資源簡介

2025 年長春市高三畢業班質量監測（四） 1 3 2 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
數學試卷
7. 已知直線 y x 1與曲線mx2 ny2 0(m 0,n 0) 交于 A，B 兩點，若同時經過原點和線段 AB 中點的直線斜率
本試卷共 4 頁.考試結束后，將答題卡交回.
3 x2 y2
注意事項： 為 ，則雙曲線 1的離心率為（ ）2 m n
1.答卷前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區. 5 10 5 15
A. B. C. D.
2.答題時請按要求用筆. 2 2 3 3
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效：在草稿紙、試 8. 結合以下材料：“在空間直角坐標系 O-xyz 中，過點 P x0 , y0 , z0 且一個法向量為n a,b,c 的平面 的方程
卷上答題無效.
為 a x x0 b y y0 c z z0 0 .”解決問題：在空間直角坐標系 O-xyz 中，若直線 l 是兩平面 x 3y 7 0
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀. 與 4y 2z 3 0的交線，則直線 l 的方向向量可以是（ ）
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 A. 3,1, 2 B. 3,1,2 C. 2,1, 3 D. 2,1,3
目要求的.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6分，共 18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
z 1 全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
1. 復數 2 i在復平面上所對應的點在（ ）
π
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 已知函數 f (x) 2sin 2x ，則（ ） 6
1 2π
2. 已知隨機變量 X ~ B 3, ，則 P X 1 （ ） A. x 是 f x 的一條對稱軸
3 3
7 8 12 20
A. B. C. D. B. f x 與函數 y 2cos 2x π 相等
27 27 27 27 3

3. 已知向量 a和b滿足 a b 3,a

與b的夾角為60o，則 2a b （ ）
C. f x 在區間 0,
π
上單調遞減
3
A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 3 3
D. f x 在區間 0,
π
上的取值范圍是 2,1 2
0, π

4. 若 ，且 sin

2
π
cos 2 0 ，則 tan （ ）
2 6
10. 已知函數 f (x) x2 2 x x a ，若函數 F x f x x存在兩個零點，則 a的取值可能是（ ）
3 3
A. 3 B. 3 C. D. A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
3 3
11. 數學里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數形結合的思想方法.比如形狀酷似“星星”的曲線
5. 圓 x2 y2 4 0與 x2 y2 4x 4y 12 0 的公共弦長為（ ） 1 1
C : x 2 y 2 2（如圖所示），則下列關于曲線C的說法正確的有（ ）
A. 2 2 B. 2 3 C. 14 D. 4 A. 周長大于 25
6. 在正四面體 ABCD 中，M，N分別是棱 AB，CD 的中點，則直線 AN 與 CM 所成角的余弦值為（ ） B. 共有 4 條對稱軸
C. 圍成的封閉圖形面積小于 14
2 n ad bc
2
，
D. 圍成的封閉圖形內能放入圓的最大半徑為 1 a b c d a c b d
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5分，共 15 分. P 2 k

