資源簡介

2025 年沈陽市高中三年級教學質(zhì)量監(jiān)測（三） 字化社區(qū)服務的滿意度，滿意度采用計分制（滿分 100 分）進行統(tǒng)計，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成如下頻率分布直方圖，圖
中b 3a，則滿意度計分的第一四分位數(shù)約為（ ）
數(shù)學試卷
注意事項：
1．答卷前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).
2．答題時請按要求用筆.
3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試
A 87.5 B. 85 C. 70 D. 62.5
卷上答題無效.
7. 如圖，一個四分之一球形狀的玩具儲物盒，若放入一個玩具小球，合上盒蓋．可放小球的最大半徑為 r ．若是放
4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑. r
入一個正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為a，則 （ ）
5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀. a
一、選擇題：本題共 8 小題.每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題
目要求的．
A x 2 x 2 B x 1 x 31. 3 3已知集合 ， ，則 A B （ ） A. 2 2 B. 2 2 C. 2 1 D.2 2 2 1
A. x 1 x 2 B. x x 2
f x 2sin x π π8. 已知函數(shù) 0 在區(qū)間 , π

上有且僅有一個零點，當 最大時， f x 的圖象的一條
C. x 2 x 3 D. x x 3 3 3
對稱軸方程為（ ）
2. 已知 i為虛數(shù)單位，若 z i5 i4 i3，則 z （ ）
A. 1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i x 17 17 23 23A. π B. x π C. x π D. x π
12 14 10 18
y2 x2
3. 雙曲線 1 a 0,b 0 的離心率為 3，則其漸近線方程為（ ）
a2 b2 二、選擇題：本題共 3小題，每小題 6 分，共 18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全
2 部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．A. y 2x B. y x
2 9. 塹堵、陽馬、鱉臑這些名詞出自中國古代的數(shù)學名著《九章算術(shù)·商功》．如圖 1，把一塊長方體分成相同的兩塊，
C. y 3x D. y 3 x 得到兩個直三棱柱（塹堵）．如圖 2，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，其中四棱錐稱
2
為陽馬，三棱錐稱為鱉臑．則（ ）
4. 已知向量 a，b滿足 a 2， a b b 2 a ，則 2b 等于（ ）
A. 12 B. 10 C. 2 3 D. 10
5. 等比數(shù)列 an 中， a1 0，則“ a1 a4 ”是“ a2 a4 ”的（ ）
A. 陽馬的四個側(cè)面中僅有兩個是直角三角形
A 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
B. 鱉臑的四個面均為直角三角形
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
C. 陽馬的體積是鱉臑的體積的兩倍
6. 近日，數(shù)字化構(gòu)建社區(qū)服務新模式成為一種趨勢．某社區(qū)為了優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務，通過問卷調(diào)查的方式調(diào)研數(shù)
D. 塹堵、陽馬與鱉臑的外接球的半徑都相等 是白球．擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為1或2，則從甲箱中隨機摸出2個球；如果點數(shù)為3、4、5、6，則從
π 1
10. 已知VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c， AB AC 2， BAC ，點 M 為VABC 內(nèi)一動點，且 乙箱中隨機摸出2個球．已知擲1次骰子后，摸出的球都是紅球的概率是 ．3 3
1 （1）求m的值；S△MBC S△ABC，則（ ）2 （2）記摸到紅球的個數(shù)為隨機變量 X ，求 X的分布列和數(shù)學期望．
A. bc 4 B. S ABC 3
2
17. 21 1 已知圓 N : x 3 y
2 25，拋物線G : y 2px p 0 的準線與圓 N 相切，過拋物線焦點 F 的動直線 l與拋
C. a 8 3的最大值為 2 D. S S 的最小值為△MAB △MAC 3 物線交于A、 B兩點，線段 AB的中點為M ．
x2 y2 FA （1）求拋物線G的方程；
11. 已知點 A1，A2分別是橢圓C : 1 a b 0 的左、右頂點，F(xiàn) 1,0 1為橢圓的右焦點，且 3，點a2 b2 FA2 （2）當MN x軸時，求直線 l的斜率；
P 是橢圓上異于 A1， A2的一動點，直線 PA1，PA2 分別與直線 x 4交于點 B1， B2，則下列說法正確的有（ ） （3）求證： AB 2 MN 為定值，并求出該定值．
3 9
A. kPA k1 PA B. kPA kB A 2 4 2 1 2 4
1 18. 已知函數(shù)
f x π ax 6sinx ， x 0, ．
B B 2

