
設(shè)球O的半徑為 R，則 2R 2r 2 BC 2 4 ， 所以方程 y2 2y 14 0有兩個(gè)根，故方程組有兩組解，滿足條件，
3 3
2 28π
此時(shí)，球O的表面積為 4πR ； 若直線 AB的斜率不存在，則直線方程為 x 2，此時(shí)線段 AB 的中點(diǎn)為 2,0 矛盾，3
當(dāng) ABF 120 時(shí)，由于 AB BF 2，則 AFB 30 ， 故答案為：4 .
2 14. 答案：
ABF 2 2
25
則△ 外接圓直徑為 2r 4，則 2R 2r BC 2 16 4 20，sin 30 解析：設(shè)甲學(xué)校所得到數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三類(lèi)競(jìng)賽名額分別為 a、b、 c，
此時(shí)，球O的表面積為 4πR2 20π .
其中a、b、 c 1,9 且a、b、 c N ，
28π
綜上所述，球O的表面積為 或 20π，D 錯(cuò).
3 則甲學(xué)校所得到數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三類(lèi)競(jìng)賽名額分別為10 a、10 b、10 c，
故選：ABC. 由題意可得 abc 10 a 10 b 10 c ，
12. 答案： x 0，x2 7x 6 0 若a、b、 c均不為5，則a、b、 c中有兩個(gè)數(shù)大于5一個(gè)數(shù)小于5或者兩個(gè)數(shù)小于5一個(gè)數(shù)大于5，
a c a
2 2 由于對(duì)稱性，不妨考查 、b均小于5， 大于5，則 、b 1,2,3,4 ， c 6,7,8,9 ，解析：命題 p： x 0， x 7x 6 0的否定為： x 0，x 7x 6 0，
2 則 ab 1,2,3,4,6,8,9,12,16 ，則6 10 a 9，6 10 b 9，故36 10 a 10 b 81，故答案為： x 0，x 7x 6 0
13. 答案：4 當(dāng) c 6時(shí)，則6ab 4 10 a 10 b ，因?yàn)?ab 96， 4 10 a 10 b 144，
解析：設(shè) A x , y ,B x , y ， 等式不成立；1 1 2 2
x x 當(dāng) c 7時(shí)，則7ab 3 10 a 10 b ，因?yàn)?ab 112，3 10 a 10 b 108，若直線 AB的斜率存在，則 1 2 ，
x x點(diǎn) P 是線段 AB的中點(diǎn)， 1 2
y1 y2 由于7ab 3 10 a 10 b ，且 7ab為 7 的倍數(shù)也為3的倍數(shù)， 2, 1，
2 2
而108、109、110、111、112中沒(méi)有 21的倍數(shù)，不合乎題意；
∴ x1 x2 4, y1 y2 2，
當(dāng) c 8時(shí)，則8ab 2 10 a 10 b ，因?yàn)?ab 128， 2 10 a 10 b 72，
y21 8x 12 ，兩式作差可得 y1 y2 y1 y2 8 x1 x2 ，
y2 8x2 又因?yàn)?ab為8的倍數(shù)，8ab 72,80,88,96,104,112,120,128 ，
y1 y2 8 k y1 y 2 可得 ab 9,10,11,12,13,14,15,16 ，所以， ab 9,12,16 ，即 x1 x2 y
，又 AB ，
1 y2 x1 x2
若 ab 9時(shí)，則a b 3，此時(shí)8ab 2 10 a 10 b ，
kAB 4，
a 3 a 4
直線 AB的方程是 y 1 4 x 2 8ab 2 10 a 10 b，即 4x y 7 0 若 ab 12，則 或 ，此時(shí) ，， b 4

b 3
4x y 7 0 2 若 ab 16，則 a b 4，此時(shí)8ab 2 10 a 10 b ，均不合乎題意；聯(lián)立 2 ，可得 y 2y 14 0，
y 8x
當(dāng) c 9時(shí)，則9ab 10 a 10 b ，因?yàn)?ab 144，36 10 a 10 b 81，
方程 y2 2y 14 0的判別式 4 56 0，
則9ab 36,45,54,63,72,81 ，可得ab 4,5,6,7,8,9 ，故 ab 4,6,8,9 ， 在VABC 中，由余弦定理可得 c2 8 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab a2 b2 4，
若 ab 4，則 a b 2，此時(shí)9ab 10 a 10 b ； 所以， a2 b2 12，
a 2 a 3 1
若 ab 6，則 或 ，此時(shí)9ab 10 a 10 b ， 因?yàn)镃T 為 AB邊上的中線，所以CT CB CA ，
b 3 b 2 2

