資源簡介

2025 屆高三年級 TOP 二十名校猜題大聯考 7. 已知 2tan tan2 ， tan 8，則 tan （ ）
數學試卷 A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
x2全卷滿分 150分，考試時間 120 分鐘 8. 過雙曲線C : y2 1 a 0 右支上的點 P作C的切線 l， F1，F2分別為C的左、右焦點， N 為切線2 l上的一a
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位 點，且ON / /F1P（O 為坐標原點）.若 ON 2，則 a （ ）
置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡 A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并收回.
部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
4.本卷命題范圍：高考范圍.
9. 記 Sn為首項為 2 的數列 an 的前 n項和，已知 an anan 1 1，則（ ）
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題
目要求的. A. 2a2 1 B. a4 3
A x y 9 x 2 C. a2025 1 0 D. 2S2025 2023
1. 已知集合 ，則 A N （ ）
25 20i z 5,
2, 1, 0,1, 2 3, 2, 1,0,1, 2,3 0,1, 2,3 1,2,3 10. z k R 已知關于復數 的方程組 有且僅有一個復數解，則 k 的值可能是（ ）A. B. C. D. z 4 k z 3i k
23 15 123 65
2. 已知平面向量 a 1,3 ，b 2,1 ，則 cos a,b （ ） A. B. C. D.
8 4 8 4
2 2 11. 已知函數 f x cosxsin2x， g x sinxsin2x，則（ ）A. B. C. 2 D. 2
10 5 10 5
A. f x g x
1 1 與 的值域相同
3. 設甲： 0；乙： 2a 2b，則甲是乙的（ ）a b B. f x g x 與 f x g x 的值域相同
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2 2
4. 2 2若把滿足 a b c2 a b c 的正整數組 a,b,c C. f 1 g 2 f 2 g 1 稱為“勾股平方數組”，則在不大于 13 的正整數中隨機選取 3
2 2
個不同的數，能組成“勾股平方數組”的概率為（ ） D. f 1 g 2 f 2 g 1
1 3 2 3
A. B. C. D. 三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
143 286 143 143
x2 y2
5. 棱長均為 2的正三棱柱 ABC A1B1C1的各個頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（ ） 12. 已知橢圓C : 1 a b 0 的左頂點與上頂點之間的距離為焦距的 2倍，則C的離心率為_____.a2 b2
A. 14 21π B. 23 21π C. 7 7π D. 28 21π 13. 曲線 y x3 3x2 1的對稱中心為_______．
27 54 24 27
14. 現有各項均為正整數的遞增數列 2，3，4， x， y，20，30，40，若從中任取 4 項構成的遞增數列都不是等差數
6. 已知首項為1的等比數列 an 的前 n項和為 Sn，若 Sn an 1 也為等比數列，則 an 的公比為（ ）
列，則有序數對 x, y 的個數為_____.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （2）若 3n 個點中任意三點都不共線，在所有互異的點之間連線，端點顏色相同的線段賦值 1，端點顏色不同的線段
15. 設拋物線C : y 2 4x 的焦點為 F ，過 F 的直線 l與C交于 A，B 兩點. 賦值 2.
① 記每條線段的賦值為隨機變量 X，在所有線段中任取一條線段，按兩個端點的顏色進行分類（端點無序），求 X 的
（1）求C的準線方程；
分布列及數學期望；
（2）設M t, 2 為C準線上一點，且MF l ，求 AB .
② 從 3n 個點中任取三個點構成三角形，記構成的三角形三邊的賦值之和的數學期望為 En ，證明：En 5 .
π
16. 記VABC的內角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知 A .
3
3
（1）證明： sinBsinC ；
4
（2）若BC邊上的中線長為 3，求bc的最大值.
17. 如圖，四棱錐 P ABCD中， PA PD AD CD 2， AB 1， AB∥CD且 AB AD .
（1）當平面 PAD 平面 ABCD時，證明：平面 PBC 平面 PCD；
（2）若 BC PB，求平面 PBC 與平面 PCD的夾角的余弦值.
18. 已知平面內有 n 個紅點、n 個藍點、n 個黃點（ n N*），這 3n 個點中任意兩點都不重合.
（1）在顏色不同的任意兩點之間連接一條線段，顏色相同的兩點之間不連接線段，直接寫出連接線段條數的最大值；
2
參考答案及解析 1 2 2 3 2 3 7
可得 r O A ，則 R O A21 OO
2 12 ，
2 sin60 3 1 1 3 3
3
1. 答案：C
所以正三棱柱 ABC A BC V 4 π 7 28 21π1 1 1外接球O的體積為 .3 3 27
解析：因為 A x y 9 x 2} x∣ 3 x 3 ，故 A N 0,1,2,3 .
故選：D
故選：C.
2. 答案：A

