資源簡介

成都市 2022級高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測 x2 y2 1 x
2 2 2 2
A. B. y2 1 C.
x y 1 D. x y2 1
9 8 9 25 24 25
數(shù)學(xué)試卷
6. 已知正四棱臺的上底面邊長為 4，下底面邊長為 8，側(cè)棱長為 17 ，則其體積為（ ）
本試卷滿分 150分，考試時間 120分鐘.
A. 108 B. 112 C. 120 D. 124
注意事項：
1. x答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上. 7. 已知實(shí)數(shù) ， y滿足 2
x 3y ，則下列不等式一定成立的是（ ）
2.答選擇題時，必須使用 2B 鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后， A. x y 2 xy B. (x y)(x y) 0
再選涂其它答案標(biāo)號.
C. 0 xy 1 D. xy x y
3.答非選擇題時，必須使用 0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2π
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效. 8. 在VABC 中， BAC ， BAC的角平分線 AD交 BC于點(diǎn) D，若3 CD 6AB
，則 tan ABC （ ）
5.考試結(jié)束后，只將答題卡交回. 2A. 12 B. C. 1 D.3 2
一、選擇題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目
二、選擇題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
要求的.
全部選對的得 6分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0分.
A {x 1 x 3} B {x x m}
1. 已知集合 ， ，若 A B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） 9. 已知某地社交媒體用戶的日活躍時長 X （單位：小時）服從正態(tài)分布 N (2.4,0.72)，則（ ）
A. m m 1 B. m m 1 C. m m 3 D. m m 3
A. E(X ) 2.4，D(X ) 0.72
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ( 2,1)，則 z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）.
B. 若 P(X 1) P(X b)，則b 3
A. 第一象限. B. 第二象限. C. 第三象限. D. 第四象限.
3. 設(shè) x R ,則“ cosx 1”是“ sinx 0 ”的（ ） C. P(X 0.3) P(X 4.5) P(0.3 X 4.5)
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 D. P( X 2 0.7) P( X 3 0.7)
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
10. 對于空間中一組向量 ai (i 1,2,3)，若存在不全為零的實(shí)數(shù) ki (i 1,2,3)

sin πx 使得 k1a1 k2a2 k3a3 0，則稱這
4. 函數(shù) f (x) x x 的部分圖象大致為（ ）e e 組向量線性相關(guān)，否則稱這組向量線性無關(guān).則（ ）

A. 若 a ( 1,1,1)

，b ( 2,2, 2)， c (3,1, 4) ，則 a ，b， c線性相關(guān)A. B.

B. 若 a ( 1,1,1)，b (1, 2,3)， c (2,3, 4) a ，則 ，b， c

線性無關(guān)
a a a a 2a 3a a a C. 若 1， 2， a3 線性無關(guān)，則 1 2， 1 2 ， 3 1線性相關(guān)C. D.
a D. a a x y a 2