C. 1 2 的最小值為 4 3 D. cos A1PA2的最小值為 2
π
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分． （1）已知 f x 在 x 處的切線斜率為5，求實數(shù)a的值；3
4x , x 0, 1 （2）若 a 3，且關(guān)于 x的方程 f x b有2個不相等的實數(shù)解，求b的取值范圍；
12. 已知函數(shù) f x ，則 f f 的值等于_____．
log2x, x 0 2
（3）若函數(shù) F x f x x2 2xcosx 在 0,
π
上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
13. 函數(shù) f x cos2x 6cos π x 2 的最小值為_____ ．
2
19. 如圖所示，在直角梯形 BCEF中， CBF BCE 90 ，A，D 分別是 BF ，CE上的點，且 AD / /BC ，
14. 已知過點 P 2025,1 的直線 l在 x軸和 y軸上的截距均為正整數(shù)，則滿足條件的直線 l的條數(shù)為_____．
ED 2AF 2，CD t 0 t 3 ，BC CD 3，將四邊形 ADEF 沿 AD向上折起，連接 BE ，BF ，CE，在
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
折起的過程中，記二面角 E AD C的大小為 0 π ，記幾何體 EFABCD的體積為 V．
a a 3 a 15 a15. n 已知數(shù)列 n 中， 1 ， 3 ，且數(shù)列 為等差數(shù)列．
n
（1）求 an 的通項公式；
1 3
（2）記 Sn為數(shù)列 的前 n 項和，證明： Sn ． （1）求證： BF //平面CDE；
an 4
（2）當 t 2時，請將 V 表達為關(guān)于 的函數(shù)，并求該函數(shù)的最大值；
（3）若平面 EFB和平面EBC垂直，當 取得最大值時，求 V 的值．
16. 甲、乙兩個箱子中，各裝有6個球，其中甲箱中有3個紅球和3個白球，乙箱中有m 2 m 6 個紅球，其余都
參考答案及解析 6. 答案：C
1. 答案：C 解析：由題意可得10 a 0.015 0.035 3a a 1，解得 a 0.01，
解析：因為 A x 2 x 2 ， B x 1 x 3 ， 且第一個小矩形面積為10 0.01 0.1，
第二個小矩形面積為10 0.015 0.15，0.1 0.15 0.25
則 A B x 2 x 3 .
則第一四分位數(shù)即第 25百分位數(shù)為70 .
故選：C
故選：C
2. 答案：B
7. 答案：D
解析：因為 z i5 i4 i3 i 1 i 1 2i，故 z 1 2i . 解析：設(shè)儲物盒所在球的半徑為R ，如圖，
故選：B.
3. 答案：B
c 2 b
解析：由 e 1 b 3 2 a 2 ，得 ， ，
a a2 a b 2
y 2故漸近線方程為 x．
2 R
故選：B. 小球最大半徑 r 滿足 2 1 r R，所以 r 2 1 R ，2 1
4. 答案：C
2
2 a 2a 2 a 2正方體的最大棱長 滿足 R 2，解得 a R ，解析：由 a b b 2有a b b 2 2 a b b 2， 2 3
2 2 2所以 a 2b a 2b a 2 4a b 4b 2 a 2 4 a b b 4 4 2 12 ， r 2 1 3 2 1
所以 a 2 2 .
所以 a 2b 2 3 ， 3
故選：C. 故選：D.
5. 答案：A 8. 答案：B
解析：設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q， π x π 0 π π π解析：當 時，且 ， x π π ，
3 3 3 3 3
3
由 a1 a4 可得 a1 a1q ，因為 a1 0，則 q3 1，解得 q 1，
kπ π π k 1 π
由 a 3 32 a4 可得 a1q a1q ，因為 a1 0，則 q q q q 1 q 1 0，解得 1 q 0或 q 1 π

