資源簡介

π
長沙市長郡中學 2025 屆高三下學期保溫卷（二） D．若 P為圓O上的點，當m 9時，過點 P作圓C的兩條切線，切點分別為 A,B，則 APB可能為 2
數學試卷 6．設平面上，動點 P到點 F1 1, 0 , F2 1, 0 的距離的倒數之和等于 1，那么（ ）
注意事項:
A. 2 PE1 2 2 B． | PO |的最小值為 2
1. 答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形
x2 y2
碼粘貼在答題卡上的指定位置. C．當點 P不在坐標軸上時，點 P在橢圓 1的外部4 3
2. 選擇題的作答:每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑. 寫在試卷、草
D．記點 P的橫坐標為 x0，則 | PF1 | | PF2 |隨著 | x0 |的增大而增大
稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.
3. : . 三、填空題填空題和解答題的作答 用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內 寫在試卷、 草稿紙和
π
答題卡上的非答題區域均無效. 7、記VABC 的內角 A,B,C的對邊分別為 a,b,c，若C ,2bcosA a c，則 A ．
3
4. 考試結束后， 請將本試卷和答題卡一并上交. 1
8．已知甲同學定點投籃，每一次投中的概率均為 ，記甲同學投籃的總次數為 X．規定投中 3次就“通過”并停止
一、單選題 2
z 投籃，則 X = 值為多少時，“通過”的可能性最大，此時“通過”的概率為
1．已知 2 i，則 z z （ ）
1 i
5 四、解答題
A．10 B． 10 C．5 D．
2
9、如圖，在三棱錐 P ABC中， PA 平面 ABC， BAC為銳角，動點 D在VABC 的邊 AC上， PA 1， AB 3，
2．已知等差數列 an 的前 n項和為 Sn，若 S6 S3 2a1,a8 a7 22，則 an 的公差等于（ ）
A 2 B 1 C D AC 3 3
，三棱錐 P ABC的體積為 2 .
． ． ． 1 ． 2
3．設m,n表示兩條不重合的直線， , 表示兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（ ） (1)證明：平面PBC 平面 PAB.
A．若m∥ ,m n，則 n B．若m ,n ,m∥ ,n∥ ，則 ∥
C．若m n,m ，則 n D．存在一對異面直線m,n,m ,n ,m∥ ,n∥ ，則 ∥ (2)當點 P到直線 BD的距離為 3時，求 PD與平面 ABC所成的角.
4．已知 f (x) x3 2x 2sin x， g (x) f (| x |)．若 a b 0，則（ ）
A． f (a) f ( b) g (b) g ( a) B． f (a) f ( b) g (b) g ( a)
10．為考察某種藥物預防和治療流感的效果，某藥物研究所用 100只小白鼠進行了分組試驗，該分組試驗分兩個階段：
C． f (b) f ( a) g (a) g ( b) D． f (b) f ( a) g (a) g ( b)
第一階段為 5天的觀察預防期，第二階段為 10天的觀察治療期.第一階段結束時，統計數據如下：患病小白鼠的比例
二、多選題 9 2為 ，未服藥小白鼠的比例為 ，未服藥且未患病的小白鼠有 20只.
20 5
5、已知圓O : x2 y2 1 C : x 3 2 y 4 2 ，圓 m m 0 ，直線 l : y kx 2 k R ，下列結論正確的是（ ） (1)完成下面2 2列聯表，并依據小概率值 0.1的獨立性檢驗，推斷該藥物對預防流感是否有效.
A．若直線 l與圓O相切，則 k 3 流感
B 1
藥物 合計
．若 k 15 ，則圓O上到直線 l的距離等于 2 的點恰有 3個 未患病 患病
C．若圓O與圓C恰有三條公切線，則m 4
未服用
服用
合計
(2)第一階段結束時，若在患病的小白鼠中隨機抽取 2只，用 X 表示服藥的只數，求 X 的分布列和數學期望.