對于非零向量 1， 2， 3，若存在實(shí)數(shù) ， 使得 1 xa1 a2 ya

a 1 3，則 a1，a2， a3線性相關(guān)
5. 已知動圓C與圓 (x 1)2 y2 1外切，同時與圓 (x 1)2 y2 25內(nèi)切，則動圓C 的圓心軌跡方程為（ ） 11. 聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音一般都是純音合成的復(fù)合音.已知純音的數(shù)學(xué)
模型是函數(shù) y Asin x .復(fù)合音的產(chǎn)生是因為發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為 f 的基音的同時，其各部分，如二分
之一，三分之一，四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如 2f，3f，4f等.即我們聽到的聲音 n
xi x yi y
的函數(shù)是 fn (x) sin x
1
sin 2x 1 sin 3x 1 sin nx . y b x a i 1則（ ） 附：回歸方程 中斜率和截距的最小二乘法公式分別為：b n ， a y b x .2 3 n x x 2i
A. fn (x)的圖象關(guān)于 (kπ,0)(k Z)對稱 B. f3 (x)在 (0,π)上有 2個極大值點(diǎn)，1個極小值點(diǎn) i 1
C. y y f3(x) y y f2 (x) D. fn (x) 0在 (2kπ, π 2kπ)(k Z)上恒成立
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分.
16. 已知正項數(shù)列 an 的前 n項的和為 Sn，且 an (2Sn an ) 1 .
y212. 雙曲線 x2 1的離心率為_________．
3 （1）求 S1， S2；
2
13. 若函數(shù) f x x 2x, x 0 的值域為 1, ，則實(shí)數(shù) a3 的取值范圍是__________.
x 3x a, x 0 2 S 2（ ）證明： n 是等差數(shù)列；
14. 如圖，一電路中，Si (i 1,2,3,4,5,6,7)為未閉合的開關(guān)，L j ( j 1,2,3)為能正常工作的燈泡，現(xiàn)每次等可能地閉
合一個未閉合的開關(guān)，直到 7個開關(guān)全部閉合，則L1最先亮起的概率為__________. 1
（3）求數(shù)列 的前 n項的和Tn .
Sn Sn 1
17. 如圖，在矩形 ABCE中，AB 2，BC 1，D 為EC中點(diǎn)，將 EAD沿 AD翻折至△PAD，使得 PB PC .
四、解答題：本題共 5小題，共 77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)、黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展等區(qū)域重大戰(zhàn)略實(shí)施取得新成效，城鄉(xiāng)融合和區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)
展繼續(xù)推進(jìn)，2024年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率增長至 67.00% .下圖為2020 2024年年末常住人口城鎮(zhèn)化率的折線圖.
（1）證明：平面 PAD 平面 ABCD；
PT
（2）線段 PB上是否存在一點(diǎn)T ，使得 AT 6與平面 PAD所成角的正弦值為 ，若存在，求出 的值；若不存
6 TB
在，請說明理由.
（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合常住人口城鎮(zhèn)化率 y與年份代碼 x的關(guān)系.請建立 y關(guān)于 x的回歸方程； 18. 已知函數(shù) f (x) ax2 (a 2)x ln x .
（1）討論 f (x)的單調(diào)性；
（2）從這5年中任取 2年，記常住人口城鎮(zhèn)化率超過 65.00%的年數(shù)為 X ，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
（2）若 f (x)有兩個零點(diǎn)， f (x)為 f (x)的導(dǎo)函數(shù).
① 求實(shí)數(shù) a的取值范圍；
② 記 f (x)較小的一個零點(diǎn)為 x0，證明： x0 f (x0 ) 2 .
19. 如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy中，已知 F 是拋物線 : x2 2py( p 0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 的直線交拋物線 于A， B兩

點(diǎn)，且滿足OA OB 3 .
（1）求 p的值；
（2）已知點(diǎn)T (0,3)，直線 AT ，BT 與拋物線 的另一個交點(diǎn)分別為C，D，直線CD交 y軸于點(diǎn) P，交直線 AB于
點(diǎn) N .拋物線 在C，D處的切線交于點(diǎn)K，過點(diǎn) P作平行于 x軸的直線，分別交直線 KD，KC于點(diǎn) E，G .
① 求證：點(diǎn) P為定點(diǎn)；
② 記△ENK ， GNK 的面積分別為 S1， S2，求S1 S2的最小值.
參考答案及解析 2 2
故動圓圓心 C x y的軌跡方程為 1.
9 8
1. 答案：D
6. 答案：B
解析：由于 A B，所以m 3，
解析：取正四棱臺過側(cè)棱的軸截面 ABCD，上、下底面中心分別為O,O1，如下圖所示：
2. 答案：C
解析：復(fù)數(shù) z對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為 2,1 ，因此 z可表示為： z 2 i
所以 z 2 i，對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為 2, 1 ，位于第三象限.
3. 答案：A
解析：當(dāng) cosx 1時, x 2kπ k Z ,此時 sinx 0 ;
當(dāng) sinx 0時, x kπ k Z ,此時 cosx 1或 cosx 1；
所以“ cosx 1”是“ sinx 0 ”的充分不必要條件.
4. 答案：D 依題意可得 AD 4 2,BC 8 2, AB CD 17，
2
解析：根據(jù)題意，函數(shù) f x 定義域為R，
OO 17 8 2 4 2