解析：由題意可得 cos a
,b a b 1 2 .
a b 5 2 10
故選：A.
3. 答案：D
6. 答案：B
1 1
解析：由 0可得0 a b，由 2aa b 2
b可得 a b，
n 1
解析：設 an 的公比為 q，當 q 1時， an a1q 1， Sn n，
1 1
所以由 0推不出 a b，即充分性不成立；
a b 2 2
可得 Sn an 1 n 1 1 n，
a b 1 1由 2 2 也推不出 0，即必要性不成立.a b
所以 Sn an 1 不是等比數列，
所以甲是乙的既不充分也不必要條件.
a 1 qn n
故選:D 當 q 1時， an a
n 1 n 1 1 1 q
1q q ， Sn 1 q 1 q
4. 答案：B
3 S a 1 1 q
n
n 1 2 q 1 n 1
解析：由題意可知基本事件的總數為 n C13 286， 可得 n n q 1 q ，1 q 1 q 1 q
能組成“勾股平方數組”的有 3,4,5 , 6,8,10 , (5,12,13)，共 3個，
2 q
3 因為 Sn an 1 是等比數列，所以 0，所以 q= 2 .
故所求概率為 . 1 q
286
故選:B. 故選：B
5. 答案：D 7. 答案：C
解析：如圖所示，因為正三棱柱 ABC A1B1C1的底面是邊長為2的等邊三角形， 2tan tan2 tan 解析：由 ，得 tan ①，
1 tan2
設VABC的外接圓的半徑為 r ，正三棱柱的外接球的半徑為 R，
由 tan 8 tan tan ，得 8，
1 tan tan
即 tan 8tan 1 tan 8， 1
解析：由題意可得 an 1 1 a ，可得下表：n
所以 tan tan 8 ②，
1 8tan n 1 2 3 4 5 L
tan 8 tan
由①②得 ，化簡得 tan3 8， 1 1
1 8tan 1 tan2 an 2 1 2 L2 2
所以 tan 2 .
所以數列 an 的最小正周期T 3，
故選：C.
2a 12 2 1，故 A 正確， a4 a1 2，故 B 錯誤，
8. 答案：B 2
P x , y , x 0 x0xC y y 1 由 2025 3 675，則 a2025 1 a 1 0，故 C 正確；解析：設 0 0 0 ，則雙曲線 在點 P處的切線方程為 ， 3a2 0
x x a2 a2 a2 2S2025 2 675 a1 a2 a3 2025，故 D 錯誤.
在 0 y0 y 1中，令 y 02 ，得 x ，故 B ,0 ，故 OB ，a x0 x0 x0 故選：AC.
a2 10. 答案：AC
又 OF c a21 1，故 BF1 a
2 1，
x0 解析：由方程組在復平面上的幾何意義可知，
2
F P x c 2 y2 2 2 2 x0 y2 1 問題等價于以 25,20 為圓心，5為半徑的圓與點 4 k,0 與 k,3 所連線段的垂直平分線相切，其中 1 0 0 x0 a 1 y 0 ，又 ，a2 0
易求得垂直平分線為 l :8x 6y 8k 7 0，
2
2 x2 a
2 1 x2 2 2
F P x 0
a 1x a 1x
故
1 0 a
2 1 0 1 2 a22 2 1x
2
0 a 0 a 0 a， 8 25 6 20 8k 7a a a a 由點到直線距離公式有 5， 82 62
a2 即 73 8k 50 23 123，解得 k 或 .
ON OB 8 8
因為ON / /F1P
2 x0
，所以 ，即 ，整理得 a 2
F P BF 2 a2 a2 a2 1x0 0，a 1x 故選：AC.1 1 0 a a2 1
a x0 11. 答案：ABD
顯然 a2 a2 1x0 0，所以 a 2 0，解得a 2 . g x π π π解析：對于 A， sin
x
2 2
sin 2x π sin x sin π 2x cosxsin2x f x ，
2
故選：B.
故 f x π的圖象可看作 g x 的圖象向右平移 個單位長度得到的，左右平移不影響值域，故 A 正確；
2
對于 B， f x g x sinx cosx sin2x sinx cosx 2 sinx cosx 1
sinx cosx 3 sinx cosx ， f x g x cosx sinx sin2x cosx sinx 1 cosx sinx
2