(3)第二階段結束時，針對第一階段結束時的服藥且患病的小白鼠中有 16%被治愈，未服藥患病的小白鼠中有 5%自愈，
服藥未患病的小白鼠中有 20%患病，未服藥未患病的小白鼠中有 15%患病.用頻率估計概率，試驗結束后，從這 100
只小白鼠中任選 1只，檢測是否患病后放回，若該操作進行 5次，求選出的 5只小白鼠中至少有 2只患病的概率. 附：
2 n ad bc
2
，其中 n a b c d .
a b c d a c b d
0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
11 *、設數列 rn 的前 n項和為 Sn n N ，且 r1 1,r2 q(1 q 4),Sn q 1 rn 1 1，定義：S0 0，已知在平面直角
2 2
坐標系中，記圓Cn : x 2Sn 1 r 2n y rn rn，曲線Ω: y 2x .
(1)求 rn 的通項公式；
(2) *求C1與Ω的交點個數；(3)探究當 n 3 n N 時，Cn與Ω是否有交點.
參考答案及解析 對于 B，當 k 15時，圓心O到直線 l的距離 d
1
,1 d 1 ，故圓O 1上到直線 l的距離為 2 的點恰有 3個，B正確；2 2
1．答案：A 2對于 C，圓O與圓C : x 3 y 4 2 m恰有三條公切線，
解析：解法一： z z z 2 (1 i)( 2 i) 2 10， 2 2
則兩圓外切，即 3 0 4 0 1 m，解得m 16，C錯誤；
解法二：因為 z 2 i 1 i 1 3i 2，所以 z z z 10，故選：A. π
對于 D，如圖，點 P在 P1位置時，P1C 4，此時 A1P1C ，點 P在 P2位置時P2C 6， 此時4
2．答案：D
A π π 2P2C ，所以中間必然有位置使得 APB ，故 D正確．故選：ABD
6a 6 5
4 2
1 d 3a
3 2
d 2a
解析：設等差數列 an 的公差為 d，因為 S6 S3 2a1 ,a a 22 2
1 1
8 7 ，可得 2 ，整理得
a 7d a 6d 22 6．答案：ACD1 1
1 1 PF
a1 12d 0
1
a 24,d 2 解析：對于 A選項，由題意可知
1 PF
. D. PF PF
，則 2 PF1 1 ，
，解得 故選： PF 1
2a1 13d 22
1 1 2 1
PF1
3．答案：D 因 PF2 PF1 F1F2 2，所以 2 PF 2 2 PF 2 2PF 1 1 ，解得 1 ，故 A正確；1
解析：對于 A，由m∥ ,m n，得直線 n與 可能平行、可能相交，也可能在面內，A錯誤；
對于 B選項，當 PF2 PF1 2時， PO 3 2，故 B錯誤；
對于 B，由m ,n ,m∥ ,n∥ ，得 , 可能平行，也可能相交，B錯誤； 1 1 2
C n 對于 C選項，
PF2 PF1 PF2 PF1
對于 ，要 垂直于 內的兩條相交直線，才能推出 n ，C錯誤； PF PF
2 PF2 PF1 4，
1 2 PF2 PF1
對于 D，過直線m的平面 l，由m / / ，得m / /l，而m , l ，則 l / / ， 當且僅當 PF2 PF1 2時，等號成立，
由m,n是異面直線，得直線 l,n相交，又 n / / ,n, l ，因此 / / ，D正確. 故選 D，
PF PF 4 x
2 y2
所以若點 P不在坐標軸上時， 2 1 ，此時點 P在橢圓 1的外部，故 C正確；
4 B. 4 3．答案：
1 1
解析： f (x) 3x2 2 2cosx 0， f x x 3 2x 2sinx f x ， f x 是在R 上遞增的奇函數，又 g(x) f (| x |) 對于 D選項，由 1，得 PF2 PF1 PF2 PFPF1 PF 1
，
2
是偶函數，且 x 0時， g(x) f (x)， x 0時， g(x) f ( x)，故 x ,0 , g x 單調遞減； x 0, , g x 單調遞
因 PF2 x0 1
2 y20 ， PF1 x0 1
2 2 2 y20 ，則 PF1 PF2 4x0，即 PF1 PF2 PF1 PF2 4x0，所以
增，且 f a g a , f b g b ， f a f b f 0 0, g a g b 0，
2 2PF PF PF PF 16x 2，
f b f a f b f a 1 2 1 2 0 g b g a g a g b g a g b ，
2 2 2 2 2 2
f b f a f b f a g b g a 0 g a g b g a g b 即 PF PF PF PF 4PF PF 16x ，令 PF PF PF PF t 4，則 t t 4t 16x ，令， 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 0
4 3 3 2 2C不成立，D不成立； f b f a f b f a g b g a g a g b g a g b ， y t 4t t 4 ，則 y 4t 12t 4t t 3 0，
f b f a f b f a g b g a 0 g a g b g a g b 則當 x0 增大時， t4 4t3中 t也增大，即 PF1 PF2 隨著 x0 的增大而增大，故 D正確.