因此可得 1 3，

2
sin πx
f ( x) sin πx且 ，
e x x
x x f x e e e 1 42 82 42 2所以其體積為 8 3 112 .3
所以函數(shù) f x 為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
7. 答案：B
又 x 0,1 時， πx 0, π ，所以 sin πx 0，且 ex e x 0恒成立，
x ln 2 y ln3 y ln 2 x ln 2解析：兩邊取對得 ，則 且0 1，即 x, y同號或 x y 0，
則 f x 0 D . ln3 ln 3，所以只有 滿足
5. 答案：A 所以，當(dāng) x, y 0時， x y 2 xy不成立，A錯；
解析：設(shè)圓 (x 1)2 y2 1圓心C2 且與圓C切于點(diǎn) P，圓 (x 1)2 y2 25圓心C1與圓C切于點(diǎn) Q， (x y)(x y) x2 y2 x2[1 (ln 2由 )2 ] 0，B對；
ln3
由題意得： C1C 5 CQ ， C2C 1 CP ，其中 CQ CP ，
ln 2 2 2 ln3
CC C C 5 CQ xy 1所以 1 2 1 CP 6 2 CC
由 xy x ，若 x 時， ，C錯；
1 2 ， ln3 ln 2
x2 y2 ln 2 ln 2 2 ln 2
由橢圓定義可知：動圓圓心 C的軌跡為以C1,C2 為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè) 1， 由 x y 1 x ，且 xy x | x | | x |，a2 b2 ln 3 ln3 ln3
則 2a 6,c 1，解得： a 3,b2 a2 c2 9 1 8， ln 2 ln 2
當(dāng) | x | 時， |1 | | x |，此時 xy x y ，D錯.
ln3 ln3
8. 答案：C 由對稱性可知 P 1.3 X 2.3 P 2.7 X 3.7 ，
π π
解析： AB c，則CD 6c，設(shè) ABC , 0, ，則 ACB ， 所以 P( X 2 0.7) P( X 3 0.7)，D正確.
3 3
AB BD 10. 答案：AB

在△ABD中，由正弦定理， sin ADB sin π ， 解析：若 a ( 1,1,1)，
3 b ( 2,2, 2)
， c (3,1, 4)，
AC DC
根據(jù)題意，設(shè) k
在△ADC中，由正弦定理， sin ADC π ， 1
a1 k2a2 k3a3 0，
sin
3
即 k1 2k2 3k3 ,k1 2k2 k3 ,k1 2k2 4k3 0 ，
因 sin ADC sin ADB AB BD，兩式相比，可得 ，
AC DC k1 2k2 3k3 0
k1 2
BD AB DC 6c
2 6c2 k1 2k2 k3 0 k1 2k2 0
所以 ，所以BC a 6c ， 所以 ，解得 ，取 k 1，AC b b k1 2k2 4k3 0
k 0 2 3
k3 0
c b a sin π
3 所以 ，A正確；
由正弦定理得 sin π sin
2π 3 2a a，所以 6 1 ， 1 2 0 a3 0
sin π
3 3
sin


2sin

3 若 a ( 1,1,1)

，b (1, 2,3)， c (2,3, 4)，
π

2 2 sin sin 2 2 sin2 π所以
根據(jù)題意，設(shè) k a k a k a 0，
3 3
sin ，化簡得 4sin2 2 sin 3 0， 1 1 2 2 3 3

即 k1 k2 2k3 ,k1 2k2 3k3 ,k1 3k2 4k3 0，
2 3 2 π π
所以 sin 或 sin （舍去），又 0, 3
，所以 ，
2 4 4 k1 k2 2k3 0 k 0
k1 2k2 3k3 0
1