cosx sinx (cosx sinx)3
9. 答案：AC
sinx cosx 3 sinx cosx ， 13. 答案： 1,1
3
π π π π sin x π cos x π 解析：設 f x x
3 3x2 1
，設函數
f x 的對稱中心為 a,b ，則 f a x f a x 2b，
f x g x sin x cos2 2 2
x
2 2 2
等式 f a x f a x 2b兩邊求導得 f a x f a x 0，即 f a x f a x ，
sinx cosx 3 sinx cosx f x g x ，
所以，函數 f x 的圖象關于直線 x a對稱，
故 f x g x 的圖象可看作 f x g x π的圖象向左平移 個單位長度得到的，左右平移不影響值域，故 B 正確；
2
因為 f x 3x2 6x，故函數 f x 的圖象關于直線 x 1對稱，則 a 1，
2 2
對于 C， f 1 g 2 cos
21sin32sin4， f 2 g 1 sin1sin2cos
22sin 24，
因為 f 1 x f 1 x 1 x 3 3 1 x 2 1 1 x 3 3 1 x 2 1 2，
由1 0,
π
， 2
π ,π 3π ， 4 π, 可知 sin1 0， cos1 0， sin2 0， cos2 0，sin4 0， 3 2
2 2 2 所以，函數 y x 3x 1的對稱中心為 1,1 .
2 2 2 2
所以 f 1 g 2 0， f 2 g 1 0， f 1 g 2 f 2 g 1 ，故 C 錯誤； 故答案為： 1,1 .
對于 D， f 1 2 g 2 cos1sin
32sin 24， f 2 2 g 1 sin
21sin 22cos2sin4， 14. 答案：76
2 2 解析：由題意可知
x的取值可從 6，7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18 中選取（ x 5時，2，3，4，5 成
f 1 2 g 2 f 2 g 1 sin 2sin4 cos1sin2sin4 sin 21cos2
等差數列， x 10時，10，20，30，40 成等差數列，不合題意），
=sin22sin4 4sin1cos21sin2cos2 sin21cos2 y的取值可從 7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18，19 中選?。?y 10時，10，20，30，40 成等差數列，
sin1cos2sin22sin4 4cos21sin2 sin1 不合題意），且需滿足 x y，
=sin1cos2sin22sin4 8cos31sin1 sin1 sin21cos2sin22sin4 8cos31 1 y， 當 x 6時， 的取法有 12 種；
當 x 7時， y的取法有 11 種；
1 0, π
3
而 1
2 2
，故3 8cos
31 8 1，故 f 1 g 2 f 2 g 1 0，故 D正確. 當 x 8時， y 2 的取法有 10 種；
當 x 9時， y的取法有 9種；
故選:ABD
當 x 11時， y的取法有 8種，
2 1
12. 答案： ## 2
3 3 依次類推，當 x 18時，
y的取法有 1 種，
12 12 1
x2 y2 c2 2 此時 x, y 的取法有12 11 2 1 78（種），
解析：設橢圓C : 1的半焦距為c，由題意可得 2 22 2 a b 2 2c，整理得 2a
2 c2 8c2，因此 e2 ， 2
a b a2 9
其中當 x 6， y 8時，2，4，6，8成等差數列，不合題意；
C 2所以 的離心率為 e . 當 x 8， y 14時，2，8，14，20 成等差數列，不合題意.
3
綜上所述，滿足題意的 x, y 有78 2 76（個）
2
故答案為： .
3 故答案為：76
15. 答案：（1） x 1
（2） AB 8
解析：
（2）
（1）因為拋物線C的方程為 y2 4x，所以拋物線C的準線方程為 x 1
（2）因為M t, 2 在C的準線上，所以 t 1，即M 1,2 ，
0 2 1 易得 F 的坐標為 1,0 ，此時 kMF 11 1 ， 設D為BC的中點，則有 AD AB AC ，2
2 1 2 2k k 1 k 1 兩邊平方得， AD AB 2 AB AC cosA AC ，因為MF l ，所以 MF l ，解得 l ， 4
2 1 2 2
所以 l的方程為 y x 1，設 A x1, y1 ， B x2 , y2
即 AD b c bc 3，
， 4
故12 b2 c2 y2 4x, bc 2bc bc 3bc，即bc 4，當且僅當b c 2時等號成立，
聯立 消去 y并整理得 x2 6x 1 0，由韋達定理得 x x 6，
y x 1,
1 2
所以bc的最大值為 4.
所以 AB x x 2 8 17. 答案：（1）證明見解析1 2
105
（2）
35
解析：
（1）證明：因為平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD 平面 ABCD AD， AB AD， AB 平面 ABCD，
可得 AB 平面 PAD，
又 AP， PD 平面 PAD，故 AB AP， AB PD，又 AB∥CD，所以PD CD
16. 答案：（1）證明見解析 由 PA PD AD CD 2， AB 1，得 PB PA2 AB2 5，
（2）4 2 2 BC AD2 CD AB 2BD AD AB 5， 5，
解析：
PC PD2 CD2 2 2，
2 2
cosA 1 b c a
2 2bc a2 a2
（1）由余弦定理，得 1 ，
2 2bc 2bc 2bc 如圖 1，取PC中點M ，連接 BM，DM，有 PC BM ， PC DM ，
1
1 a2 a2 DM PC 2 2 1
2
2 2 2
b c 又 ， ，所以 ，故 BM DM故 1 ，即 1，當且僅當 時等號成立， 2 BM PB PC 3 BD BM DM
2 2bc bc 2
因為 BM DM ， BM PC， PC DM M ， PC 平面 PCD，DM 平面 PCD，所以 BM 平面 PCD，
sin2A
由正弦定理可得 1，
sinBsinC 又BM 平面 PBC ，故平面 PBC 平面 PCD
又 A π 3 1 3 ，故 1，即 sinBsinC .
3 4 sinBsinC 4
解析：
（1）紅藍、藍黃、黃紅三對里，每對中兩種顏色均有 n個點，則當3n個點中任意三點都不共線時，連接線段條數取
最大值C23n n 3n
2
.
（2）① 端點顏色的所有可能情況為紅藍、藍黃、黃紅、紅紅、藍藍、黃黃，
2 3n n 1 2 2
端點顏色相同的線段有3Cn 條，端點顏色不同的線段有C3n n 3n 條，線段總條數為2
2 3n 3n 1C 3n ，2
（2）取 AD中點O，以O為原點，OD為 y軸，過O且平行于 AB的直線為 x軸，過O且垂直于平面 ABCD的直線
n 1 2n
為 z軸建立如圖所示的空間直角坐標系 則 P X 1 ，P X 2 ，3n 1 3n 1
因為 PA PD，O 為 AD的中點，所以OP PD2 OD2 3,P在平面 xOz內. X 的分布列為：
可設 POx ， 0, ，可得 P 3cos , 0, 3sin ，C 2,1,0 ， B 1, 1,0 X 1 2，D 0,1,0 ，
n 1 2n
BC 1, 2, 0 ， PB 1 3cos , 1, 3sin ， P 3n 1 3n 1