a 2 a 4 2
若 ab 8，則 或 ，此時(shí)9ab 10 a 10 b 1， 所以CT 2 1 2 2 CB CA CB 1 CA 2CB CA a2 b2 2abcosC
b 4 b 2 4 4 4

若 ab 9，則 a b 3，此時(shí)9ab 10 a 10 b ，均不合乎題意. 1 a2 1 b2 ab 12 4 4，故 CT 2，4 4
故a、b、 c中至少有一個(gè)為5，不妨設(shè) c 5，則10 c 5，
因此， AB邊上的中線CT 的長(zhǎng)為2 .
由 abc 10 a 10 b 10 c 可得 ab 10 a 10 b ，則 a b 10，
16. 答案：（1）估計(jì)這 100 名志愿者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)分別為42.14和 41.5
當(dāng) a,b,c 5,5,5 時(shí)，只有1種情況， （2） X 的分布列為：
當(dāng) a,b,c 為1、5、9 3的一個(gè)排列時(shí)，有A3 6種情況； X 0 1 2 3
當(dāng) a,b,c 為2、5、8或3、5、 7 或4、5、6的一個(gè)排列時(shí)，各有6種情況. 7 21 7 1
P
的 4 6 1 25 24 40 40綜上所述，符合條件 分法種數(shù)為 種. 120
故答案為： 25 . E X 9
π 10
15. 答案：（1）C
3 解析：
（2）2 （1）由頻率分布直方圖可知：因?yàn)榍皟山M的頻率之和為 0.01 0.015 10 0.25，前三組的頻率之和為
解析：
0.01 0.015 0.035 10 0.6，所以中位數(shù)位于區(qū)間 35,45 中，
（1）在VABC 中，由b sinC 3c cosB 3a及正弦定理得
35 10 0.5 0.25 50sin B sinC 3 sinC cos B 3 sin A 3 sin B C 3 sin B cosC 3 cos B sinC 中位數(shù)的估計(jì)值為 35 42.14；， 0.35 7
即 sinBsinC 3sinBcosC， 由頻率分布直方圖可知：樣本平均數(shù)的估計(jì)值為
π 20 0.01 10 30 0.015 10 40 0.035 10 50 0.03 10 60 0.01 10 41.5
.
因?yàn)?B、C 0,π ，則 sin B 0，即 sinC 3 cosC 0，可得 tanC 3，故C .3 故估計(jì)這 100 名志愿者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)分別為42.14和 41.5 .
a b c 2 2 4 6
π （2）由題可知從中選取的 20名志愿者中，年齡在 25,45 的有 20 0.015 0.035 10 10人，其中年齡在 25,35 （2）由正弦定理可得 sin A sin B sinC ，sin 3
3 的有 20 0.015 10 3人.
2
ab sin Asin B c 4 由題知年齡在 25,35 的志愿者人數(shù) X服從超幾何分布， X 的所有可能取值為0，1，2，3，所以 ，
sin2 C
0 3
P X 0 C C 35 7 C
1C2 3 21 63 21
3 7 P X 1 3 7 ② 設(shè)直線 NE的方程為 x my 2，設(shè)點(diǎn) E x1, y1 、 N x2 , y2 ，， ，
C310 120 24 C
3
10 120 120 40
x my 2
C2C1 3 7 21 7 3 0 聯(lián)立 2 2 可得 3m
2 1 y2 12my 9 0 ，P X 2 3 73 ， P X 3
C3C7 1 3x y 3
C 3
，
10 120 120 40 C10 120
所以 X的分布列為：
X 0 1 2 3
7 21 7 1
P
24 40 40 120
7 21 7
X的期望 E X 0 1 2 3 1 9 .
24 40 40 120 10
2 y 3m
2 1 0
17. 答案：（1） x2 1
3 Δ 144m
2 36 3m2 1 36 m2 1 0