，
由 f x 0 3 3可得 sin x 0，所以 ， k Z ，
3 π
因為 q q 1 q 1 q 0 q 1 k 1 π π k 2 π是 或 的真子集， 3
因此，“ a1 a4 ”是“ a2 a4 ”的充分不必要條件. 3k 1 3k 4
解得 4 ， k Z ，
故選：A. k k
7

3 3
3k 4 k 4 k 7 4
點，
若 無解，則 或 3k 1，解得 k 或 k 2 ，
3 3 3 3 所以塹堵、陽馬與鱉臑均可以補成原長方體，
1 4 2 1 所以它們的外接球的半徑都等于原長方體外接球的半徑，所以 D 正確.
4 7 1
由于 0且 存在，故 k 0或 k 1，即 4 7 或 1 4 ，則有 或 1，
3 3 3
故選：BCD
3 3 3 3
7故 的最大值為 ，此時 f x 2sin 7x π

，
3 3 3
7x π π mπ m Z x 5π 3m由 可得 π m Z ，
3 3 2 14 7 10. 答案：ABD

當m 2 時，函數(shù) f x 17 π 1的一條對稱軸方程為 x π， 解析：對于 A，由 AB AC 2可得 AB AC cos bc 2，則bc 4，故 A 正確；
14 3 2
故選：B. 1對于 B， S ABC bc sin
1 3
4 3，故 B 正確；
2 3 2 2
9. 答案：BCD
C 2 2 2
π 2 2
對于 ，由余弦定理可得 a b c 2bc cos b c bc 2bc bc bc 4，
解析：對于 A，如圖，由題意可知DD1 平面 ABCD， AD,DC 平面 ABCD， 3
DD AD,DD 即 a
2 4，則 a 2，當且僅當b c時，等號成立，
所以 1 1 DC ，
所以a的最小值為2，故 C 錯誤；
因為 AB 平面 ADD1， AD1 平面 ADD1，所以 AB AD1，
1
因為 BC 平面CDD 對于 D，因為 S ABC S MBC S MAB S MAC ，且 S S ，1，CD1 平面CDD1，所以 BC CD ， △MBC 2 △ABC1
所以陽馬的四個側(cè)面都是直角三角形，所以 A 錯誤， 1 3 2
則 S MAB S MAC S ABC ，即 S MAB S△ MAC 1，
對于 B，如圖由題意可知 BC 平面CC1D ，CC ,CD 2 2
3
1 1 1 平面CC1D1，
1 1 1 1
所以 BC
2
CC1,BC CD1， 所以 S S S S MAB MAC MAB MAC S MAB S MAC 3
因為C1D1 平面 BCC1， BC1,CC1 平面 BCC1， 2 2 S MAC S
2
MAB 2 2
S
MAC
S
MAB
8 8 3
，
C D BC ,C D CC 3 S S
3
S S 3 3
所以 MAB MAC MAB MAC 1 1 1 1 1 1 ，
S S
所以鱉臑的四個面均為直角三角形，所以 B 正確， MAC MAB當且僅當 S SS S 時，即 △MAB MAC 時，等號成立，故 D正確； MAB MAC
對于 C，設(shè)長方體的長，寬，高分別為 a,b,c，則 AB a,BC b,DD1 c，
故選：ABD.
所以陽馬的體積V
1
D ABCD abc
1 1 1
，鱉臑的體積V
1 3 D1 BCC
abc abc，
1 3 2 6 11. 答案：AB
所以陽馬的體積是鱉臑的體積的兩倍，所以 C 正確，
對于 D，由題意可知塹堵、陽馬與鱉臑都是由同一個長方體分割而成，且塹堵、陽馬與鱉臑的頂點都是原長方體的頂
tan A PA tan k2 k即 1 2 1 0 A PA1 k k ，即 1 2 為鈍角，1 2
3
3 k1
又由 k k 3 ，得 k2
4k1 3
1 2 4k ，則 tan A1PA2 1 4 k1 4 3
，
4 4k
解析： 1 1
4
k 3當且僅當 1 時，等號成立，此時 tan A1PA2 取最大值 4 3，即 A1PA2 最大，2
1
因此 cos A1PA2的最小值為 ，故 D 錯誤；7
設(shè)點 P x , y ，設(shè)直線 PA 的傾斜角為 ，斜率為 k ，直線 PA 的傾斜角為 ， 故選：AB0 0 1 1 2
12. 答案： 1
斜率為 k2，
1 1 2 1 f 1 1 1FA a c 解析：因為 f 4 ，則 f 2 2 2
f log2 1.
1
對于 A，由題意可得 3，且 c 1，所以 a 2,b2 3， 2 2FA2 a c
故答案為： 1
x2 y2 x2 2
則橢圓方程為 1，又由 P x , y 為橢圓上的動點，所以 0 y 00 0 1， 13. 答案： 74 3 4 3
y2 3 y y y2 3 解析： f x cos2x 6cos
π
x