所以 tan ABC tan 1. 所以 ，解得 k2 0， k1 3k2 4k3 0 k3 0
9. 答案：ACD

解析：因為 X （單位：小時）服從正態(tài)分布N (2.4,0.72) ， 2.4, 0.7 a ， 所以 ，b， c線性無關(guān)，B正確；
E(X ) 2.4 根據(jù)正態(tài)分布知識， ，D(X ) 0.72 ，A正確； 假設(shè) a1 a2， 2a1 3a2 ， a3 a1線性相關(guān)，
P(X 1) P(X b) 1 b

若 ，則 2.4，得b 3.8，B錯誤； 則存在不全為零的實(shí)數(shù) ki (i 1,2,3)使得 k1 a1 a2 k2 2a1 3a2 k3 a3 a1 0，2

P(X 0.3) P(X 4.5) P(X 2.4 3 0.7) P(X 2.4 3 0.7)， 則 k1 2k2 k3 a

1 k1 3k2 a2 k3a3 0，
根據(jù)3 原則，可得P(X 0.3) P(X 4.5) P(0.3 X 4.5)，C正確； k 2k k 1 2 3
0 k1 0
因為 a1，a

2， a3 線性無關(guān)，則 k1 3k2 0 ，得 k2 0，
P X 2 0.7 P 1.3 X 2.7 P 1.3 X 2.3 P 2.3 X 2.7 ， k3 0 k3 0
P X 3 0.7 P 2.3 X 3.7 P 2.3 X 2.7 P 2.7 X 3.7 ， 與假設(shè)矛盾，C錯誤；

對于非零向量 a1，a

a 2 2， 3 ，若存在實(shí)數(shù) x， y使得 a1 xa1 a2 ya1 a3，
a 2 x a a cos a ,a y a a 即 1 1 2 1 2 1 3 cos a1 a3 ， 當(dāng) x 0時， f x x3 3x a 2，則 f (x) = 3x - 3，
a x a 所以 1 2 cos a1,a2 y a3 cos a1 a3 ， 由 f x 0可得0 x 1，由 f x 0可得 x 1，