0.050 0.010 0.001
12 已知 a b a b 2 ，則 a b ______.
k 3.841 6.635 10.828
13. 已知 Sn是公差不為 0 的等差數列
S
an 6的前 n 項和，且 a1， a2， a5 成等比數列，則 S ________.3
a 1 16. 已知函數 f (x) xsin x ax2 1.
14. 已知函數 f x x 0 a 3 在 2, 1 上的最大值比最小值大 ，則 a 2 ______.x
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （1）當 a 1時，求 f x 在 x π 處的切線方程；
15. 為了研究某市高三年級學生的性別和身高的關聯性，隨機抽取了 200 名高三年級學生，整理數據得到如下列聯表，
并畫出身高的頻率分布直方圖： π
（2）當 x 0, 時， f x 1恒成立，求 a 的取值范圍. 2
5
17. 已知數列 an 中， an 1 2an 3n 1 .
（1）若 a1,a2 ,a3 依次成等差數列，求 a1 ；
（1）根據身高的頻率分布直方圖，求列聯表中的m， n的值； 1
a 4 （2）若 1 ，證明數列 an n 為等比數列，并求數列 an 的前 n項和 Sn .3 3
（2）依據小概率值 0.001的獨立性檢驗，能否認為“高三年級學生的性別”與“身高是否低于170 cm ”有關聯？
（3）將樣本頻率視為概率，在全市不低于170 cm 的學生中隨機抽取 6人，其中不低于175 cm的人數記為 X ，求 X 18. 如圖，兩個底面相同的正四棱錐，頂點 M，N位于底面兩側，底面 ABCD 是邊長為 6 的正方形.
的期望.
附：
性別 身高 合計
低于170cm 不低于170cm
女 m 20
男 50 n
（1）證明：平面 AMCN 平面 BMDN；
合計 200
1 1 1
（2）若 AM AN 且 AM 2AN ，點 P滿足 NP AD AB MN ，求直線 AM 與平面 BPN 所成角的正弦值.6 2 3
2
19. 已知點 P為圓C : x 2 y2 12 上任意一點，點 A 2,0 ，線段 PA的垂直平分線交直線PC于點 B，設點 B
的軌跡為曲線H .
（1）求曲線H 的方程；
（2）若過點 B的直線 l 3與曲線H 相切，且與直線 y x分別交于點M ,N .
3
① 證明：點 B為線段MN的中點；
② 求 2 OM 3 ON 的取值范圍.
參考答案及解析 即公共弦長為 l 2 R2 d 2 2 4 2 2 2 .
1. 答案：A 故選：A
解析：復數 z 1 2 i 2 1 i . 6. 答案：C
2 i 5 5 5
解析：將正四面體 ABCD 中置于正方體中，如圖，
故選：A
2. 答案：D
1 0 2 3P X 1 P X 0 P X 1 1
1 2 2 20
解析：由題意得 C0 1 3 C3 3 3

3

3 27
故選：D.
3. 答案：D
2a b (2a b )2 4a
1
解析：由題意， 2 4a b b 2 4 9 4 3 3 9 3 3 .
2 易得CN //ME ，CN ME，
所以四邊形CNEM 為平行四邊形，則 NE∥CM ，
故選：D.
則異面直線 AN 與 CM 所成角即為直線 AN 與 NE 所成角，
4. 答案：B
即 ANE為直線 AN 與 CM 所成角（或補角），
sin 2 π cos 2 0 3 1解析：由 ，則6 sin 2 cos 2 cos 2 0
，
2 2 設正方體的棱長為 2，則 AE DE 2,DN 2 ， AN NE 6 ，
則 tan 2 3 ， ANE AN
2 NE 2 AE 2 6 6 4 2
在 中，由余弦定理可得， cos ANE ，
2AN NE 2 6 6 3

又 0,
π
2
2 0,π ， 2
因此直線 AN 與 CM 所成角的余弦值為 .3
2 2π π所以 ，所以 ， tan tan π 3 . 故選：C.
3 3 3
7. 答案：D
故選：B
5. 答案：A 解析：設 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
解析：圓C ： x2 y21 4 0 ①，所以C1 0,0 r 2 mx2 ny2， 1 . 則 1 1 0，①
圓C ： x22 y2 4x 4y 12 0 2 2②，所以C2 2, 2 ， r2 2 5 mx2 ny2 0，②
因為 r2 r1 C1C2 2 2 r2 r1，所以圓C
3
1與圓C2 相交. 因為：同時經過原點和線段 AB 中點的直線斜率為 ，2
因此公共弦所在直線的方程為① ②： x y 2 0 ， y x 1
x x 4
由 3 得： A,B中點坐標為 2,3 1 2，所以 ，
d | 0 0 2 |
y x y1 y2 6
圓C 21的圓心到公共弦的距離為 2 ，12 12
y y 故選：AD1 2
且 kAB 1x .1 x2 10. 答案：BCD
m x2 x2① ②可得 1 2 n y2 2 21 y2 0，
解析： F x x, x 0x f x x 2 ，圖象如圖
x 3x, x 0
m y21 y
2
2 y1 y2 y1 y 2 3 3則 2 2 1 ，n x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 2
m ( n)
e 1 n 2 15 1
m m 3 3
故選：D
8. 答案：A
則 F x 在R 上共有 3個零點，
解析：由閱讀材料可知：平面 x 3y 7 0的法向量可取 a (1, 3,0) ，
即 F x 0在R 上有 3 個根， x1 1， x2 0， x3 3.
平面 4y 2z 3 0的法向量可取b (0, 4, 2)，
又因為函數 F x f x x在 x ,a 上存在兩個零點，故a 0,3 .
設直線 l的方向向量m (x, y, z)，
故選：BCD.