1 2sin
2 x 6sin x，
0 0 0
即 ，又由 k1 ,k2 2 ，所以 kPA kPA k1 k2
0
2
2
，
x 1 20 4 4 x0 2 x0 2 x0 4 4
令 t sin x 1,1 3， y 2t 2 6t 1，且該二次函數(shù)的對稱軸為直線 t ，
故 A 正確； 2
y y 6y 故函數(shù) y 2t
2 6t 1在 1,1 上單調(diào)遞增，
對于 B，由 k1 0 ，得 PA1 : y 0 x 2 0，令 x 4得， yB 6kx 2 x 2 1 x 2 1，0 0 0 2故 ymin 2 1 6 1 7，即函數(shù) f x 的最小值為 7 .
B 4,6k k 6k1 0 3k k k k 3k 3 3 9所以 1 1 ，則 B A 1，所以 PA B A 2 1 ， 故答案為： 7 .1 2 4 2 2 1 2 4 4
14. 答案：15
故 B 正確；
解析：設(shè)直線 l在 x軸和 y軸上的截距分別為a x y、b，則a、b N ，則直線 l的截距式方程為 1，
y y a b
C 0 0對于 ，同理 k2 PAx 2，得 2
: y x 2
x 2 ，令 x 4，0 0 2025 1 2025b 2025 b 1 2025 2025由于直線 l過點 P，則 1，故 a 2025 ，
a b b 1 b 1 b 1
y 2y 0 2k 3 3得 B2 x 2 2，所以
B2 4,2k2 ，又由 k1 k k 2 ，得4 20 4k
，
1 所以b 1為 2025的正約數(shù)，故b 1 1,3,9,27,81,5,15,45,135,405,25,75,225,675,2025 .
即滿足條件的正整數(shù)b的個數(shù)為15.
則 B1B2 6k1 2k2 6k
3
1 6
1
，當且僅當 k1 時，等號成立，故 C 錯誤；2k1 2 因此，滿足題設(shè)條件的直線 l的條數(shù)為15.
對于 D，不妨設(shè) x0 0且 y0 0，則 k1 0,k2 0，設(shè) , 分別為直線PA1,PA2的傾斜角，則 A1PA2 ， 故答案為：15.
15. 1 a n2答案：（ ） n 2n P X 2 1 P X 0 P X 1 1 ，
3
（2）證明見解析
所以，隨機變量 X的分布列如下表所示：
a a 3 a 15 an （1）因為數(shù)列 n 中， 1 ， 3 ，且數(shù)列 為等差數(shù)列，
n X 0 1 2
an a
設(shè)數(shù)列 的公差為 d ，則 2d 3 a1 5 3 2，故 d 1， 1 5 1 n 3 P 9 9 3
a
所以 n a1 n 1 d 3 n 1 n 2，故 a 2n n n 2n . 則 E X 0 1 5 1 11 1 2 .
9 9 3 9
1 1 1 1 1
（2）因為

a n n 2 2 n n 2 ， 17. 答案：（1） y
2 8x
n
（2） 2
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 n 2
1 L
3 2 4