但不能確定 a1， a2， a3是否線性相關(guān)，D錯誤. 所以函數(shù) f x 在 0,1 上單調(diào)遞減，在 1, 上單調(diào)遞增，
11. 答案：ABD 故當(dāng) x 0時， f x f 1 a 2，即函數(shù) f x 在 0, 上的值域為 a 2, ，
n
解析： fn (x) sin x
1 1
sin 2x sin 3x 1 sin nx 1 sin mx ， 由題意可得 a 2, 1, ，即 a 2 1，解得 a 1 .2 3 n m 1m
n n 因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1, .
所以對任意 k Z有 fn (kπ
1 1
x) fn (kπ x) sin m kπ x m sin m kπ x m 1 m 1m 故答案為： 1, .
n 1 n
sin mkπ mx sin mkπ mx
1
2sin mkπ cos mx 0，所以 fn (x)
27
的圖象關(guān)于 (kπ,0)(k Z)對 14. 答案：
m 1m m 1m 70
稱，所以 A正確； 解析：先考慮L2最先亮起的概率，則Si (i 1,2)中至少有一個開關(guān)閉合在L2亮起之后，
f (x) cos x cos2x cos3x，令 f
π 3π 2π Si (i 6,7)x , , 中也至少有一個開口閉合
L2亮起之后，
3 3 (x) 0，則 ，4 4 3
下面分三種情況討論，
f (x) 0, π π 3π 3π 2π 2π 3 在 上單調(diào)遞增，在 , 上單調(diào)遞減，在 , 上單調(diào)遞增，在 , π 上單調(diào)遞減， 情況 1：Si (i 1,2,6,7)都閉合在L 亮起之后，這種情況相當(dāng)于S ,S ,S 全排列，依次閉合，
4 4 4 4 3 3 2 3 4 5
f (x) x π 2π x 2π
3 4
再將剩余的四個開關(guān)全排列之后依次閉合，可能的情況有A A 144種；
所以 3 在 和 處有極大值，在 出有極小值，所以 B在正確；
3 4
4 3 3
情況 2：S1,S2和S6 ,S7 中都恰好有 1個開關(guān)閉合在L2亮起之后，
f3(x) f2 (x)
1
sin3x 1，疊加項 sin3x可正可負(fù)，故 f (x)的范圍比 f (x)范圍大，所以 C錯誤；
3 3 3 2
這種情況要求S3 ,S4 ,S5中有一個開關(guān)閉合順序排在第 5位，其余兩個排在前四位，
當(dāng) k為奇數(shù)時， sin kx 0， 當(dāng) k為偶數(shù)時， sin kx在 (0, π)先正后負(fù)，但振幅逐漸減小，所有項疊加后，正項占主導(dǎo)
前四位剩下的兩個空位分別在S1,S2和S6 ,S7 中各選一個進(jìn)行排列，剩下的兩個排在末兩位，
地位，
可能的情況有C1A2 1 1 2 23 4C2C2A2A2 576種，
所以函數(shù)值始終為正，由周期性，結(jié)論推廣到 (2kπ, π 2kπ)(k Z)，所以 D正確.
情況 3：S1,S2 ,S6 ,S7 中恰好有三個開關(guān)閉合在L2亮起之后，
12. 答案：2
a 1,b 3 c a2 b2 2,e c 2 這種情況要求
S3 ,S4 ,S5中有一個開關(guān)閉合順序排在第四位，其余兩個排在前三位，
解析：
a
剩下四個開關(guān)全排列，可能的情況有C1A2A4 432種，
13. 答案： 1, 3 3 4
x 0 2 7
7
個開關(guān)依次全部閉合共有A 5040種情況，
解析：當(dāng) 時， f x x 2x x 1 2 1 1，當(dāng)且僅當(dāng) x 1時，等號成立， 7
L 144 576 432 8
所以，函數(shù) f x 在 0, 上的值域為 1, 故 2最先亮起的概率為 ，的子集， 5040 35
而L1和L3的情況是一樣的，故兩者最先亮起的概率相等， （1）由 an 2Sn an 1，
L 1 8 27 令n 1 a
2
，有 1 1，因為 an 0，所以a1 1 .所以 1最先亮起的概率為 2
1 .
35 70
令 n 2，有 a2 a2 2a1 1 227 ，即 a2 2a2 1，由 a2 0，解得 a2 2 1 .
故答案為：
70
所以 S1 1， S2 2 .
15. 答案及解析：
1 2 3 4 5 （2）當(dāng) n 2時，由 an Sx 3 n
Sn 1，代入an 2Sn an 1，（1）設(shè)年份代碼的平均數(shù)為 x，則 .5
63.9 64.7 65.2 66.2 67.0 化簡得 Sn Sn 1 S S 2 2n n 1 1，即 Sn Sn 1 1 n 2
設(shè)常住人口城鎮(zhèn)化率的平均數(shù)為 y，則 y
，
65.4 .
5
n 所以 S 2n 是首項為 1，公差為 1的等差數(shù)列.
因為 2xi x 2 2 1 2 02 12 22 10，
i 1 2（3）由（2）可知 Sn n .因為 an 是正項數(shù)列，所以 Sn 0，從而 Sn n .
n
xi x yi y 2 1.5 1 0.7 0 0.2 1 0.8 2 1.6 7.7， 1 1
i 1 由 n 1 n Sn S
，
n 1 n n 1
n
xi x yi y 7.7 所以Tn 2 1 3 2 n 1 n n 1 1 .i 1
所以b n 0.77 .
2 x x 10i 1
i 1 所以數(shù)列 的前 n項的和TS S n
n 1 1 .
n n 1
所以 a y b x 65.4 0.77 3 65.4 2.31 63.09 . 17. 答案及解析：
所以 y關(guān)于 x的回歸方程為 y 0.77x 63.09 . （1）如圖，設(shè)線段 AD的中點(diǎn)為M ，線段 BC的中點(diǎn)為 N ，連接 PM ，MN， PN ，
（2）由圖可知，第3、 4、5年常住人口城鎮(zhèn)化率超過 65.00%，
由題意可知， X 的取值可能為0、1、 2，
0 2 1
P X 0 C3C2 1 P X 1 C3C
1 3 2 0
因為 ； 2 ； P X 2 C C 3 3 2 . 依題意， PD PA 1，則 PM AD，由 PB PC，得 PN BC，
C25 10 C
2
5 5 C
2
5 10
而CD //AB ， AB BC，MN是梯形 ABCD的中位線，于是MN //AB，MN BC，
所以 X 的分布列為：
而MN ,PN 平面 PMN，MN PN N，則 BC 平面 PMN，
X 0 1 2
而PM 平面 PMN，于是BC PM ，又 AD,BC 平面 ABCD，且 AD和 BC一定相交，
1 3 3
P 因此 PM 平面 ABCD，而PM 平面 PAD，所以平面 PAD 平面 ABCD .
10 5 10
（2）依題意， AD BD 2 ，則 AD2 BD2 4 AB2，即 AD BD，
E X 1 3 3 6所以 X 的數(shù)學(xué)期望為 0 1 2 .
10 5 10 5 由（1）知 PM 平面 ABCD， BD 平面 ABCD，則 PM BD，
16. 答案及解析：
由 AD,PM 平面 PAD， PM AD M ，得 BD 平面 PAD，過D作Dz 平面 ABCD，
以D為原點(diǎn)，直線DA,DB,Dz分別為 x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz，如圖： 1 1
當(dāng)a 0時，函數(shù) f x 在 0, 上單調(diào)遞減，在 , 單調(diào)遞增.
a a
（2）① 若a 0，由（1）知， f x 至多有一個零點(diǎn)；
1 1 1
若a 0，由（1）知，當(dāng) x 時， f x 取得最小值，最小值為 f 1 lna .a a a