m a

x 3y 0
則 ，令 y 1，則m 3,1, 2 ， 11. 答案：ABC
m b 4y 2z 0
解析：對 A：由題意，在第一象限曲線C的方程為 x y 2 ，
故選：A.
9. 答案：AD 即 y x 4 x 4(0 x 4,0 y 4)，
2 2
f (x) π π 0 x 4,0 y 4 2sin 2x 2sin 2x 當 時，曲線C在圓 (x 4) (y 4) 16 的下方，理由如下：解析： ，
6 6
2 2
2x π kπ π x kπ π
因為 x y 2，可設 x 2cos θ ， y 2sin θ ，
令 ， ， k Z ，
6 2 2 6 2 2 2
2 2
2π 則 x 4 y 4
2 4cos4 θ 4 4sin4 θ 4 16 cos4 θ 1 sin4 θ 1


當 k 1時， x 為 f x 的一條對稱軸，A 正確；
3 2 2
而 cos4 θ 1 sin4 θ 1 cos8 θ sin8 θ 2 cos4 θ sin4 θ 2
y 2cos 2x π 2cos 2x π π 2sin 2x
π
f (x)，B 錯誤；
3 6 2 6

2cos4 θ sin4 θ 2cos4 θsin4 θ 2 cos4 θ sin4 θ 2
π 2π 5π 2
t 2x π x 0, t , 1 2cos θsin
2 θ 2cos4 θsin4 θ 2 1 2cos2 θsin2 θ 2
令 ，當 時， ，6 3 6 6
2cos4 θsin4 θ 1 1（只有當 cosθ 0 或 cosθ 1時取“ ”）.
π 5π
顯然 y 2sin t在 , 上不單調，C 錯誤；
6 6 x 0 x 4
所以 x 4 2 y 4 2 16 （只有 和 時取“ ”）.
y 4

y 0
x π π 7π 1當 0, 時， t , ，所以 sin t ,1

，∴ y 2sin t 2,1 ，D正確. 2 6 6 2 故0 x 4,0 y 4時，曲線C在圓 (x 4)2 (y 4)2 16 的下方.
即第一象限曲線C a的長度大于圓 (x 4)2 (y 1 4)2 16 周長的 ， 所以 f x x 0 a 3 為奇函數，且 f x 在 2, 1 1上的最大值比最小值大4 x 2 ，
即曲線C的周長大于圓 (x 4)2 (y 4)2 16 的周長8π 1，而8π 25，則 A 選項正確； 所以 f x 在 1, 2 上的最大值比最小值大 2 .
1 1
對 B：由曲線C的方程為 x 2 y 2 2可知， 由對勾函數的性質可得 f x 在 0, a 上單調減，在 a , 上單調遞增.
因為 x, y ， x, y ， y, x ， y, x 代入方程，方程都不變， 當 a 1時，即0 a 1時， f x 在 1, 2 上單調遞增.
所以曲線C關于 x軸， y軸，直線 y x和 y x對稱，共有 4條對稱軸，則選項 B 正確； 則 f x f x f 2 f 1 2 a 1 a 1 a 1 max min ，2 2 2
2
對 C：由 A選項的推證可知：曲線C圍成的封閉圖形的面積 S 8 8 π 4 16 4 π 14 ， 解得 a 1 .
則選項 C 正確； 當1 a 4 3 時，即1 a 3 時， f x 在 1, a 上單調遞減，在 a , 2 上單調遞增.
對 D：第一象限曲線C的方程為 x y 2 ， f (x)min f ( a) 2 a ，
2x y 2 2 x y 2 a所以 x y 2 ， x y 2 ，（都是當且僅當 x y 1時取“ ”）. 因為 f 2 f 1 1 0 ，所以 f 2 f 1 ，
2 2 2
所以 f x f x f 2 f a a 1 2 2 a ，
所以曲線上距離原點的最短距離為 2 ，因此圍成的封閉圖形內最大能放入半徑為 2 的圓， max min 2 2
解得 a 1（舍去）或 9（舍去）.
則選項 D 錯誤.
綜上 a 1，
故選：ABC
故答案為：1
12. 答案：2 3
15. 答案：（1）m 60， n 70