3 5 n 1 n 1 n n 2 （3）證明見解析，定值為6
N N 3,0 5 p1 1 1 1 3 2n 3 3 （1）由題意可得，圓 的圓心為 ，半徑為 ，且拋物線的準線為 x ，與圓 N 詳相切， 1 22 2 n 1 n 2 4 2 n 1 n 2 4，故原不等式成立.
3 p 則 5，因為 p 0，解得 p 4，故拋物線的方程為 y2 8x .
16. 答案：（1）m 4 2
2 E X 11 （2）設(shè)點 A x1, y1 、 B x2 , y2 、M x0 , y ，（ ）分布列答案見解析， 0
9
顯然直線 AB的斜率不為零，設(shè)直線 l的方程為x ty 2，
（1）設(shè)事件A為“擲出骰子的點數(shù)為1或2”，則事件 A為“擲出骰子的點數(shù)為3、4、5、6”， x ty 2
1 2 聯(lián)立 2 可得 y
2 8ty 16 0 ，則 2 ，
P A P A y 8x
64t 64 0
則 ， ，
3 3
C2 2 由韋達定理可得 y1 y2 8t， y1y2 16，
B P B A 3 3 1 Cm m m 1 設(shè)事件 為“摸出的球都是紅球”，則 2 ， P B A 2 ，C6 15 5 C6 30
y y 1 y2 4t x ty 2 4t2則 0 ， 0 0 2，即點M 4t 2 2,4t ，
1 1 m m 1 2 1 2
由全概率公式可得 P B P A P B A P A P B A ，5 3 30 3 3
因為MN x軸，則 x0 4t
2 1 2 3，解得 t ，
2
整理可得m2 m 12 0，解得m 4或m 3（舍去），故m 4 .
l 1因此，直線 的斜率為 2 .
（2）由題意可知，隨機變量 X的可能取值有：0、1、2， t
2 2 1 1 1 1
則 P X 0 1 C3 2 C2 1 P X 1 1 C C 3 3 2 C C 5， 4 2 ，
3 C2 3 C2 2 26 6 9 3 C6 3 C6 9
因為關(guān)于 x的方程 f x b有2個不相等的實數(shù)解，
則直線 y b與函數(shù) f x π 在 0, 上的圖象有兩個交點，如下圖所示：2
（3 ）
由拋物線焦點弦長公式可得 AB x1 x2 4 t y1 y2 8 8 t 2 1 ，
2
由（2）可得 MN 4t 2 2 3 16t 2 16t 4 8t 2 1 4t 2 1，
所以 AB 2 MN 8 t 2 1 2 4t 2 1 6 .
18. 答案：（1）a 8
π 3 3, 3π 6 （2） 2
3π
由圖可知，實數(shù)b的取值范圍是 π 3 3, 6 .
2
（3） 2π,
π
（3）由題意，當 x 0, 時， F x ax 6sin x x2 2xcos x，
（1）因為 f x ax 6sinx，則 f x a 6cos x 2 ，
則 F π π x a 2x 4cos x 2x sin x 0恒成立，f 由題意可得 a 6cos a 3 5，解得 a 8 .
3 3
令 g x F x ，則 g x 2sin x 2xcos x 2，因為 2sin x 2 0， 2xcos x 0，
（2）當 a 3時， f x 3x 6sin x π， x 0,