則 A( 2,0,0),B(0, 2,0),P( 2 ,0, 2) PB ( 2 , 2, 2 ), AP ( 2， ,0, 2 )，
2 2 2 2 2 2 1 1
因為當(dāng) x , 時， f x 1 lna, a a ；

令 PT PB ( 2 , 2 , 2 ),0 1，
2 2 x 0, 1 f x 1 1 當(dāng) 時， lna, ，
a a

AT AP PT ( 2 2則 ( 1), 2 , ( 1))，
2 2
所以函數(shù) f x 1 有兩個零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) f 0 .
n
a
由 BD 平面 PAD，得平面 PAD的法向量 0,1,0 ，
設(shè) g a lna 1 1，函數(shù) g a 在 0, 單調(diào)遞增.
設(shè)直線 AT 與平面 PAD所成角為 ， a
因為 g 1 0， g a 0的解集為 a 0,1 .
sin | cos n , AT | | n A T | 2 6 1
則 | n || AT | 1 ( 1)2 2 2 1
6 ，解得 ，
( 1)2 3 綜上所述，a的取值范圍是 0,1 .
2 2
② 因為 f x x2 x a 2x lnx，由 f 1 2a 2 0，結(jié)合（i）知0 x 1PT 1 ，
AT PAD 6
0
所以當(dāng) 時，直線 與平面 所成角的正弦值為 .
TB 2 6 要證 x0 f x0 2，即證 2x0 1 ax0 1 2，即 ax0 2x0 1 2x0 1，
18. 答案及解析： 1
當(dāng)0 x0 時，因為 ax0 2x0 1 0，2x0 1 0，不等式恒成立；
1 f x 0, ax 1f x 2ax a 2 1 2x 1
2
（ ）函數(shù) 的定義域為 ， ，
x x 1
當(dāng) x0 1時，由 f x0 0得 ax0 x0 1 lnx0 2x2 0 .
①當(dāng) a 0時， f x 0，函數(shù) f x 在 0, 單調(diào)遞減；
即證 2x0 1 lnx0 2x0 2x0 1 x0 1 .
②當(dāng) a 0時，令 f x 0 1，解得 x ，
a 2x0 1 x0 1lnx 2x
2
0 x0 1 1
即證 0 2x0 x .2x0 1 2x
0
0 1 2x0 1
x 1 當(dāng) 0, 時， f x 0，函數(shù) f x 單調(diào)遞減；
a
即證 lnx0 x
1
0 02x .0 1
x 1當(dāng) ,