A不成立，B成立；故選：B． 故選：ACD.
5、答案：ABD 2 7. 答案：
9
解析：易知圓 x2 2
2
y 1的圓心O的坐標為 0,0 ，半徑為 1，圓心O到直線 l的距離 d ，
1 k 2 解析：因為 2bcosA a c，由正弦定理得 2sinBcosA sinA sinC sinA sin A B ，
2
對于 A，因為直線 l與圓O相切，所以 d 12 ，解得 k 3，A正確；1 k
所以 2sinBcosA sinA sinAcosB cosAsinB ，即sin B A sinA，所以 B A A或B A A π（舍去），即 B 2A， PA 1 3
由（1）知 PD與平面 ABC所成的角為 PDA，所以 tan PDA ，
AD
π 3
3
π
又因為C ，則 A B C A 2A π A 2π，解得 2π．故答案為：
3 3 9 9
.
所以 PDA
π π
，即 PD與平面 ABC所成的角為 .
6 6
8．答案及解析：
10．答案及解析：
P(X n) C2 (1)2 (1)n 3 1 (n 1)(n 2)（1） n-1 n 1 （n 3）
9 9
2 2 2 2 （1）因為患病小白鼠的比例為 ，所以患病小白鼠有 100 45只，20 20
P(X n 1) P(X n) n(n 1) (n 1)(n 2) (n 1)(4 n)
2
- n 2
則不患病的小白鼠有100 45 55只，又未服藥小白鼠的比例為 ，
2 2n 1

2n 2 5
2
令 P(X n 1) - P(X n) 0，可得3 n 4， 所以未服藥小白鼠有 100 40，從而完善2 2列聯表，如下表：5
可得，當 n 4時， P(X 5) P(X 4) ,
流感
當 n 3時， P(X 4) P(X 3) 0，即 P(X 4) P(X 3) , 合
藥物
當 n 5時， P(X n 1) - P(X n) 0，即 P(X n 1) P(X n) , 未患 患 計
3 2 3 病 病
可得， P(X n)max P(X 4) P(X 5) 5 .2 16
未服
9、答案及解析： 20 20 40
用
（1）證明：因為 PA 平面 ABC， AB, AC,BC 平面 ABC，所以 PA AB， PA AC， PA BC，
服用 35 25 60
所以 PB PA2 AB2 2，同理得 PC PA2 AC2 2 7 .
1 1 1 合計 55 45 100
又因為VP ABC PA S ABC PA AB AC sin BAC
3
sin BAC 2 sin BAC 2 2，所以 .
3 3 2 2 3
H . 2 100(20 25 35 20)
2
1 零假設為 0：該藥物對預防流感無關聯 因為 0.673，顯然0.673 2.706，
因為VABC 為銳角三角形，所以 cos BAC . 55 45 40 60
3
根據小概率值 0.1的獨立性檢驗，推斷H0成立，沒有充分證據表明該藥物對預防流感有效.