， π π
2 所以 g x 0對任意的 x 0, 2 恒成立，故函數(shù)
F x 在 0, 上單調(diào)遞減，
2
則 f x 3 6cos x，由 f x 0可得 x π ，列表如下：
3 所以 F x a 2π,a 4 ，
x 0, π π π , π
3 3 3 2 因為 F x 0 x
0, π
對任意的
恒成立，所以 a 2π 0，解得 a 2π .
2
f x 0 因此，實數(shù)a的取值范圍是 2π, .
19. 答案：（1）證明見解析
f x 單調(diào)遞減 極小值 π 3 3 單調(diào)遞增 5 5
（2）V sin ；
3 3
又因為 f 0 0， f π 3π 6 0， 15 2 10
2 2 （3） 18
（1）在梯形 BCEF中，因為 BF / /CE，所以翻折后有 AB / /DC，且 AF / /ED，
因為 AB 平面CDE，DC 平面CDE，故 AB / /平面CDE，同理可得 AF / /平面CDE， （3）
因為 AB AF A， AB, AF 平面 ABF ，
所以平面 ABF / /平面CDE，又因為 BF 平面 ABF ，所以 BF //平面CDE .
（2）

過點D作DC的垂線，交直線CE于點G，分別以DA,DC,DG為 x, y, z軸
正方向建立空間直角坐標系，則D 0,0,0 , A 3 t,0,0 ,C 0, t,0 ,B 3 t, t,0 ,E 0,2cos , 2sin ，
F 3 t,cos ,sin ，

在平面 EFB中， BF 0, cos t, sin ,EF 3 t, cos , sin ，
由題意，在梯形 BCEF中， CBF BCE 90 ， AD / /BC，即 AD CE，

且 AD FB，所以翻折后有 AD ED， AD DC，且 ED∩DC D， 設(shè)平面 EFB的一個法向量為 n x, y, z ，

所以 AD 平面CDE，同理， AD 平面 ABF ， n

BF y cos t z sin 0
則 ，
由二面角 E AD C的大小為 ，得 EDC FAB ， n EF 3 t x y cos z sin 0
過點 E作CD的垂線，交直線CD于H ，由 AD 平面CDE，HE 平面CDE， 令 y sin z t t，則 cos , x sin ，
3 t
所以 AD EH ，且 AD DC D，所以 EH 平面 ABCD，
t
即 EH 是四棱錐 E ABCD的高， 所以 n sin , sin , t cos ， 3 t
由 ED 2,CD t 2,BC 3 CD 3 t 1，
在平面 EBC中，CB 3 t, 0, 0 ,CE 0, 2 cos t, 2 sin ，
V 1 1 4所以 E ABCD SABCD EH 2 1 2sin sin ， 3 3 3 設(shè)平面 EBC的一個法向量為m x1, y1, z1 ，
由 ED / /AF，ED 平面 ABF ， AF 平面 ABF ，所以 ED / /平面 ABF ，
m CB 3 t x1 0
又因為 AD 平面 ABF ，且 AF 1， 則 ，
m

CE y1 2cos t z1 2sin 0
V V 1 1 1 1所以 E ABF D ABF S ABF DA 2 1 sin 1 sin ，3 3 2 3 令 y1 2sin ，則 z1 t 2cos , x 0 m

1 ，所以 0,2sin , t 2cos ，
所以V 5 VE ABCD VE ABF sin ， 0,π ， 3 因為平面 EFB和平面EBC垂直，所以 n m 0，
π 5當 時，V 取得最大值 .
2 3
即 2sin2 t cos t 2cos 1 2 0，整理可得 cos
3
t ，
t
因為 0, ，0 t 3 2 2 2，所以 cos t 2，
3 t 3
當且僅當 t 2 時，等號成立，
故當 取得最大值時，即 cos 2取得最小值 2，
3
此時V V 2 1 5E ABCD VE ABF t 3 t sin t 3 t sin t 3 t sin ，3 6 6
cos 2由 t 2 ， 2 ， 0,π ，所以 sin 1 V 15 2 10，則3 3 .18

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