時， f x 0，函數(shù) f x 單調(diào)遞增.
a p x 1 2 1 2 1 1 0
設(shè) p x 1 1 lnx x 2 2， x ,1 ，由 x 2x 1 x 2 1 1 ，
綜上所述，當(dāng) a 0 2x 1 2 時，函數(shù) f x 在 0, 單調(diào)遞減； 2
1 1 y y x x所以 p x 在 ,1 單調(diào)遞增.所以 p x p ln2 1 0 3 4，故原不等式成立. ② 由 kCD 3 4 ，且 x x 2 2 x x 4 1 3 x2x4 12， x1x2 4， 3 4
所以 x0 f x0 2 . k x3 x4 1 12 12 3得 CD x1 x2 3k .4 4 x1 x2 4
19. 答案及解析：
（1）由題意，直線 AB斜率必存在， 所以直線CD的方程為 y 3kx 9 .由直線CD與直線 AB相交，可得 k 0 .
設(shè) AB : y kx p ， A x1, y1 ， B x2 , y2 ， y 3kx 9 4 2 聯(lián)立 解得 N , 3 .
y kx 1 k

y kx
p

聯(lián)立 2 得 x2 2pkx p2 0，Δ 4p2 k 2 1 0 . x 2 x
2 x 2py
因為拋物線方程為y ，所以 y .
4 2
所以 x1 x
2 x x 1 2
2 2pk， x1x2 p . 拋物線在點(diǎn)C處切線方程為 y 3 x x3 y 33 x x .2 2 4 3
1 22 2 2 p 18 x3 E ,9 G 18 x

由OA OB x1x2 y1y2 x1x2 2 x1 x2 p 3 . 所以 .同理
4 ,9 .
4p 4 x3 2

x4 2
解得 p 2或 p 2（舍）.所以 p 2 . 18 x3 x4 18 18 x3 x4 x x
又 3 4 0，所以 EG的中點(diǎn)為 P .
x3 2 2 x4 x3x4 2
（2）① 直線 AC斜率必存在，設(shè) AC : y k1x 3，C x3, y3 ，D x4 , y4 ，
y x 3 1 2 x2 4y x x
x2 4k x 12 0 x x 12 . 2 4
3 x3 x4 x x
聯(lián)立 3 4得 1 ，所以 1 3 聯(lián)立 得K ,y k x 3
，
1 y x 4 x 1 x 2 2 4
2 4 4
同理 x2x4 12 .又因為 x1x2 4，所以 x3x4 36 .
由 x3 x4 3 x1 x2 及 x3x4 36，所以K 6k, 9 .
直線CD斜率必存在，設(shè)CD : y k2x m，
過N 作平行于 x軸的直線交PK 于點(diǎn)H ，則H 4k, 3 .
x2 4y 2
聯(lián)立 得 x 4k2x 4m 0，所以 x x 4m 36 .
y k x m
3 4
所以 S1 S2 2S PNK HN yP yK x2 N xH yP yK
解得m 9，所以直線CD過定點(diǎn) 0,9 .即 P的坐標(biāo)為 0,9 . 18 4k 4 72 k 1 1 144 k 144 .k k k
當(dāng)且僅當(dāng) k 1時，即直線 AB方程為 y x 1或 y x 1時等號成立.

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