由余弦定理，可知 BC AB2 AC2 2AB AC cos BAC 2 6 ，所以 PC 2 PB2 BC 2，所以PB BC，
（2）由題意 X的所有可能取值為 0,1,2，
又因為 PA BC， PA PB P，PA， PB 平面 PAB，
C0 C2 1 1 2 0所以 BC 平面 PAB，所以平面PBC 平面 PAB. 則 P X 0 25 20 19 P X 1 C ， 25C20 50 C25C20 102 2 ， P X 2 2 ，所以 X 的分布列為：
C45 99 C45 99 C45 33
（2）如圖，以 BA,BC,BB1 為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，
X 0 1 2
則 A( 3,0,0)，C(0, 2 6,0)， P( 3,0,1) .
19 50 10
P
設 AD AC，則 BD BA AD ((1 ) 3, 2 6 ,0) . 99 99 33
19 50 10 10
BP·BD 3 1 3 1 所以 X 的數學期望為 E X 0 1 2 .
22 3 1 99 99 33 9由 BD 2 2 27 2 6 3 ，24 3 1 （3）第二階段結束后，服藥且患病的小白鼠中有 16%被治愈，那么服藥且患病后仍患病的小白鼠的數量為
1解得 或 1（負值舍去），所以 AD 3 . 25 1 16 03 0 25 0.84 21，未服藥患病的小白鼠中有 5%自愈，
那么未服藥患病后仍患病的小白鼠的數量為 20 1 500 20 0.95 19 q 2,4 2q 2lnq 2lnq， 當 時， 1 5, 4，易得2q 1 恒成立，即 f n f 3 0，ln2 ln2
2S
服藥未患病的小白鼠中有 20%患病，那么服藥未患病后患病的小白鼠的數量為35 20 00 7 ， 故2
n 1 2rn，故當 n 3時，Cn與Ω無交點.
未服藥未患病的小白鼠中有 15%患病，那么未服藥未患病后患病的小白鼠的數量為 20 15 00 3，
所以第二階段結束后患病的小白鼠的總數量為 21 19 7 3 50，
50 1
所以從這 100只小白鼠中任選 1只，患病的概率為 ，
100 2
1
設Y表示選出的 5只小白鼠中患病的只數，則Y ~ B 5, ，
2
“至少有 2只患病”的對立事件為“0只患病”或“1只患病”，
0 5 1 4
所以 P Y 2 1 P Y 0 P Y 1 1 C0 1 1 1 C1 1 1 1 5 135 5 1 1 .
2 2 2 2 32 32 16
11、答案及解析：
（1）由于 Sn q 1 rn 1 1，當 n 2時， Sn 1 q 1 rn 1，作差得 q 1 rn rn 1 rn，即 rn 1 qrn，
又 r1 1, r2 qr1，故 rn q
n 1
；經檢驗 n 1同樣滿足，故 rn 的通項公式為 rn qn 1 .
（2）由題易得C1 : (x 1)
2 (y 1)2 1，畫出C1與曲線Ω: y 2x的圖象，
可知C1與Ω的交點個數為 2.
（3）沒有交點. 2S只需證明對任意的 n 3，有2 n 1 2rn，
Ω 2S , 22S這是因為 經過點 n 1n 1 ,Cn經過點 2Sn 1 rn , 2rn ，
22S若 n 1 2rn，說明Ω在2Sn 1處的 y值大于Cn在2Sn 1 rn處的 y值，且 y 2x為增函數，則沒有交點，
qn 1 1 qn 12 2 1 1 n 1 lnq f x 2 q
x 1 1 1 x 1 lnq只需證明 2 q 1 2qn 1，即 . 記函數 , x 3，q 1 ln2 q 1 ln2
2 1
2
3
則 q x 1lnq lnq 2q x 1 1 2q2
q
2

f x 2 lnq
2 ，
q 1 ln2 q 1 ln2
2 lnq lnq 0
q 1 q 1
2
故 f x 在 3, 上單調遞增. 又 f 3 2 q 1 1 2lnq 2q 2lnq 1 ，
q 1 ln2 ln2
q 1,2 2lnq 2lnq當 時， 2q 1 3, 2，易得 2q 1 恒成立；
ln2 ln2

展開更多......

收起↑