由題意可得 12m ，
M 7 3
y1 y2 2
（2）（i） , ；（ii） x y 2 0 .
3m 1
2 2 y 91y2 2
解析： 3m 1
由雙曲線的對(duì)稱性可知MF1 //NF ，b 2
（1）由雙曲線C 的兩條漸近線方程為 y 3x，得 3，即
a b 3a
，
S S 1 2 MEN NEF F1F2 y1 y2 2 y1 y2 4y1 2 1y2
2, 3 2 3 2又因?yàn)殡p曲線C 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，得 2 1 a 1 2，解得 ，a b2 b 3， 2 12m 4 9 12 m 1 1 6 2 2，解得m2 1或m （舍去）， 3m2 1 3m2 1 3m2 1 9
y2 9
所以雙曲線C 的方程為 x2 1. 因?yàn)?y1y2 2 0，所以3m2 1 0，滿足題意，
3 3m 1
由圖可知m 0，所以，直線 NF 的方程為 x y 2 0 .
（2）①由題意知，點(diǎn)M 在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上， 2
設(shè)點(diǎn)M x0 , y x2 20 ，則 0 y0 4 18. 答案：（1）答案見(jiàn)解析；，
1
（2）（i）0 m ；（ii）證明見(jiàn)解析.
2
x2 y2 2 7
0 0
4

x0
M C 2
4
解析：又因?yàn)辄c(diǎn) 在雙曲線 上，聯(lián)立 y ，可得 ，
x2 00 1 y2 9 3 0 4 （1） f (x)的定義域?yàn)?(0, )，
7 3 1 1 mx2 x m
又因?yàn)辄c(diǎn)M 在第一象限，所以M , ； f (x) m 1 2 2 .
2 2 x x x
當(dāng)m
1
時(shí)，
2 1 4m
2 0，所以mx2 x m 0恒成立， f 1 0 1即 3 ，所以 c

m
x2 , 使 f (c) 0 .
m3
所以 f (x)在 (0, )單調(diào)遞增；
f 1 m 1 x ln 1 m 1 x ln x m x 11 2 因?yàn)?

ln x

f (x)，
當(dāng)0 m 時(shí)，
2 1 4m 0， x x x x

x
2 2 1 1
所以 f (x) 0 1 1 4m 1 1 4m 3 3
1
的兩根為 x , x ， 又因?yàn)?3 x2 0 m xm x 1，所以
f m f 0，1 2m 2 2m 32 m
且 x1 x
1
2 0, x1x2 1 0
3
，所以0 x1 x2， 所以 a m , x1 使 f (a) 0，m
所以， x x1, x2 時(shí)， f (x) 0, x 0, x1 或 x2 , 時(shí)， f (x) 0 1． 所以，當(dāng) 0 m 時(shí)， f (x)有三個(gè)零點(diǎn) a,b 1,c，2
所以 f (x)在 x1, x2 上單調(diào)遞減，在 0, x1 和 x2 , 單調(diào)遞增． ② 由（i）可知， f (x)的三個(gè)零點(diǎn)： a (0,1),b 1,c (1, )，
1 2 2
綜上：當(dāng)0 m 時(shí)， f (x)
1 1 4m ,1 1 4m在 單調(diào)遞減， 因?yàn)?f
1
f (x) ，且 f (a) f (c) 0，所以ac 1，2 2m 2m x

0,1 1 4m
2 1 1 4m2 , 又因?yàn)? m
1 1 c 2
2
，所以
a a 2c a ，
在 和2m 2m
單調(diào)遞增； 2 m m a