解析：因為 a b a b 2 ，所以 4 2a b 4 4，解得 2a b 4， 8
（2）有，過程見解析 （3）

3
2
所以 a b a b 4 4 2a b 2 3 . 解析：
故答案為： 2 3 . （1）由圖，低于170cm 的學生有 200 5 0.005 0.015 0.030 0.060 110 人，則不低于 170cm 的學生有
13. 答案：4 200 110 90 人.
2
解析：設等差數列 a 的公差為 d ，由 a ， a ， a 成等比數列，則 a a a ， 從而m 110 50 60， n 90 20 70；n 1 2 5 2 1 5
2 （2）零假設為H0：性別與身高沒有關聯，即 a1 d a1 a1 4d ，可得 d 2a1 ，
計算可得
S6 3 a a 2 5 1 a 5 a 4d 9a 1 1 1 1 1 3 4 .
S3 3a2 a2 a d 3a 2 n(ad bc)
2 200(60 70 50 20)2 6400
1 1 21.549 10.828
a b c d a c b d 80 110 120 90 297
故答案為：4.
14. 答案：1 根據 0.001的獨立性檢驗，推斷H0 不成立，因此該市高三年級學生的性別與身高是否低于 170cm 有關聯；
a
解析： f x x f x ，x ,0 0, ， （3）樣本中抽中不低于 175cm 的頻數為 0.032 0.008 5 200 40人
x
40 4
樣本中抽中不低于 175cm的頻率為
90 9 sin
π
m x 0, π m x m π 2 2所以 在 上單調遞增，所以 max .
將樣本頻率視為概率，在全市不低于 170cm 的學生中隨機抽取 6 人， 2 2 π π
2
X B 6, 4 其中不低于 175cm 的人數記為 X ，則
9 所以 a m
π 2
.
2 π
E X np 6 4 8 .
9 3 a 2 即 的取值范圍為： , π
16. 答案：（1） y πx 1
5
2
（2） ,
17. 答案：（1） a1
π
27

解析： n 1 1（2）證明見解析， Sn 2 2 3n 2
（1）當 a 1時， f (x) xsin x x2 1， f (x) sin x x cos x 2x
解析：
f (π) sin π π cos π 2π π
a 5 5（1） 2 2a1 ,a3 2a2 4a
35
1 ，
又因為 f π πsin π π2 1 π2 1 9 27 27，
又 a1,a2 ,a3 依次成等差數列，所以 2a a a ，
所以，切線方程為 y π2 1 π(x π) ，即 y πx 1. 2 1 3
5 35 5
（2）當 x 0,
π 2 2a f x 1 即 1 a1 4a1 ，解得a1 . 時， ，2 9 27 27
1 5 1 6 2 1
①當 x 0時，因為 f 0 1 1恒成立，所以 a R ； （2）證明：因為 an 1 n 1 2an n 1 n 1 2a

3 3 3 n

3n 1
2an 3n
2 an 3n
，

sin x
②當 x 0,
π
時，由 x sin x ax2 1 1恒成立，得 a 1 1
2 x max 且 a1 1，所以 a3 n
n 是首項為 1，公比為 2的等比數列， 3
m(x) sin x x π 0, m (x) x cos x sin x令
x
， . 1 1
2
n 1 n 1
x2 可得 an n 2 ，則 an 2 3 3n
，
再令 n(x) xcos x sin x
x π
1 1
0, ，2 n