因為 BC PB 5n 1，所以 BC PB 0， 所以數學期望 E X .
3n 1
即 1 3cos 1 1 2 3sin 0 0 3 n n 1 n 2，解得 cos ，得 P 1,0, 2 ， ② 共有三種可能，當三個同色點構成三角形時，賦值和為 3，有3C3n 種可能，3 2

PB 2, 1, 2 ， PC 3,1, 2 ， PD 1,1, 2 ， 1 1 2 1 2當兩個同色點和一個異色點構成三角形時，賦值和為 5，有C3C2CnCn 3n n 1 種可能，

設平面 PBC 與平面 PCD的法向量分別為 n1 x1, y1, z1 ， n

2 x2 , y2 , z2 ， 當三個異色點構成三角形時，賦值和為 6，有 n3種可能，

n1 PB 0, 2x1 y1 2z1 0, n 3n 1 3n 2
由題意可得 即 從3n個點中任取三個點，共有C3 種可能，
n1 PC 0, 3x1 y1 2z1 0,
3n 2
n 可取 1 2 2, 2,5 ，同理可得 n2 0, 2, 1 ， n
3 n 1 n 2 5 3n2 n 1 6 n3
2 45n
2 39n 6
3 則 En ，
設平面 PBC 與平面 PCD的夾角為 ，故 cos cos n1,n
105
n 3n 1， 3n 2 3n 1 3n 2 2 35 3 35 2
2
故平面 PBC PCD 105 45n 39n 6 2與平面 的夾角的余弦值為 .
35 所以 En 5 5 ，3n 1 3n 2 3n 1
18. 答案：（1）3n2
因為 n N*，所以3n 1 0， En 5 0，即En 5.
5n 1
（2）① 分布列見解析， E X ；② 證明見解析
3n 1

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