因?yàn)?a (0,1)，所以函數(shù) h(a) a 2 單調(diào)遞減， h(a) h(1) 3，
m 1 a當(dāng) 時(shí)， f (x)在 (0, )單調(diào)遞增.
2 c
所以 a a 2c 2 a 3 3b，得證．
（2）① 由（1）可知當(dāng)m
1
時(shí)， f (x)在 (0, ) m a單調(diào)，
2 19. 答案：（1）答案見(jiàn)解析；
不可能有三個(gè)零點(diǎn)；
（2）不能； （3）證明見(jiàn)解析.
1 2 2
當(dāng)0 m 時(shí)， f (x) 0的兩根為
2 x
1 1 4m 1 1 4m
， 解析：
1 , x 2m 2 2m
（1）若輸入 (3,17)，則 (3,17) (4,18) (2,9) (9,16)
x x 1
，
且 1 2 0, x1x2 1 0，所以 0 x1 1 x2 ，且 f (1) 0，m
再輸入 (2,9), (9,16)得 (2,16) (1,8)；
因?yàn)?f (x)在 x1, x2 上單調(diào)遞減，所以 f x1 f (1) 0 f x2 ，
（2）不能得到 (1,100)
2
因?yàn)?
1
m 1 1 1 4m 1 1，所以 x2 , f
4
， 輸入的 (5,19)兩數(shù)之差是 7 的倍數(shù)．2 m3 2m m3 m2
m 3lnm
第 I 臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)運(yùn)算，兩個(gè)數(shù)都加 1，運(yùn)算后兩數(shù)之差仍是 7 的倍數(shù)；
2
1 4 2 3 3 3m 2 4m6設(shè) g(m) 2 m 3lnm, g (m) 3 4m ，3 0 第 II 臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)時(shí)才能運(yùn)算，所以運(yùn)算后兩數(shù)之差也是 7 的倍數(shù)，m m m m
1 1 第 III 臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入的兩組數(shù)對(duì)
(a,b), (b,c)的差都是 7 的倍數(shù)，所以 (a,c)也是 7 的倍數(shù)，
g(m) 0, 1 g(m) g 在 上單調(diào)遞減， 4 3ln 2 3 3ln 2 02 ， 2 16 綜上，通過(guò)三臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)運(yùn)算得到的兩數(shù)之差都是 7 的倍數(shù)，而100 1 99 不能被 7 整除，所以不能得到 (1,100)；
（3）設(shè) An為 (a , b )的所有情況數(shù)，因?yàn)? a b 5n 1，
5n (5n 1) 25n2 5n 當(dāng) a 5n 4時(shí)，b可以取5n 1，共有 1 中取法，
所以 A C2n 5n 1 ；2 2
B 5(1 2 n 1) n 5n
2 3n
所以 n ；
由（2）可知只有當(dāng)b a是 5 的倍數(shù)時(shí)符合題意，下面證明： 2
5n21 m m 5k 5n 1,m, k N * 3n假設(shè)
P B 1 5n 3所以 n n 2 ，
(m,m 5k) An 25n
2 5n 5 5n 1
輸入 ，
2
則 (m,m 5k) (m 1,m 1 5k) (m 2,m 2 5k) (m 5k ,m 10k)， 所以 P 1 .
5
再輸入 (m,m 5k), (m 5k ,m 10k)得 (m,m 10k)，
因?yàn)閙,m 10k 的奇偶性相同，
m ,m 5k m 1 m 1 所以一定可以得到 或2 2
, 5k ，
2 2
m m 1
因?yàn)閙 N*，所以 m或 m，2 2
這樣就將自然數(shù)對(duì)的第一個(gè)自然數(shù)變小了，
重復(fù)上面的運(yùn)算就可以得到 (1,1 5k) k N*
設(shè)通過(guò)上面運(yùn)算可以得到 (1,1 5k) k N* 的所有情況數(shù)為 Bn，
由上述證明可知：若輸入 (a , b )，其中1 a b 5n 1 n N* ，
*
可以得到 (1,1 5k) k N ，則b a是 5 的倍數(shù)，
所以當(dāng) a 1時(shí)，b可以取6,11, ,5n 1，共有 n中取法，
當(dāng) a 2時(shí)，b可以取7,12, ,5n 3，共有 n 1中取法，
當(dāng) a 3時(shí)，b可以取8,13, ,5n 2，共有 n 1中取法，
當(dāng) a 4時(shí)，b可以取9,14, ,5n 1，共有n 1中取法，
當(dāng) a 5時(shí)，b可以取10,15, ,5n，共有 n 1中取法，
當(dāng) a 6時(shí)，b可以取11,16, ,5n 1，共有 n 1中取法，
當(dāng) a 7時(shí)，b可以取12,17, ,5n 3，共有 n 2中取法，
．．．．．．

展開(kāi)更多......

收起↑