S 20 21 22 2n 1 1 1 1 1 2
n 1
n

2 n
3 3
1 2
n 1 1 .
3 3 3 1 2 1 2 3
n 2
n (x) cos x x sin x cos x x sin x 0 3
18. 答案：（1）證明見解析
π
所以 n(x) 在 0,
2
上單調遞增，
21
（2）
6
所以 n x n 0 0 ，所以m x 0 .
解析：
（1）由題意，連接 AC，BD，MN 交于點 O，則 MN⊥平面 ABCD， x2
19. 答案：（1） y2 1
∵ AC 平面 ABCD，∴MN AC，∵ABCD 為正方形，∴ AC BD， 3
∵ BD 平面 BMDN，MN 平面 BMDN， BD MN O，∴ AC 平面 BMDN， （2）（i）證明見解析；（ii） 4 6,
∵ AC 平面 AMCN，∴平面 AMCN 平面 BMDN.
解析：
（2）由 AM AN 且 AM 2AN ， （1）
在△AMN 中，易得OM 2ON 6 .
1 1 1 NP AD AB MN 1 1 1 (ND NA) (NB NA) NM
6 2 3 6 2 3
1 1 NP ND NA 1
1
NB NA NO
6 6 2 2
1 NP NO (OD ON ) 1 (OB ON ) 1 (OA ON )
6 2 3

OP 1 1

OD OB 1

OA
6 2 3
2 1 OP OD OA B為 PA的垂直平分線上一點，則
BP BA .

3 3
以 O 為坐標原點，如圖，建立空間直角坐標系， BA BC BP BC CP 2 3 AC 4
點 B的軌跡為以 A,C為焦點的雙曲線，且 2a 2 3,c 2
x2
故點 B的軌跡方程為H : y2 1.
3
（2）
則 A 3, 3,0 ，M 0,0,6 ，B 3,3,0 ， N 0,0, 3 ，D 3, 3,0 ， P 1, 3,0 ，

所以 AM ( 3,3,6)， BN ( 3, 3, 3)， BP ( 4, 6,0)，

求出平面 BPN 的一個法向量 n 3, 2, 1 .
① 設 B x0 , y0 ,M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
設直線 AM 與面 BPN 所成角為 ，
| n | AM 21 21 雙曲線的漸近線方程為 y
3
1 x
3
1 ①， y2 x2②
則 sin | cos n, AM ∣ | ， 3 3
| n | | AM | 14 54 6
3
當直線 l的斜率存在時，設過點 B且與H 相切的直線 l的方程為 y kx m k ，21 3
所以直線 AM 與平面 BPN 所成角的正弦值為 .
6
y kx m

與雙曲線聯立 x2 1 3k 2 x2 6kmx 3m2 3 02
y 1 3
3km 3km m
由 0 3k 2 m2 1，且 x0 1 3k 2
，故可得 B , .
1 3k 2 1 3k 2
y kx m
3m 3m
由 3 M , ；
y x 3 3k 3 3k 3
y kx m
N 3m 3m

3 , .
y x 3 3k 3 3k 3
6km 2m
x1 x2 2 2x0 , y y 1 3k 1 2 1 3k 2
2y0 .
點 B為線段MN的中點.
當直線 l的斜率不存在時，直線 l的方程是 x 3 ，根據雙曲線的對稱性可知，
3
此時直線 l即是雙曲線H 的切線，同時滿足點 B為線段MN的中點.
綜上，點 B為線段MN的中點.

M 3m 3m
3m
② 由（i）知， , ,N ,
3m
.
3 3k 3 3k 3 3k 3 3k
2 9 3k 2 1
OM ON x2 2 2 2 4 4 9m 4

1 y1 x2 y2 x1x3 2

3 9k 2
4
3 3 9k 2 3
2 OM 3ON 2 6 OM ON 2 6 4 4 6 .
當且僅當 2 OM 3ON ，即 OM 6 時取等號.
又 OM 0, ，
2 OM 3ON 的取值范圍為 4 6, .

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